1、一、問題 美國某州的各用水管理機構要求各社區提供以每小時多少加侖計的用水率以及每天所用的總水量，但許多社區并沒有測量流入或流出當地水塔的水量的設備，他們只能代之以每小時測量水塔中的水位，其精度在0.5%以內。更為重要的是，無論什么時候，只要水塔中的水位下降到某一最底水位L時，水泵就啟動向水塔重新充水直至到某一最高水位H，但也無法得到水泵的供水量的測量數據。因此，在水泵正在工作時，人們不容易建立水塔中的水位與水泵工作時的用水量之間的關系，水泵每天向水塔充水一次或兩次，每次約兩小時，試估計在任何時刻，甚至包括水泵正在工作的時間內，水從水塔流出的流量f(t)，并估計一天的總用水量。實例（實例（AMC

2、M-91A題）題） 估計水塔的水流量估計水塔的水流量時間時間 水位水位 時間時間 水位水位 時間時間 水位水位（秒）（秒） （0.01英尺）英尺） （秒）（秒） （0.01英尺）英尺） （秒）（秒） （0.01英尺）英尺）0 3137 35932 水泵工作水泵工作 68535 28423316 3110 39332 水泵工作水泵工作 71854 27676635 3054 39435 3550 75021 269710619 2994 43318 3445 79154 水泵工作水泵工作13937 2947 46636 3350 82649 水泵工作水泵工作17921 2892 49953 32

3、60 85968 347521240 2850 53936 3167 89953 339725223 2797 57254 3087 93270 334028543 2752 60574 301232284 2697 64554 2927表表1、某小鎮某天的水塔水位、某小鎮某天的水塔水位表1給出了某個真實小鎮的真實數據,水塔是一個圓形柱體，高40英尺，直徑57英尺，通常水塔的水位降至約27英尺時水泵開始向水塔充水，而當通常水塔的水位升至約35.5英尺時水泵停止向水塔充水。二、基本假設二、基本假設1、影響水從水塔流出的流率的唯一因素是公眾對水的傳統要求。2、水塔中水的水位不影響水流量的大小。（因

4、為物理學的定律指 出：水塔的最大水流量與水位高度的平方根成正比，由表中數據有說明最高水位和最底水位的兩個流量幾乎相等）3、水泵工作的起止時間由水塔的水位決定，水泵工作性能效率總是一定的，沒有工作時需維修、使用次數多影響使用效率問題，水泵充水量遠大于水塔水流量。1275.35一、問題的重述（略）一、問題的重述（略）對離散數據的處理，可以用數據逼近的方法來解決，本問題要想到用數值逼近來建模，數值逼近的方法有很多，如Lagrange插值、分段插值、樣條插值、曲線擬合等. 本問題分三步：1、先決定所給數據點處的水流量。（數據轉換即可）2、找一個水從水塔流出的水流量光滑逼近函數3、處理水泵工作時的充水水

5、流量及一天該鎮的總用水量下面介紹樣條插值理論4、表中的時間數據準確在一秒以內。5、水塔水流量與水泵狀態獨立，不因水泵工作而增加或減少水流量的大小。6、水塔水流量曲線可以用一條光滑的曲線來逼近。樣條插值樣條插值分段插值存在著一個缺點,就是會導致插值函數在子區間的端點(銜接處)不光滑,即導數不連續,對于一些實際問題,不但要求一階導數連續,而且要求二階導數連續。為了滿足這些要求,人們引入了樣條插值樣條插值的概念。 所謂“樣條”(SPLINE)是工程繪圖中的一種工具,它是有彈性的細長木條,繪圖時,用細木條連接相近的幾個結點,然后再進行拼接,連接全部結點,使之成為一條光滑曲線,且在結點處具有連續的曲率。

