1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上一、誤差公理誤差：測(cè)量和實(shí)驗(yàn)所得的數(shù)據(jù)和被測(cè)量真值之差。公理：一切測(cè)量存在誤差，自始自終存在于一切科學(xué)實(shí)驗(yàn)中。二、研究誤差的意義1、正確認(rèn)識(shí)誤差性質(zhì)，分析產(chǎn)生誤差原因，以減少或消除。 2、正確處理測(cè)量和實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，合理計(jì)算結(jié)果，以得到更接近真值的數(shù)據(jù)。3、正確組織實(shí)驗(yàn)過(guò)程，合理設(shè)計(jì)、選用一起和測(cè)量方法，以在最經(jīng)濟(jì)條件下，得到最理想結(jié)果。 4、研究誤差可促進(jìn)理論發(fā)展。（如雷萊研究：化學(xué)方法、空氣分離方法。制氮?dú)鈺r(shí)，密度不同，導(dǎo)致后人發(fā)現(xiàn)惰性氣體。）第二節(jié) 誤差基本概念一、誤差定義及表示方法（一）定義：被測(cè)量的值與真值差異在數(shù)值上的表現(xiàn)誤差。誤差=測(cè)得尺寸真實(shí)尺寸例如：在長(zhǎng)

2、度測(cè)量中，測(cè)量某一尺寸的誤差公式可表示為：誤差=測(cè)得值真值。（二）誤差表示方法（測(cè)量誤差可用絕對(duì)誤差表示，也可用相對(duì)誤差表示）1、絕對(duì)誤差（測(cè)量誤差）（absolute error）： 絕對(duì)誤差=測(cè)得值真值。 方向（+ ）、單位、大小。 真值：被測(cè)量的真實(shí)大小。常用實(shí)際值代替真值。（真值是一個(gè)理想的概念，一般是不知道的，通過(guò)測(cè)量得到的是真值的近似值，但在某些特定的情況下，真值又是可知的。如理論值三角形內(nèi)角之和180度；定義值（按定義人為規(guī)定的）國(guó)際千克基準(zhǔn)的值可認(rèn)為是1kg等；實(shí)際值滿足規(guī)定精確度的用來(lái)代替真值的量值。 在實(shí)際工作中常用到修正值：為減少或消除系統(tǒng)誤差一種處理方法。 修正值（co

3、rrection）=真值測(cè)量值=絕對(duì)誤差 修正結(jié)果（correction result）是將測(cè)得值加上修正值后的測(cè)量結(jié)果，這樣可提高測(cè)量準(zhǔn)確度。 例1-1。用某電壓表測(cè)量電壓，電壓表的示值為226V，查該表的檢定證書(shū)，得知該電壓表在220V附近的誤差為5V ，被測(cè)電壓的修正值為5V ，則修正后的測(cè)量結(jié)果為226+(5V )=221V。 （226V測(cè)得值，220V真值，5V絕對(duì)誤差）2、相對(duì)誤差（relative error）： 相對(duì)誤差：（1）有大小、方向（+ ）、無(wú)單位。常用%表示。（2）對(duì)于相同的被測(cè)量，可用絕對(duì)誤差評(píng)定精度。對(duì)于不同的被測(cè)量或不同的物理量，可用相對(duì)誤差評(píng)定精度。例1-1

4、用兩種方法來(lái)測(cè)量的尺寸，其測(cè)量誤差分別為，根據(jù)絕對(duì)誤差大小，可知后者的測(cè)量精度高。但若用第三種方法測(cè)量的尺寸，其測(cè)量誤差為，此時(shí)用絕對(duì)誤差就難以評(píng)定它與前兩種方法精度的高低，必須采用相對(duì)誤差來(lái)評(píng)定。 第一種方法的相對(duì)誤差為： 第二種方法的相對(duì)誤差為： 第三種方法的相對(duì)誤差為： 由此可見(jiàn)，第一種方法精度最低，第二種方法精度最高。例1-2 絕對(duì)誤差和相對(duì)誤差的比較 用1m測(cè)長(zhǎng)儀測(cè)量0.01m長(zhǎng)的工件，其絕對(duì)誤差但用來(lái)測(cè)量1m長(zhǎng)的工件，其絕對(duì)誤差為0.0105m。前者的相對(duì)誤差為： 后者的相對(duì)誤差為： 用絕對(duì)誤差不便于比較不同量值、不同單位、不同物理量等的準(zhǔn)確度。3、引用誤差：指的是儀器儀表表示值的

5、相對(duì)誤差。儀器儀表示值誤差=示值真值 引用誤差=示值誤差/測(cè)量范圍上限 有大小，有方向，無(wú)單位，相對(duì)量程而言。例1-3 測(cè)量范圍上限為的工作測(cè)力計(jì)（拉力表），在標(biāo)定示值為處的實(shí)際作用力為，則此測(cè)力計(jì)在該刻度點(diǎn)的引用誤差為： 4、基本誤差：儀器儀表在規(guī)定的正常工作條件下的最大引用誤差。 正常條件：如規(guī)定的電源電壓波動(dòng)：。 環(huán)溫波動(dòng)：我國(guó)對(duì)電工儀表按基本誤差分為7個(gè)精度等級(jí)：0.1 0.2 0.5 1.0 1.5 2.5 5 。 這里的精度等級(jí)是基本誤差去掉百分號(hào)后的絕對(duì)值。記為如基本誤差為。則精度為0.5級(jí)。如儀表基本誤差為，則該儀表精度為1。例 某待測(cè)電壓90V，變化左右，現(xiàn)有0.5級(jí)0300

6、V和1.0級(jí)100V電壓表各一塊，問(wèn)選用哪塊表測(cè)得精度高？ 解：選0.5級(jí)測(cè)90V時(shí)最大相對(duì)誤差： 選1.0級(jí)測(cè)90V時(shí)最大相對(duì)誤差： 可見(jiàn)用1.0級(jí)好。說(shuō)明：（1）量程相同的表，精度等級(jí)高，測(cè)量精度高。 量程不同的表，精度等級(jí)高，測(cè)量精度不見(jiàn)得高。 （2）儀表量程選用最好測(cè)量值在量程2/3左右為好，能充分發(fā)揮儀表精度等級(jí)作用。重復(fù)性：相同條件下（裝置環(huán)境、人員、方法）教短時(shí)間內(nèi)對(duì)同一量做多次測(cè)量其結(jié)果的一致性。5、不確定度：是誤差大小的測(cè)量度，怎樣理解以后介紹。二、誤差來(lái)源 在測(cè)量過(guò)程中，按誤差產(chǎn)生的原因可歸納為：（一）測(cè)量裝置誤差1、標(biāo)準(zhǔn)量具誤差：以固定形式復(fù)現(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)量具的器具，如氪86燈管

