1、APB面積：AQB面積=PM:QMp共邊定理圖：四種位置關系1如圖，4ABC中，D、E分別是AB、AC邊上的中點，用面積方法證明：DE/BC且DE=-BC.2證明：D、E分別是AB、AC邊上的中點,ADE:ABDE=AADE:ACDE=1：1.BDE=ACDEDE/BCDBC=ZADE由共角定理得：AADEZAABC=AD-DE/AB-BC=1/4-AD=-AB2，DE=1BC.2這里，證明平行用到了平行的基本命題，證明線段的比值用到了共角定理.傳統證法中，要用到全等三角形、平行四邊形或相似三角形，同時要作輔助線構成全等、相似、或平行四邊形.E.不確定例2:（1983年美國中學數學競賽題）如圖

2、的三角形ABC的面積為10,D、A. 4C.5D.65.10B.3E、F分別在邊BC、CA、AB上，且BD=2,DC=3,假設BCE與四邊形DCEF的面積相等，則這個面積是解：由BCE與四邊形DCEF的面積相等，在四邊形BCEF中分別減去這兩個面積，得BFD與BFE同底且面積相等，所以BF/DE,可以得到AB為邊的兩個三角形ABD與ABE面積相等，因為三角形ABC的面積為10,且BD=2,DC=3,所以4ABD的面積等于4,即ABE面積等于4,所以BCE的面積等于104=6,故選C.這是一道由面積相等推知兩線平行的典型題目.例3:對角線互相平分的四邊形是平行四邊形.證明：OA=OC,OB=OD

3、,由共角定理得：AAOBZACOD=OA-OB=OC-OD=1即AOB=4COD,共底的兩個三角形AACB=CBD,AD/BC;同理可證AB/CD學習文檔僅供參考問：共邊定理怎么證線段相等?答：常常是共邊與共角兩個定理都會用到。利用面積相等，并且面積比中有相等的線段，消去等量，于是剩下的也是等量之比。例4:（等腰三角形兩腰上的高相等）已知：如圖，AB=AC,CEAB于E,BDXAC于D,求證：BD=CE.解：由三角形面積定理得：Saabc=1ABCE=1ACBD22此題是直接用等底三角形面積相等推出高相等，相比于全等三角形證法要簡潔得多。例5:如圖，已知AD平分/BAC,BD±AD,

4、DE/AC,DE交AB于F點求證：BE=EC.證明：連接C、F,由平行線性質，得DFC=DFA;由AD平分/BAC,DF/AC,可得/FAD=/FDA,AF=FD由BDLAD,得/FBD=/FDB,，BF=DF;，AF=BF.DFB=DFA;DFC=ADFB;BE:EC=ADFC:DFB=1:1,即BE=EC.此題是用共邊三角形面積相等推出線段相等。例6:如圖，ABC中，AB=AC,BD=CE,求證：DF=EF.證明：連接CD、BE,AB=AC/DBC與/BCE互補，由共角三角形定理：ADBC:ABCE=BDBC:CEBC.AB=AC,BD=CE,得DBC=BCE,再由共邊定理得：ADBC:B

5、CE=DF:FE=1：1.DF=EF.此題先用共角三角形定理證得DBC與BCE面積相等，再由共邊定理推出線段相等。相比于先作平行線構造全等三角形，再由全等三角形證線段相等的證法，面積法顯然更巧妙。1例7：在等腰直角三角形ABC的斜邊BC上取一點D,使DC1BC,3作BEAD交AC于E,求證：AEEC.1證明：連結CF,由DC-BC,得圖中兩個陰影三角形的面積之比為1：2,即：AAFC3:AFB=1：2,又由BEAD,等腰直角三角形ABC的條件，得學習文檔僅供參考Z1+Z2=Z3+Z2=90°,，/1=/3,由共角定理得：AF-AC：AB-BF=AFC:AAFB=1：2.AF:BF=1

