1、第四章 頻率特性分析 時域分析法的缺點：時域分析法的缺點：（1 1）高階系統的分析難以進行；）高階系統的分析難以進行；（2 2）當系統某些元件的傳遞函數難以列寫時，）當系統某些元件的傳遞函數難以列寫時， 整個系統的分析工作將無法進行。整個系統的分析工作將無法進行。（3 3）物理意義欠缺。）物理意義欠缺。 4-0 引言 頻率響應法是二十世紀三十年代發展起來的一種頻率響應法是二十世紀三十年代發展起來的一種經典工經典工程實用程實用方法方法,是一種利用是一種利用頻率特性頻率特性進行控制系統分析的進行控制系統分析的圖解方圖解方法法,可方便地用于控制工程中的可方便地用于控制工程中的系統分析與設計系統分析與

2、設計。頻率法用于。頻率法用于分析和設計系統有如下優點：分析和設計系統有如下優點： （1）不必求解系統的特征根，采用較簡單的圖解方法就可研不必求解系統的特征根，采用較簡單的圖解方法就可研究系統的穩定性。究系統的穩定性。由于頻率響應法主要通過由于頻率響應法主要通過開環頻率特性開環頻率特性的圖的圖形對系統進行分析，因而具有形象直觀和計算量少的特點。形對系統進行分析，因而具有形象直觀和計算量少的特點。 （2）系統的頻率特性可用實驗方法測出。系統的頻率特性可用實驗方法測出。頻率特性具有明確頻率特性具有明確的物理意義，它可以用實驗的方法來確定，這對于難以列寫微的物理意義，它可以用實驗的方法來確定，這對于難

3、以列寫微分方程式的元部件或系統來說，具有重要的實際意義。分方程式的元部件或系統來說，具有重要的實際意義。 （3）可推廣應用于某些非線性系統。可推廣應用于某些非線性系統。頻率響應法不僅適頻率響應法不僅適用于線性定常系統，而且還適用于傳遞函數中用于線性定常系統，而且還適用于傳遞函數中含有延遲環節的含有延遲環節的系統和部分非線性系統的分析。系統和部分非線性系統的分析。 （4）用頻率法設計系統，用頻率法設計系統，可方便設計出能有效抑制噪聲可方便設計出能有效抑制噪聲的系統的系統。 13:33機械振動與頻率特性在機械工程中，機械振動與頻率特性有密切的關系。機械受到一定頻率的作用力時產生強迫振動，由于內反饋

4、還會引起自激振動。機械振動學中的共振頻率、頻譜密度、動剛度、抗振穩定性等概念都可歸結為機械系統 在頻率域中表現的特性。頻域法能簡便而清晰地建立這些概念。4-1 頻率特性基本概念頻率特性基本概念一一. 概念概念頻率響應：系統對頻率響應：系統對正弦信號正弦信號（或諧波（或諧波信號）的穩態響應。信號）的穩態響應。線性定常系統對于正弦信號的響應也線性定常系統對于正弦信號的響應也和其他典型信號響應一樣，包含和其他典型信號響應一樣，包含瞬態瞬態響應響應和和穩態響應穩態響應，其瞬態部分不是正，其瞬態部分不是正弦波形，弦波形，穩態部分是和輸入正弦信號穩態部分是和輸入正弦信號頻率相同的正弦波形，但是振幅及相頻率

5、相同的正弦波形，但是振幅及相位都與輸入量不同。位都與輸入量不同。例題例題41：機械系統如圖，機械系統如圖，k為彈簧剛度系數，為彈簧剛度系數，單位單位Nm，c是阻尼系數，單位是阻尼系數，單位m/sN，當輸入正弦力，當輸入正弦力f(t)=Fsint求其位移求其位移x(t)的穩態輸出。式中的穩態輸出。式中F是力的振幅，單位是力的振幅，單位N.解：解：該系統的傳遞函數為該系統的傳遞函數為 位移輸出位移輸出x(t)的拉氏變換為的拉氏變換為 11111X skkG scF scskTssk 2222111kFabsdX sTssTsskcxf(t)=Fsint,T=C/K,時間常數時間常數取拉氏反變換加以

