1、2016年江西省高中畢業班新課程教學質檢數學試卷（理科）（4月份）一、選擇題1已知集合A=0，1，2，則集合B=xy|xA，yA的元素個數為（）A4B5C6D92已知i是虛數單位，則對應的點在復平面的（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限3下列函數中是偶函數且值域為（0，+）的函數是（）Ay=|tanx|By=lgCy=xDy=x24函數y=|sinxcosx+|的周期是（）ABCD25一個棱長為4的正方體沿其棱的中點截去部分后所得幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）A40BC56D6過圓x2+y2=1上一點作該圓的切線與x軸、y軸的正半軸交于A，B兩點，則|有（）A最大值B最

2、小值C最大值2D最小值27執行如圖所示的程序框圖，則輸出結果s的值為（）A1B1C0D18不等式組表示的平面區域的面積為（）ABCD39設p：xR，x24x+3m0，q：f（x）=x3+2x2+mx+1在（，+）內單調遞增，則p是q的（）A充分不必要條件B必要不充分條件C充分必要條件D既不充分也不必要條件10已知函數f（x）=ex（x+1）2（e為自然對數的底數），則f（x）的大致圖象是（）ABCD11如圖，四邊形ABCD是正方形，延長CD至E，使得DE=CD若動點P從點A出發，沿正方形的邊按逆時針方向運動一周回到A點，其中=+，下列判斷正確的是（）A滿足+=2的點P必為BC的中點B滿足+=1

3、的點P有且只有一個C滿足+=a（a0）的點P最多有3個D+的最大值為312設F是雙曲線=1的右焦點，雙曲線兩漸近線分別為l1，l2，過點F作直線l1的垂線，分別交l1，l2于A，B兩點，若A，B兩點均在x軸上方且|OA|=3，|OB|=5，則雙曲線的離心率e為（）AB2CD二、填空題13（sinx+1）dx的值為14設（2x+1）5=a0+a1（x+1）+a2（x+1）2+a5（x+1）5則a4=15設函數f（x）=（x0），觀察：f1（x）=f（x）=，f2（x）=f（f1（x）=；f3（x）=f（f2（x）=f4（x）=f（f3（x）=根據以上事實，當nN*時，由歸納推理可得：fn（1）=

4、16如圖所示，在平面四邊形ABCD中，AB=4，AD=2，DAB=60°，BCD=120°，則四邊形ABCD的面積的最大值是三、解答題：解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17已知各項均為正數的數列an滿足，對任意的正整數m，n都有aman=2m+n+2成立（）求數列log2an的前n項和Sn；（）設bn=anlog2an（nN*），求數列bn的前n項和Tn18某課題組對全班45名同學的飲食習慣進行了一次調查，并用莖葉圖表示45名同學的飲食指數說明：如圖中飲食指數低于70的人被認為喜食蔬菜，飲食指數不低于70的人被認為喜食肉類（1）根據莖葉圖，完成下面2×2列

5、聯表，并判斷是否有90%的把握認為喜食蔬菜還是喜食肉類與性別有關，說明理由：喜食蔬菜喜食肉類合計男同學女同學合計（2）根據飲食指數在10，39，40，69，70，99進行分層抽樣，從全班同學中抽取15名同學進一步調查，記抽取到的喜食肉類的女同學為，求的分布列和數學期望E下面公式及臨界值表僅供參考：附：X2=P（K2k）0.1000.050.010k2.7063.8416.63519如圖，直角梯形ABCD與等腰直角三角形ABE所在的平面互相垂直，ABCD，ABBC，AB=2CD=2BC=2，EAEB，點F滿足=2（1）求證：直線EC平面BDF；（2）求二面角DBFA的余弦值20橢圓C： +=1（