7、、標(biāo)準(zhǔn)量塊、標(biāo)準(zhǔn)電池、標(biāo)準(zhǔn)電阻、標(biāo)準(zhǔn)砝碼等，它們本身體現(xiàn)的量值，不可避免地都含有誤差。2、儀器誤差：直接或間接將被測(cè)量和已知量進(jìn)行比較的器具設(shè)備，如天平、壓力計(jì)、溫度計(jì)等本身都具有誤差。3、附件誤差：儀器的附件及附屬工具，如千分尺的調(diào)整量棒等的誤差，也會(huì)引起測(cè)量誤差。（二）環(huán)境誤差測(cè)量時(shí)各種環(huán)境因數(shù)與規(guī)定的標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)不一致造成的誤差，如溫度、濕度、氣壓、振動(dòng)、照明、g、電磁場(chǎng)等儀器在規(guī)定條件下的誤差為基本誤差，超出規(guī)定條件所增加的誤差為附加誤差。（三）、方法誤差由于測(cè)量方法不完善所引起的誤差。如測(cè)軸周長(zhǎng)s，再由求直徑，取值不同，將會(huì)引起誤差。（四）、人員誤差分辨能力、視覺(jué)器官的生理變化、習(xí)慣、疏

8、忽等引起的誤差。三、誤差分類按誤差的特點(diǎn)和性質(zhì)，誤差可分為系統(tǒng)誤差、隨機(jī)誤差（也稱偶然誤差）和粗大誤差三類。（一）系統(tǒng)誤差（systematic error）：在相同條件下，多次測(cè)量同一量值時(shí)，該誤差的絕對(duì)值和符號(hào)保持不變，或者在條件改變時(shí)，按某一確定規(guī)律變化的誤差系統(tǒng)誤差。 如標(biāo)準(zhǔn)量值不準(zhǔn)、一起刻度不準(zhǔn)確引起的誤差。 系統(tǒng)誤差又可按下列分類：1、按對(duì)誤差掌握的程度分（1）已定系統(tǒng)誤差：指誤差的絕對(duì)值和符號(hào)已確定（2）未定系統(tǒng)誤差：指誤差的絕對(duì)值和符號(hào)未確定，但可的出誤差范圍。2、按誤差出現(xiàn)規(guī)律分（1）不變系統(tǒng)誤差：（指絕對(duì)值和符號(hào)一定）相當(dāng)于以定系統(tǒng)誤差。（2）變化系統(tǒng)誤差：（指絕對(duì)值和符號(hào)

9、為變化）相當(dāng)于未定系統(tǒng)誤差，但變化規(guī)律可知，如線性、周期性等。（二）隨機(jī)誤差（random error） 在相同測(cè)量條件下，多次測(cè)量同一量值時(shí)，絕對(duì)值和符號(hào)以不可預(yù)定方式變化的誤差隨機(jī)誤差。 如儀器儀表中傳動(dòng)部件的間隙和摩擦、連接部件的彈性變形等引起的示值不穩(wěn)定。（三）粗大誤差指明顯超出統(tǒng)計(jì)規(guī)律預(yù)期值的誤差粗大誤差。又稱為疏忽誤差、過(guò)失誤差、寄生誤差或簡(jiǎn)稱粗差。 如測(cè)量方法不當(dāng)或錯(cuò)誤，測(cè)量操作疏忽和失誤（如未按規(guī)程操作、讀錯(cuò)讀數(shù)或單位、記錄或計(jì)算錯(cuò)誤等）。測(cè)量條件的突然變化（如電源電壓突然增高或降低、雷電干擾、機(jī)械沖擊和振動(dòng)等）。由于該誤差很大，明顯歪曲了測(cè)量結(jié)果。故應(yīng)按照一定的準(zhǔn)則進(jìn)行判別，

10、將含有粗大誤差的測(cè)量數(shù)據(jù)（稱為壞值或異常值）予以剔除。 上述三種誤差在一定條件下可以相互轉(zhuǎn)換，特別是系統(tǒng)誤差與隨機(jī)誤差之間并沒(méi)有完全界限。系統(tǒng)誤差是一種可知的誤差，因而可以修正；隨機(jī)誤差是一種未知的誤差，但可以用數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)處理方法去減小。第三節(jié) 精 度定義：反映測(cè)量結(jié)果與真值接近程度的量。與誤差的大小相對(duì)應(yīng)，因此可用誤差大小來(lái)表示精度的高低，誤差小則精度高，誤差大則精度低。 精度可分為：（1）準(zhǔn)確度：系統(tǒng)誤差（2）精密度：隨機(jī)誤差（3）精確度：系統(tǒng)誤差和隨機(jī)。其定量特征可用測(cè)量的不確定度（極限誤差）來(lái)表示。精度在數(shù)量上可用相對(duì)誤差表示，如相對(duì)誤差為0.0.%，可以說(shuō)精度為。準(zhǔn)確度、正確度和精密度

11、三者之間的關(guān)系：對(duì)于具體測(cè)量，精密度高的而準(zhǔn)確度不一定高，準(zhǔn)確度高的而精密度也不一定高，但精確度高，則精密度和準(zhǔn)確度都高。 圖1-1a：彈著點(diǎn)全部在靶上，但分散。相當(dāng)于系統(tǒng)誤差小而隨機(jī)誤差大，即精密度低，正確度高。b：彈著點(diǎn)集中，但偏向一方，命中率不高。相當(dāng)于系統(tǒng)誤差大而隨機(jī)誤差小，即精密度高，正確度低。c：彈著點(diǎn)集中靶心。相當(dāng)于系統(tǒng)誤差與隨機(jī)誤差均小，即精密度、正確度都高，從而準(zhǔn)確度亦高。第四節(jié) 有效數(shù)字與數(shù)據(jù)運(yùn)算 測(cè)量結(jié)果還有誤差，測(cè)量結(jié)果的數(shù)據(jù)位數(shù)應(yīng)以測(cè)量精度為依據(jù)。位數(shù)超出精度，即費(fèi)時(shí)間又無(wú)意義，低于精度，則損失精度。一、有效數(shù)字 含有誤差的任何近似數(shù)，如果其絕對(duì)誤差界是最末位數(shù)的半個(gè)

