1、13.3一次函數與一次方程、一次不等式（第一課時）安徽省合肥市廬陽中學 陳光宇教學內 容滬科版義務教育課程標準實驗教科書數學八年級上冊第13章第3節P47-P48頁。教學目標1. 使學生領會一次函數與一元一次方程、一元一次不等式之間的聯系。2. 引導學生經歷探究一次函數與一元一次方程、一元一次不等式之間的聯系的過程，體會數形結合、分類、類比、歸納等數學思想方法的運用，積累數學活動經驗。通過自主探究、小組合作等活動，鍛煉學生的自學能力、歸納概括的能力，增強學生間的合作意識。3. 通過對一次函數、一次方程與一元一次不等式內在關系的探究，引導學生認識事物部分與整體的辯證統一關系，培養學生用聯系的觀點

2、看待數學問題的意識。教材分析內容解析函數、方程、不等式都是人們刻畫現實世界的重要數學模型。之前，學生已經從數的角度認識一次方程和一次不等式，從形的角度認識了一次函數和數軸表示不等式的解集。而本節課通過函數圖像動態的變化和點的對應來探究一次函數、一元一次方程、一元一次不等式之間的關系。通過本節課的探究，學生不僅能加深對函數、方程（組）、不等式的理解，而且能在函數的觀點下將三者統一起來，感受數學的統一美，加強知識間橫向與縱向的融會貫通。一次函數、一元一次方程、一元一次不等式之間的關系屬于事實性知識；學生在探究三個一次之間關系的過程中，需要在函數運動變化的觀點下，經歷運用分類、類比，數形結合的思想方

3、法，歸納出解一次方程和不等式的問題，其實是求函數的零點和非零點的問題，這些認知策略能有效地幫助學生積累數學活動經驗，掌握學習方法，提高學習效率，因此，這些數學思想方法是元認知知識。本節課將“三個一次”問題在函數的觀點下來集中認識，這種用整體的觀點處理問題的方法為今后學習二次函數與一元二次方程的關系，以及高中二次函數、一元二次方程與一元二次不等式的知識做好知識和認知方法上的準備。教學重點探究一次函數與一元一次方程、一元一次不等式之間內在關系。教學難點對一次函數與一元一次方程、一元一次不等式之間關系的揭示。學情分析1之前，學生已經會解一次方程和一次不等式，從形的角度認識了一次函數的圖像和在數軸上表

4、示不等式的解集，學生具備了接受這節課的知識基礎。2 八年級學生的思維已逐步從直觀的形象思維為主向抽象的邏輯思維過渡，而且具備一定的圖像分析和信息收集的能力。但是由于所學知識是零散的，數和形沒有形成有意識的聯系，學生難以建立一次函數與一次方程、一次不等式之間的聯系，因此，“三個一次”之間的關系的揭示是本節課的難點。如何創設問題，引導學生用聯系的觀點進行探究，是突破難點的關鍵。教學策略分析通過以上分析，教學中將采用下列教學策略：1創設實際生活情境，鼓勵學生多向思考、多角度解決實際問題，引導學生初步感受一元一次不等式與一元一次方程、一次函數是有聯系的。2從學生已會的解一元一次方程和不等式出發，將相同

5、表達式kx+b(=0和0)與y=kx+b進行比較，要求學生畫出函數y=kx+b的圖像，引導學生觀察圖像中各部分點（被X軸分成的三部分）的縱坐標表示的數學意義（y0，0，0），將圖形與它的代數表示形式真正建立聯系，并用語言分別概括出來，達到突破難點。其過程以學生“自主探究”為主，教師引導為輔，設計的問題從易到難，從簡單到復雜，層層推進，讓學生在觀察、分析，比較和交流合作中形成自己對數學知識的理解和有效的學習模式。3設計了兩組練習題。讓學生通過自我解答、不同方法的對比來滲透識圖能力的培養和數形結合的思想。4習題由易而難，在鞏固的基礎上有所提高，必做題和選做題的設置也讓“不同的人在數學上得到不同的發

6、展”。教具安排學生課堂自主探究材料、多媒體課件。課時安排這節內容安排兩個課時，本節課是第一課時，主要通過探究活動領悟一次函數與一元一次方程、一次不等式之間的聯系。教學過程設計問題與情境師生活動設計意圖復習舊知、學前熱身小明的爸爸應邀來到合肥投資，在廬陽工業園投資300萬元成本建成一個小型家電生產工廠。建成投產后,不考慮材料費等其他因素，每年盈利75萬元。回答下面兩個問題，1:該工廠投產幾年剛好收回成本？2:該工廠從哪一年后盈利開始超過300萬元以上?師：從小學到現在我們學過哪些解決問題的方法？生：小學的算術法和初中學過的方程、不等式。師：怎樣利用函數圖象解決上面的問題呢？貼切的生活情境可以讓大