6、ab0）的上頂點為B，過點B且互相垂直的動直線l1，l2與橢圓的另一個交點分別為P，Q，若當l1的斜率為2時，點P的坐標是（，）（1）求橢圓C的方程；（2）若直線PQ與y軸相交于點M，設=，求實數的取值范圍21已知函數f（x）=x22ax+lnx（aR），x（1，+）（1）若函數f（x）有且只有一個極值點，求實數a的取值范圍；（2）對于函數f（x）、f1（x）、f2（x），若對于區間D上的任意一個x，都有f1（x）f（x）f2（x），則稱函數f（x）是函數f1（x）、f2（x）在區間D上的一個“分界函數”已知f1（x）=（1a2）lnx，f2（x）=（1a）x2，問是否存在實數a，使得f（x）

7、是函數f1（x）、f2（x）在區間（1，+）上的一個“分界函數”若存在，求實數a的取值范圍；若不存在，說明理由請考生在第22、23、24題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一個題計分。做答時，請用2B鉛筆在答題卡上將所選題目題號的方框涂黑。選修4-1：幾何證明選講22如圖，ABC的外接圓為O，延長CB至Q，延長QA至P，使得QA成為QC，QB的等比中項（）求證：QA為O的切線；（）若AC恰好為BAP的平分線，AB=4，AC=6，求QA的長度選修4-4：坐標系與參數方程23在平面直角坐標系中直線l的參數方程為（其中t為參數），現以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，已知曲線C的極

8、坐標方程為=4cos（1）寫出直線l和曲線C的普通方程；（2）已知點P為曲線C上的動點，求P到直線l的距離的最大值選修4-5：不等式選講24已知函數f（x）=x2+mx+4（）當x（1，2）時，不等式f（x）0恒成立，求實數m的取值范圍；（）若不等式|1的解集中的整數有且僅有1，2，求實數m的取值范圍2016年江西省高中畢業班新課程教學質檢數學試卷（理科）（4月份）參考答案與試題解析一、選擇題1已知集合A=0，1，2，則集合B=xy|xA，yA的元素個數為（）A4B5C6D9【考點】集合的表示法；元素與集合關系的判斷【分析】可分別讓x取0，1，2，而y=0，1，2，這樣可以分別求出xy的值，即

9、得出所有xy的值，從而得出集合B的所有元素，這樣便可得出集合B的元素個數【解答】解：x=0時，y=0，1，2，xy=0，1，2；x=1時，y=0，1，2，xy=1，0，1；x=2時，y=0，1，2，xy=2，1，0；B=0，1，2，1，2，共5個元素故選：B2已知i是虛數單位，則對應的點在復平面的（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【考點】復數代數形式的乘除運算【分析】利用復數代數形式的乘除運算化簡，求出對應的點在復平面的坐標得答案【解答】解：=，對應的點在復平面的坐標為（1，1），在第四象限故選：D3下列函數中是偶函數且值域為（0，+）的函數是（）Ay=|tanx|By=lgCy=x

10、Dy=x2【考點】函數奇偶性的判斷；函數的值域【分析】根據y=|tanx|的圖象便可得出該函數的值域為0，+），從而選項A錯誤，而容易判斷B，C函數都是奇函數，從而B，C錯誤，對于D，容易判斷y=x2為偶函數，并且值域為（0，+），從而便得出正確選項【解答】解：Ay=|tanx|的值域為0，+），該選項錯誤；B解得，x1，或x1；且；為奇函數，該選項錯誤；C.的定義域為R，且；該函數為奇函數，該選項錯誤；Dy=x2的定義域為x|x0，且（x）2=x2；該函數為偶函數；且x20，即該函數的值域為（0，+），該選項正確故選：D4函數y=|sinxcosx+|的周期是（）ABCD2【考點】三角函數的

