1、精選優質文檔-傾情為你奉上抽 屜 原 理 一、教學內容：專題抽屜原理，課本68-72二、教學目的和目標。 目的： 開拓同學們的視野，理解數學問題并不全都是由數量和數量關系組成，解決問題有時卻不用算術和幾何知識，而是用推理的知識來解答，從而提高同學們解決數學問題的能力和興趣。 目標： 1.使學生學會使用抽屜原理創造性地解決實際問題。2.培養學生有根據、有條理地進行思考和推理的能力。三、重點、難點： 重點：抽屜原理的理解和應用。難點：在抽屜原理的應用中如何制造抽屜。四、課前準備：將學生分成4小組，每組兩個紙盒，3個蘋果，5塊手帕。五、教學過程：<一> 引入教師：在一些公共場所或旅游景點

2、，同學們見過電腦算命嗎？“電腦算命”看起來挺玄乎，只要你報出自己出生的年、月、日和性別，一按按鍵，屏幕上就會出現所謂性格、命運的句子，據說這就是你的“命”。通過今天的學習，同學們掌握了“抽屜原理”之后，你不難證明這種“電腦算命”是非常可笑和荒唐的，是不能相信的鬼把戲。（板書課題）教師：通過學習，你想解決哪些問題？通過學生回答后，教師把學生提出的問題歸結為：（板書）抽屜原理是怎樣的？這里的“抽屜”是指什么？抽屜原理能解決哪些問題？怎樣應用抽屜原理解決實際問題？ <二> 認識抽屜原理1、出示三個例子。A、3個蘋果放到2個抽屜里，那么一定有1個抽屜里至少有2個蘋果。B、5塊手帕分給4個小

3、朋友，那么一定有1個小朋友至少拿了2塊手帕。C、6只鴿子飛進5個鴿籠，那么一定有一個鴿籠至少飛進2只鴿子。學生讀一讀上面三個例子，想一想并說一說這三個例子中各說了一件怎樣的事？教師指出：以上三個問題，同學們不難看出其中的道理，但要完全清楚地說明白，就需給出證明。下面以第一個問題為例，隨老師一起用兩種方法進行證明。2、 證明上例A。列舉法證明。教師帶領學生以小組為單位邊操作邊填表： 放法抽屜 13210 20123 根據上表中操作的結果，讓學生回答說明下面的問題：（教師提問，學生個別回答。）把3只蘋果放在2只紙盒（抽屜）里共有幾種不同的放法？（3個蘋果放在2只抽屜里，共有4種不同的放法。）第、兩

4、種放法在第幾只抽屜里，至少有幾只蘋果？（第、兩種放法在第1只抽屜里，至少有幾只蘋果。）第、兩種放法在第幾只抽屜里，至少有幾只蘋果？（第、兩種放法在第2只抽屜里，至少有2只蘋果。）這樣你可以證明什么？（可以肯定地說，3個蘋果放到2個抽屜里，那么一定有1個抽屜里至少有2個蘋果。）反證法證明。教師指出：如果命題的結論不成立，這就是說，每個抽屜里至多放一只蘋果。那么，2只抽屜里至多共有2只蘋果。而已知有3只蘋果放在2個抽屜里，這樣與假設相矛盾。這樣，命題便得到證明。3、 證明上例B。讓學生在組內討論，用上面的列舉法證明例B。分工（誰主持討論、誰分手絹、誰當“抽屜”、誰記錄等）合作完成。各組選派一人在全

5、班交流匯報。4、 證明上例C。讓學生用反證法在組內討論證明，各組派一人匯報。5、 揭示規律提問：上面所證明的三個例子有什么共同的特點？（引導學生填表后回答。）題號物體數量抽 屜數結 果A蘋果3個放入2個盒子有一個抽屜至少有2個蘋果B手帕5塊分給4人有一人至少拿了2塊手帕C鴿子6只飛進5個籠子有一個籠子至少飛進2只鴿學生：上面三個例子的共同特點是：物體個數比抽屜個數多一個，那么有一個抽屜至少有2個這樣的物體。教師指出：上面我們所證明的數學原理就是抽屜原理。（板書下面原理1）原理1 ：把多于n個的物體放到n個抽屜里，則至少有一個抽屜里有2個或2個以上的物體。再看下面的兩個例子。（師生共同討論解答）