12、單位，那么從這個(gè)近似數(shù)左方起的第一個(gè)非0的數(shù)字，稱為第一位有效數(shù)字。從第一位有效數(shù)字起到列最末一位數(shù)字止的所有數(shù)字，無(wú)論0或非0，都是有效數(shù)字。例如：3.14 第一位有效數(shù)字為3，共有3位有效數(shù)字。 0.0027 第一位有效數(shù)字為2，共有2位有效數(shù)字。 0.00270 第一位有效數(shù)字為2，共有3位有效數(shù)字。若近似數(shù)右邊有若干個(gè)0，寫(xiě)成 則有幾個(gè)有效數(shù)字反映近似數(shù)的有效位數(shù)。例如： 4位有效數(shù)字 3位有效數(shù)字 2位有效數(shù)字 測(cè)量結(jié)果最末一位有效數(shù)字應(yīng)與測(cè)量精度同一量級(jí)。例 千分尺精度為0.01mm，若測(cè)出L=20.531mm，小數(shù)點(diǎn)后第2位已不可靠，第三位更不可靠，則L=20.53mm。測(cè)量結(jié)果

13、應(yīng)保留的位數(shù)原則：最末一位不可靠，倒數(shù)第2位應(yīng)可靠。測(cè)量誤差取12位有效數(shù)字。所以 。重要測(cè)量時(shí)。測(cè)量結(jié)果和測(cè)量誤差多取一位參考數(shù)字，如。二、數(shù)字舍入規(guī)則（湊整）（1）若舍去部分的數(shù)值，大于保留部分末位的半個(gè)單位，則末位加1。（2）若舍去部分的數(shù)值，小于保留部分末位的半個(gè)單位，則末位不變。（3）若舍去部分的數(shù)值，等于保留部分末位的半個(gè)單位，則末位湊成偶數(shù)，即當(dāng)末位為偶數(shù)時(shí)則末位不變，當(dāng)末位為奇數(shù)時(shí)末位加1。例 按舍入規(guī)則，將下列數(shù)據(jù)保留4位有效數(shù)據(jù)進(jìn)行湊整。 原有數(shù)據(jù) 舍入后數(shù)據(jù) 根據(jù)規(guī)則 3.14159 3.142 （1） 2.71729 2.717 （2） 4.51050 4.510 （3

14、）前 3.21550 3.216 （3）后 7. 7.691 （2）按上述規(guī)定，一次舍入得結(jié)果。歸納為：“四舍六六逢五取偶”。數(shù)字舍入造成誤差，因?yàn)椋?）從而使舍入誤差成為隨機(jī)誤差，避免4舍5入產(chǎn)生的系統(tǒng)誤差。三、數(shù)據(jù)運(yùn)算規(guī)則 在有效數(shù)據(jù)后多保留一位參考（安全）數(shù)字。（1）近似加減運(yùn)算。結(jié)果應(yīng)與小數(shù)位數(shù)最少的數(shù)據(jù)小數(shù)位數(shù)相同。例如 2643.0+987.7+4.187+0.2354=？2643.0+987.7+4.19+0.24=3635.1（2）近似乘除運(yùn)算。運(yùn)算以有效位最少的數(shù)據(jù)位數(shù)多取一位，結(jié)果位數(shù)相同。例如 15.134.12=62.3（3）近似平方或開(kāi)方運(yùn)算。 按乘除運(yùn)算處理。（4）

15、對(duì)數(shù)運(yùn)算。 n位有效數(shù)字的數(shù)據(jù)該用n 位對(duì)數(shù)表，或（n+1）位對(duì)數(shù)表。（5）三角函數(shù)。角度誤差 函數(shù)值位數(shù) 5 6 7 8第二章 誤差的基本性質(zhì)與處理第一節(jié) 隨機(jī)誤差在測(cè)量誤差分類中，已提到系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差是不同性質(zhì)的誤差，因此對(duì)它們的處理方法也不同。這一節(jié)是在假設(shè)粗大誤差和系統(tǒng)誤差已被排除的前提下來(lái)討論隨機(jī)誤差的。本節(jié)介紹隨機(jī)誤差產(chǎn)生的原因，隨機(jī)誤差的本質(zhì)特征以及減少隨機(jī)誤差的技術(shù)途徑。本節(jié)的重點(diǎn)和難點(diǎn)：v 隨機(jī)誤差產(chǎn)生的原因v 隨機(jī)誤差的本質(zhì)特征v 算術(shù)平均值v 貝塞爾公式v 試驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)差v 測(cè)量結(jié)果的最佳估計(jì)定義：在相同條件下多次重復(fù)測(cè)量同一量時(shí)，以不可預(yù)定的方式變化的（但具有統(tǒng)計(jì)規(guī)律的

16、）測(cè)量誤差隨機(jī)誤差。（在等精度測(cè)量條件下）一、隨機(jī)誤差產(chǎn)生的原因1、測(cè)量裝置方面：零部件配合的不穩(wěn)定性，零部件的變形，零件表面油膜不均勻，摩擦等。2、環(huán)境方面：溫度、氣壓、，光照強(qiáng)度、灰塵及電磁場(chǎng)變化。3、人員方面：瞄準(zhǔn)方向的不穩(wěn)定，讀數(shù)的不穩(wěn)定。二、隨機(jī)誤差的統(tǒng)計(jì)特性正態(tài)分布多數(shù)隨機(jī)誤差服從正態(tài)分布，有以下四個(gè)特征；1、對(duì)稱性：絕對(duì)值相等的正誤差與負(fù)誤差出現(xiàn)的次數(shù)相等。2、單峰性：絕對(duì)值小的誤差比絕對(duì)值大的誤差出現(xiàn)的次數(shù)多。3、有界性：在一定的測(cè)量條件下，隨機(jī)誤差的絕對(duì)值不會(huì)超過(guò)一定界限。4、抵償性：隨著測(cè)量次數(shù)增多，隨機(jī)誤差的算術(shù)平均值趨于零。服從正態(tài)分布的隨機(jī)誤差具有上面四條特征。由于多