11、周期性及其求法【分析】根據函數y=|sinxcosx+|的周期和函數y=sin2x的周期相同，利用正弦函數的單調性得出結論【解答】解：函數y=|sinxcosx+|=|sin2x+|的周期和函數y=sin2x的周期相同，故它的周期為=，故選：C5一個棱長為4的正方體沿其棱的中點截去部分后所得幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）A40BC56D【考點】由三視圖求面積、體積【分析】由三視圖知該幾何體是一個正方體在上底相對角截去兩個三棱錐，由條件和三視圖求出幾何元素的長度，由柱體、錐體的體積公式求出幾何體的體積【解答】解：根據題意和三視圖知幾何體是一個正方體在上底相對角截去兩個三棱錐，畫出

12、幾何體的直觀圖，如圖所示：正方體的棱長是4，且沿其棱的中點截去，該幾何體的體積V=4×4×42×=，故選：D6過圓x2+y2=1上一點作該圓的切線與x軸、y軸的正半軸交于A，B兩點，則|有（）A最大值B最小值C最大值2D最小值2【考點】直線與圓的位置關系；圓的切線方程【分析】設直線AB的方程為=1，（a0，b0），由直線bx+ayab=0與圓x2+y2=1相切，得到（ab）2=a2+b22ab，由此能求出|有最小值2【解答】解：過圓x2+y2=1上一點作該圓的切線與x軸、y軸的正半軸交于A，B兩點，設直線AB的方程為=1，（a0，b0），即bx+ayab=0，直線

13、bx+ayab=0與圓x2+y2=1相切，=1，（ab）2=a2+b22ab，ab2，|有最小值2故選：C7執行如圖所示的程序框圖，則輸出結果s的值為（）A1B1C0D1【考點】程序框圖【分析】模擬執行程序，可得程序框圖的功能是計算并輸出s=cos+cos+cos+cos的值，利用余弦函數的周期性即可計算求值【解答】解：模擬執行程序，可得程序框圖的功能是計算并輸出s=cos+cos+cos+cos的值，由余弦函數的圖象和性質可得：cos+cos+cos=0，kZ，又2016=336×6，可得：s=（cos+cos+cos+cos2）+（cos+cos）cos=cos672=1故選：B

14、8不等式組表示的平面區域的面積為（）ABCD3【考點】二元一次不等式（組）與平面區域【分析】作出不等式組對應的平面區域，結合相應的面積公式即可得到結論【解答】解：作出不等式組對應的平面區域如圖：OA的斜率k=，OB的斜率k=，則tanAOB=1，則D是圓心角為，半徑為2的扇形，故面積為：4=，故選：A9設p：xR，x24x+3m0，q：f（x）=x3+2x2+mx+1在（，+）內單調遞增，則p是q的（）A充分不必要條件B必要不充分條件C充分必要條件D既不充分也不必要條件【考點】必要條件、充分條件與充要條件的判斷【分析】函數單調遞增等價于導函數大于等于0恒成立，故判別式小于等于0，求出命題p的等

15、價條件，得到p，q的關系從而得解【解答】解：p：xR，x24x+3m0，=1612m0，解得：m，q：f（x）=x3+2x2+mx+1在（，+）內單調遞增，f（x）=3x2+4x+m0恒成立，=1612m0，解得m，p是q的充分不必要條件，故選：A10已知函數f（x）=ex（x+1）2（e為自然對數的底數），則f（x）的大致圖象是（）ABCD【考點】函數的圖象【分析】求出導函數，利用導函數判斷函數的單調性根據數形結合，畫出函數的圖象，得出交點的橫坐標的范圍，根據范圍判斷函數的單調性得出選項【解答】解：f'（x）=ex2（x+1）=0，相當于函數y=ex和函數y=2（x+1）交點的橫坐標

