1、函數的零點教學設計精心整理常州市第一中學孔祥武一? ?設計思想與理念本課的教學設計是按照“教師為主導，學生為主體，課本為主 線”的原則而設計的教師在充分分析學生已有知識水平和思 維能力的基礎上，為學生創設探索的情境，通過問題串，指引探 索的途徑，通過環環相扣問題鏈激發學生的求知欲、探索欲，引 導學生不斷地提出新問題，解決新問題.、尹I I/ I* I二教材分析：1.1.?內容分析函數f(x)的零點, ,是中學數學的一個重要概念, ,從函數值與自變 量對應的角度看，就是使函數值為0的實數X；從方程的角度看，即 為相應方程f(x)=0的實數根；從函數的圖像角度看，函數的零點就 是函數f(x)與X軸

2、交點的橫坐標. .函數的零點從不同的角度，將函數 與方程，數與形有機的聯系在一起，體現的是函數知識的應用.! j.j x * i, y | I學習函數零點存在性定理可為二次函數實根分布打下基礎，并 為下一節內容二分法求方程近似解提供理論支持.在講授本節內容時更多要滲透函數與方程思想、轉化與化歸思想、數形結合的 思想方法2.2. ? ?學情分析：初學者大多不清楚為什么要研究函數的零點，因為在此之前他 們都能用公式法直接求方程的根.教學時可通過舉例讓學生知道，- -來源網絡精心整理有許多方程都不能用公式法求解，只能把方程交給函數，轉化為 考察相應函數的零點問題，從動態的角度來研究，借助形的角度 來

3、研究數的問題.本人執教的班級是一中的教改班，學生層次較高，簡單引用教 材上的例題學生會覺得提不起興趣，因此嘗試在立足教材的基礎 上提出一些有挑戰性的問題，調動學生的積極性，引導學生自主 發現，自我建構知識.3.?3.?教材處理本節課從學生熟悉的二次函數與二次方程入手，借助對圖象 的觀察獲得二次函數的零點與一元二次方程根的關系，并將這種 關系推廣到了一般情形體會函數與方程之間的轉化關系.X |：/ y 對于函數零點判斷定理，教師要引導學生從特例中發現感悟 這一定理，在給出這個定理之后，還需要圍繞定理作一些深入的 剖析，引導學生多畫圖，討論定理逆命題的真假，加深對定理的 理解及應用.重點：函數的零

4、點存在性定理的理解及運用-.i難點：體會函數的零點與方程的根之間的聯系； 三教學目標設計1 1知識與技能(1) 理解函數(結合二次函數)零點的概念.(2) 理解零點存在性定理的判定條件，會判斷函數在某區間上是 否存在零點. .2.2.過程與方法- -來源網絡精心整理能夠理解函數零點與方程的根之間的關系，能夠結合反例找 到不間斷函數在某個區間上存在零點的判斷方法.3.3. 情感、態度與價值觀x22x一3 = 0的根與函數 廠x22x一3之間有什么聯系？【生】：從圖象上看，方程的根就是函數圖象與x軸交點的橫 坐標 【師】：很好，方程X2-2X-3=0可看作函數y=x2-2x-3函數值為 0 0 時

5、特殊情形，函數與方程之間似乎有某種聯系，-1,3是方程x22x7=0的兩 根，那么是函數 廠X2-2X-3的什么呢？為了表述方便， 我們給它一 個名稱， 把-1,3稱為函數y=x2-2x-3的零點.(.(板書課題) )設計意圖：單刀直入，從學生熟悉的二次函數與二次方程入手， 通過對圖象的觀察獲得二次函數的零點與一元二次方程根的關 - -來源網絡在函數與方程的聯系中體驗數形結合思想和轉化思想的意 義和價值，發展學生對變量數學的認識，體會函數知識的核心作 用體驗數學內在美，激發學習熱情，培養學生創新意識和科學精 神.四.教學過程設計1 1 情境問題： 問題一：函數y =x2-2X-3圖象與x軸交點