17、數(shù)隨機(jī)誤差都服從正態(tài)分布，所以正態(tài)分布在誤差理論中占有較重要的地位。隨機(jī)誤差的正態(tài)分布規(guī)律： 設(shè)被測(cè)量的真值為，一系列測(cè)得值為。則測(cè)量列中的隨機(jī)誤差為 （2-1） 式中。 正態(tài)分布密度和分布函數(shù)為 （2-2）記為 （2-3）（一般），在內(nèi)概率。）標(biāo)準(zhǔn)差（方均根誤差） 自然對(duì)數(shù)的底=2.7182。 它的數(shù)學(xué)期望為 （2-4）它的方差為 （2-5）其平均誤差為 （2-6）此外由 可解得或然誤差為 （2-7）正態(tài)分布曲線以及各精度參數(shù)在圖中的坐標(biāo)。曲線上拐點(diǎn)A的橫坐標(biāo) 曲線右半部面積重心B的橫坐標(biāo)右半部面積的平分線的橫坐標(biāo)。三、算術(shù)平均值1、公理：一系列等精度測(cè)量，則 。 真值 隨機(jī)誤差的代數(shù)和：

18、（2-8） 根據(jù)正態(tài)分布隨機(jī)誤差的對(duì)稱性，當(dāng)，所以 即無(wú)限多次測(cè)量的算術(shù)平均值即為真值。2、殘差：但有限次測(cè)量的算術(shù)平均值真值是有誤差的，只能近似真值。 殘余誤差=測(cè)量值平均值 即 的殘余誤差 （2-9）殘余誤差的代數(shù)和： 即殘余誤差的代數(shù)和等于零，即與次數(shù)無(wú)關(guān)，而必須，即與測(cè)量次數(shù)有關(guān)。3、算術(shù)平均值的簡(jiǎn)便算法：任選一個(gè)接近所有測(cè)得值的數(shù)。計(jì)算 令， 則 （2-10）例2-1測(cè)量某物理量10次，結(jié)果見(jiàn)表，求 序號(hào) 1 1879.64 -0.01 0 2 1879.69 0.04 +0.05 3 1879.60 +0.05 -0.04 10 1879.65 0 +0.01任選參考值=1879.

19、65，計(jì)算和列于表中，很容易求得算術(shù)平均值=1879.644、算術(shù)平均值的校核方法： 因?yàn)椋钥梢愿鶕?jù)殘差代數(shù)和的性質(zhì)來(lái)校核和。但是根據(jù)有效數(shù)字，數(shù)據(jù)運(yùn)算和數(shù)字舍入規(guī)則，在計(jì)算時(shí)，在小數(shù)位數(shù)較多或除不盡的情況下，對(duì)進(jìn)行湊整，所以實(shí)得的可能為經(jīng)過(guò)湊整的非準(zhǔn)確數(shù)，存在舍入誤差。，而。 校核規(guī)則為：（1）應(yīng)符合：當(dāng)，求得的為非湊整的準(zhǔn)確數(shù)時(shí)，； （2-11）當(dāng)，求得的為湊整的非準(zhǔn)確數(shù)時(shí)，則；當(dāng)，求得的為湊整的非準(zhǔn)確數(shù)時(shí)，則。否則有誤；（2）應(yīng)符合： 當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，則； 當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，則； A為 末位數(shù)的一個(gè)單位。 多數(shù)情況下用規(guī)則（2）來(lái)校核。例2-2 用例2-1數(shù)據(jù)，對(duì)計(jì)算結(jié)果進(jìn)行校核。因?yàn)閚為

20、偶數(shù)， A=0.01由上頁(yè)表可知 ，故計(jì)算結(jié)果正確。例2-3 測(cè)量某直徑11次，結(jié)果如下，求并進(jìn)行校核。 序號(hào) 1 2000.07 +0.003 2 2000.05 -0.017 3 2000.09 +0.023 11 2000.07 +0.003 解：算術(shù)平均值，取。 用（1）校核則有： 說(shuō)明結(jié)果正確。用（2）校核則有： ，A=0.001mm。 也說(shuō)明正確。四、測(cè)量的標(biāo)準(zhǔn)差（方均根誤差）（一）測(cè)量列中單次測(cè)量的標(biāo)準(zhǔn)差1、方差：定義：等精度測(cè)量列無(wú)窮多個(gè)隨機(jī)誤差平方的平均值。2、標(biāo)準(zhǔn)差： 定義：方差的正方根稱為標(biāo)準(zhǔn)差。 3、方差與標(biāo)準(zhǔn)差的意義： 若一列等精度測(cè)量符合正態(tài)分布，即密度函數(shù)。因?yàn)樵?/p>

21、小，則的指數(shù)的絕對(duì)值越大。最大密度函數(shù)值越大，則鐘形曲線越尖瘦，即可能產(chǎn)生的隨機(jī)誤差的最大值越小，任一單次測(cè)得值對(duì)的分散度就小，測(cè)量精度高（如1）。反之，越大，測(cè)量的精度低，如（3）因此是表征同一被測(cè)量n次測(cè)量的測(cè)得值分散度的參數(shù)。可作為單次測(cè)量不可靠性的評(píng)定標(biāo)準(zhǔn)，是說(shuō)明隨機(jī)誤差的主要特征的量。 （2-12）n測(cè)量次數(shù) （真值）（真值）未知時(shí)，可用殘余誤差代替真值誤差。從而得到標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)值。由得：（推導(dǎo)貝塞爾公式） （2-13）為算術(shù)平均值的誤差。 （2-13）式相加 （2-15）見(jiàn)（2-11）（2-13）式平方后相加 （2-16）將（2-15）式平方 當(dāng)n適當(dāng)大時(shí)，可認(rèn)為趨近于零，并將代入

22、（2-16）得 （2-17）由式（2-12）可知 代入式（2-17）得 （2-18）貝塞爾（Bessel）公式 是方差的無(wú)偏估計(jì)，但s并不是標(biāo)準(zhǔn)差的無(wú)偏估計(jì)。為殘余誤差，簡(jiǎn)稱殘差。式（2-18）稱為貝塞爾（Bessel）公式，根據(jù)此式可由殘余誤差求得單次測(cè)量的標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)值。評(píng)定單次測(cè)量不可靠性的參數(shù)還有或然誤差和平均誤差，用殘余誤差表示： （2-19） （2-20）（二）測(cè)量列算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差如在相同條件下對(duì)同一量值做多組重復(fù)的系列測(cè)量，每一列測(cè)量都有一個(gè)算術(shù)平均值，由于隨機(jī)誤差，各列的算術(shù)平均值也不相同。圍繞真值有一定的分散，算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差則表征各列分散性的參數(shù)。已知： 取方差： 參