6、（1）把30個蘋果放到6個抽屜中,問:是否存在這樣一種放法(使每個抽屜中的蘋果數都小于等于5)。（2）把30個以上的蘋果放到6個抽屜中,問:是否存在這樣一種放法(使每個抽屜中的蘋果數都小于等于5)。解答:（1）存在這樣的放法。即:每個抽屜中都放5個蘋果。（2）不存在這樣的放法。即:無論怎么放,都會找到一個抽屜,它里面至少有6個蘋果.從上述兩例中我們還可以得到如下規律:（板書）原理2 ：把多于mn個的物體放到n個抽屜里，則至少有一個抽屜里有m+1個或多于m+l個的物體。讓學生想一想“原理1”和“原理2”的區別在什么地方。（使學生認識“原理1”和“原理2”的區別是：原理1物體多，抽屜少，數量比較接

7、近；原理2雖然也是物體多，抽屜少，但是數量相差較大，物體個數比抽屜個數的幾倍還多幾。）7、 基礎訓練。（1）三只鴿子飛進了兩個鳥巢，則總有一個鳥巢中至少有（ ）只鴿子；（答案：2）（2）把三本書放進兩個書架，則總有一個書架上至少放著（ ）本書；（答案：2）（3）把三封信投進兩個郵筒，則總有一個郵筒投進了不止（ ）封信。（答案：1）（4）1000只鴿子飛進50個巢，無論怎么飛，我們一定能找到一個含鴿子最多的巢，它里面至少含有（ ）只鴿子。（答案：1000÷50=20，所以答案為20。 ）（5）從8個抽屜中拿出17個蘋果，無論怎么拿。我們一定能找到一個拿蘋果最多的抽屜，從它里面至少拿出了

8、（ ）個蘋果。（答案：17÷8=21，2+1=3，所以答案為3。）（6）從（ ）個抽屜中（填最大數）拿出25個蘋果，才能保證一定能找到一個抽屜，從它當中至少拿了7個蘋果。（答案：25÷=6，可見除數為4，余數為1，抽屜數為4，所以答案為4。）教師指出：抽屜原理又稱為鳥巢原理、書架原理或郵筒原理。如上面（1）、（2）、（3）題，講的就是這些原理。由于在西方首先是狄里希萊提出的這個原理，所以，又稱為狄里希萊原理。不管叫什么名字，都反映的是同一個數學事實。上面（4）、（5）、（6）題的規律是：物體數比抽屜數的幾倍還多幾的情況，可用“蘋果數”除以“抽屜數”，若余數不為零，則“答案”

9、為商加1，若余數為零，則“答案”為商。其中第（6）題是已知“蘋果數”和“答案”來求“抽屜數”。通過上面的練習，我們基本上認識了抽屜原理。現在我們就可以用抽屜原理來證明電腦算命，是完全不可信的了。（教師講解：如果以70年計算，按出生的年、月、日、性別的不同組合數應為70×365×251100，我們把它作為“抽屜”數。我國現有人口11億，我們把它作為“物體”數。由于1.1×10的9次方=21526×51100+21400，根據原理2，存在21526個以上的人，盡管他們的出身、經歷、天資、機遇各不相同，但他們卻具有完全相同的“命”，這真是荒謬絕倫！ 

10、所謂“電腦算命”不過是把人為編好的算命語句象中藥柜那樣事先分別一一存放在各自的柜子里，誰要算命，即根據出生的年月、日、性別的不同的組合按不同的編碼機械地到電腦的各個“柜子”里取出所謂命運的句子。這種在古代迷信的亡靈上罩上現代科學光環的勾當，是對科學的褻瀆。）抽屜原理的用處很廣，如果能靈活運用，可以解決一些看上去相當復雜、覺得無從下手，然而卻是相當有趣的數學問題。<三> 抽屜原理的應用師生共同討論分析解答。、簡單題：例1、 在某校數學樂園中，五年級學生共有400人，年齡最大的與年齡最小的相差不到1歲，我們不用去查看學生的出生日期，就可斷定在這400個學生中至少有兩個是同年同

