河南省洛陽市2023-2024學年高二下學期4月期中考試數學試題注意事項:1.答題前,考生務必將自己的姓名、準考證號填寫答題卡上。2.考試結束后,將本試卷和答題卡一并交回。一、單項選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知某次降雨過程中,洛陽市區降雨量(單位:與時間(單位:的函數關系可近似表示為,則在時的瞬時降雨強度(某一時刻降雨量的瞬時變化率)為A. B. C. D.2.用0,1,2,3,4這五個數字組成沒有重復數字的三位數,其中奇數共有A.48個 B.24個 C.18個 D.12個3.函數的大致圖象是A. B. C. D.4.A. B. C. D.5.已知函數,則A.10 B. C.12 D.14.6.洛陽市牡丹文化節期間,5名志愿者準備到3個博物館參加志愿服務,若每個博物館至少接受1名志愿者,則不同的分配方案有A.90種 B.150種 C.240種 D.300種7.已知奇函數及其導函數的定義域均為,若,則A. B.0 C. D.18.已知,則A. B. C. D.二、多項選擇題:本題共4小題,每小題5分,共20分。在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求，全部選對的得5分,部分選對的得2分,有選錯的得0分。9.對于的展開式,下列說法正確的是A.展開式共有6項 B.展開式中的常數項是20C.展開式中各項系數之和為0 D.展開式中的二項式系數之和為6410.已知函數,則下列結論正確的是A.是函數的極大值點 B.的單調增區間是C.當時,直線與函數的圖象有3個交點D.若函數在區間上,對為一個三角形的三邊長,則稱函數為“三角形函數”.已知函數在區間[0,1]上是“三角形函數”,則實數的取值范圍為11.5名同學站成一橫排照畢業照,下列說法正確的是A.甲不排在最中間,則不同的排法有72種 B.甲乙不相鄰,則不同的排法有72種C.甲乙必須相鄰,且甲在乙的右邊,則不同的排法有72種D.甲乙立三人中有且僅有兩人相鄰,則不同的排法有72種12.已知,則使恒成立的值可以是A. B.2 C.4 D.5三、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.在的展開式中,的系數為_________________.14.曲線在點處的切線方程是_________________.15.已知正四棱錐,從底面四個頂點A,B,C,D和四條側棱的中點共8個點中任選4個作為三棱錐的頂點,可得三棱錐_________________個.(用數字作答)16.已知函數,直線,若滿足點在直線上方的正整數恰有一個,則實數的取值范圍是_________________.四、解答題:本題共6小題,共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(10分)(1)計算:;(2).18.(12分)已知斜率為1的直線與曲線相切.(1)求直線的方程;(2)若直線分別交曲線和于M,N兩點,求的面積的最大值.(其中0為坐標原點)19.(12分)已知的展開式中第3項與第9項的二項式系數相等.(1)求展開式的通項公式和中間一項;(2)設,求.20.(12分)已知函數.(1)當時,求的單調區間;(2)討論函數在區間內的零點的個數.21.(12分)已知.(1)當時,求函數的最值;(2)若,求實數的取值范圍.22.(12分)給定函數.(1)判斷函數的單調性,并求出函數的極值;(2)證明:當時,.洛陽市2023——2024學年第二學期期中考試高二數學試卷參考答案一、單項選擇題1-4ACBD 5-8BBCA二、多項選擇題9.CD 10.ABD 11.BD 12.ABC三、填空題13.112 14. 15.58 16.四、解答題17.解:(1)……..3分.…..5分…..8分.….10分18.解:(1)設切點為,因為,所以切線的斜率,解得,…..2分此時,即切點為,………………..4分所以切線的方程為,即.………………..6分(2)因為分別交曲線和于點M,N,所以.因為,則,所以.………………..7分此時的面積,,令,得,………………..9分當時,單調遞增,當時,單調遞減,………………..11分所以當時,有最大值且.………………..12分19.解:(1)因為,所以,解得.………………..2分的展開式的通項………………..3分,………………..5分令,展開式的中間一項為.………………..7分(2)因為,所以.………………..9分的展開式的通項,令,……………….10分令……………….11分則.…………….12分20.解:(1)當時,…………….1分令,得或；令,得或;令,得或;………….3分則函數的單調遞增區間為和,單調遞減區間為.………………4分(2)由,得.……………5分設函數.討論函數在區間內的零點個數等價于研究函數與直線在區間內的交點的個數.由知,…………6分當時,單調遞減;當時,單調遞增.當時,在區間內取最小值.…………………8分又,且當時,,…………………9分綜上,當時,函數與直線在區間內無交點,函數在區間內無零點;當或時,函數與直線在區間內有一個交點,函數在區間內有一個零點;………………12分21.解:(1)由,得.……………1分令,解得.當時,單調遞減,當時,單調遞增.當時,有極小值,即最小值.……………3分又綜上,當時,有最大值,最大值為0,當時,有最小值,最小值為-1.………………………5分(2)當時,.即當時,.令函數.則當時,.故.即.……………6分下證時,恒成立.設，則,①當時,設,,由知,即在上單調遞增,且,故在上單調遞減.即.……………8分②當時,由知.即在上單調遞增,即.…………10分此時由得.……………11分綜上,實數的取值范圍是.…………12分22.解:(1)函數的定義域為..………………………1分令,解得.當變化時,的變化情況如下表-0+單調遞減極小值單調遞增……3分在區間上單調遞減,在區間上單調遞增,當時,有極小值.……………………4分(2)要證明當時,,即證明當時,.令函數.則.………………5分當時,.設函數.則,故在上單調遞增.又所