23、考（2-12）因?yàn)?故有 所以 （見(jiàn)（2-5）式） （2-21）結(jié)論：在次等精度測(cè)量列中，為單次測(cè)量標(biāo)準(zhǔn)差的。與的關(guān)系：一定時(shí)，當(dāng)，減少緩慢。另外，當(dāng)愈大時(shí)，測(cè)量條件越難以恒定，從而帶來(lái)新的誤差。所以取較為合適。或然誤差： （2-22） 平均誤差： （2-23）用殘差表示： （2-24） （2-25）例2-4 略（三）標(biāo)準(zhǔn)差的其他算法1、別捷爾斯法（Peters）由Beseel公式 則平均誤差為： 由式（2-6）得 Peters公式： （2-26）算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差 （2-27）例2-5 略2、極差法（簡(jiǎn)便） Beseel、Peters公式均需先求，再求，后求。復(fù)雜。 （2-28） （兩者從服

24、從正態(tài)分布的中選出。）根據(jù)極差的分布函數(shù)，可求出極差的數(shù)學(xué)期望 （2-29）因?yàn)?，故可得的無(wú)偏估計(jì)值 （2-30）式中的數(shù)值見(jiàn)表2-4（略）（見(jiàn)） 例2-6略3、最大誤差法 真值已知，選取隨機(jī)誤差，當(dāng)服從正態(tài)分布。 （ =|真值測(cè)量值| ） （2-31） 真值未知，選取殘余誤差，當(dāng)服從正態(tài)分布。 （ ） （2-32）和見(jiàn)表表2-5 例2-7、2-8略 以上四種方法Beseel最佳。 例 對(duì)某量測(cè)得數(shù)據(jù)7.7,7.7,7.5,7.7,7.7,7.7,7.9,7.6,7.7,7.8,7.9，試分別用貝塞爾公式、極差法、最大誤差法估計(jì)其測(cè)量標(biāo)準(zhǔn)差及其標(biāo)準(zhǔn)差的相對(duì)標(biāo)準(zhǔn)差。解：(1) 用貝塞爾公式估算

25、 查表，并插值計(jì)算 ， (2) 用極差法估算 查表，得 故 （3）用最大誤差法估算真值未知，計(jì)算最大殘差 查表，插值計(jì)算得 故 五、測(cè)量的極限誤差 測(cè)量的極限誤差是極端誤差，測(cè)量結(jié)果（單次測(cè)量或測(cè)量列的）的誤差不超過(guò)該極限誤差的概率為P，并使可予忽略。（一）單次測(cè)量的極限誤差 隨機(jī)誤差正態(tài)分布曲線下的面積相當(dāng)于全部誤差出現(xiàn)的概率。即 而隨機(jī)誤差在至范圍內(nèi)的概率密度為 （2-33）引入新的變量t ，經(jīng)變換，上式成為 （2-34）式（2-34）為概率積分，不同t的值可由附錄表1查出。（二）算術(shù)平均值的極限誤差算術(shù)平均值誤差：當(dāng)多個(gè)測(cè)量列的算術(shù)平均值誤差為正態(tài)分布，同樣可得算術(shù)平均值的極限誤差的表達(dá)

26、式： （2-37）式中，為置信系數(shù)；為算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差。 （2-38）當(dāng)測(cè)量列的測(cè)量次數(shù)較少時(shí)，應(yīng)按“學(xué)生氏”分布或稱t分布計(jì)算。即 （2-39）式中置信系數(shù)，由給定的置信概率和自由度來(lái)確定，具體數(shù)值將附表3（t分布表），為超出誤差的概率（稱顯著度或顯著水平）常取。n為測(cè)量次數(shù)。對(duì)同一測(cè)量列，按正態(tài)分布和t分布分別計(jì)算，即使置信概率的取值相同，但由于置信系數(shù)不同，求出的也不同。例2-9 對(duì)某量進(jìn)行6次測(cè)量，測(cè)得數(shù)據(jù)如下： 802.40 802.50 802.38 802.48 802.42 802.46 求和解： 因測(cè)量次數(shù)較少，應(yīng)按t分布求，已知，取=0.01，由附表3查出。所以若按正態(tài)分

27、布計(jì)算，相應(yīng)，由附錄表1查得，則算術(shù)平均值的極限誤差為 由此可見(jiàn)，當(dāng)測(cè)量次數(shù)較少時(shí)，兩種分布計(jì)算的結(jié)果顯然不同。第二節(jié)系統(tǒng)誤差教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)：v 系統(tǒng)誤差產(chǎn)生的原因v 系統(tǒng)誤差的特征v 系統(tǒng)誤差的發(fā)現(xiàn)v 系統(tǒng)誤差的統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)v 系統(tǒng)誤差減少和消除的方法一、系統(tǒng)誤差產(chǎn)生的原因 系統(tǒng)誤差是由固定不變的或按確定規(guī)律變換的因數(shù)所造成，這些誤差因數(shù)是可以掌握的。（1）測(cè)量裝置的因素：儀器設(shè)計(jì)原理的缺陷，如齒輪杠桿測(cè)微儀直線位移和轉(zhuǎn)角不成比例的誤差；儀器制造和安裝的不正確，如標(biāo)尺的刻度誤差、刻度盤和指針的安裝偏心、儀器導(dǎo)軌的誤差；計(jì)量校準(zhǔn)后發(fā)現(xiàn)的偏差，如標(biāo)準(zhǔn)環(huán)規(guī)的直徑偏差。 （2）測(cè)量環(huán)境的因素：測(cè)量時(shí)的實(shí)