11、月同日出生的，你知道為什么嗎？解：因為年齡最大的與年齡最小的相差不到1歲，所以這400名學生出生的日期總數不會超過366天，把400名學生看作400個蘋果，366天看作是366個抽屜，（若兩名學生是同一天出生的，則讓他們進入同一個抽屜，否則進入不同的抽屜）由抽屜原則知“無論怎么放這400個蘋果，一定能找到一個抽屜，它里面至少有兩個蘋果”即：一定能找到兩個學生，它們是同年同月同日出生的。例2：有紅色、白色、黑色的筷子各10根混放在一起，如果讓你閉上眼睛去摸，你至少要摸出幾根才敢保證至少有兩根筷子是同色的？為什么？至少拿幾根，才能保證有兩雙同色的筷子，為什么？解：1、把三種顏色的的筷子當作三個抽屜

12、，2、 根據抽屜原則：（1）至少拿4根筷子，才能保證有2根同色筷子；（2）從最特殊的情況想起，假定三種顏色的筷子各拿了3根，也就是在三個“抽屜”里各拿了三根筷子，不管在哪個“抽屜”里再拿1根筷子，就有4根筷子是同色的，所以一次至少應拿出3×3+1=10根筷子，就能保證有4根筷子同色。例3、證明：在任意的37人中，至少有四人的屬相相同。解：將37人看作37個蘋果，12個屬相看作是12個抽屜，由抽屜原則知“無論怎么放一定能找到一個抽屜，它里面至少有4個蘋果”即在任意的37人中。至少有四人屬相相同。例4、某班有個小書架，40個同學可以任意借閱，試問小書架上至少要有多少本書，才能保證至少有一

13、個同學能借到兩本或兩本以上的書。分析：從問題“有一個同學能借到兩本或兩本以上的書”我們想到，此話對應于“有一個抽屜里面有兩個或兩個以上的蘋果”。所以我們應將40個同學看作40個抽屜，將書本看作蘋果，如某個同學借到了書，就相當于將這個蘋果放到了它的抽屜中。解：將40個同學看作40個抽屜，書看作是蘋果，由抽屜原則知：要保證有一個抽屜中至少有兩個蘋果，蘋果數應至少為40+1=41個。即：小書架上至少要有41本書。歸納小結：解與抽屜原則有關的問題，最關鍵的是要找到誰為“蘋果”，誰為“抽屜”，上述四題稱為簡單題的原因就在于“蘋果”和“抽屜”很容易找到。、劃分圖形例1、在邊長為1的正三角形中，任意放入5個

14、點，證明：其中至少有兩個點的距離不大于。分析：本題與前面所做的題相比難在蘋果和抽屜不夠明顯。把5個點看作5個蘋果，那么抽屜又在哪呢？如把這個邊長為1的三解形看作抽屜，此題僅有一個抽屜，無法解釋結論，所以本題擺在我們面前的一個重要問題就是要造出抽屜來。我們可以聯想一下日常生活中與此類似的問題“如果你去家俱店訂做抽屜，你應告訴老板1.訂做的抽屜的性質(即:大小、形狀、材料等)2、訂做的數量，這樣老板才能給你制作抽屜。”與此類似，在本題中我們要造抽屜，就必須要知道所造抽屜的特征及數量。分析題中的最后一句話“兩個點的距離不大于”對應于“抽屜中任意兩點間的長度都小于或等于”即我們所造的抽屜應滿足“抽屜的

