1、1 第四章第四章 地球橢球數學投影的基本理論地球橢球數學投影的基本理論24.1地球橢球基本參數及其互相關系地球橢球基本參數及其互相關系 地球橢球是選擇的旋轉橢球地球橢球是選擇的旋轉橢球, ,旋轉橢球的形狀和大小旋轉橢球的形狀和大小常用子午橢圓的五個基本幾何參數常用子午橢圓的五個基本幾何參數( (或稱元素或稱元素):): 長半軸長半軸 短半軸短半軸 橢圓的扁率橢圓的扁率 橢圓的第一偏心率橢圓的第一偏心率 橢圓的第二偏心率橢圓的第二偏心率 通常用通常用a , aba abae22bbae22ee3 為簡化書寫，還常引入以下符號為簡化書寫，還常引入以下符號2222, tan , cosactBeBb

2、BeVBeW2222cos1sin1221,11,11,11,12222222222eeVWeWVeeeeeeecaeaceabeba222222222221( )1( )1sin(1)1(1 )bWeVVaaVeWWbWeBe VVeW 橢球基本參數及其互相關系橢球基本參數及其互相關系44.2 橢球面上常用坐標系及其關系橢球面上常用坐標系及其關系4.2.1 各種坐標系的建立各種坐標系的建立1、大地坐標系、大地坐標系大地經度大地經度B 大地緯度大地緯度L 大地高大地高H 大地坐標是大地測量的基本坐標系，大地坐標是大地測量的基本坐標系，具有如下的優點。見書具有如下的優點。見書P99頁。頁。52、

3、空間直角坐標系空間直角坐標系 坐標原點坐標原點位于總地球橢球位于總地球橢球( (或參考橢球或參考橢球) )質心；質心；Z Z軸軸與地與地球平均自轉軸相重合，亦即指向某一時刻的平均北極點；球平均自轉軸相重合，亦即指向某一時刻的平均北極點；X X軸軸指向平均自轉軸與平均格林尼治天文臺所決定的子午面指向平均自轉軸與平均格林尼治天文臺所決定的子午面與赤道面的交點與赤道面的交點G G；Y Y軸軸與此平面垂直，且指向東為正。與此平面垂直，且指向東為正。 地心空間直角系與參心空間直角坐標系之分地心空間直角系與參心空間直角坐標系之分。 常用坐標系及其關關系常用坐標系及其關關系63、子午面直角坐標系子午面直角坐

4、標系 設設P點的大地經度為點的大地經度為L，在過在過P點的子午面上，以點的子午面上，以子午圈橢圓中心為原點，建立子午圈橢圓中心為原點，建立x, y平面直角坐標系。在平面直角坐標系。在該坐標系中，該坐標系中，P點的位置用點的位置用L, x, y表示。表示。 常用坐標系及其關系常用坐標系及其關系74、地心緯度坐標系及歸化緯度坐標系、地心緯度坐標系及歸化緯度坐標系 設橢球面上設橢球面上P點的大地經度點的大地經度L，在此子午面上以橢圓在此子午面上以橢圓中心中心O為原點建立為原點建立地心緯度坐標系地心緯度坐標系; 以橢球長半徑以橢球長半徑a為半為半徑作輔助圓，延長徑作輔助圓，延長與輔助圓相交與輔助圓相交

5、點，則點，則OP與與x軸夾角稱為軸夾角稱為P點的點的歸化緯度歸化緯度u。 常用坐標系及其關系常用坐標系及其關系8常用坐標系及其關系常用坐標系及其關系5 5、大地極坐標系、大地極坐標系 M是橢球面上一點，是橢球面上一點，MN是過是過M的子午線，的子午線，S為連接為連接MP的大地線長，的大地線長，A為大地線在為大地線在M點的方位角。點的方位角。 以以M為極點；為極點； MN為極軸；為極軸； P點極坐標為（點極坐標為（S, A)9常用坐標系及其關系常用坐標系及其關系4.2.2 坐標系之間的相互關系坐標系之間的相互關系 子午平面坐標系同大地坐標系的關系 22221(1)xy abyxabdxdy222

6、22c(1) (2)bxxtgBeayyBexytan)1(2WBaBeBaxcossin1cos22ctgBBdxdy)90tan(010常用坐標系及其關系常用坐標系及其關系 令令: pn=NVBbBeWaBeBeaysinsin)1 (sin1sin)1 (2222cosxNBWaNBeNysin)1 (2BPQysin)1 (2eNPQ2NeQn WBaBeBaxcossin1cos2211常用坐標系及其關系常用坐標系及其關系c o s, s in, XxLYxLZyl空間直角坐標同子午面直角坐標系的關系空間直角坐標同子午面直角坐標系的關系12常用坐標系及其關系常用坐標系及其關系 2co

7、scoscossincossin(1) sinXxLNBLYxLNBLZyNeBBHeNLBHNLBHNZYXsin)1 (sincos)(coscos)(2nH0l空間直角坐標系同大地坐標系空間直角坐標系同大地坐標系在橢球面上的點：在橢球面上的點：不在橢球面上的點：不在橢球面上的點：13常用坐標系及其關系常用坐標系及其關系2222arccosarcsinarctanYXXLYXYLXYL222sintanYXBNeZBNBYXHcos222(1)sinzHNeB l由空間直角坐標計算相應大地坐標由空間直角坐標計算相應大地坐標14大地緯度大地緯度B、歸化緯度、歸化緯度u、 地心緯度地心緯度之間