6、：2,由AAFB與AEB相似，得AE：AB=1：2,AB=AC.AE=EC此題先用CD：DB=1：2得到兩個陰影三角形的面積之比為1:2,再由共角三角形定理證得AF:BF=1：2,過程相當簡潔明了。C問：共邊定理怎么證比例線段?答：共邊定理最適合用來求同一直線上的兩條線段的比值，或反過來，已知同一直線上的兩條線段的比值求共邊三角形的面積比。由于共邊定理有四種位置圖形卻對應同一個比值,所以怎樣選取最合適的兩個三角形就成為正確解題的關鍵。也因為圖形選擇的差異，造成了不止一種解法。只有通過一定的練習量，才能做到迅速正確地選擇適當的共邊三角形。例1:已知在4ABC中，D為BC的中點,求證：AF=1AC

7、.3解答：構造以BF為公共邊的兩個三角形4E為AD的中點，BE的連線交AC于F.ABF和DBF,則由兩個中點的條件，得三個三角形ABF和DBF、ADCF面積都相等，由圖易得AFFCABFCBF例2:AABC中，D是BC上的一點,粉2,SAD上一點，窘：,十AFBEFCEF解答：構造以BE為公共邊的兩個三角形匡，由圖易得”=1.CBEFC6AFABE和CBE,貝UAF=FC構造以AD為公共邊的兩個三角形ABAD和AFAD,則BEEFRAD,AF1、一一D.由工=1,設4FAD=1,則FDC=6,.ADC=7;由FADFC6里=2,得3人口=14,.匪DCEFFAD1學習文檔僅供參考例3:（三角形

8、角平分線性質定理）如圖，AD平分/BAC,求證：證明：AD平分/BAC,由共角三角形定理：ADB:AADC=ABAD:ACAD=AB：AC又AADB:AADC=BD：CD.AB：AC=BD:DC.問：全等和相似方法在新概念幾何中應當保留嗎?在新概念幾何中，可以由面積法先推導出正弦定理和余弦定理，再推出全等三角形判定定理和相似三角形判定定理，實際上，新教材中可以完全不用全等和相似方法.但作為歐式幾何的珍貴遺產，在許多問題中它們有明顯的優勢，為了讓兩種教材更好地兼容，各取所長，減少新幾何推廣的阻力，張景中也是主張保留全等和相似方法的.例如下面這道題目，三種解法就各有利弊.1在4ABC內任取一點P,

9、連接PA、PB、PC分別交對邊于X、Y、Z點.十、工PXPYPZd求證：11=1AXYBZC證明：這是一道用共邊定理證明的典型好題，在傳統證法難以入手的題中,正好是共邊定理一個極其簡單的直接應用，只要用P點與各邊分成的每一個小三角形與AC大三角形相比再相加，立即得到結論!PXPYPZ11-AXYBZCPBCPCAPAB,FF=1ABCABCABCAPXJC例（梅涅勞斯定理）：在ABC的兩邊取X、Y,直線XY與BC的延長線交于乙點.求證:AXXBBZZC證明:AXXBBZZCCY1=1YACYMXZ=YAABXZBXZCXZCXZAAXZ學習文檔僅供參考2著名數學大師華羅庚在何題:于L,如圖，凸

10、四邊形對角線DB、AC«1978年全國中學生數學競賽題解ABCD的兩邊DA、CB延長后交于K,延長后分別與KL交于F、G.前言中，給出了這樣的一道幾另外兩邊AB、DC延長后交求證:KFKG證明:FL區=FLDBKXGLDBK（以BD為公共邊的兩個三角形的面積比DBLKBL（乘以同一個三角形KBL,化為兩組面積KBLDBL的比）=DCxKA（化為兩組線段的比）CLAD=DACxKAC（化為有同一個三角形DAC的兩組面積的比DLACDAC"AC=KG（消去公共三角形，化為線段的比）LACGL這道題的的難點在于沒有全等，沒有相似，也沒有給定的比值，按照傳統方法步.驟相當多，也不易