6、樣條函數就是對這樣的曲線進行數學模擬得到的。它除了要求給出各個結點處的函數值外,只需提供兩個邊界點處導數信息,便可滿足對光滑性的不同要求。1、樣條函數的定義、樣條函數的定義 設f(x)是區間a,b上的一個連續可微函數,在區間a,b上給定一組基點: a=x0 x1x2xn=b設函數s(x)滿足條件 (1) s(x)在每個子區間xi , xi+1(i=0,1,2,n-1)上是次數不超過m的多項式; (2) s(x)在區間a , b上有m-1階連續導數; 則稱s(x)是定義在a ,b上的m m次樣條函數次樣條函數。x0，x1，x2, 稱為樣條結點樣條結點,其中x1,xn-1稱為內結點, x0 , x

7、n 稱為邊界結點。當m=3時,便成為最常用的三次樣條函數。 設y = f(x)在點 x0，x1，x2, xn的值為y0，y1，y2, yn，若函數S(x)滿足下列條件 S(xi)=f(xi) =yi , i=0,1,2,n (1.1) 則稱S(x)為函數f(x)的三次樣條插值函數三次樣條插值函數, 簡稱三次樣條三次樣條。2、三次樣條插值函數三次樣條插值函數 構造三次樣條插值函數的方法有很多，這里介紹一個常用的方法：三彎矩插值法三彎矩插值法 記Mi = S(xi), f(xi)= fi= yi ,考慮它在任一區間xi, ,xi+1上的形式.根據三次樣條的定義可知 ,S(x)的二階導數的二階導數S

8、(x)在每一個在每一個子區間子區間xi, ,xi+1 ( i=0,1,2,n-1)上都是線性函數上都是線性函數. .于是在xi,xi+1 上S(x)=Si(x)的二階導數表示成 (1.2) 其中 hi= xi+1xi . 對S(x)連續積分兩次,并利用插值條件S(xi)= yi ,得到 三次樣條函數的構造三次樣條函數的構造,)( 111S iiiiiiiixxxhxxMhxxMx x x i , x i+1 S”(x) M i , M i+1 )()()()()(iiiiiiiiiiiiiiiixxhMhyxxhMhyhxxMhxxMx 6666S1113131因此，只要能求出所有的因此，只要

9、能求出所有的M i，就能求出樣條插值函數就能求出樣條插值函數S(x).下面考慮下面考慮Mi的求法的求法,)()()(1112121622S iiiiiiiiiiiiiixxxhMMhyyhxxMhxxMx則由連續性 S S (x(xi-i-)= S)= S (x(xi+i+) ) ,(i=1,2,n-1) 得 i iM Mi-1i-1+2M+2Mi i+i iM Mi+1i+1= d= di i 其中 1111116)(,iiiiiiiiiiiiihhhyyhyydhhhu上面的方程組有n-1個方程，但有n+1個變量M Mi i，故需故需兩個方程才能求唯一解，為此引入下列邊界條件兩個方程才能求

10、唯一解，為此引入下列邊界條件下面介紹幾種常用的邊界條件 第一型邊界條件：（可以用數值微分獲得端點導數值） 已知f(x)在兩端點的導數f(a)和f(b) ，要求 S(a) = f(a) , S(b) = f(b)第二型邊界條件： 已知f(x)在兩端點的二階導數f(a)和f(b) ，要求 S(a)=M0 = f(a) , S(b)=Mn= f(b) 特別當 S(a)= S(b) =0時，S(x)稱為自然三次樣條自然三次樣條 第三型邊界條件： 已知f(x)是以b -a為周期的周期函數 ，要求S(x)滿 足周期條件 S (a) = S(b) , S(a+)= S(b-) , S(a+)= S(b-)

11、三次樣條插值問題加上第三次樣條插值問題加上第i i型邊界條件稱為第型邊界條件稱為第i i型插值問題（型插值問題（i i，），）可以證明第可以證明第i i型插值問題的解是存在且唯型插值問題的解是存在且唯一的。他們對應如下的三對角方程組：一的。他們對應如下的三對角方程組： 2 0 0 M0 d0 1 1 2 1 M1 d1 . . . . . . . . . = . (*) . . . . . n-1 n-1 2 n-1 Mn-1 dn-1 n n 2 Mn dn 對于第一型插值問題，取對于第一型插值問題，取 0 0=1=1，n n=1,=1,對于第二型插值問題，取對于第二型插值問題，取0 0=0