8、的之間的關系關系 B和u之間的關系 2cos,sinsincos ,(1) sinxau ybuaabBxByeBWWVBWeusin1sin2BWucos1cosuVBsinsinuWBcoscos常用坐標系及其關系常用坐標系及其關系15uexytan12xytanue tan1tan2Betan)1 (tan28.11)(9.5)(9.5)(maxmaxmaxBuuB uB常用坐標系及其關系常用坐標系及其關系n U、之間的關系之間的關系n 、之間的關系之間的關系n 大地緯度、地心緯度、歸化緯度之間的差異很小，經大地緯度、地心緯度、歸化緯度之間的差異很小，經過計算，當過計算，當B=45時時1

9、6 4.3 橢球面上的幾種曲率半徑橢球面上的幾種曲率半徑 為了在橢球面上進行測量計算，就必須為了在橢球面上進行測量計算，就必須了解橢球面上有關曲線的性質。過橢球了解橢球面上有關曲線的性質。過橢球面上任意一點可作一條垂直于橢球面的面上任意一點可作一條垂直于橢球面的法線，包含這條法線的平面叫做法截面，法線，包含這條法線的平面叫做法截面，法截面同橢球面的截線叫法截線。可見，法截面同橢球面的截線叫法截線。可見，要研究橢球面的數學性質，就要研究法要研究橢球面的數學性質，就要研究法截線的性質，而法截線的曲率半徑便是截線的性質，而法截線的曲率半徑便是一個基本內容。一個基本內容。17 包含橢球面上一點的法線，

10、可作無數多個法截包含橢球面上一點的法線，可作無數多個法截面，相應就有無數多個法截線。橢球面上法截面，相應就有無數多個法截線。橢球面上法截線的曲率半徑不同于球面上的法截線（大圓弧）線的曲率半徑不同于球面上的法截線（大圓弧）曲率半徑都等于圓球的半徑，而是除兩極外，曲率半徑都等于圓球的半徑，而是除兩極外，橢球面上任意一點的法截線，隨著它們的方向橢球面上任意一點的法截線，隨著它們的方向不同，每條法截線在該點的曲率半徑也不相同。不同，每條法截線在該點的曲率半徑也不相同。因此，本節首先研究兩個特殊方向的法截線曲因此，本節首先研究兩個特殊方向的法截線曲率半徑率半徑卯酉圈及子午圈的曲率半徑，在此卯酉圈及子午圈

11、的曲率半徑，在此基礎上再研究平均曲率半徑及任意方向的法截基礎上再研究平均曲率半徑及任意方向的法截線曲率半徑公式。線曲率半徑公式。18 子午圈曲率半徑子午圈曲率半徑 如圖所示為一段子午橢圓，其中如圖所示為一段子午橢圓，其中DK 為一微小弧素，長度為一微小弧素，長度為為dS ，與之相應的緯度無窮小增量是，與之相應的緯度無窮小增量是dB 。若弧素。若弧素dx 的曲率中心為的曲率中心為 n ，此時線段，此時線段 Dn或或 Kn 可以認為等于子午可以認為等于子午圈曲率半徑圈曲率半徑 。 根據求任意曲線曲率半徑的根據求任意曲線曲率半徑的公式可以寫出公式可以寫出dBdSM 19BdxdSsinBdBdxMs

12、in1WBaxcos2cossinWdBdWBBWadBdxWBBedBBeddBdWcossinsin1222)1 (sin23eWBadBdx橢球面上幾種曲率半徑橢球面上幾種曲率半徑2023(1)aeMW3VcM 橢球面上幾種曲率半徑橢球面上幾種曲率半徑21 卯酉圈曲率半徑卯酉圈曲率半徑( (NN) ) 卯酉圈卯酉圈: :過橢球面上一點的法線，可作無過橢球面上一點的法線，可作無限個法截面，其中一個與該點子午面相限個法截面，其中一個與該點子午面相垂直的法截面同橢球面相截形成的閉合垂直的法截面同橢球面相截形成的閉合的圈稱為卯酉圈。的圈稱為卯酉圈。 麥尼爾定理麥尼爾定理: : 假設通過曲面上一點

13、引兩條截弧，一為假設通過曲面上一點引兩條截弧，一為法截弧，一為斜截弧，且在該點上這兩法截弧，一為斜截弧，且在該點上這兩條截弧具有公共切線，這時斜截弧在該條截弧具有公共切線，這時斜截弧在該點處的曲率半徑等于法截弧的曲率半徑點處的曲率半徑等于法截弧的曲率半徑乘以兩截弧平面夾角的余弦乘以兩截弧平面夾角的余弦。橢球面上幾種曲率半徑橢球面上幾種曲率半徑22BNrcosWBarxcosWaN VcN BrBPONPncoscos橢球面上幾種曲率半徑橢球面上幾種曲率半徑23 卯酉圈曲率半徑的特點卯酉圈曲率半徑的特點: : 卯酉圈曲率半徑恰好等于法線介于橢球面和短軸卯酉圈曲率半徑恰好等于法線介于橢球面和短軸之