7、多數同學想到解決問題的方法，除了能激發學生的求知欲，也讓學生初步感受一次方程和一元一次不等式與一次函數是有聯系的，引入課題。合作交流、探究新知活動一：探究一次函數與一元一次方程之間的聯系。1解方程 3x+6=0。2直線y=3x+6與x軸交點的坐標是什么？ 3討論:圖象與方程的解之間的關系。4.不解方程：你能說出方程3x+6=6的解嗎？5合作交流（一） 你還能利用圖象求出哪些一元一次方程的解？6.合作交流（二） 通過以上探究，你能總結一次函數與一元一次方程之間的聯系嗎？學生口答三個問題。師：課前讓大家準備了任意的一次函數的圖象，觀察你的圖象，在圖象中也有類似的聯系嗎？學生舉例說明。師：將剛才的思

8、考概括為一般形式呢？歸納：一次函數y=kx+b（k、為常數，k0）與x軸交點的橫坐標就是方程kx+b=0的解。一元一次方程kx+b=0（k、為常數，k0）的解就是一次函數y=kx+b(k)與x軸交點的橫坐標。師：請寫出幾個這樣的一元一次方程和同伴進行交流。對于一次函數，當y值確定求其x的值時，就可看成是關于x的一元一次方程。而一個具體的一元一次方程，實際上是一次函數的y值確定，求其自變量x的值。引題分解難度，給學生提供了思考的角度和方向。通過學生反復實踐和教師引導，學生從“形”到“數”，或者從“數”到“形”，自己探究一次函數的圖象與一元一次方程解的關系，體驗知識生成的過程。增強思維密度，通過學

9、生動手操作強化和真正理解一次函數圖象與方程解的對應關系，從而使學生形成自己對數學知識的理解和有效的學習模式。有前面反復的探究作為基礎，合作交流產生了相應的價值。不同學生的思考加深了全體同學對兩者聯系的理解，為不同的學生提供了展示的平臺。鞏固練習、小試牛刀7.練習(一)：1觀察：-x+2=0的解為 ，x-1=0的解為 。 2函數y=ax+b的圖象如圖，則方程ax+b=0的解為 。師：解決這2題有哪些方法？這一提問，主要是想讓同學們說出不同的思路，感受新認知解決問題的有效性。有效的學習過程不能單純的依賴模仿和記憶。發展能力、拓展延伸活動二：探究一次函數與一元一次不等式之間的聯系1自主探究：觀察一次

10、函數的圖象，2如何從圖象上找出不等式3x+60的解集？3如何從圖象上找出不等式3x+60的解集？請講述確定解集的方法。4合作交流（三）通過上面兩個問題的思考，你能發現一次函數y=kx+b（k、b為常數，k0）與一元一次不等式kx+b0或kx+b0（k、為常數，k0）的關系嗎？師：（-2,0）的意義我們已經探究過。除此點之外，圖象被分成了兩部分。當圖象在x軸的上方時，點的坐標有什么共同特征？師幾何畫板同步演示。師：引導學生交流發現：不等式3x+60，也就是函數值y0。不等式3x+60的解集，就是y0時對應的的取值范圍。從圖象上來看就是在軸上方的點對應的橫坐標的取值范圍。學生獨立思考。歸納：（學生

11、先獨立思考后，討論交流，教師補充。）通過幾何畫板的演示，引導學生思考將要探索的內容，進行分類，滲透分類的數學思想。抓住知識的內在聯系，引導學生用類比的學習方法，通過觀察函數圖象來重新認識不等式這個代數模型。類比3x+60的思考方法，讓學生自主探究，再次突出重點。有效的問題作為載體，鼓勵學生運用自己的語言進行描述和交流，既規范了學生的語言表述，又鍛煉了學生歸納概括的能力。例題解析、應用新知5.不解不等式，利用圖象：例題：不解不等式，利用圖象: 求出不等式-3x+63的解集。6.通過以上探究，你能總結一次函數與一元一次不等式之間的聯系嗎？生邊說邊板書，不等式的解集 （圖象法）（1）先畫出y=-3x