6、整理可得到位移輸出取拉氏反變換加以整理可得到位移輸出x(t)右邊第一項為穩態分量右邊第一項為穩態分量，第二項為瞬態分量。，第二項為瞬態分量。隨時間隨時間t ， 瞬態分量衰減為零，所以穩態位移瞬態分量衰減為零，所以穩態位移輸出為輸出為式中式中X=A()F為位移的振幅為位移的振幅， 2222sin11t TF kT F kx ttarctg TeTT 221sin1sinsinkx tFtarctg TTAFTXT 2 21, , 1kXcAarctg T TFkT 結論：結論：1）正弦輸入及其穩態輸出是頻率相同的正弦信號。）正弦輸入及其穩態輸出是頻率相同的正弦信號。2）位移輸出的幅值）位移輸出的

7、幅值X與輸入力的幅值與輸入力的幅值F成比例，比成比例，比例系數例系數A()以及輸入輸出間的相位角以及輸入輸出間的相位角()， 兩個兩個量都是頻率量都是頻率的函數，并與系統參數的函數，并與系統參數k、c有關。有關。顯然，頻率響應只是時間響應的一個特例。不過當諧波的頻率顯然，頻率響應只是時間響應的一個特例。不過當諧波的頻率不同時，上式中的幅值與相位也不同。這恰好提供了有關系統不同時，上式中的幅值與相位也不同。這恰好提供了有關系統本身特性的重要信息。從這個意義上說，本身特性的重要信息。從這個意義上說，研究頻率響應或者研研究頻率響應或者研究下面將要介紹的究下面將要介紹的就是在頻域中研究系統的特性就是在

8、頻域中研究系統的特性。二、二、 頻率特性及其求法頻率特性及其求法 頻率特性頻率特性就是指線性系統或環節在正弦函數作用就是指線性系統或環節在正弦函數作用下，穩態輸出與輸入之比對頻率的關系特性。又下，穩態輸出與輸入之比對頻率的關系特性。又稱稱正弦傳遞函數正弦傳遞函數。頻率特性是個。頻率特性是個復數復數，可分別用，可分別用幅值幅值相角相角來表示。來表示。頻率特性一般可通過以下三種方法得到頻率特性一般可通過以下三種方法得到: (1)根據已知系統的微分方程或傳遞函數，把根據已知系統的微分方程或傳遞函數，把輸入以正弦函數代入，求其穩態解，取輸出穩態輸入以正弦函數代入，求其穩態解，取輸出穩態分量和輸入正弦函

9、數的復數之比即得。分量和輸入正弦函數的復數之比即得。 (2)根據傳遞函數來求取。根據傳遞函數來求取。 (3)通過實驗測得。通過實驗測得。 或或G(jw)它描述了在穩態情況下，它描述了在穩態情況下，當系統輸入不同頻率的諧當系統輸入不同頻率的諧波信號時，其幅值的衰減波信號時，其幅值的衰減或增大特性。或增大特性。它描述了在穩態情況下，當系統輸它描述了在穩態情況下，當系統輸入不同頻率的諧波信號時，其相位入不同頻率的諧波信號時，其相位產生超前產生超前()0或滯后或滯后()0的特性。規定的特性。規定按逆時針方向旋轉為按逆時針方向旋轉為正值，按順時針方向旋轉為負值。正值，按順時針方向旋轉為負值。對于物理系統

10、，相位一般是滯后的，對于物理系統，相位一般是滯后的，即一般是負值即一般是負值.幅頻特性與相頻特性幅頻特性與相頻特性一起一起構成系統的頻率特性。構成系統的頻率特性。 eTtwTXKTiwTXixowarctgTwwtKt1)sin(1)(2222有瞬態響應瞬態響應穩態響應穩態響應 相頻特性幅頻特性頻率特性：arctgTwwwTKXwXwAio221)()(表達式中，。代入解得)(,1222sCACTBwCXoTwTXKi2、頻率特性的求取、頻率特性的求取(1)、定義法、定義法：。求其頻率特性。例：已知系統傳函1)(TsKsG，則，解：輸入諧波信號wswsXiXiXowsXiXiLXixiCBsT

11、sAwTsKssGswswtt22222211)()()()(sin)( )()sjwG sG jw ejwtXibbjwmbmewjjwtXoaajwnanewjjwtXojwkkxosejwtXijwkkxiewjjwtXoxosejwtXixixibxibtmxidmbmoaoatnodnanjwwjwwtktkwttdtddxdtdxdx 01)(01)()()()(0101)(.)()(.)()(,)()()()(代入微分方程中，得：階導數：穩態輸出的階導數：輸入的，穩態輸出：輸入：微分方程：(2). 根據傳遞函數來求取。根據傳遞函數來求取。)()()(.)(.)(0101)(jwG