14、間的長度，亦即卯酉圈的曲率之間的長度，亦即卯酉圈的曲率中心位在橢球的旋轉中心位在橢球的旋轉軸上。軸上。 橢球面上幾種曲率半徑橢球面上幾種曲率半徑24主曲率半徑的計算主曲率半徑的計算 以上討論的子午圈曲率半徑以上討論的子午圈曲率半徑M M及卯酉圈曲率半徑及卯酉圈曲率半徑N N，是兩個互相垂直的法截弧的曲率半徑，這在微分幾何中是兩個互相垂直的法截弧的曲率半徑，這在微分幾何中統稱為主曲率半徑。統稱為主曲率半徑。 23222)sin1)(1 (BeeaM2122)sin1 (BeaNBmBmBmBmmM886644220sinsinsinsinBnBnBnBnnN886644220sinsinsins

15、in橢球面上幾種曲率半徑橢球面上幾種曲率半徑256284262240222089674523)1 (memmemmemmemeam628426224022087654321nennennennenan橢球面上幾種曲率半徑橢球面上幾種曲率半徑262322)cos1(BecM2122)cos1 (BecNBmBmBmBmmM886644220coscoscoscosBnBnBnBnnN886644220coscoscoscos橢球面上幾種曲率半徑橢球面上幾種曲率半徑271011) (89674523)1 (/821062842622402220memmemmemmemmemeacm109) (87

16、6543211/821062842622402220nennennennenneneacn28 任意法截弧的曲率半徑任意法截弧的曲率半徑 NAMARA22sincos1AMANMNRA22sincos21VMNABeNANRA2222coscos1cos1)coscos1 (4422AANRA橢球面上幾種曲率半徑橢球面上幾種曲率半徑29 任意法截弧的曲率半徑的變化規律: 不僅與點的緯度不僅與點的緯度B有關，而且還與過該點的法有關，而且還與過該點的法截弧的方位角截弧的方位角A有關。有關。 當時，變為計算子午圈曲率半徑的，即當時，變為計算子午圈曲率半徑的，即； 當當90時，為卯酉圈曲率半徑，即時，

17、為卯酉圈曲率半徑，即。主曲率半徑。主曲率半徑M及及N分別是分別是的極小值和極大值的極小值和極大值。 當當A由由090時，時，之值由之值由，當，當A由由90180時，時，值由值由N，可見，可見值的變化是以值的變化是以90為周期且與子午圈和卯酉圈對稱的。為周期且與子午圈和卯酉圈對稱的。 橢球面上幾種曲率半徑橢球面上幾種曲率半徑30l 平均曲率半徑平均曲率半徑 橢球面上任意一點的平均曲率半徑橢球面上任意一點的平均曲率半徑 R R 等于該點子午等于該點子午圈曲率半徑圈曲率半徑M M和卯酉圈曲率半徑和卯酉圈曲率半徑N N的幾何平均值。的幾何平均值。 MNR 22221eWaVNVcWbR橢球面上幾種曲率

18、半徑橢球面上幾種曲率半徑31 M，N，R的關系 MRNcMRN909090橢球面上幾種曲率半徑橢球面上幾種曲率半徑32 對于克拉索夫斯基橢球橢球面上幾種曲率半徑橢球面上幾種曲率半徑334.4 橢球面上的弧長計算橢球面上的弧長計算 子午線弧長計算公式子午線弧長計算公式 MdBdx BMdBX0BmBmBmBmmM886644220sinsinsinsin34橢球面上的弧長計算橢球面上的弧長計算BBBBBBBBBBBBBB8cos12816cos1614cos3272cos16712835sin6cos3214cos1632cos3215165sin4cos812cos2183sin2cos212

19、1sin8642BaBaBaBaaM8cos6cos4cos2cos86420BaBaBaBaBaX8sin86sin64sin42sin2864203512816323271638167321522128351653288866864486422864200mammammmammmmammbmmma橢球面上幾種曲率半徑橢球面上幾種曲率半徑36 如果以如果以B B9090代入，則得子午橢圓在一個象限內的弧代入，則得子午橢圓在一個象限內的弧長約為長約為10 002 13710 002 137m m。旋轉橢球的子午圈的整個弧長約旋轉橢球的子午圈的整個弧長約為為40 008 549.99540 00

20、8 549.995m m。即一象限子午線弧長約為即一象限子午線弧長約為10 10 000000kmkm，地球周長約為地球周長約為40 00040 000kmkm。 為求子午線上兩個緯度為求子午線上兩個緯度B及間的弧長，只需按及間的弧長，只需按(11.42)式分別算出相應的式分別算出相應的X及及X，而后取差：而后取差：，該，該即為所求的弧長。即為所求的弧長。 當弧長甚短當弧長甚短( (例如例如X40kmX40km，計算精度到計算精度到0.0010.001m)m)，可視可視子午弧為圓弧，而圓的半徑為該圓弧上平均緯度點的子午弧為圓弧，而圓的半徑為該圓弧上平均緯度點的子午圈的曲率半徑子午圈的曲率半徑M