15、最長部分小于或等于”，從題中還應由“把5個蘋果放到幾個抽屜中，才能保證有一個抽屜至少放了兩個蘋果”。想到應造四個抽屜。解：將邊長為1的正三角形按圖1分割成4塊，作為4個抽屜。（其中D、E、F分別為AB、AC、BC邊的中點），則這4個抽屜的最大長度為，把5個點（5個蘋果）放到4個抽屜中，由抽屜原則知一定有一個抽屜中，至少放了兩個點，那么這兩個點的距離就不大于。（得證）練一練、（學生獨立完成做在練習本上）在一個長寬分別為4米和3米的長方形中，且已知此長方形的對角線長為5米，任意放5個點，試證明：至少有兩個點的距離不大于2.5米。（學生做完后讓學生說一說是怎樣想的，解答過程是怎樣的。教師評價時，強調

16、思考的突破口和怎樣制造抽屜。）分析：由最后一句話“兩個點的距離不大于2.5米”作思考的突破口，由此可知我們要造的抽屜應滿足的條件為“抽屜的最大長度小于或等于2.5米”；由5個點想到應造4個抽屜。解：將長方形按圖2的方式分割成4塊（E、F、G、H分別為AD、AB、BC、CD的中點）作為4個抽屜，則這4個抽屜的最大長度為2.5米，將5個點放到這4個抽屜中，由抽屜原理得至少有兩點在一個抽屜中，那么這兩點的距離必不大于2.5米。注：按圖3的方式分割成4塊是不合理的，如：抽屜三角形AOD中，最大長度為AD,AD>2.5米。歸納小結：將上述兩題歸結為劃分圖形問題，是因為它們均是通過將一個圖形分割成幾

17、塊的方式來造抽屜的。、整數分組.例1、在從1開始的10個奇數中任取6個，一定有兩個數的和是20。分析：本題與前幾題的不同之處在于：前面幾題均是向空抽屜中放蘋果，本題是從已有蘋果的抽屜中拿蘋果；本題與劃分圖形中的兩題相同之處在于：題中均沒直接給出抽屜，需要我們根據給出的抽屜的特征來自己造抽屜。由題中最后一句話“兩個數的和為20”由此可知我們要造的抽屜應是“里面已含有兩個數，且它們的和為20”解：把前10個奇數按如下分組，構成5個抽屜：（1，19）；（3，17）；（5，15）；（7，13）；（9，11）。從這5個抽屜中取出6個數，由抽屜原理知：有一個抽屜中至少取了兩個數，則這兩個數的和必為20。所

18、以無論怎樣取，一定有兩個數的和是20。練一練、（學生獨立完成做在練習本上）從1，3，5，7，37，39這20個奇數中任取出14個。證明：其中至少有兩個數一個是另一個的倍數。（學生做完后讓學生說一說是怎樣想的，解答過程是怎樣的。教師評價時，強調思考的突破口和怎樣制造抽屜。）分析：由最后一句話“其中一個是另一個的倍數”知我們要造的抽屜中已含有數，且抽屜中的任意兩數均為倍數關系；從抽屜中取出14個數就可保證有兩個數在一個抽屜中取出，可知我們要造出的抽屜數小于14。解：將1，3，5，7，37，39這20個奇數按如下分組，構造出13個抽屜：（1，3，9，27）；（5，15）；（7，21）；（11，33）

19、；（13，39）；（17）；（19）；（23）；（25）；（29）；（31）；（35）；（37）。從20個奇數中任取14個數就相當于從這13個抽屜中任取14個數，由抽屜原理知至少有兩個數是從一個抽屜中取出的，那么這兩個數必滿足一個是另一個的倍數這一條件（得證）。歸納小結：上面關于“整數分組”的兩道題的共同特點是：均是從抽屜中取蘋果，抽屜卻沒有告訴我們，也需要我們去根據具體情況造抽屜。 狀態分類例1、在任意的10個人中，至少有兩個人，他們在這10個人中認識的人數相等。分析：本題我們可以將10個人看作是10個蘋果，而抽屜需要我們來造，由題意知我們要造的抽屜應滿足：在同一抽屜中的人認識的人數應相同，