12、+6的圖象。（2）找到縱坐標是3的點。（3）觀察 的圖象部分對應的x的范圍。（4）得出不等式的解集。教師完整規范板書過程.并強調解題格式。師生共同總結解題步驟。求不等式（k、為常數，k0）解集，先觀察y=kx+b（k、為常數，k0）的圖象y=n時點的橫坐標，很容易得到時，x的取值范圍是 。通過學生口述解題步驟加深對不等式和方程圖象解法方法的應用和理解。 深入地理解一元一次不等式和對應一次函數圖象的關系。滲透學生從“特殊”到“一般”的數學思想，突破難點。梯度設計、鞏固提高練習（二）1函數y=2.5x5的圖象如圖1。2.5x5>0的解集為_； 2.5x5<0的解集為_.。 圖1 圖22

13、函數y=axb的圖象如圖2。則對應不等式axb>0的解集為_； axb<0的解集為_； axb0的解集為_； axb0的解集為_； axb2的解集為_； 0axb2的解集為_。 學生自我解答，自我展示。師予以輔導和糾正。問題由淺到深，由易到難。學生通過自我解答、不同方法的對比來滲透識圖能力的培養和數形結合的思想。歸納小結、回到引題本節課通過探究，小組合作以及例題的學習，同學有什么樣的感受，和老師分享一下。師：回到引題，利用今天所學的知識，如何構建一次函數關系式，又怎樣利用函數圖象來解決上面的問題？學生談談自己的收獲。通過一次函數圖象觀察一元一次方程的解和一元一次不等式的解集，重點不

14、在于求解，而在于從圖象分析方程的解和不等式解集，等于從變化的過程中選取特定的狀態和范圍。對于變量x,當y是變量時，y=kx+b是一次函數，當y是常量時，y=kx+b是關于x的一元一次方程。知道的取值范圍，根據對應的取值范圍就能得到不等式或不等組的解集。在我們的生活中：（展示圖片）學生回答，師予以評價。引導學生梳理所學知識和方法，展示本課重點內容，幫助學生將新知識順利地納入已有的知識體系，讓學生體會收獲的喜悅承上啟下，讓學生運用已學知識應用于實踐，自覺構建數學模型，更好體會數學知識蘊含的價值和數學知識的現實意義。布置作業、分層發散必做題:1習題13.3第1題。2已知一次函數y=ax+b（a,b為

15、常數，a0),x與y的部分對應值如下表：那么方程ax+b=0的解是 ,不等式ax+b>0的解集是 。選做題：3若不等式kx+b>0的解集是x>-2，則直線y=kx+b與x軸的交點坐標是 。4應用題：習題13.3第5題。教師布置作業，學生課后完成。教師對學有余力的學生啟發其他解法。作業設計體現了分層教學的理念。必做作業為基礎，目的是使所有學生都能運用函數觀點解決不等式問題，選做題給學生留下思維發散的空間和拓展探索余地，讓“不同的人在數學上得到不同的發展”。結束語:從形到數，從數到形。從形可以知道數的范圍,從數可以知道形的特征，在這種抽象思維與形象思維培養中體會數學的無窮樂趣，這

16、就是我們這節課的主題。附 板書設計： 一次函數與一元一次方程和一元一次不等式的關系一元一次方程 一次函數 一元一次不等式 例題：利用圖像75x-300=0 y=75x-300 75x-300>300 求： 不等式的解集3x+6=0 x=-2 y=3x+6 （-2,0） 3x+6>0 x>-2 (1)先畫出y=-3x+6的圖像。y=kx+b與x軸交點的橫坐標就是方程kx+b=0的解。 (2) 找到縱坐標是3的點。 解不等式kx+b0或0（k、常數，k0） (3) 觀察 （y=3) 的圖 就是求圖象軸上方（或下方）的點 像部分對應的x的范圍對應的自變量取值范圍。 (4) 得出不等

17、式的解集。3x+6=6 x=-0 y=3x+6 （0,6） kx+b=n x=m y=kx+b (m.n) 崇尚科學，反對邪教這是老師從小教我們的，大家學的怎么樣給大家帶來的是崇尚科學反對邪教征文范文singing songs progress, and breaks down barriers to air, widely welcomed by the Japanese youth. Soon, the political team was held in town "25 rent" forum to promote rent, attended by KMT Cou

18、nty Government, county offices, Yan Tomb District Government and representatives from all walks of the local youth. The meeting, the objections raised by the representatives of the County Committee, the two sides hotly debated. The local gentry and County Committee of the Kuomintang have attacked po

19、litical team for unusual activity, Zhuang Shaozhen became a major goal. Renewed from the flag publications, organized anti-Japanese campaign, then to convene "25 rent" Forum, sparking a burst of publicity heat to promote youth war played a role. But the second wave of anti-communist, Kuomintang is mulling, wujianglu