21、 M 橢球面上的弧長計算橢球面上的弧長計算37 由子午弧長求大地緯度 迭代解法迭代解法: : 平行圈弧長公式 01/ aXBf01/)(aBFXBifififififififBaBaBaBaBF8sin86sin64sin42sin2)(8642cos1lblBNS橢球面上的弧長計算橢球面上的弧長計算38橢球面上的弧長計算橢球面上的弧長計算 子午線弧長和平行圈弧長變化的比較子午線弧長和平行圈弧長變化的比較394.5 大地線大地線 兩點間的最短距離，在平面上是兩點間的直線，在兩點間的最短距離，在平面上是兩點間的直線，在球面上是兩點間的大圓弧，那么在橢球面上又是怎樣的球面上是兩點間的大圓弧，那么在

22、橢球面上又是怎樣的一條線呢一條線呢? ? 它應是大地線。它應是大地線。 相對法截線相對法截線 2211sinsinBnQOnBnQOnbbaa222121sinsinBeNOnBeNOnba40 相對法截線相對法截線 大地線大地線41 相對法截線的特點相對法截線的特點: :當當A，B兩點位于同一子午圈或同一平行圈上兩點位于同一子午圈或同一平行圈上時，正反法截線則合二為一。時，正反法截線則合二為一。在通常情況下，正反法截線是不重合的。因此在通常情況下，正反法截線是不重合的。因此在橢球面上在橢球面上A，B，C三個點處所測得的角度三個點處所測得的角度(各點上正法截線之夾角各點上正法截線之夾角)將不能

23、構成閉合三角將不能構成閉合三角形。為了克服這個矛盾，在兩點間另選一條單形。為了克服這個矛盾，在兩點間另選一條單一的大地線代替相對法截線，從而得到由大地一的大地線代替相對法截線，從而得到由大地線構成的單一的三角形。線構成的單一的三角形。 大地線大地線42大地線大地線大地線的定義和性質大地線的定義和性質橢球面上兩點間的最短程曲線叫橢球面上兩點間的最短程曲線叫大地線大地線。43 大地線的性質大地線的性質: : 大地線是兩點間惟一最短線，而且位于相對法大地線是兩點間惟一最短線，而且位于相對法截線之間，并靠近正法截線，它與正法截線間截線之間，并靠近正法截線，它與正法截線間的夾角的夾角 在橢球面上進行測量

24、計算時，應當以兩點間的在橢球面上進行測量計算時，應當以兩點間的大地線為依據。在地面上測得的方向、距離等，大地線為依據。在地面上測得的方向、距離等，應當歸算成相應大地線的方向、距離。應當歸算成相應大地線的方向、距離。 長度差異可忽略長度差異可忽略, ,方向差異需改化。方向差異需改化。 31大地線大地線44 大地線的微分方程和克萊勞方程大地線的微分方程和克萊勞方程 大地線的微分方程大地線的微分方程45AdSMdBcosdSMAdBcosAdSBdLNsincosdSBNAdLcossin)sin(sinsindBBdLdABdLdAsinBdSNAdAtansincos(90)sinsin(90(

25、90)dAdLBdB大地線的微分方程大地線的微分方程46dSMAdBcosBNBdBMAAdAcossincossincossinrNB MBdBdrCrAlnlnsinlnCAr sinBdSNAdAtansin大地線的微分方程大地線的微分方程大地線的克萊勞方程大地線的克萊勞方程 在旋轉橢球面上，大地線各點的平行圈半徑在旋轉橢球面上，大地線各點的平行圈半徑與大地線在該點的大地方位角的正弦的乘積等于與大地線在該點的大地方位角的正弦的乘積等于常數。式中常數常數。式中常數C也叫大地線常數也叫大地線常數 47 當大地線穿越赤道時當大地線穿越赤道時 當大地線達極小平行圈時當大地線達極小平行圈時 由克萊

26、勞方程可以寫出由克萊勞方程可以寫出 0sin AaC 0090sinrrC2112sinsinAArrCABNsincosCAuasincos484.6 將地面觀測值歸算至橢球面將地面觀測值歸算至橢球面 觀測的基準線不是各點相應的橢球面的法線，而觀測的基準線不是各點相應的橢球面的法線，而是各點的垂線，各點的垂線與法線存在著垂線偏差。是各點的垂線，各點的垂線與法線存在著垂線偏差。 歸算的兩條基本要求：歸算的兩條基本要求： 以橢球面的法線為基準；以橢球面的法線為基準； 將地面觀測元素化為橢球面上大地線的相應元素將地面觀測元素化為橢球面上大地線的相應元素。 將地面觀測的水平方向歸算至橢球面將地面觀測

27、的水平方向歸算至橢球面 將水平方向歸算至橢球面上，包括垂線偏差改正、將水平方向歸算至橢球面上，包括垂線偏差改正、標高差改正及截面差改正，習慣上稱此三項改正為標高差改正及截面差改正，習慣上稱此三項改正為三三差改正差改正。 49垂線偏差改正垂線偏差改正 以測站以測站A為中心為中心作出單位半徑的作出單位半徑的輔助球輔助球, ,u是垂線是垂線偏差，它在子午偏差，它在子午圈和卯酉圈上的圈和卯酉圈上的分量分別以分量分別以,表示，表示，M是地面觀測目標是地面觀測目標m在球在球面上的投影。垂線偏差對水平方向的影響是面上的投影。垂線偏差對水平方向的影響是(R-R1) 11tan)cossin(cot)cossi