16、，畫出函數圖象如圖：由圖可知1x10，x21，且xx2時，f'（x）0，遞增，故選C11如圖，四邊形ABCD是正方形，延長CD至E，使得DE=CD若動點P從點A出發，沿正方形的邊按逆時針方向運動一周回到A點，其中=+，下列判斷正確的是（）A滿足+=2的點P必為BC的中點B滿足+=1的點P有且只有一個C滿足+=a（a0）的點P最多有3個D+的最大值為3【考點】平面向量的基本定理及其意義【分析】可分別以AB，AD所在直線為x軸，y軸，建立平面直角坐標系，并設正方形邊長為1，P（x，y），x，y0，1，可求A，B，E三點坐標，從而可寫出向量的坐標，帶入便可得到（x，y）=（，），從而得到，這

17、樣便可判斷每個選項的正誤，從而得出正確選項【解答】解：以AB，AD所在直線分別為x，y軸，建立如圖所示平面直角坐標系，設正方形邊長為1，P（x，y），則：A（0，0），B（1，0），E（1，1）；由得，（x，y）=（，）；滿足+=2的點P有線段BC的中點和D點；滿足+=1的點P有B點和線段AD的中點；滿足+=a（a0）的點最多有2個；x=1，y=1時，+取最大值3故選D12設F是雙曲線=1的右焦點，雙曲線兩漸近線分別為l1，l2，過點F作直線l1的垂線，分別交l1，l2于A，B兩點，若A，B兩點均在x軸上方且|OA|=3，|OB|=5，則雙曲線的離心率e為（）AB2CD【考點】雙曲線的簡單性質

18、【分析】運用勾股定理，可得|AB|=4，設出直線l1：y=x，直線l2：y=x，由直線l1到直線l2的角的正切公式，可得tanAOB=，求得b=2a，運用離心率公式計算即可得到所求值【解答】解：在直角三角形AOB中，|OA|=3，|OB|=5，可得|AB|=4，可得tanAOB=，由直線l1：y=x，直線l2：y=x，由直線l1到直線l2的角的正切公式，可得tanAOB=，化簡可得b=2a，即有e=故選：C二、填空題13（sinx+1）dx的值為2【考點】定積分【分析】本題考查的知識點是簡單復合函數的定積分，要求11（sinx+1）dx，關鍵是關鍵找準被積函數的原函數【解答】解：所求的值為（x

19、cosx）|11=（1cos1）（1cos（1）=2cos1+cos1=2故答案為：214設（2x+1）5=a0+a1（x+1）+a2（x+1）2+a5（x+1）5則a4=80【考點】二項式定理的應用【分析】根據（2x+1）5=2（x+1）15，利用通項公式求得展開式中（x+1）4的系數a4的值【解答】解：（2x+1）5=2（x+1）15=a0+a1（x+1）+a2（x+1）2+a5（x+1）5，a4=24（1）1=80，故答案為：8015設函數f（x）=（x0），觀察：f1（x）=f（x）=，f2（x）=f（f1（x）=；f3（x）=f（f2（x）=f4（x）=f（f3（x）=根據以上事實，

20、當nN*時，由歸納推理可得：fn（1）=（nN*）【考點】數列遞推式【分析】根據已知中函數的解析式，歸納出函數解析中分母系數的變化規律，進而得到答案【解答】解：由已知中設函數f（x）=（x0），觀察：f1（x）=f（x）=，f2（x）=f（f1（x）=；f3（x）=f（f2（x）=f4（x）=f（f3（x）=歸納可得：fn（x）=，（nN*）fn（1）=（nN*），故答案為：（nN*）16如圖所示，在平面四邊形ABCD中，AB=4，AD=2，DAB=60°，BCD=120°，則四邊形ABCD的面積的最大值是3【考點】余弦定理；正弦定理【分析】由題意和三角形的面積公式易得SA

21、BD，設CBD=，在三角形BCD中由正弦定理可得DC=4sin，BC=4sin（60°），可得四邊形ABCD的面積S=2+4sinsin（60°），化簡由三角函數的最值可得【解答】解：在三角形ABD中，由余弦定理可得BD=2，SABD=ADABsin60°=2，設CBD=，在三角形BCD中由正弦定理可得=4，變形可得DC=4sin，BC=4sin（60°），SBCD=DCBCsinBCD=4sinsin（60°），四邊形ABCD的面積S=2+4sinsin（60°）=2+4sin（cossin）=2+（6sincos2sin2）=2+