12、sGjwjwwjwsaajwnanbbjwmbmejwtXiewjjwtXoejwtXibbjwmbmewjjwtXoaajwnanjwwjw01)(01)(.)()(.13:33( )()sjwG sG jw(2). 根據傳遞函數來求取。根據傳遞函數來求取。arctgTwarctgjwGKjwGwTjTwKjTwKsGjwGwTjws實部虛部解：由,1)(1)1 (1)()(2222。求其頻率特性。例：已知系統傳函1)(TsKsGn以以jw代替代替s由傳遞函數得到的頻率特性，對由傳遞函數得到的頻率特性，對線性定常系統線性定常系統普遍適用。普遍適用。 當實際控制系統的當實際控制系統的結構復雜結

13、構復雜，難以通過解析方法建立，難以通過解析方法建立其數學模型。只有通過試驗方法才能求得頻率特性。其數學模型。只有通過試驗方法才能求得頻率特性。具體步驟：具體步驟：1 1）改變輸入諧波信號的頻率）改變輸入諧波信號的頻率 ，測出輸出幅值與相移；，測出輸出幅值與相移；2 2）作出幅值比對頻率的函數曲線，此即）作出幅值比對頻率的函數曲線，此即幅頻率特性曲線幅頻率特性曲線；3 3）作出相移對頻率的函數曲線，此即）作出相移對頻率的函數曲線，此即相頻特性曲線相頻特性曲線。(3)、用試驗方法求取、用試驗方法求取三、頻率特性表示法三、頻率特性表示法（頻率特性可用解析式或圖形來表示頻率特性可用解析式或圖形來表示

14、） （一）解析表示（一）解析表示（頻率特性的矢量圖 ）頻率特性是一個復數，有三種表示：頻率特性是一個復數，有三種表示： G jUjV代數式代數式極坐標式極坐標式()()()()( )j G jjG jG jeAe ()()()( )( )G jG jG jA 指數式指數式 22AG jUV arctanVU cosUA sinVA U()V()A()G(j)()ujv0（二）系統頻率特性常用的圖解形式（二）系統頻率特性常用的圖解形式1.幅相頻率特性幅相頻率特性（奈奎斯特圖）奈奎斯特圖）在復平面上，隨在復平面上，隨(0 )的變化，向量的變化，向量G(j)端點端點的變化曲線（軌跡），稱為系統的的變

15、化曲線（軌跡），稱為系統的幅相頻率特性曲幅相頻率特性曲線線。得到的圖形稱為系統的。得到的圖形稱為系統的奈奎斯特圖或極坐標圖奈奎斯特圖或極坐標圖。易知，向量易知，向量G( j)的長度等于的長度等于A()，即，即|G(j)|；由由正實軸方向沿逆時針方向繞原點轉至向量正實軸方向沿逆時針方向繞原點轉至向量G(j)方向方向的角度等于的角度等于()，即，即G(j)。 規定極坐標圖的實軸正方向為相角零度線，規定極坐標圖的實軸正方向為相角零度線，逆時逆時針轉過的角度為正，順時針轉過的角度為負。針轉過的角度為正，順時針轉過的角度為負。 對數相頻特性記為對數相頻特性記為單位為分貝（單位為分貝（dB) 對數幅頻特性

16、記為對數幅頻特性記為單位為弧度（單位為弧度（rad) 如將系統頻率特性如將系統頻率特性G(j ) 的幅值和相角分別繪在的幅值和相角分別繪在半對數坐標半對數坐標圖上圖上,分別得到分別得到對數幅頻特性曲線對數幅頻特性曲線（縱軸：對幅值取分貝數后進行（縱軸：對幅值取分貝數后進行分度；橫軸：對頻率取以分度；橫軸：對頻率取以10為底的對數后進行分度為底的對數后進行分度:lgw）和和相頻相頻特性曲線特性曲線（縱軸：對相角進行線性分度；橫軸：對頻率取以（縱軸：對相角進行線性分度；橫軸：對頻率取以10為為底的對數后進行分度底的對數后進行分度lgw ），），合稱為伯德圖合稱為伯德圖(Bode圖圖)。（二）系統頻