28、n(mmmmuAAZAA地面觀測值歸算至橢球面地面觀測值歸算至橢球面50 標高差改正 222212cossin22heHBAMaHH常2地面觀測值歸算至橢球面地面觀測值歸算至橢球面51 截面差改正截面差改正 2222111() cossin 212geSBAN 地面觀測值歸算至橢球面地面觀測值歸算至橢球面52 將地面觀測的長度歸算至橢球面將地面觀測的長度歸算至橢球面 基線尺量距的歸算基線尺量距的歸算 將基線尺量取的長度加上測段傾斜改正后，將基線尺量取的長度加上測段傾斜改正后，可以認為它是基線平均高程面上的長度，以可以認為它是基線平均高程面上的長度，以表示，現要把它歸算至參考橢球面上的大地線長表

29、示，現要把它歸算至參考橢球面上的大地線長度度S。 1. 1.垂線偏差對長度歸算的影響垂線偏差對長度歸算的影響 )(22122121HHuuhuuSu地面觀測值歸算至橢球面地面觀測值歸算至橢球面532.高程對長度歸算的影響高程對長度歸算的影響 RHRHRSSmm10101RHSSm2201RHRHSSmm2200RHSRHSSmmH)(21122110HHuuRHSSm地面觀測值歸算至橢球面地面觀測值歸算至橢球面54電磁波測距的歸算電磁波測距的歸算 12212coscos1ABeNRA)( 2)()(cos2122221HRHRDHRHRAAAAAARSRS2sin21coscos2)(4)(2

30、sin1221222HRHRHHDRSAAA地面觀測值歸算至橢球面地面觀測值歸算至橢球面55)1)(1()(1arcsin221212AAAARHRHDHHRDRS232121224)1)(1 ()(1AAARDRHRHDHHDS232242AAmRDRHDDhDS2322241AAmRDRHhDS)1)(1 ()(121212AARHRHDHHDd地面觀測值歸算至橢球面地面觀測值歸算至橢球面56 大地測量主題解大地測量主題解算算4.7.1 大地主題解算的一般說明大地主題解算的一般說明 主題解算分為主題解算分為: : 短距離短距離(400(400kmkm) ) 中距離中距離(1000(1000

31、km)km) 長距離長距離(1000(1000kmkm以上以上) ) 111 21 2222 1(,) ,(,) ,P B L S A P B L A12正 算 : 已 知 求11221 21 22 1(,),(,),P B L P B L S A A12反 算 : 已 知 ， 求571.以大地線在大地坐標系中的微分方程為基礎，直以大地線在大地坐標系中的微分方程為基礎，直接在地球橢球面上進行積分運算。接在地球橢球面上進行積分運算。 主要特點：解算精度與距離有關，距離越長，主要特點：解算精度與距離有關，距離越長，收斂越慢，因此只適用于較短的距離收斂越慢，因此只適用于較短的距離 典型解法：典型解法

32、：高斯平均引數法高斯平均引數法 212121212121co ssinco stansinPPPPPPABBd SMALLd SNBBAAA d SNc o ss i nc o st a ns i nd BAd SMd LAd SNBd ABAd SN 大地測量主題解算大地測量主題解算582.以白塞爾大地投影為基礎以白塞爾大地投影為基礎1)1)按橢球面上的已知值計算球面相應值，即實現橢球面按橢球面上的已知值計算球面相應值，即實現橢球面 向球面的過渡；向球面的過渡；2)2)在球面上解算大地問題；在球面上解算大地問題；3)3)按球面上得到的數值計算橢球面上的相應數值，即實按球面上得到的數值計算橢球

33、面上的相應數值，即實現從圓球向橢球的過渡。現從圓球向橢球的過渡。典型解法：典型解法：白塞爾大地主題解算白塞爾大地主題解算 特點：特點：解算精度與距離長短無關，它既適用于短距離解算精度與距離長短無關，它既適用于短距離解算，也適用于長距離解算。可適應解算，也適用于長距離解算。可適應20 00020 000kmkm或更長的或更長的距離，這對于國際聯測，精密導航，遠程導彈發射等都距離，這對于國際聯測，精密導航，遠程導彈發射等都具有重要意義。具有重要意義。 大地測量主題解算大地測量主題解算594.7.2 勒讓德級數式勒讓德級數式 為了計算為了計算 的級數展開式，關鍵問題是推求的級數展開式，關鍵問題是推求

34、各階導數。各階導數。22332111112323nnnd BSdBd BSd BSBBBSdSndSdSdS()()()()! 2221BB S LL S AA S( ),( ),( ) 1112000BB LL AA( ),( ),( ) 22332111112323nnnd LSdLd LSd LSLLLS dSndSdSdS()()()()! 22332111112318023nnnd ASdAd ASd ASAAASdSndSdSdS()()()()! B L A, 大地測量主題解算大地測量主題解算60 一階導數：一階導數：3coscossinsecsincostansintansin

