1、、塞瓦定理1.塞瓦定理及其證明平面幾何中幾個重要定理及其證明定理：在 ABC內一點P,該點與ABC的三個頂點相連所在的三條直線分別交ABC三邊AB、BC、CA于點D、E、F,且D、E、F三點均不是ADDB證明：運用面積比可得根據等比定理有S ADPBDPBECFAD所以而三式相乘得ECADDBFAS ADPS ° BDPS ADCS BDCS APC.同理可得S BPCAD BECFDB ECFAS ADCS ADCS BDCS BDC SBDPBEECS APBS APC注：在運用三角形的面積比時，要把握住兩個三角形是可以產生出“邊之比” .2.塞瓦定理的逆定理及其證明定理：在 A

2、BC三邊AB、AD的頂點，若DBBE CFEC FACFFABF三線共點.證明：設直線AE與直線AB于點D。則據塞瓦定理有AD/ BED/B ECABC的頂點，則有S ADPS BPCS BPCS APB“等高”還是“等底”BC、CA上各有一點D、1 ,那么直線CD、AE、CF1AD BE CF , 1DB EC FA所以有E、F,且 D、E、F均不是 ABCBF交于點P,直線CP交AD AD/.由于點D、D/都在線段AB上，所以點D與D/重合.即得 D、E、F三點DB D/B共線.注：利用唯一性，采用同一法，用上塞瓦定理使命題順利獲證.、梅涅勞斯定理3.梅涅勞斯定理及其證明定理：一條直線與A

3、BC的三邊 AB、BC、CA所在直線分別交于點ABC的頂點，則有D、E、F,且D、E、F均不是ADBEDBECCF1證明：如圖，過點C作AB的平行線，交EF于 點G.CG因為CG / AB ,所以"ADCFFACG因為CG / AB ,所以DBECBE(2)DB由(1) + ( 2)可得ADBEECCFFA '即得ADDBBE CF , 1EC FA注：添加的輔助線 CG是證明的關鍵 拆去“橋梁” （CG）使得命題順利獲證.4.梅涅勞斯定理的逆定理及其證明“橋梁”，兩次運用相似比得出兩個比例等式，再定理：在ABC的邊AB、BC上各有一點 D、E,在邊 AC的延長線上有一點 F

4、,若AD BEDB ECCF 1FA那么，證明： 理有D、E、F三點共線.設直線EF交AB于點D4則據梅涅勞斯定AD/ BE CF ,一11D/B EC FAAD BE CF .1所以有DB EC FAADDB共線.AD/注：證明方法與上面的塞瓦定理的逆定理如出一轍，注意分析其相似后面的規律.、托勒密定理5 .托勒密定理及其證明定理：凸四邊形ABCD是某圓的內接四邊形，則有AB - CD + B C- AD = A C- BD .證明：設點M是對角線AC與BD的交點，在線段 BD上找一點，使得因為s ACB ,ADB =即得DAE =ACB ,BAM .即 ADE = ACB ,所以 ADEA

5、DDE由于ACD ,ACi)DAE 即BC即ADBC AC DEABAC由（1） +=BAM ,所以ABE = ACD ,所以DAMABEsBAE ,即ACD .即得DACBAE 。而 ABD(2)BE一，即 AB CD AC BE CD得(2)D7B 由于點D、D/都在線段AB上，所以點D與D/重合.即得D、E、F三點AD所以AB-CD + BC- AD = AC BD .BC AB CD AC DE AC BE AC BD .不容易注：巧妙構造三角形，運用三角形之間的相似推得結論.這里的構造具有特點, 想到，需要認真分析題目并不斷嘗試.6 .托勒密定理的逆定理及其證明B、C、D四點定理：如

6、果凸四邊形 ABCD滿足ABX CD + BCX AD = ACX BD ,那么A、 共圓.證法1 （同一法）：在凸四邊形 ABCD內取一點 E,使得 EABDAC , EBAEAB s DAC可得 ABX CD = BEX ACAE 且ADABAC(2)則由DAECAB及（2）可得 DAE sCAB.于是有ADX BC = DE 由(1) + (3)可得ACC(3)ABX CD + BCX AD = ACX ( BE + DE ).據條件可得 BD = BE + DE,則點E在線段BD上.則由 EBA DCA,得DBA DCA,這說明 a、b、c、d四點共圓.證法2 （構造轉移法）延長DA到

7、A/,延長A/四點共圓.延長 DC到 點共圓.（如果能證明A/、DB 至U B/,使 A、B、C/,使得 B、C、。、B/、B/四B- O共線，則命題獲證）那么,據圓哥定理知A、C、C，、A，四點也共圓.因此,可得A/B/A/DB/C/C/DABA/B/另一方面,AB欲證AB即BC據條件有即證CDB/C/A/C/ACA/DCDCDACBCBCBDAB A/ D BCA/DA/C/而即ACBC C/DBDA/DC/DBDCDBDBC(ACC/DAC A/DCDAC A/D二 ，即證CDCDBDAB CDC/D AC BDAB CD)A/D .AD BC ,所以需證C/D AD BC A/D,C/

8、DAD A/D ,這是顯然的.所以，A/B/A/DB/C/A/C/,即A/、B/、C/共線.所以A/B/B與 BB/C/互補.由于 A/B/BBB/C/DCB ,所以DAB與DCB互補,即 A、B、C、D四點共圓.7 .托勒密定理的推廣及其證明定理：如果凸四邊形 ABCD的四個頂點不在同一個圓上，那么就有ABX CD + BC XAD > AC XBD證明：如圖，在凸四邊形ABCD內取一點E,使得EAB DAC, EBA DCA,則 EAB s DAC .可得 ABX CD = BEX AC( 1)AE AB且 AD AC(2)則由DAECAB及(2)可得DAEs CAB .于是ADX