22、（3sin2+cos2）=+2（sin2+cos2）=+2sin（2+30°）又0°60°，當且僅當=30°時，S取最大值3三、解答題：解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17已知各項均為正數的數列an滿足，對任意的正整數m，n都有aman=2m+n+2成立（）求數列log2an的前n項和Sn；（）設bn=anlog2an（nN*），求數列bn的前n項和Tn【考點】數列的求和；數列遞推式【分析】（）通過令aman=2m+n+2中m=n，進而可知an=2n+1，計算可知log2an=n+1；（）通過（I）可知bn=（n+1）2n+1（nN*），進而利用

23、錯位相減法計算即得結論【解答】解：（）aman=2m+n+2，=22n+2，又an0，an=2n+1，log2an=log22n+1=n+1；（）由（I）可知bn=anlog2an=（n+1）2n+1（nN*），Tn=222+323+（n+1）2n+1，2Tn=223+334+n2n+1+（n+1）2n+2，兩式相減得：Tn=222+23+34+2n+1（n+1）2n+2，整理得：Tn=（n+1）2n+24（22+23+34+2n+1）=（n+1）2n+24=（n+1）2n+24+42n+2=n2n+218某課題組對全班45名同學的飲食習慣進行了一次調查，并用莖葉圖表示45名同學的飲食指數說明

24、：如圖中飲食指數低于70的人被認為喜食蔬菜，飲食指數不低于70的人被認為喜食肉類（1）根據莖葉圖，完成下面2×2列聯表，并判斷是否有90%的把握認為喜食蔬菜還是喜食肉類與性別有關，說明理由：喜食蔬菜喜食肉類合計男同學女同學合計（2）根據飲食指數在10，39，40，69，70，99進行分層抽樣，從全班同學中抽取15名同學進一步調查，記抽取到的喜食肉類的女同學為，求的分布列和數學期望E下面公式及臨界值表僅供參考：附：X2=P（K2k）0.1000.050.010k2.7063.8416.635【考點】獨立性檢驗的應用；極差、方差與標準差【分析】（）根據統計數據，可得2×2列聯表

25、，根據列聯表中的數據，計算K2的值，即可得到結論；（）的可能取值有0，1，2，3，求出相應的概率，可得的分布列及數學期望【解答】解：（1）根據莖葉圖，填寫2×2列聯表，如下；喜食蔬菜喜食肉類合計男同學19625女同學17320合計36945計算觀測值K2=0.56252.706；對照數表得出，沒有90%的把握認為喜食蔬菜還是喜食肉類與性別有關；（2）因為從喜食肉類同學中抽取9×=3人，所以可能取值有0，1，2，3P（=0）=，P（=1）=，P（=2）=，P（=3）=所以的分布列是0123P所以的期望值是E=0×+1×+2×+3×=11

26、9如圖，直角梯形ABCD與等腰直角三角形ABE所在的平面互相垂直，ABCD，ABBC，AB=2CD=2BC=2，EAEB，點F滿足=2（1）求證：直線EC平面BDF；（2）求二面角DBFA的余弦值【考點】二面角的平面角及求法；直線與平面平行的判定【分析】（1）連結AC，交BD于G，推導出ECFG，由此能證明直線EC平面BDF（2）設AB的中點為O以OD，OA，OE分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角DBFA的余弦值【解答】證明：（1）連結AC，交BD于G，ABCD，ECFG，又EC平面BDF，FG平面BDF，直線EC平面BDF解：（2）設AB的中點為O，ABE是等