17、率特性常用的圖解形式（二）系統頻率特性常用的圖解形式 2. 伯德圖伯德圖(Bode圖圖)（二）系統頻率特性常用的圖解形式（二）系統頻率特性常用的圖解形式 3. 對數幅相圖對數幅相圖(Nichols圖圖) 以頻率為參變量表示對數幅值和相角關系以頻率為參變量表示對數幅值和相角關系，將將Bode圖的兩圖的兩張圖合二為一。張圖合二為一。0o180o-180o)(lg20jwGw0-20dB20dB四、頻率特性物理意義和數學本質四、頻率特性物理意義和數學本質 G(j)G(j)的物理意義：（的物理意義：（P65P65） (1) 頻率特性表示了系統對不同頻率的正弦信號的頻率特性表示了系統對不同頻率的正弦信號

18、的“復觀能力復觀能力”或或“跟蹤能力跟蹤能力”。在頻率較低時，輸入信。在頻率較低時，輸入信號基本上可以按原比例在輸出端復現出來，而在頻率較號基本上可以按原比例在輸出端復現出來，而在頻率較高時，輸入信號就被抑制而不能傳遞出去。對于實際的高時，輸入信號就被抑制而不能傳遞出去。對于實際的系統，雖然形式不同，但一般均有系統，雖然形式不同，但一般均有“低通低通”濾波及濾波及相位相位滯后滯后作用。作用。 (2) 頻率特性隨頻率而變化，是因為系統含有頻率特性隨頻率而變化，是因為系統含有儲能儲能元件元件。它們在能量交換時，對不同的。它們在能量交換時，對不同的信號使系統顯示信號使系統顯示出不同的特性。出不同的特

19、性。 (3) 頻率特性反映系統本身的特點，系統元件的參頻率特性反映系統本身的特點，系統元件的參數給定后，頻率特性就完全確定，系統隨數給定后，頻率特性就完全確定，系統隨變化的規律變化的規律也就完全確定。就是說，也就完全確定。就是說，系統具有什么樣的頻率特性，系統具有什么樣的頻率特性，取決于系統結構本身，與外界因素無關。取決于系統結構本身，與外界因素無關。四、頻率特性物理意義和數學本質四、頻率特性物理意義和數學本質 G(j)的數學本質仍然是表達系統運動關系的數學的數學本質仍然是表達系統運動關系的數學模型。從不同的角度來揭示出系統的內在運動規律模型。從不同的角度來揭示出系統的內在運動規律是統一。是統

20、一。頻率特性系統傳遞函數微分方程jspjpsdtdp 在經典控制理論中，頻率特性分析比時在經典控制理論中，頻率特性分析比時間響應分析具有明顯的優越性。間響應分析具有明顯的優越性。 頻率特性分析法也有其頻率特性分析法也有其缺點缺點：由于實際：由于實際系統往往存在非線性，在機械工程中尤其如系統往往存在非線性，在機械工程中尤其如此，因此，即使能給出準確的輸入諧波信號，此，因此，即使能給出準確的輸入諧波信號，系統的輸出也常常不是一個嚴格的諧波信號，系統的輸出也常常不是一個嚴格的諧波信號，這使得這使得建立在建立在嚴格諧波信號嚴格諧波信號基礎上的頻率特基礎上的頻率特性分析與實際的情況之間有一定的距離性分析

21、與實際的情況之間有一定的距離，也，也就是使頻率特性分析產生誤差就是使頻率特性分析產生誤差 另外，頻率特性分析另外，頻率特性分析難應用于時變系統難應用于時變系統和多輸入和多輸入多輸出系統，對系統的在線識別多輸出系統，對系統的在線識別也可說是相當困難的也可說是相當困難的；當然，為克服此困難，；當然，為克服此困難，目前這方面研究是很有進展。目前這方面研究是很有進展。 【例例1】某單位反饋控制系統的開環傳遞函數為某單位反饋控制系統的開環傳遞函數為G(s)H(s)=1/(s+1),試求輸入信號試求輸入信號r(t)=2sin2t時系統的穩時系統的穩態輸出態輸出? 因因 =2, 則則 (j2)=0.35 -