9、BC = DE >AC( 3)由(1) + (3)可得 ABX CD + BCX AD = ACX ( BE + DE )因為A、B、C、D四點不共圓，據托勒密定理的逆定理可知ABX CD + BC XAD ACX BD所以BE + DE BD,即得點E不在線段BD上，則據三角形的性質有 BE + DE > BD .所以 ABX CD + BCX AD > ACX BD .四、西姆松定理8 .西姆松定理及其證明定理：從 ABC外接圓上任意一點 P向BC、CA、AB或其延長線引垂線，垂足分別為D、E、F,則D、E、F三點共線.證明：如圖示，連接 PC,連接EF交BC于點D。連接

10、PD/.因為PE AE , PF AF,所以A、F、P、E四點共圓，可得 FAE = FEP.因為A、B、P、C四點共圓，所以 BAC = BCP, 即 FAE = BCP.所以， FEP = BCP,即 D/EP = D/CP,可 得C、D/> P、E四點共圓.所以，CD/P + CEP = 1800。而 CEP = 900,所以 CD/P = 900,即 PD/ BC.由于過點P作BC的垂線，垂足只有一個，所以點D與D/重合，即得D、E、F三點共線.注：(1)采用同一法證明可以變被動為主動，以便 充分地調用題設條件.但需注意運用同一法證明時的唯一性.(2)反復運用四點共圓的性質是解決

11、此題的關鍵，要掌握好四點共圓的運用手法. 五、歐拉定理9 .歐拉定理及其證明定理：設A ABC的重心、外心、垂心分別用字母 G、 O、H表示.則有 G、O、H三點共線（歐拉線），且滿足 OH 3OG .證明（向量法）：連BO并延長交圓O于點D。連接 CD、AD、HC,設E為邊BC的中點，連接 OE和OC.則OH OA AH 一因為 CD ± BC , AH XBC,所以 AH / CD ,同理 CH / DA .所以，AHCD為平行四邊形.從而得AH DC .而DC 2OE ,所以AH 2OE .1 ,因為OE 2 OB OC ,所以AH OB OC由得：OH OA OB OCOA

12、GB GC另一方面，OG OA AG OA 2GF1 OA OB OC3而GB GO OB,GC GO OC ,所以OG OA 2GO OC OB OG由得：OH 3OG ,結論得證.注：（1）運用向量法證明幾何問題也是一種常用方法，而且有其獨特之處，注意掌握向 量對幾何問題的表現手法；（2）此題也可用純幾何法給予證明.又證（幾何法）：連接OH, AE,兩線段相交于 點G/;連BO并延長交圓 O于點D;連接CD、AD、 HC,設E為邊BC的中點，連接OE和OC,如圖.因為 CD ± BC , AH XBC,所以 AH / CD ,同 理 CH / DA .所以，AHCD為平行四邊形.

13、可得 AH = CD ,而 CD = 2OE ,所以 AH = 2OE .因為 AH / CD , CD / OE ,所以 AH / OE ,可得AHG*EOG（所以AH AG/ HG/2OE G/E G/O 1AG/2由八/ 1_7 ,及重心性質可知點 G，就是 ABC的重心，即G，與點G重合.G E 1所以，G、O、H三點共線，且滿足 OH 3OG.六、蝴蝶定理io .蝴蝶定理及其證明定理：如圖，過圓中弦 AB的中點M任引兩弦CD 和EF,連接CF和ED,分別交AB于P、Q,則PM = MQ .證明：過點M作直線AB的垂線1,作直線CF關于 直線1的對稱直線交圓于點 C、F,交線段AB于點

14、Q：連 接FP、DF< QT DQ/.據圓的性質和圖形的對稱性可 知：MF/Q/ = MFP,F/Q/M = FPM;且 FF/ / AB , PM = MQ /.因為C、D、F/、F四點共圓，所以CDF/ + CFF/ = 1800,而由 FF/ / AB 可得 Q/PF + CFF/ = 1800,所以CDF/ = Q/PF,即 MDF/ = Q/PF.又因為 Q/PF = PQ/F/,即 Q/PF = MQ/F/.所以有MDF / = MQ/F/.這說明Q/、D、F/、M四點共圓，即得MF/Q/ = Q/DM .因為 MF/Q/ = MFP,所以 MFP = Q/DM ,而 MFP

15、 = EDM ,所以 EDM = Q/DM .這說明點Q與點Q/重合，即得PM = MQ .此定理還可用解析法來證明：想法：設法證明直線 DE和CF在x軸上的截距互 為相反數.證：以AB所在直線為x軸，線段AB的垂直平分 線為y軸建立直角坐標系，M點是坐標原點.設直線DE、CF的方程分別為x = m1 y + n 1, x = m2 y + n 2；直線CD、EF的方程分別為y = k1x , y = k2x .則經過C、D、E、F四點的曲線系方程為(y -k1 x )(y *2 x)+ (x -m1 y -m)(x -m2 yF2)=0 .整理得(+k1k2)x 2+(1+mim2)y 2 -(ki+k2)+(mi+m2)xy-(ni + n2)x+ (nim2+n2mi)y+ ni n2=0.由于C、 D、 E、 F 四點在一個圓上，說明上面方程表示的是一個圓，所以必須+ ki k2 = 1 +mi m2 w 0,且(k1+k2)+ (m1+m2)=0若 =0,則kik2=1, ki+k2=0 ,這