28、際溫度對(duì)標(biāo)準(zhǔn)溫度的偏差，對(duì)測(cè)量結(jié)果可以按確定規(guī)律修正的誤差等等（3）測(cè)量方法的因素：采用近似的測(cè)量方法或近似的計(jì)算公式等所引起的誤差； （4）測(cè)量人員的因素：由于測(cè)量者固有的測(cè)量習(xí)性，如讀出刻度上讀數(shù)時(shí)，習(xí)慣于偏于某一個(gè)方向，記錄動(dòng)態(tài)測(cè)量數(shù)據(jù)時(shí)總有一個(gè)滯后的傾向等。 二、系統(tǒng)誤差的特征 系統(tǒng)誤差特征是在同一條件下，多次測(cè)量同一量值時(shí)，誤差的絕對(duì)值和符號(hào)保持不變，或在條件改變時(shí)，誤差按一定的規(guī)律變化。 (a) 無(wú)補(bǔ)償性：影響算術(shù)平均值的估計(jì) (b) 可變系統(tǒng)誤差影響測(cè)量結(jié)果分散性的估計(jì)（1）不變系統(tǒng)誤差：在整個(gè)測(cè)量過(guò)程中，誤差大小和符號(hào)均固定不變的。（2）線性變化的系統(tǒng)誤差：在整個(gè)測(cè)量過(guò)程中，隨

29、著測(cè)量位置或時(shí)間的變化，誤差值成比例地增大或減小。（3）周期性變化的系統(tǒng)誤差：在整個(gè)測(cè)量過(guò)程中，隨著測(cè)量位置或時(shí)間的變化，誤差按周期性規(guī)律變化的。（4）復(fù)雜規(guī)律變化的系統(tǒng)誤差：在整個(gè)測(cè)量過(guò)程中，隨著測(cè)量位置或時(shí)間的變化，誤差按確定的更為復(fù)雜的規(guī)律變化。a：不變系統(tǒng)誤差 b：線性變化的系統(tǒng)誤差c：非線性變化的系統(tǒng)誤差d：周期性變化的系統(tǒng)誤差e：復(fù)雜規(guī)律變化的系統(tǒng)誤差三、系統(tǒng)誤差的發(fā)現(xiàn)（一）實(shí)驗(yàn)對(duì)比法（適用于不變的系統(tǒng)誤差）： 改變產(chǎn)生系統(tǒng)誤差的條件進(jìn)行不同條件的測(cè)量。（二）殘差觀察法（適用于發(fā)現(xiàn)有規(guī)律變化的系統(tǒng)誤差）： 根據(jù)測(cè)量列的各個(gè)殘差大小和符號(hào)的變化規(guī)律，直接由誤差數(shù)據(jù)或誤差曲線圖形來(lái)判斷

30、有無(wú)系統(tǒng)誤差。若有測(cè)量列，它們的系統(tǒng)誤差，它們不含系統(tǒng)誤差的值為。則有， ，。它們的算術(shù)平均值為。因?yàn)椋?為系統(tǒng)誤差的算術(shù)平均值。故有： （2-82）若系統(tǒng)誤差隨機(jī)誤差，可忽略，則 （2-83） 結(jié)論；任一測(cè)量值的殘差為系統(tǒng)誤差與測(cè)量列系統(tǒng)系統(tǒng)誤差平均值之差圖（a）說(shuō)明各殘差大體正負(fù)相間，無(wú)顯著變化規(guī)律，故無(wú)根據(jù)懷疑有可變系統(tǒng)誤差。圖（b）的殘差數(shù)值有規(guī)律地遞增，且在測(cè)量開(kāi)始與結(jié)束時(shí)誤差符號(hào)相反，則說(shuō)明存在線性遞增的系統(tǒng)誤差。圖（c）的殘差符號(hào)由正變負(fù)，再由負(fù)變正，循環(huán)交替地變化，則說(shuō)明存在周期性系統(tǒng)誤差 圖（d）的殘差值變化既有線性遞增又有周期性變化，則說(shuō)明存在復(fù)雜規(guī)律的系統(tǒng)誤差（三）殘差校

31、核法：1、用于發(fā)現(xiàn)線性系統(tǒng)誤差。（馬利科夫準(zhǔn)則） 根據(jù)式（2-82），將測(cè)量列中前K個(gè)殘差相加，后n-K個(gè)殘差相加（當(dāng)n為偶數(shù)，取；。n為奇數(shù)，）。然后兩者相減得差值。 當(dāng)測(cè)量次數(shù)足夠多時(shí)： 得 （2-84）若顯著不為0，則認(rèn)為測(cè)量列存在線性系統(tǒng)誤差。所以這種方法能有效地發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)誤差。=0時(shí)，仍有可能存在系統(tǒng)誤差，如含定值系統(tǒng)誤差，其均值為0，則=0。2、用于發(fā)現(xiàn)周期性系統(tǒng)誤差。（阿卑赫梅特準(zhǔn)則） 若有一等精度測(cè)量列，按測(cè)量先后順序?qū)⑴帕袨?。如存在周期性系統(tǒng)誤差，則相鄰兩殘差的差值，符號(hào)也將出現(xiàn)周期性的正負(fù)號(hào)變化。用統(tǒng)計(jì)準(zhǔn)則。令 （2-85）若，則認(rèn)為該測(cè)量列中含有周期性系統(tǒng)誤差。（四）不同

32、公式計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差比較法：按Bessel公式 按Peters公式 令，若，則懷疑測(cè)量列中存在系統(tǒng)誤差。 （2-86）（五）計(jì)算數(shù)據(jù)比較法：對(duì)同一量進(jìn)行多組測(cè)量，得到很多數(shù)據(jù)，通過(guò)多組計(jì)算數(shù)據(jù)比較，若不存在系統(tǒng)誤差，其比較結(jié)果應(yīng)滿足隨機(jī)誤差條案件，否則可以認(rèn)為存在系統(tǒng)誤差。若對(duì)同一量獨(dú)立測(cè)量m組結(jié)果，并知它們的和為。而任意兩組結(jié)果之差為，其標(biāo)準(zhǔn)差為。則任意兩組結(jié)果和間不存在系統(tǒng)誤差的標(biāo)志是： （2-87） 例2-15略（六）秩和檢驗(yàn)法 若獨(dú)立測(cè)得兩組數(shù)據(jù)為： 將它們混合后，按大小順序重新排列，取測(cè)量次數(shù)較少的那一組，數(shù)出它的測(cè)量值在混合后的次序9（秩）再將所有測(cè)得值的次序相加，即得秩和T。 當(dāng)兩組測(cè)