22、45o則系統穩態輸出為：則系統穩態輸出為：Xo(t)=0.35*2sin(2t-45o) =0.7sin(2t-45o)解解: 首先求出系統的閉環傳遞函數首先求出系統的閉環傳遞函數 (s) ，令令s=j 得得13:33 的幅頻特性和相頻特性的幅頻特性和相頻特性求求例例1jT1jTjKjG221 21arctanarctan2222111TTjeTTKjG 222111 TTKA 21arctanarctan2TT4-2 典型環節的幅相頻率特性典型環節的幅相頻率特性1. 比例環節比例環節:G(s)=K2. 積分環節積分環節:G(s)=1/s3. 微分環節微分環節:G(s)=s4. 慣性環節慣性環

23、節:G(s)=1/(Ts+1)222( )( )22KKu wv w 5. 一階微分環節一階微分環節:G(s)=Ts+16、振蕩、振蕩環節環節 傳遞函數：傳遞函數：10,2121)(22222nnnssTssTsG頻率特性：頻率特性：nnnnnjjjG2112)(2222222212)(nnnQ2222211)(nnnP實頻特性：實頻特性：虛頻特性：虛頻特性： 振蕩環節的振蕩環節的Nyquist圖圖 1)0()( AA0)0()(q = 0時時 21)()(nAA90)()(nq = n時時 0)()( AA180)()(q = 時時 222211)(nnA幅頻特性：幅頻特性：相頻特性：相頻特

24、性：212)(nnarctgNyquist Diagram =0 =0.1=0.2=0.5=1=0.7ReIm-3-2-10123-6-5-4-3-2-1021=0.3 =n00.81.8201234 = 0.05 = 0.15 = 0.20 = 0.25 = 0.30 = 0.40 = 0.50 = 0.707 = 1.00/nA()q 諧振現象諧振現象222211)(nnA幅頻特性：幅頻特性：由振蕩環節的幅頻特性曲線可見，當由振蕩環節的幅頻特性曲線可見，當 較小時，較小時，在在 = n附近，附近，A( )出現峰值，即發生出現峰值，即發生諧振諧振。諧諧振

25、峰值振峰值 Mr 對應的頻率對應的頻率 r 稱為稱為諧振頻率諧振頻率。由于：由于：222211)(nnAnuuuuf,)2()1 ()(222A( )出現峰值相當于其分母：出現峰值相當于其分母：取得極小值。取得極小值。令：令：0844)(23uuuuf解得：解得：221u即即諧振頻率諧振頻率：221nr 顯然顯然 r 應大于應大于0，由此可得振蕩環節出現諧振，由此可得振蕩環節出現諧振的條件為：的條件為：707. 022諧振峰值：諧振峰值：2121)(rrAM00.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10123456789100102030405060708090

26、100 Mr (dB)Mp ()MrMp7. 二階微分環節二階微分環節22( )21,01G sss2212G jj 22221(2)A 2221arctg 221U 2V 22221(2)A 2221arctg 10jvu1=08. 延遲環節延遲環節TsesG)(01 =0ReImNyquist Diagram例例：由以上各例可知，系統的頻率特性為：由以上各例可知，系統的頻率特性為：當當G(s)G(s)包含有振蕩環節時，不改變上述結論。包含有振蕩環節時，不改變上述結論。4-3 典型環節的對數頻率特性典型環節的對數頻率特性:伯德圖伯德圖(Bode圖圖) 幅相頻率特性的幅相頻率特性的優點：優點：

27、在一張圖上把頻率在一張圖上把頻率由由0到無窮大到無窮大區間內各個頻率的幅值和相位都表示出來。區間內各個頻率的幅值和相位都表示出來。 缺點：缺點：在幅相頻率特性圖上，很難看出系統是由哪些環在幅相頻率特性圖上，很難看出系統是由哪些環節組成的，并且繪圖較麻煩。節組成的，并且繪圖較麻煩。 對數頻率特性對數頻率特性(Bode圖圖)能避免上述缺點，因而在工程上能避免上述缺點，因而在工程上得到廣泛的應用。得到廣泛的應用。 幅值相乘、相除，變為相加，相減，簡化作圖；幅值相乘、相除，變為相加，相減，簡化作圖； 對數坐標拓寬了圖形所能表示的頻率范圍；對數坐標拓寬了圖形所能表示的頻率范圍； 兩個系統或環節的頻率特性