6、坐標(-1(-1 , 0 0)( 3 3, 0 0):你是怎樣得到的， :令八0解出來的 問題二：方程:2【生】：【師】yX精心整理系，給學生搭自然類比引出概念零點知識是陳述性知識，關鍵 不在于讓學生提出這個概念，而在于理解提出零點概念的作用一 溝通函數與方程的關系弓I入函數的零點的概念一是突出這一 轉化的思想，二是表述起來更方便.2 2 .建構數學問題三：類似的，函數y = f(x)的零點又該怎樣定義？【生】：令八0，解出f(x)=O的根便是函數的零點. .函數的零點：1 1、定義：一般地，我們把使函數-f(x)的值為 0 0 的實數x稱為函 數八f(x)的零點. .【師】：函數的零點從本質

7、上來說是什么呢？一張紙還是一支 筆啊？【生】：零點是一個實數.【師】：很好，去掉修飾語，實數x稱為零點我們不妨這么記 憶，零點不是點，海馬不是馬 2 2、 說明：(1) 函數的零點不是點，是個實數 (2)函數的零點就是相應方程的根，也是函數圖象與x軸交點的 橫坐標. .函數的零點問題二方程的根的問題二圖象與x軸的交點問題設計意圖：圍繞零點概念的剖析，幫助學生理解零點的本質，體會函數的零點與相應方程的根以及函數圖像之間的相互轉化的 思想.- -來源網絡精心整理問題四：方程3456X2一3458X仁0有沒有實數根？【生】：有，用D = 34582- 4? 34560計算，可以估算.【師】：很好，還

8、有別的做法嗎？【生】：設f(x) =3456x2-3458X 1，f(1) = -1：0，因圖像開口向上，所 以f(x) =3456x2-3458x 1的圖像和x軸必有兩個交點.【師】：成功的關鍵在于把方程交給了函數，從函數角度來看 問題. .變化：在區間(1,2)上有根嗎？【生】：f(1)=-1,f (2) 0，二次函數圖像必定穿越x軸，在區間(1,2)上有一個根.變化：在區間(0,1)上有根嗎？【生】：f一1,f(0)“，函數圖像必定穿越x軸，在區間(0,1)上有 一個根.設計意圖：有意設計了一個不便于從代數角度求根的一元二次方程，“逼迫”學生另辟蹊徑，把方程轉化為函數，從“形”的 角度，

9、來考察二次方程在區間上是否有根，滲透函數與方程思想， 數學結合的思想. .同時讓學生感受端點函數值異號，圖像連續，函 數有零點，這便是零點存在性定理的“雛形，為下面引出零點 存在性定理埋下伏筆. .問題五：若函數y = f(x)在區間a,b 上滿f(a) f(b) 0, ,則函數y = f (x)在區間(a,零點嗎？試舉例說明. .精心整理【生 1 1】 ： 不一定， 八丄在區間(一1,1)上滿足條件，卻沒有零點. .x【師】： 加一個怎樣的條件就能保證上述函數y = f(x)在區間(a,b)上一定有零教師學生自己畫圖論證.- -來源網絡足一定有- -來源網絡點？【生】：感覺只要函數y = f

10、(x)在區間a,b上連在一起，不間斷就 可以了.引出零點存在性定理設計意圖：通過問題四學生感覺似乎函數在區間上端點函數值 異好，就有零點，教師適時地提出問題五，順其自然把問題推向 縱深，引導學生畫圖論證，自我探究，尋找反例，接下來定理的 引出便是自然的，水到渠成的.零點存在定理：一般地，若函數y = f(x)在區間a,b上的圖象是一條X |：/ y 不間斷的曲線，且f(a) f(b)：0,則函數y = f(x)在區間(a,b)上有零點. 問題六( (剖析概念系列問) )：【師】：學習了這個定理，你有哪些不明白的地方.(設計意圖引導學生自主發現問題)【生】：區間從a,b變化為(a,b)，為什么？