35、dBAVAdSMcdLAVBBdSNBcdABVABAdSNc 二階導數：二階導數：242222234 190()()(cossin)()d BdB dBdB dAVtAA dSB dS dSA dS dSc 大地測量主題解算大地測量主題解算61 三階導數三階導數22222()()secsincos(4 192)d LdL dBdL dAVtBAA dSB dS dSA dS dSc 2222221 24 194()()sin cos ()()d AdA dBdA dAVAAt dSB dS dSA dS dSc 352222 22222331 39312 2d BVAAttAt5 t dSc

36、cos sin()cos() 32322d LVtBAA dScsec sin cos 332222233213d LVBAA+ ttA dScsecsincos()sin 大地測量主題解算大地測量主題解算621cosuSA 1sinvSA 大地測量主題解算大地測量主題解算63 大地測量主題解算大地測量主題解算64 大地測量主題解算大地測量主題解算65 4.7.3 高斯平均引數正算公式高斯平均引數正算公式 高斯平均引數正算公式推導高斯平均引數正算公式推導的基本思想：的基本思想： 首先把勒讓德級數在首先把勒讓德級數在 P P點展點展開改在大地線長度中點開改在大地線長度中點M M展開，以展開，以使

37、級數公式項數減少，收斂快，使級數公式項數減少，收斂快，精度高；其次，考慮到求定中點精度高；其次，考慮到求定中點 M M 的復雜性，將的復雜性，將 M M 點用大地線兩點用大地線兩端點平均緯度及平均方位角相對端點平均緯度及平均方位角相對應的應的 m m 點來代替，并借助迭代計點來代替，并借助迭代計算算便可順利地實現大地主題正解。便可順利地實現大地主題正解。 大地測量主題解算大地測量主題解算6621,22SSMP MP 223322311()()()(4200)22468MMdBSd B Sd B SBB dSdSdS223312311()()()(4201)22468MMMMdBSd BSd B

38、SBB dSdSdS (1)建立級數展開式建立級數展開式: 33213()()(4202)24MMdBd BBBBSS dSdS 大地測量主題解算大地測量主題解算67mMmMBB AA, 3321324MMdLd LLLLSSdSdS()() 332112324MMdAd AAAASSdSdS()() 2121121118022mmBBB AAA(),() 同理可得同理可得: MMmm BABA,(2) 大地測量主題解算大地測量主題解算68MmmMmMmmmdBfff BABBAAdSBA()(,)()()()() +22222288MmMmSd AAAdSSd A dS()() MMMmMm

39、mMmdBf BAF BBB AAAdS()(,)(,) +MmmMmMmmmdBdBdBdSdSf BABBAAdSBA()()()(,)()()()() +22222288MmMmSd BBBdSSd B dS()() 大地測量主題解算大地測量主題解算69 大地測量主題解算大地測量主題解算32mmmmmmmmAVVdBAAdSMcNcos()coscos 323mmmmmmmVdBAdSctABBN()(cos)()cos (3)由大地線微分方程依次求偏導數由大地線微分方程依次求偏導數:32mmmmmmVdBAVdScAAAN()(cos)()sin 70222222222388mMmmm

40、mmmmmS VSd BBBtAtAdSN()(sincos) 22222221288MmmmmmmmSd ASAAAAt dSN()sincos() 222222223223333812mmMmm mmmmmmm22mmmmmmVVdBSSAA tAAS +dSNNV AAt +S +5 8N()coscos(sincos)sincos()次 大地測量主題解算大地測量主題解算7123322222332222313924243155mMmmmmmmm22mmmmmmVSd BAAtt +dSN At +tS + ()cossin()cos() 次22222212222221232243195m

41、mmmmmmmmmm mVSBBBSAAtNN At()cossin()cos() 次大地測量主題解算大地測量主題解算72 同理可得：同理可得：22222222124195mmmmmmmmmmSLSBAAtNN Atsecsinsincos() 次22222242221279245225m mmmmmmmmmmmSASA tAtNN Atsincos()sin() 次大地測量主題解算大地測量主題解算73 注意：注意： 從公式可知，欲求從公式可知，欲求，及及，必先有，必先有, ,。但由于。但由于2 2和和2121未知，故精確值尚不知，為此須未知，故精確值尚不知，為此須用逐次趨近的迭代方法進行公式

42、的計算。用逐次趨近的迭代方法進行公式的計算。 除此之外，此方法適合與除此之外，此方法適合與200公里以下的大地問題解算，公里以下的大地問題解算，其計算經緯計算精度可達到其計算經緯計算精度可達到0.0001”, 方位角計算精度方位角計算精度可達到可達到0.001”。21211111()222mBBBBBBBB1212m AAA21212112,180BBB LLL AAA744.7.4 高斯平均引數反算公式高斯平均引數反算公式 高斯平均引數反算公式可以依正算公式導出:上述兩式的主式為:222222222sinsincossin24cos(19)mmmmmmmmmm mSALSANBS tAN S