28、互為倒數時，其對數幅頻特性曲線關于零兩個系統或環節的頻率特性互為倒數時，其對數幅頻特性曲線關于零分貝線對稱，相頻特性曲線關于零度線對稱；分貝線對稱，相頻特性曲線關于零度線對稱； 可以利用可以利用漸近直線漸近直線繪制近似的對數幅頻特性曲線；繪制近似的對數幅頻特性曲線； 將實驗獲得的頻率特性數據繪制成對數頻率特性曲線，可以方便地確將實驗獲得的頻率特性數據繪制成對數頻率特性曲線，可以方便地確定系統的傳遞函數；定系統的傳遞函數；q 幾點說明幾點說明 在對數頻率特性圖中，由于橫坐標采用對數分度，在對數頻率特性圖中，由于橫坐標采用對數分度，因此因此 =0 不可能在橫坐標上表示出來，橫坐標上表示不可能在橫坐

29、標上表示出來，橫坐標上表示的的最低頻率由所感興趣的頻率范圍確定最低頻率由所感興趣的頻率范圍確定； 此外，橫坐此外，橫坐標一般只標注標一般只標注 的自然數值；的自然數值； 在對數頻率特性圖中，角頻率在對數頻率特性圖中，角頻率 變化的倍數往往比其變化的倍數往往比其變化的數值更有意義。為此通常采用變化的數值更有意義。為此通常采用頻率比頻率比的概念：頻的概念：頻率變化十倍的區間稱為一個率變化十倍的區間稱為一個十倍頻程十倍頻程，記為記為decade或簡或簡寫為寫為 dec；頻率變化兩倍的區間稱為一個；頻率變化兩倍的區間稱為一個二倍頻程二倍頻程，記，記為為octave或簡寫為或簡寫為oct。它們也用作頻率

30、變化的單位。它們也用作頻率變化的單位。可以注意到，頻率變化可以注意到，頻率變化1010倍，在對數坐標上是等倍，在對數坐標上是等距的，等于一個單位。距的，等于一個單位。 1. 比例環節比例環節(K)幅值等于幅值等于(2. 積分環節積分環節(G(s)=1/s)jjG1)()(lg201log20)(dBjL90)(3. 微分環節微分環節(G(s)=s)(lg20log20)(dBjLjjG)( 90)(4. 慣性環節慣性環節(G(s)=1/(Ts+1)q 低頻段低頻段( ( 1/1/T ) )lg20lg20T即高頻段可近似為斜率為即高頻段可近似為斜率為- -20dB/dec 的直線，稱的直線，稱

31、為為高頻漸近線高頻漸近線。TTLlg201lg20)(22q 轉折頻率（轉折頻率（ 1/1/T ) )低頻漸近線和高頻漸近線的相交處的頻率點低頻漸近線和高頻漸近線的相交處的頻率點 1/1/T，稱為，稱為轉折頻率（截止頻率）轉折頻率（截止頻率）。在轉折頻率處，在轉折頻率處，L( ( ) ) - -3dB， ( ( ) )-45-45 。慣性環節具有慣性環節具有低通濾波特性低通濾波特性。q 漸近線誤差漸近線誤差TTTTTL/1,lg201lg20/1,1lg20)(2222-4-3-2-100.1110 T轉折頻率轉折頻率慣性環節對數幅頻特性漸近線誤差曲線慣性環節對數幅頻特性漸近線誤差曲線轉角頻率

32、處：轉角頻率處：低于漸近線低于漸近線3 3dBdB低于或高于轉角頻低于或高于轉角頻率一倍頻程處：率一倍頻程處：低于漸近線低于漸近線1 1dBdB 5. 一階微分環節一階微分環節G(s)=Ts+10 10 2030904501/TL()/ (dB)() (rad/sec)0.1/T10/T轉折頻率實際幅頻特性實際幅頻特性漸近線20dB/dec6. 振蕩環節振蕩環節212)(nnarctg振蕩環節的對數幅頻特性的誤差修正曲線振蕩環節的對數幅頻特性的誤差修正曲線振蕩環節精確的振蕩環節精確的7. 二階微分二階微分1212)(2222sTsTswwssGnn8. 滯后滯后(延時延時)環節環節TsesG)