20、所以我們很易造出如下10個抽屜：認識0個人、認識1個人、認識2個人認識9個人。下面我們要證明的是至少有兩個人在同一抽屜中，困難在于10個人，10個抽屜無法保證至少有兩個人在同一抽屜中，進一步分析我們會發現，第1個抽屜與第10個抽屜不可能同時有人，所以實際上是9個抽屜。解:1）在這10個人中，如果有人認識所有的人，那么每個人所認識的人數從1至9共9種可能，即可構造9個抽屜，由抽屜原理知至少有2人認識的人數相等。2）在這10個人中，若沒有人認識所有的人，那么每個人所認識的人數有從0至8共9種可能，由抽屜原理知至少有2人認識人數相等。例2、如圖4，三行九列共27個小方格，將每小方格染上紅色或藍色，證

21、明：不論怎樣染色，其中至少有兩列，它們的染色方式相同。解：按列染色的方式只有以下八種：（紅、紅、紅）；（藍、藍、藍）；（紅、紅、藍）；（紅、藍、紅）；（藍、紅、紅）（藍、藍、紅）；（藍、紅、藍）；（紅、藍、藍）。我們把每種染色方式看作是一個抽屜，那么九列小方格放入八個“抽屜”里，一定有一個抽屜中至少有兩列小方格，即：至少有兩列的染色方式相同。練一練、（學生獨立完成做在練習本上）圖5中，3行7列的方格網，對每一格進行黑白染色，求證：對任意的染法棋盤上至少有一個長方形它的四個角著色相同。（學生在練習時會根據例2制造抽屜的方法去思考，教師要適當加以提示。學生做完后讓學生說一說是怎樣想的，解答過程是怎

22、樣的。教師評價時，強調思考的突破口和怎樣制造抽屜。）分析：本題如果用第2題的抽屜，顯然已行不通。我們可對每一行利用抽屜原則進行分析。解：因為只有兩種顏色，由抽屜原則知第一行的7個格中至少有4個格著色相同，為確定起見，不妨設前4個格著色相同均著白色。現考慮第二行，若第二行的前4個格中有2個格著白色，則四個角同色的矩形已經存在，所以我們假定第二行的前4個格中至少有3個著黑色，不妨假定前三個格著黑色。又第三行的前3個格至少有2個同色，當有兩個白色時與第一行構成四角同色的矩形，當有2個黑色時與第二行構成四角同色的矩形。四 鞏固練習習題：1、從1，4，7，37，40這14個數中任取8個數，試證：其中至少

23、有兩個數的和是41。2、在一個半徑為10米的圓形旱冰場上有7個人溜冰，那么至少有2個人之間的距離不大于10米，為什么？3、有一批四種顏色的小旗，任意取出三面排成一行，表示各種信號，證明：在200個信號中至少有4個信號完全相同。4、一副撲克牌有四種花色，每種花色有13張，從中任意抽牌，問最少要抽幾張牌，才能保證有四張牌是同一花色的？5、證明：在自然數1至100中任取21個數，其中一定有兩個數的差（大數減小數）小于5。答案：1、對這14個人按如下分組（1，40）；（4，37）；（7，34），（10，31）；（13，28）；（16，25）；（19，22）共7組，從這7組中任取8個數，則必有兩數是從同

24、一組中取出的所以它們的和是41。2、如圖6，把旱冰場分成6個相同的小扇形，把每個小扇形看作是一個抽屜，則7個人中至少有兩個人在同一抽屜里，而每個小扇形中任意兩點間的距離不超過圓的半徑10米，所以至少有2個人之間的距離不大于10米。3、四種顏色的小旗取出三面共可組成4×4×4=64種信號（注三面可以是同色的），則將200看作蘋果，64種信號看作64個抽屜，由抽屜原則知至少有4個蘋果在同一抽屜中，即至少有4個信號完全相同。4、分析：每種花色看成是一個抽屜，共有4個抽屜，放入1至4張牌，可能每種花色至多各一張，從而不能保證一定有同花色的牌出現，放入5至8張牌，可能每種花色至多兩張