33、量次數(shù)，可根據(jù)次數(shù)較少組的次數(shù)和較多的組的次序，由秩和檢驗(yàn)表2-10（P14）查得和（顯著度為0.05），若 ，則無(wú)根據(jù)懷疑兩組間存在系統(tǒng)誤差。 （2-88）例2-16略（七）t檢驗(yàn)法（利用t分布進(jìn)行的檢驗(yàn)）是一個(gè)判斷組間是否存在系統(tǒng)誤差的方法。若獨(dú)立測(cè)得兩組數(shù)據(jù)（服從正態(tài)分布）為 令變量 （2-89）式中： 取顯著度，由t分布表（附錄表3）查得中。若實(shí)測(cè)數(shù)列中算出之，則無(wú)根據(jù)懷疑兩組間有系統(tǒng)誤差。例2-17略上面介紹的七種方法分為兩類，第一類（前四種）用于發(fā)現(xiàn)測(cè)量列組內(nèi)的系統(tǒng)誤差；第二類（后3種）用于發(fā)現(xiàn)各組測(cè)量之間的系統(tǒng)誤差。四、系統(tǒng)誤差的減小和消除（一）從產(chǎn)生根源上消除系統(tǒng)誤差 最理想的

34、方法。它要求對(duì)產(chǎn)生系統(tǒng)誤差的因素有全面而細(xì)致的了解，并在測(cè)試前就將它們消除或減弱到可忽略的程度。視具體條件不同，有： （1）所用基、標(biāo)準(zhǔn)件（如量塊、刻尺、光波波長(zhǎng)等）是否準(zhǔn)確可靠。 （2）所用儀器是否經(jīng)過(guò)檢定，并有有效周期的檢定證書(shū)。 （3）儀器調(diào)整、測(cè)件安裝定位和支承裝卡是否正確合理。 （4） 所用測(cè)量方法和計(jì)算方法是否正確，有無(wú)理論誤差。 （5） 測(cè)量場(chǎng)所的環(huán)境條件是否符合規(guī)定要求，如溫度變化等 （6） 測(cè)量人員主觀誤差，如視差習(xí)慣等。（二）用修正的方法消除系統(tǒng)誤差 預(yù)先將測(cè)量器具的系統(tǒng)誤差檢定出來(lái)或計(jì)算出來(lái)，做出誤差表或誤差曲線，然后取與誤差數(shù)值大小相同而符號(hào)相反的值作為修正值，將實(shí)際測(cè)

35、得值加上相應(yīng)的修正值，即可得到不包含該系統(tǒng)誤差的測(cè)量結(jié)果。這種方法不可能將全部系統(tǒng)誤差修正掉，殘留的可按隨機(jī)誤差處理。（三）不變系統(tǒng)誤差消除法1、代替法： 其實(shí)質(zhì)是 在測(cè)量裝置上測(cè)量被測(cè)量后不改變測(cè)量條件，立即用相應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)量代替被測(cè)量，放到測(cè)量裝置上再次進(jìn)行測(cè)量，從而得到該標(biāo)準(zhǔn)量測(cè)量結(jié)果與已知標(biāo)準(zhǔn)量的差值，即系統(tǒng)誤差，取其負(fù)值即可作為被測(cè)量測(cè)量結(jié)果的修正量。即被測(cè)量=標(biāo)準(zhǔn)量+差值例 等臂天平稱重,先將被測(cè)量放于天平一側(cè)，標(biāo)準(zhǔn)砝碼放于另一 側(cè)，調(diào)至天平平衡，則有 由于 （存在恒定統(tǒng)誤差的緣故）移去被測(cè)量，用標(biāo)準(zhǔn)砝碼代替，若該砝碼不能使天平重新平衡，如能讀出使天平平衡的差值，則有。消除了天平兩臂不

36、等造成的系統(tǒng)誤差。2、抵消法： 該方法實(shí)質(zhì)是進(jìn)行兩次測(cè)量，以使兩次讀數(shù)的系統(tǒng)誤差大小相等，符號(hào)相反，取兩次測(cè)值的平均值作為測(cè)量結(jié)果，從而消除系統(tǒng)誤差。3、交換法： 根據(jù)誤差產(chǎn)生的原因?qū)⒛承l件交換以消除誤差。例如：等臂天平稱重,先將被測(cè)量 放于天平一側(cè)，標(biāo)準(zhǔn)砝碼放于另一側(cè)，調(diào)至天平平衡，則有。 若將與交換位置，由于（在恒定統(tǒng)誤差的緣故），天平將失去平衡 。原砝碼P調(diào)整為砝碼，才使天平再次平衡。于是有。則有。即可消除了天平兩臂不等造成的系統(tǒng)誤差。 （四）線性系統(tǒng)誤差消除法對(duì)稱法隨著時(shí)間t的變化，被測(cè)量做線性增加，若選擇某時(shí)刻為中點(diǎn)，則對(duì)稱此點(diǎn)的系統(tǒng)誤差算術(shù)平均值皆相等。即 。利用這一特點(diǎn)，將測(cè)量

37、對(duì)稱安排，取各對(duì)稱點(diǎn)兩次讀數(shù)的算術(shù)平均值作為測(cè)量值，即可消除線性系統(tǒng)誤差。（五）周期性系統(tǒng)誤差消除法半周期法對(duì)周期性誤差，可以相隔半個(gè)周期進(jìn)行兩次測(cè)量，取兩次讀數(shù)平均值，即可有效地消除周期性系統(tǒng)誤差。周期性系統(tǒng)誤差一般表示為：，第一次測(cè)量：第二次測(cè)量：取兩次讀數(shù)的平均值儀器度盤安裝偏心、測(cè)微表針回轉(zhuǎn)中心與刻度盤中心的偏心引起的刻度示值誤差呈周期性變化，即誤差。如采用在相距半周期的兩個(gè)對(duì)徑位置上讀數(shù)取平均，即可有效地消除此誤差 （六）復(fù)雜系統(tǒng)誤差的消除方法 構(gòu)造合適的數(shù)學(xué)模型，進(jìn)行實(shí)驗(yàn)回歸統(tǒng)計(jì)后，對(duì)該誤差進(jìn)行補(bǔ)償和修正。顯然比較困難，故常采用隨機(jī)誤差處理辦法。第三節(jié)粗大誤差教學(xué)目標(biāo)： 本節(jié)介紹在