11、【師】：使零點位置更精確！第一個區間a,b能改為區間(a,b)嗎？【生】：不可以，如函數fgJKZ1)，l-1,x=1【師】何謂“有零點”？【生】：至少有一個零點精心整理【師】(能逆向嗎？)一般地，若函數八f(x)在區間a,b上的圖象是一條不間斷的曲線，若函數y = f(x)在區間(a,b)上有零點，貝U f(a) f(b) 0?能舉例嗎?【生】：二次函數f(x)d_4/在區間3,4上有零點卻不滿足. -【師】：不間斷的單調函數y = f(x)廿/ * 在區間a,b上有f(a) f(b) cO,則函數y = f(x)在區間丿(a,b)上有幾個零點？【生】：1 1 個. .I IJJ J / /

12、【師】：變式：二次函數y =f(x)在區間a,b上有f(a) f(b)：O, ,則函數y = f(x)在區間(a,b)上有幾個零點？【生】：1 1 個(這是由二次函數自身的形狀決定，引導學生畫圖 感受)設計意圖：在給出這個定理之后，還需要圍繞定理作一些深 入的剖析，諸如：滿足定理的條件就有零點，不滿足定理的條件 是否就沒有零點，函數在區間上有零點是否一定有f(a)f(b)：O，引導 學生多畫圖，結合我們熟悉的二次函數的零點討論定理逆命題的 真假，加深對定理的理解，為靈活運用奠定基礎這樣達到完成 本節課的知識與技能目標的目的，同時也突出了重點，3 3、典型例題：例題 1 1：求證：函數f(x)=

13、x3X21在區間(-2,-1)存在零點.解答：f(2)f(：0, ,函數f(x)=x3x21在區間(-2,-1)上不間斷. . 強調：函數f(xx3x21在區間(-2,-1)上不間斷. .注重解題規范.- -來源網絡精心整理變式 1 1：求證：方程x3=4x2在區間(一2,0)上至少有兩個實根解：令f(x) =X34x2,f (-2) =-8+8-2 0,f(0)=-20,f(-1)=1A0, 又函數f(x)=x3-4x-2在區間(-2,0)上連續不間斷，f(x)=x3-4x-2在區間(-2,-1),(-1,0)上都至少有一個根，所以得證.教師點評：把方程的根的問題轉化為相應函數圖象的零點問題

14、 處理.設計意圖：例題 1 1 設計了一個三次函數的例子，不能像通常二 次函數那樣從代數角度直接求解函數零點，需要結合零點存在性 定理解題，屬于淺層次的模仿運用，讓學生感悟零點存在性定理 是判斷函數有無零點的又一種方法變式訓練把問題推向高潮，X |：/ y 首先要把方程根的問題轉化為函數的零點問題，訓練學生函數與 方程思想.當然變式 1 1 有一定難度，可根據學生層次選擇.例題 2 2：函數f(x)=l nx x-4有零點的區間為(k,k 1) k Z，求k的值.分析 1 1:嘗試直接應用定理解題.函數f(x) =1 n x x -4，f (2) = In 2 - 2：0，f (3) = In

15、3 -1 0， 函數f (x) = In x x 4在 區間(k,k 1) k Z上單調增，故k= 2分析 2 2：把問題轉化為我們熟悉的函數圖像的交點問題.如x 4與y2F nx，觀察圖像可得零點在區間(1,4)當中,至于根到底在哪個區間， 依靠圖像本省還不有精確，需要把問題交給代數，考查(1,4)中的整x= 2時寸,=2，yl n2：1，x=3時，力=1，y2Tn3 1， - -來源網點絡- -來源網絡精心整理通過精確比較，根位于區間(2,3)要進行細化. .糾正學生的常見誤區：直接f (k)，f(k+1) = (ln k + k 4)(ln( k +1) + (k+1) 4 c 0的做法