43、At2222222222222coscossin(232)243cos(14)mmmmmmmmmmmmm mNSABSASAtVN SAtt 2sincos,cosmmmmmmNLBSANB SAV75230 12 10 3AtLtBLtL 2301210323101230mmSArLrBLrLSAsBsBLsBsincos 3222201210333192424mmmmmmmm mmNNBNBrB rt rtcoscoscos,(), 2222222101230233233248mmmmmmmmmmmNNBNs stt stVcos,(),() 2432012103221132212412m

44、mm mmmm mmttB tB t tB tcos,cos(),cos() 76已知：求得：1474652.6470B 135 49 36.3300L 1244 12 13.6640A 44 797.2826S m248 04 09.6384B 23614 45.0004L 2122430.550A 53122111,18022mmAAA AAAsintancosmmmSAASAsinsinmmSASA774.7.5 白塞爾大地主題解算方法白塞爾大地主題解算方法 白塞爾法解算大地主題的基本思想白塞爾法解算大地主題的基本思想: : 以輔助球面為基礎以輔助球面為基礎, ,將橢球面三角形轉換為輔將

45、橢球面三角形轉換為輔助球面的相應三角形助球面的相應三角形, ,由三角形對應元素關系由三角形對應元素關系, ,將將橢球面上的大地元素按照白塞爾投影條件投影到橢球面上的大地元素按照白塞爾投影條件投影到輔助球面上，然后在球面上進行大地主題解算，輔助球面上，然后在球面上進行大地主題解算，最后再將球面上的計算結果換算到橢球面上。最后再將球面上的計算結果換算到橢球面上。 這種方法的關鍵問題是找出橢球面上的大地這種方法的關鍵問題是找出橢球面上的大地元素與球面上相應元素之間的關系式元素與球面上相應元素之間的關系式, ,同時也要同時也要解決在球面上進行大地主題解算的方法。解決在球面上進行大地主題解算的方法。 1

46、2121212,BBAAL S 78 在球面上進行大地主題解算在球面上進行大地主題解算 球面上大地主題正算球面上大地主題正算: : 已知已知 求解求解 球面上大地主題反算球面上大地主題反算: : 已知已知 求解求解22 , 11 , 12 , 12 , 791、球面三角元素間的相互關系、球面三角元素間的相互關系12211121221212 a b c sinsinsincos( )sinsinsincos( )sincoscossinsincoscos( )sincossincoscossinc 12122111221112211 d e f g os()cossinsincoscoscos(

47、 )coscoscoscossinsincos()coscossinsincoscoscos()cossincossin 2111 h i( )sinsincoscossincos( ) 80 球面上大地主題正解112, 2已 知 求,2111sinsincoscossin cos( ) i1111sinsintan( ) ( )coscossinsincos af112111cossintan( ) ( )coscos cossinsin hg81 球面上大地主題反解方法球面上大地主題反解方法 1212, 已 知， 求,121212sin costan( ) ( )coscoscossinc

48、osu bduuuu211212sin costan( ) ( )cossinsincoscosp acq111212sincostan( )sinsincoscoscospq p822 2 、橢球面和球面上坐標關系式、橢球面和球面上坐標關系式83 在橢球面上與單位球面上的大地線微分方程為在橢球面上與單位球面上的大地線微分方程為:AdBdSMAdLdSNBBdAAdSNcossincostansin dddddAdcossincostansin 423842394240dBBdS dMddLAdS dNBddABA dS dNdcos()coscossin()cossintansin()tan

49、sin 84白塞爾提出如下三個投影條件：白塞爾提出如下三個投影條件：1. 1.橢球面大地線投影到球面上為大圓弧橢球面大地線投影到球面上為大圓弧2.2.大地線和大圓弧上相應點的方位角相等；大地線和大圓弧上相應點的方位角相等；3.3.球面上任意一點緯度等于橢球面上相應點的歸球面上任意一點緯度等于橢球面上相應點的歸化緯度化緯度。 121212,Aa Aa2111111tan1tantan(1)tanueBuBu2222122tan1tantan(1)tanueBuBu85,?S L 2211dSNNucaNeedBABVVtansintantansintan 2222222222222111111e

50、VeBWue VueueVcoscoscoscos 423842394240dBBdS dMddLAdS dNBddABAdS dNdcos()coscossin()cossintansin()tansin 862122211PPLLLeudcos 221dLeudcos 21222211ppdSaeuSaeuddcoscos 1dLudSudNB dBVcossincossin 以上為白塞爾微分方程以上為白塞爾微分方程.87 3 、白塞爾微分方程的積分白塞爾微分方程的積分21221ppSaeudcos 1019090uAcos()sin()sin 2221011uAcoscossin 212

51、12220222201111ppppSaeAd =aeeAd(cossin)cossin 882201Sbkd(sin) kkkk246221 2246(1sin)1sinsinsin2816 24611222311248285153124616321632xxxxxxxxxsincossincoscossincoscoscoskeA2220cos 89 積分得到下式：積分得到下式：1111122222sin 2sin 2cos 2sin 2sin 2cos 2SABCSABC11222222SABCBCsin(cos)sin(cos) 2462464635146 42 5 61 583 21