11、理解，所以20多年沒有人給出簡單巧妙的解.在熟悉了共邊定理以后，這一類題真的變簡單了問：怎樣用面積法證面積題?答：已知比例求面積的題目，傳統證法往往不易找到思路，所以成了難題，往往在中小學數學競賽中出現.其實，這類題使用共邊定理是最好的方法.4:如圖，四邊形COB面積=6,ABCD中，4AOD面積=2,ADOC面積=3求4AOB面積.解法1:'.'AAOD面積：DOC面積=2：3=AO：OC=AAOB面積，:ACOB面積=6.AOB面積=4解法2:.AOD面積：ADOC面積=AO:OC=AAOB面積：AOB面積必DOC面積=ACOB面積公AOD面積這里得到一個新的定理：四邊形對

12、角線分成的四個三角形中，COB面積,面積：ACOB相對的兩個三角形面積的乘積與另一組相對的兩個三角形面積的乘積相等.用上這個定理，就可以跳過共邊定理直接用最后一步解題了.AAOB面積=2X6與=4.517屆希望杯全國賽初二第二試19題：如圖，等腰4ABC中，AB=AC,P點在BC邊上的高BP的延長線交AC于E,假設S;AE:EC=學習文檔僅供參考ABC=10,則SABE解:Sabe：Sdbe=AP：PD=1：2'SDEC=SDEB即SABEAESDEC=4；2：2,SABC=10,SABE=2；:EC=SAED,SCED=1,46AABC中,一BDD點在BC邊上，且DC1一,P點在BC

13、邊上的局3AD上，且結PDBP的延長線交AC于E,假設SABC=18，則SABEAE:EC=DEC斛：SABE'SDBE'SDEC=1,2,3則SABE3，SDEC_6.AE:EC=1:57如圖：4ABC中，E為中點,AD:DC=2：1,AEBF面積是15,求4ABC的面積.解：連結CF,£為中點且4EBF面積是15;ECF面積=EBF面積=15;AD:DC=2：1AAFB面積：4FCB面積=2：1AAFB面積=60,E為中點.ACF面積=AAFB面積=60.ABC的面積=15+15+60+60=150.8:如下圖，已知在平行四邊形ABCD中，AE：EB=1：2.1求

14、4AEF與4CDF的周長比;2如果Sabcd=6平方厘米，求Saade.解答：AE：EB=1：2AE:AB=AE：CD=1：3,由AEFsCDF,可得它們的周長比為1：3;Saade=-Saabd=SaabcdSabcd=6平方厘米Saade=1平方厘米.；例11:如下圖，BD,CF將長方形ABCD分成4塊，DEF的面積是4cm2,CED的面積是6cm2.問：四邊形ABEF的面積是多少平方厘米？解：連結BF,則BDF面積=CDF面積=10,/.ABEF面積=6;設面積為x,則有：學習文檔僅供參考4x=6X6,x=9;BDC面積=15,長方形ABCD面積=30二.四邊形ABEF的面積是15-4=

15、11平方厘米9如圖，FB、AD、EC互相平行，4ABC的面積為1,求FDE的面積。解：由AD/EC,得4ADC=AADE,同理4ABD=AAFD,.得MDE+AAFD=AABC=1又由FB/EC,得ECB=4ECF,.ABC+ACE=AEF+ACE即ABC=AAEF=1AFDE=AAEF+AADE+AAFD=210如圖，已知三角形ABC面積為1,延長AB至D,使BD=AB,延長BC至E,使CE=2BC,延長CA至F,使AF=3AC,求三角形DEF的面積。解：連結BD,EC,由已知條件可得，DAB=1,DBE=2,ACBE=2,FCE=6,FCD=6,.DEF=1+1+2+2+6+6=18這題也是面積法最基本的題型.11在ABC的三邊BC、CA、AB上分別取點D、E、F,使BD=3DC,CE=3AE,AF=3FB,連AD、BE、CF相交得三角形PQR,已知三角形ABC的面積為13cm2,求三角形PQR的面積.解：由圖1得：PQR=4ABC(ABP+BCQ+CAR);觀察圖2,連結PC,由CE=3AE,得4APE:CPE=1：3,又由BD=3DC,得APB:APC=3：1設APE=1,貝1!4CPE=3,APB=12,AABE=13;由CE=3AE,得ABE:A