38、測(cè)量前或測(cè)量后發(fā)現(xiàn)粗大誤差，如果無(wú)法發(fā)現(xiàn)并剔除粗大誤差，則又如何在測(cè)量數(shù)據(jù)處理中去減小他對(duì)測(cè)量結(jié)果的影響。通過(guò)本節(jié)的學(xué)習(xí)，可以在測(cè)量數(shù)據(jù)處理中知道如何發(fā)現(xiàn)并剔除粗大誤差。教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)：v 粗大誤差產(chǎn)生的原因v 3準(zhǔn)則v 格拉布斯準(zhǔn)則v 狄克遜準(zhǔn)則v 測(cè)量數(shù)據(jù)的穩(wěn)健處理一、粗大誤差產(chǎn)生的原因（1）客觀外界條件的原因：機(jī)械沖擊、外界震動(dòng)、電網(wǎng)供電電壓突變、電磁干擾等測(cè)量條件意外地改變 ，引起儀器示值或被測(cè)對(duì)象位置的改變而產(chǎn)生粗大誤差（2）測(cè)量人員的主觀原因：測(cè)量者工作責(zé)任性不強(qiáng)，工作過(guò)于疲勞，對(duì)儀器熟悉與掌握程度不夠等原因，引起操作不當(dāng)，或在測(cè)量過(guò)程中不小心、不耐心、不仔細(xì)等，從而造成錯(cuò)誤的讀數(shù)

39、或錯(cuò)誤的記錄二、防止與消除粗大誤差的方法（1）加強(qiáng)測(cè)量人員培訓(xùn)，增強(qiáng)責(zé)任心（2）保證測(cè)量條件穩(wěn)定（3）不同條件測(cè)量同一值（如兩組人員、兩臺(tái)儀器、兩種測(cè)量方法）相互比較三、判別粗大誤差的準(zhǔn)則（1） 3準(zhǔn)則 （萊以特準(zhǔn)則）（測(cè)量次數(shù)應(yīng)充分大）對(duì)某個(gè)可疑數(shù)據(jù)，若 （2-90）含有粗差，可剔除；否則予以保留。 在n10的情形，用3準(zhǔn)則剔除粗差注定失效 ，取n10恒成立。因此本法測(cè)量次數(shù)應(yīng)，且越大越好。例2-18略（2）羅曼諾夫斯基準(zhǔn)則（t檢驗(yàn)準(zhǔn)則）（測(cè)量次數(shù)較少時(shí)） 方法：首先剔除一個(gè)可以的測(cè)量值，計(jì)算余下的、，根據(jù)原測(cè)量次數(shù)n和選取的顯著度，查表2-12（）得t校驗(yàn)數(shù)。若， （2-91）則認(rèn)為含有粗

40、大誤差，棄去，再繼續(xù)上述步驟判斷，否則不含粗大誤差，應(yīng)保留。例2-19略（3）格羅布斯準(zhǔn)則 對(duì)某個(gè)可疑數(shù)據(jù)，若 貝塞爾公式計(jì)算的標(biāo)準(zhǔn)差 （2-92）含有粗差，可剔除；否則予以保留。例2-20略（4）狄克松(Dixon)準(zhǔn)則 正態(tài)測(cè)量總體的一個(gè)樣本，按從大到小順序排列為 。構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量： 與 與 （2-93） 與 與 若 則判斷為異常值。，則判斷為異常值。否則，判斷沒(méi)有異常值。四、總結(jié) （1）大樣本情形（n50），用3準(zhǔn)則最簡(jiǎn)單方便；30n50情形，用Grubbs準(zhǔn)則效果較好；情形，用Grubbs準(zhǔn)則適用于剔除單個(gè)異常值，用Dixon準(zhǔn)則適用于剔除多個(gè)異常值。（2）在實(shí)際應(yīng)用中，較為精密的場(chǎng)合可選

41、用二三種準(zhǔn)則同時(shí)判斷，若一致認(rèn)為應(yīng)當(dāng)剔除時(shí)，則可以比較放心地剔除；當(dāng)幾種方法的判定結(jié)果有矛盾時(shí)，則應(yīng)當(dāng)慎重考慮，通常選擇，且在可剔與不可剔時(shí)，一般以不剔除為妥。第四節(jié) 測(cè)量結(jié)果的數(shù)據(jù)處理實(shí)例一、等精度直接測(cè)量列測(cè)量結(jié)果的數(shù)據(jù)處理實(shí)例 例2-22（）修定該測(cè)量列不存在固定系統(tǒng)誤差1、求 2、求殘差 根據(jù)（2-9）求各測(cè)得值的殘余誤差，并列入表中。3、校核算術(shù)平均值及其殘余誤差 根據(jù)殘余誤差代數(shù)和校核規(guī)則，現(xiàn)用規(guī)則2進(jìn)行校核，因 A=0.001mm n=9由上表知 故以上計(jì)算正確。若發(fā)現(xiàn)計(jì)算有誤，應(yīng)重新進(jìn)行上述計(jì)算和校核。4、判斷系統(tǒng)誤差 根據(jù)殘余誤差觀察法，又上表可以看出誤差符號(hào)大體上正負(fù)相同，且無(wú)顯著變化規(guī)律，因此可判斷該測(cè)量列無(wú)變化的系統(tǒng)誤差存在。 若按殘余誤差校核法，因n=9，則 因?yàn)椴钪递^少，故也可判斷該測(cè)量列無(wú)系統(tǒng)誤差存在。5、求測(cè)量列單次測(cè)量的標(biāo)準(zhǔn)差 Bessel： Peters： 再用不同標(biāo)準(zhǔn)差公式計(jì)算法判斷有無(wú)系統(tǒng)誤差 u=0.069因?yàn)?所以同樣可判斷列中無(wú)系統(tǒng)誤差。6、判別粗大誤差 因?yàn)?所以不宜用準(zhǔn)則，其他三種準(zhǔn)則均可。現(xiàn)用格羅布斯法：排序有： 。 的殘差最大，故判是否有粗大誤差。查表2-13：。，且。故可判別測(cè)量列不存在粗大誤差。7、求算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差 根據(jù)式（2-21）計(jì)算得：8、求算術(shù)平均值的極限誤差 因?yàn)榇螖?shù)n=9， 次數(shù)少，