27、腰三角形，EOAB，又平面EAB平面ABCD，EO平面ABCD，連結OD，則OBDC，且OB=DC，ODBC，ODAB，如圖，以OD，OA，OE分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系，則A（0，1，0），B（0，1，0），C（1，1，0），D（1，0，0），E（0，0，1），平面BFA的法向量=（1，0，0），設平面BFD的法向量是=（x，y，z），則，令x=1，得=（1，1，2），cos=，二面角DBFA的余弦值為20橢圓C： +=1（ab0）的上頂點為B，過點B且互相垂直的動直線l1，l2與橢圓的另一個交點分別為P，Q，若當l1的斜率為2時，點P的坐標是（，）（1）求橢圓C的方程；（2

28、）若直線PQ與y軸相交于點M，設=，求實數的取值范圍【考點】橢圓的簡單性質【分析】（1）寫出直線l的方程y=2x+b，由P點在直線上求得b，得到橢圓方程，再由點P（，）在橢圓上求得a，則橢圓方程可求；（2）設直線l1，l2的方程分別為y=kx+2，分別聯立直線方程與橢圓方程，求得M，Q的坐標，結合=求得實數的取值范圍【解答】解：（1）l1的斜率為2時，直線l1的方程為y=2x+b由l1過點P（，），得，即b=2橢圓C的方程可化為，由點P（，）在橢圓上，得，解得a2=5橢圓C的方程是；（2）由題意，直線l1，l2的斜率存在且不為0，設直線l1，l2的方程分別為y=kx+2，由，得（4+5k2）x

29、2+20kx=0，即，同理，可得，由=，得，5k2+44，0，實數的取值范圍為（）21已知函數f（x）=x22ax+lnx（aR），x（1，+）（1）若函數f（x）有且只有一個極值點，求實數a的取值范圍；（2）對于函數f（x）、f1（x）、f2（x），若對于區間D上的任意一個x，都有f1（x）f（x）f2（x），則稱函數f（x）是函數f1（x）、f2（x）在區間D上的一個“分界函數”已知f1（x）=（1a2）lnx，f2（x）=（1a）x2，問是否存在實數a，使得f（x）是函數f1（x）、f2（x）在區間（1，+）上的一個“分界函數”若存在，求實數a的取值范圍；若不存在，說明理由【考點】利用導

30、數研究函數的極值；利用導數研究函數的單調性【分析】（1）求出函數的導數，根據f（x）有且只有一個極值點，得到x22ax+10恒成立，求出a的范圍即可；（2）根據“分界函數”的定義，只需x（1，+）時，f（x）（1a）x20恒成立且f（x）（1a2）lnx0恒成立，判斷函數的單調性，求出a的范圍即可【解答】解：（1）f（x）=，x（1，+），令g（x）=x22ax+1，由題意得：g（x）在1，+）有且只有1個零點，g（1）0，解得：a1；（2）若f（x）是函數f1（x）、f2（x）在區間（1，+）上的一個“分界函數”，則x（1，+）時，f（x）（1a）x20恒成立且f（x）（1a2）lnx0恒成

31、立，令h（x）=f（x）（1a）x2=（a）x22ax+lnx，則h（x）=，2a10即a時，當x（1，+）時，h（x）0，h（x）遞減，且h（1）=a，h（1）0，解得：a；2a10即a時，y=（a）x22ax的圖象開口向上，存在x01，使得（a）2ax00，從而h（x0）0，h（x）0在（1，+）不恒成立，令m（x）=f（x）（1a2）lnx=x22ax+a2lnx，則m（x）=0，m（x）在（1，+）遞增，由f（x）（1a2）lnx0恒成立，得：m（1）0，解得：a，綜上，a，時，f（x）是函數f1（x）、f2（x）在區間（1，+）上的一個“分界函數”請考生在第22、23、24題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一個題計分。做答時，請用2B鉛筆在答題卡上將所選題目題號的方框涂黑。選修4-1：幾何證明選講22如圖，ABC的外接圓為O，延長CB至Q，延長QA至P，使得QA成為QC，QB的等比中項（）求證