25、牌，放入19至12張牌，可能每種花色至多3張牌，但放入13張牌，就一定有四張牌是同花色的。解：4-13（相當于m3，n4）抽出3×4+1張牌，一定有保證有3+1張牌是同花色的，故至少要抽出十三張牌。5、分析：由最后一句話“兩個數的差小于5”可以知道我們要造的抽屜應滿足：“抽屜中已有數，且任意兩數之差小于5”。由“取21個數就可保證有2個數是在一個抽屜中取出的” 由此可知我們應造出20個抽屜。解：將1100按如下分組，構成20個抽屜：（1，2，3，4，5）；（6，7，8，9，10）；（11，12，13，14，15）；（16，17，18，19，20）；（21，22，23，24，25）；（

26、26，27，28，29，30）；（31，32，33，34，35）；（36，37，38，39，40）；（41，42，43，44，45）；（46，47，48，49，50）；（51，52，53，54，55）；（56，57，58，59，60）；（61，62，63，64，65）；（66，67，68，69，70）；（71，72，73，74，75）；（76，77，78，79，80）；（81，82，83，84，85）；（86，87，88，89，90）；（91，92，93，94，95）；（96，97，98，99，100）。從1100這100個數中任取21個數即為：從這20個抽屜中任取21個數，由抽屜原理知至少有

27、兩個數是在同一個抽屜中取出的，那么這兩個數的差必小于5（得證）。六：全課總結。讓學生說說學到了什么，什么是抽屜原理？根據你所知道的說說抽屜原理能解決那些實際問題，應用抽屜原理解決實際問題時的關鍵是什么？解題步驟是怎樣的？根據學生回答，教師板書解題思路和步驟：（1） 構造抽屜；（2） 把物體放入抽屜或從抽屜中取物體；（3） 說明理由；（4） 描述結論。解題關鍵：合理、正確地構造抽屜。要抓住主要的基本關系進行分類，設計抽屜的性質和個數。七、課后作業。 一、填空。 買回3本書，全部放入2個抽屜中，如果規定每個抽屜至少有一本書，則肯定有一個抽屜放入（ ）本書；四個蘋果放入3個盤子中，則至少有一個盤子中

28、至少放（ ）個或更多蘋果；一年有53個星期，班上有54個同學，則肯定至少有（ ）個同學的生日在同一星期。 二、解答問題。 1、黑色、白色、黃色的筷子各8根，混雜放在一起，黑暗中想從這些筷子之中取出顏色不同的兩雙筷子，問至少要取多少根筷子才能保證達要求？2、 一個袋中放有100個小球，其中28個紅球，20個綠球，12個黃球，20個藍球，10個白球，10個黑球，問應從袋中摸出最少多少只小球，才能確保有15個同色的球。3、 證明： （1）任取12個整數，證明一定有兩數之差是11的倍數。 （2）任取3個自然數，證明一定有兩個數之和是偶數。4、用黑、白兩種顏色把一個2×5（即2行5列）的長方形

29、中的每個小方格都隨意染一種顏色.證明：必有兩列，它們的涂色方式完全相同。答案： 二、1、分析：黑色、白色黃色可以看成3個抽屜，筷子則看為蘋果，每抽出4根筷子，放進3個抽屜，必有某個抽屜中至少有兩根，就是有一雙，取出這一雙筷子再補充2根筷子，則又有四根筷子，又可取出一雙，但已取出的兩雙可能同色，最不利的情況下，可能取出四雙同色的，此時這種顏色的筷子已經沒有了，抽屜減少一個，故只要再放三根筷子，就又可得出一雙與前不同色的筷子。解：至少要取8+3=11根筷子二、2、最少摸出(10+10+12)+43=75個球 二、3、（1）全體整數被11除，余數有0、1、2、310共11種，這12個數按各自的余數的大小，分別放入這12個抽屜中，至少有一個抽屜中有兩個數，這兩個數的差能被11整除