16、不對，屬于認為有零點，便有端點值異好，若看出單調增，便可以這樣使用. .逐一檢驗整數點。歸納：函數零點的求解與個數的判斷：(1)(代數法)轉化為相應方程的實數根問題；( (能求則求) )，(2)(幾何法)轉化為函數的圖象交點問題；(3)利用零點存在性定理解決.設計意圖：設計一個入口較寬的，有一定挑戰性的，一題多 解的例題，讓學生正確理解零點存在性定理使用誤區和注意事項， 并培養學生數形結合的意識，把陌生的問題轉化為熟悉問題，把yI J /卜數的問題轉化為形的問題，當依靠形說不清時再次把形的問題轉 化為數，感受數學解題其實就是一個不斷轉化的過程.4 4、當堂訓練：(備用)LiLi1 1、 設函數

17、f(x8lXx/11，則函數g(x)=f(x)+的零點為. i fJ! j.j、* i答：3可以直接求根，也可以作圖像！2 2、 函數f(x)=xlgx-1有零點的區間為(k,k 1) k Z，則k的值為.2 2igxJ, ,轉化為熟知的圖像的交點，最后細化！x3 3、 方程3xlog2X=0在區間丄1內實數根的個數為.1 14法一、轉化為兩個圖像的交點個數.法二、函數單調增，用f(a) f(b) 0- -來源網絡精心整理設計意圖：爭對課上的重點難點內容，當堂鞏固訓練，變式訓練， 課內時間可能來不及，看情況備用5 5、 課堂小結：（引導學生自己總結，自我建構）（1 1）函數的零點概念是什么？函

18、數的零點問題二方程的根的問題二圖像與x軸交點問題函數的零點個數的判斷方法有哪些？（1 1）求出相應方程的實數根； （2 2）轉化為函數的圖象交點 問題； （3 3）利用零點存在性定理（3 3）本節課運用了哪些數學思想方法？函數與方程思想、轉化與化歸思想、數形結合思想/ I（/設計意圖在學生談收獲，談體驗的過程中，教師將本節課的 內容回顧總結，概況升華，進一步優化學生的認知結構，把課堂 所學的知識與方法較快轉化為學生的素質，也更進一步培養學生 的歸納概括能力.6 6、 課外作業：一中配套課時訓練第 3333 課時函數的零點開課反思常州市第一中學孔祥武本節課好的地方：1.以問題串組織教學，一步步引

19、導學生自主建構概念，6 個大問題把整節課知識點串了起來.這樣的課堂是高效的，學生在思考中發現，在探究中感悟.2.因為學生層次很好，（一中教改班），這節課我設計時立足放手讓學生來說，把舞臺交給學生充分體現教師 為主導，學生為主體的新課程理念許多概念的反例都是學生自己來舉的，聽課老師都覺得學生表現得很讓 人吃驚這里學生的主動性積極性得到調動學生的大膽質疑，大聲回答讓人佩服，這樣的課堂正是我們老- -來源網絡精心整理師希望看到的，這樣的學生正是我們老師希望培養的.3.零點存在性定理講的比較細致入微，嚼得有滋有味，剖析得比較透徹，是本節課的亮點.零點存在性問題本身是充分的，有局限性的.“剖析問題(能逆

20、向嗎)一般地，若函數y = f(x)在區間a,b上的圖象是一條不 間斷的曲線，若函數 八f(x)在區間(a,b)上有零點則f(a).f(b)：O?能 舉例嗎？”和變式 2 2 都在研究定理逆向方面的問題防止學生理 解發生偏差.定理的正向，逆向剖析，讓學生對定理加深理解， 使得學生對定理理解更全面.4.本節課教態很自然， 始終面帶微笑，不慌不忙，娓娓道來，不太像自己平時嚴厲的作風， 給人以親近的感覺， 學生似乎也被感染了，師生配合較好，還要堅持.需要改進的方面：1 1 給出函數零點定義時提出問題：學習了零點定義要注意什么，X |：/ y 問題太大，太空.可改為：學習了零點，你能告訴人家零點是什 么嗎？可能更具體一些.2.2. 零點不是點，黑馬不一定是馬說法不準確.改為零點不是點，X,jf 海馬不是馬可能較好.3.3. 零點存在性定理的生成亦可以設計一些活動讓學生動手探究， 揭示定理(1 10 0分鐘)已知函數y = f x