12、=0，n n=0=0 對于第三型插值問題，利用周期性，可導出對于第三型插值問題，利用周期性，可導出其中 , nnydyd2200 nnnnnndMMMMM2110)(),(nnnnnnhyyyhdyhyyhd101011066 11110116)(,nnnnnnnnnnhhhyyhyydhhhu以上各組條件與方程組以上各組條件與方程組(*)聯立，可以解出未知參數聯立，可以解出未知參數M M0 0，M M1 1 ,M,Mn n，然后代入然后代入S(x) S(x) 表達式，即可求得樣條函數表達式，即可求得樣條函數 。 上面構造方法中上面構造方法中MiMi相應于力學中細梁在相應于力學中細梁在x xi

13、 i處截面的彎矩，每處截面的彎矩，每一個方程中又至多出現相鄰的三個一個方程中又至多出現相鄰的三個M Mi i，通常稱為三彎矩法。通常稱為三彎矩法。 總結以上論述，可得求三次樣條的步驟為：總結以上論述，可得求三次樣條的步驟為： （1 1）確定邊界條件，判定是第幾型插值問題；）確定邊界條件，判定是第幾型插值問題； （2 2）根據所確定的條件計算各值，形成方程組）根據所確定的條件計算各值，形成方程組(*)； （3 3）解三對角方程組）解三對角方程組(*)，求得，求得M0， M1 ， M2, Mn ； （4 4）將求得的將求得的Mi值代回值代回S(x)的表達式中，的表達式中， 從而可求得函數從而可求得

14、函數y=f(x)在任一點的近似值在任一點的近似值S(x)。估計水塔的水流量三、符號約定及說明三、符號約定及說明h：水塔中水位的高度，是時間的函數，單位為英尺V ：水塔中水的體積，是時間的函數，單位為加侖t：時間，單位為小時f ：水塔水流量，是時間的函數，單位為加侖小時p：水泵工作時充水的水流量，是時間的函數，單位為加侖小時四、問題分析與建模四、問題分析與建模采用三次樣條插值來做曲線逼近，為形象化，將表中數據描點畫圖時間時間水位水位1、補充充水的開始和截止數據、補充充水的開始和截止數據由假設知水塔的水位降至約27英尺時水泵開始向水塔充水， 水塔的水位升至約35.5英尺時水泵停止向水塔充水， 水泵

15、每天向水塔充水一次或兩次，每次約兩小時由表1 ，有第一次充水期的一些數據為32284（秒）（秒） 26.97 27 （英尺）（英尺）35932 水泵工作水泵工作39332 水泵工作水泵工作39435 （秒）（秒） 35.5（英尺）（英尺）由由 39435-32284=7048 1.958（小時）滿足（小時）滿足每次約兩小時的條件可可推斷在32284（秒）（秒） 為充水的開始時間為充水的開始時間, 在39435（秒）（秒） 為充水的截為充水的截止時間止時間.75021（秒）（秒） 26.97 27 （英尺）（英尺）推斷在75021(秒秒) 為充水的開始時間為充水的開始時間79154 水泵工作水泵

16、工作82649 水泵工作水泵工作（補充數據（補充數據35.5英尺）英尺） 85968 （秒）（秒） 34.75（英尺）（與（英尺）（與35.5英尺相差太多）英尺相差太多）但但 85968-75021=3.041（小時）（小時）而而 82649-75021=7628 2.11889（小時）滿足（小時）滿足每次約兩小時的條件推斷在82649（秒）（秒） 為充水的截止時間為充水的截止時間, 獲得一個額外數據獲得一個額外數據.第二次充水期的一些數據為時間時間 水體積水體積 時間時間 水體積水體積 時間時間 水體積水體積（小時）（小時） （加侖）（加侖） （小時）（小時） （加侖）（加侖） （小時）（小

17、時） （加侖）（加侖）0 606125 9.9811 水泵工作水泵工作 19.0375 5425540.9211 593716 10.9256 水泵工作水泵工作 19.9594 5282361.8431 583026 10.9542 677715 20.8392 5148722.9497 571571 12.0328 657670 22.0150 水泵工作水泵工作3.8714 562599 12.9544 639534 22.9581 6777154.9781 552099 13.8758 622352 23.8800 6633975.9000 544081 14.9822 604598 24