52、 0 2 431 2 85 1 6kkkAbkkBbkkCbk()()() 90 反算反算: 正算正算: 迭代法迭代法: 直接法直接法:1122sin 2(cos2)sin 2(cos2)SABCBC111112222SBCBCAsin(cos)sin ()(cos () 011122SBCAsin(cos) 001101522BCAcos ()sin () 91 適合于反算適合于反算: 適合于正算適合于正算: 迭代法迭代法: 直接法直接法:1122sin 2(cos 2)sin 2(cos 2)SABCBC111112222SBCBCAsin(cos)sin ()(cos () 011122

53、SBCAsin(cos) 001101522BCAcos ()sin ()922122211QQLLLeudcos 212124624621246242128162816QQQQeeeLLLuuudeee uuud(coscoscos(coscos)cos 22201uAcoscossin 09090AAucos()sin sin() AddNusincos 20udAdcossin 93 將三角函數冪級數用倍角函數代替，合并同類項，積分。截去4倍角項，其值小于0.0001秒。212464622006440281681616QQeeeeeLAAe + +Ad sin()()cossin()co

54、ssin 94 正算：正算： 反算：反算：1111AuuAsinsintancoscossinsincos 2102122LLLAsin(sinsin) 02122LAsin(sinsin) 246466240046624003281616 16128323264eeeeeeAAeeeAA() ()cos()cos()cos()cos 954 白塞爾法大地主題正算步驟白塞爾法大地主題正算步驟 1.計算起點的歸化緯度計算起點的歸化緯度2.計算輔助函數值，解球面三角形可得計算輔助函數值，解球面三角形可得: :3. 3. 按公式計算相關系數按公式計算相關系數A,B,CA,B,C以及以及, 11112

55、22221BLAAS B LAA,(),()22111WeBsin 21111 euBWsinsin 1111uBWcoscos 011111AuA tgtguAsincossinsec 96 4.計算球面長度計算球面長度 迭代法迭代法: : 直接法直接法:111112222SBCBCAsin(cos)sin ()(cos () 011122SBCAsin(cos) 10101022222sin ()sinsincoscos 10101022222cos ()coscossinsin 001101522BCAcos ()sin ()97 5.計算經度差改正數計算經度差改正數 6.計算終點大地坐

56、標及大地方位角計算終點大地坐標及大地方位角 010122LAsin(sin()sin) 2111uuuAsinsincoscoscossin 2222222222222222222222111111111euB uBWW ueBuu B Barctaneueusinsincoscostantansinsintancos-cos 98112111uAAarctanuAucossincoscoscossinsin 1111AarctanuuAsinsincoscossinsincos 21LL 995 白塞爾法大地主題反算步驟白塞爾法大地主題反算步驟 1. 1.輔助計算輔助計算112112BLBL

57、 AAS,21lLL 22111WeBsin 22221WeBsin 21111BueWsinsin 22221BueWsinsin 111BuWcoscos 222BuWcoscos 112auusinsin 212auucoscos 112buucossin 212buusincos 1002.用逐次趨近法同時計算起點大地方位角、球面長度及用逐次趨近法同時計算起點大地方位角、球面長度及經差經差 ，第一次趨近時，取第一次趨近時，取。211212upAuuuuqsincostancossinsincoscos 2121ppu qbb Aarctanqsincoscos 11pAqAsincos

58、tancos 11pAqAsinsincos 12aacoscos arctansincos L 101 計算下式計算下式,重復上述計算過程重復上述計算過程2.3. 計算大地線長度計算大地線長度S 4. 計算反方位角計算反方位角21+ 111uAtantansec 011AuAsincossin 02122LAsin(sinsin) L 11222222SABCBCsin(cos)sin(cos) 1212uAbbc o ss ina r c t a nc o s 102103104),(),(21BLFyBLFx4.8 地圖數學投影變換的基本概念地圖數學投影變換的基本概念 1、地圖數學投影變

59、換的意義和投影方程、地圖數學投影變換的意義和投影方程 所謂地圖數學投影，簡略地說來就是將橢球面上元素所謂地圖數學投影，簡略地說來就是將橢球面上元素(包括坐標，方位和距離包括坐標，方位和距離)按一定的數學法則投影到平面按一定的數學法則投影到平面上，研究這個問題的專門學科叫地圖投影學。上，研究這個問題的專門學科叫地圖投影學。投影變換的基本概念投影變換的基本概念105 2 、地圖投影的變形地圖投影的變形1.長度比長度比 : 長度比長度比m就是投影面上一段無限小的微分線段就是投影面上一段無限小的微分線段ds，與橢球面上相應的微分線段與橢球面上相應的微分線段dS二者之比。二者之比。 不不同點上的長同點上

60、的長度比不相同，而且同一點上不同方向的長度比也不相同度比不相同，而且同一點上不同方向的長度比也不相同 1212012p pPPmP Plim dsmdS 投影變換的基本概念投影變換的基本概念1062.主方向和變形橢圓主方向和變形橢圓 投影后一點的長度比依方向不同而變化。其中最大及投影后一點的長度比依方向不同而變化。其中最大及最小長度比的方向，稱為主方向。最小長度比的方向，稱為主方向。 在橢球面的任意點上，必定有一對相互垂直的方向，它在橢球面的任意點上，必定有一對相互垂直的方向，它在平面上的投影也必是相互垂直的。這兩個方向就是長度比在平面上的投影也必是相互垂直的。這兩個方向就是長度比的極值方向，