18、.9869 6485067.0064 533963 15.9039 589325 25.9083 6376257.9286 525372 16.8261 5750088.9678 514872 17.9317 5587812、數據轉換、數據轉換 表2(V=r2 h )用數學軟件繪圖如下dttdVtf)()(水流量3、由數據（ti,Vi)產生水流量f(t)的方法有：1.由對水體積的微商數據點直接獲得水流量f(t)的近似函數值2.先獲得水體積V(t)的近似函數，再對其求導我們利用第一種方法，為獲得水體積的微商數據點，選用數值微分公式)(243)()(243)()(,)(1288)(12112112

19、112iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiittVVVtfttVVVtftVVttVVVVtf計算右端點：計算左端點：用程序計算出流量函數點集f(tk), (給出計算的數據表和散點圖)。（略）用樣條插值或數據擬合的數學軟件，可以得到水流量f(t)的近似函數，這里也記為f(t),這里，樣條函數所需的邊界條件可以由數值微分公式得出。于是我們得到了水流量的估計函數模型。注：使用樣條插值時，得出的水流量f(t)不必給出具體的函數關系式，畫出它的圖形即可。使用擬合時，得出的水流量f(t)有具體的函數關系式，此時要選好擬合函數類本題可選為8次多項式。4、水泵充水期間的水流量處理、水泵充水期間的水流量處

20、理水泵充水期間的水流量用平均水流量代替：第一次充水期間充滿水的水量）小時加侖量第一次充水的平均用水充水期間的用水量小時）充水的時間加侖）充滿水的體積(97576)(1)(9864.19678.89542.10(1628435148726777159542.109678.81119542.109678.811dttfVtpdttftV同理可以得出第二次充水期間的平均水流量 p2=91910 加侖/小時于是有充水期間的平均水流量：于是有充水期間的平均水流量：p=(p1 + p2)/2=94743 加侖/小時五、一天的總用水量一天的總用水量240333189)(加侖dttf為確定模型的準確性，做如下

21、檢驗：%1336782)(335116)()24(18431.258431.19211.249211.0相差只約加侖加侖小時的積分區間取不同的連續：直接用計算公式檢驗檢驗dttfdttf檢驗2：利用給定的數據檢驗（對非充水期間的用水量用已知數據盡量算出，其余部分用數值積分計算）取0，24區間，有：第一次充水前用水量為：v1=606125-514872=91253(加侖）第一次充水后，第二次充水前用水量為：v2=677715-514872=162843(加侖）2488.239581.228392.209542.109678.8)(1829)(24,88.23)(14318663397677715

22、388.23,9581.22)(31905)()(30981)(加侖期間的用水量為加侖期間的用水量為加侖第二次充水期間用水量加侖第一次充水期間用水量dttfvdttfdttf得一天總用水量為：v1+v2+v3+30981+31905+1829=333129（加侖）與240333189)(加侖dttf相比，只相差0.02%。檢驗說明擬合函數f(t)相當精確.六、六、 誤差分析誤差分析估計所得模型算出一天總用水量的誤差.水位觀測值的誤差在0.5%以內,由圓柱體積公式可以知道,對應水體積的誤差也在0.5%以內,由轉換水體積的數值,有水體積誤差約在25743389加侖之間,這與一天的用水量相比是微不足道的.為分析一天總用水量的誤差,由于直接從構造公式中計算誤差不方便,下面采用直接由所得水體積數表來分析誤差.記Vp1,Vp2為兩次充水期間的用水量, Vt 表示t時刻的水體積,則一天用水總量可以如下計算:V=V0 - V8.9678+ Vp1+ V10.9542 - V20.8392+ Vp2 + V22.9581 - V23.88+ V23.88 , 24 (*)(*)式中V0 、 V8.9678、 V10.9542 、V20.8392 、 V22.9581 、 V23.88 的誤差為0.5%,我們只需估計Vp1、 Vp2 、 V23.88 , 24的誤差。由于直接用樣條函數來估