33、(典型環節的Bode圖典型環節的Bode圖典型環節的Bode圖 典型環節Bode圖比較：關于對數幅頻特性關于對數幅頻特性( (注意橫坐標注意橫坐標):):積分環節為過點積分環節為過點(1,0)、斜率為、斜率為-20dB/dec的直線；的直線； 微分環節為過點微分環節為過點(1,0)、斜率為、斜率為20dB/dec的直線；的直線；慣性環節的低頻漸近線為慣性環節的低頻漸近線為0dB，高，高頻漸近線為始于點頻漸近線為始于點(T，0)、斜率、斜率為為-20dB/dec的直線；的直線；導前環節的低頻漸近線為導前環節的低頻漸近線為0dB線，線，高頻漸近線為始于點高頻漸近線為始于點(T ，0)、斜、斜率為率

34、為20dB/dec的直線；的直線； 振蕩環節的低頻漸近線為振蕩環節的低頻漸近線為0dB線，線，高頻漸近線為始于點高頻漸近線為始于點(1，0)、斜率、斜率為為-40dB/dec的直線；的直線；二階微分環節的低頻漸近線為二階微分環節的低頻漸近線為0dB線，高頻漸近線為始于點線，高頻漸近線為始于點(1，0)、斜率為斜率為40dB/dec的直線的直線關于對數相頻特性關于對數相頻特性(T為相應環節的轉角頻率為相應環節的轉角頻率)：積分環節為過積分環節為過-900的水平線的水平線;微分環節為過微分環節為過900的水平線；的水平線；慣性環節為在慣性環節為在0-900范圍內變化的對稱于點范圍內變化的對稱于點(

35、T , ,-450)的曲線；的曲線；導前環節為在導前環節為在0900范圍內變化的對稱于點范圍內變化的對稱于點(T , ,450)的曲線；的曲線；振蕩環節為在振蕩環節為在0-1800范圍內變化的對稱于點范圍內變化的對稱于點(1,1, -900)的曲線；的曲線；二階微分環節為在二階微分環節為在01800范圍內變化的對稱于點范圍內變化的對稱于點(1,1,900)的曲線。的曲線。一、系統開環對數頻一、系統開環對數頻率特性特性4-3 系統開環開環對數頻率特性(Bode圖圖)的繪制的繪制系統開環傳函由多個典型環節相串聯：系統開環傳函由多個典型環節相串聯：那麼，系統對數幅頻和對數相頻特性曲線為：那麼，系統對

36、數幅頻和對數相頻特性曲線為：)()()()(21sGsGsGsGn)()()(jeAjG)()()(2121)()()(njneAAA)()()()(lg20)(lg20)(lg20)(lg20)(2121nnLLLAAAAL)()()()(21n 系統開環對數幅值等于各環節的對數幅值之系統開環對數幅值等于各環節的對數幅值之和和；相位等于各環節的相位之相位等于各環節的相位之和和。 因此，開環對數幅值曲線及相位曲線分別由各因此，開環對數幅值曲線及相位曲線分別由各串聯環節對數幅值曲線和相位曲線串聯環節對數幅值曲線和相位曲線疊加疊加而成。而成。 典型環節的對數漸近幅頻對數曲線為典型環節的對數漸近幅頻

37、對數曲線為不同斜率不同斜率的直線或折線的直線或折線，故疊加后的開環漸近幅頻特性曲線，故疊加后的開環漸近幅頻特性曲線仍為不同斜率的線段組成的折線仍為不同斜率的線段組成的折線。 因此，需要首先確定低頻起始段的斜率和位置因此，需要首先確定低頻起始段的斜率和位置，然后確定線段，然后確定線段轉折頻率（交接頻率）轉折頻率（交接頻率）以及轉折后以及轉折后線段斜率的變化，那么，就可繪制出由低頻到高頻線段斜率的變化，那么，就可繪制出由低頻到高頻的的開環開環對數漸近幅頻特性曲線。對數漸近幅頻特性曲線。 控制系統一般由多個環節組成，在繪制系統控制系統一般由多個環節組成，在繪制系統Bode圖時，圖時，應先將系統傳遞函

38、數分解為典型環節乘積的形式，再逐步繪應先將系統傳遞函數分解為典型環節乘積的形式，再逐步繪制。制。二、系統開環對數頻特性曲線的繪制二、系統開環對數頻特性曲線的繪制)12)(1()12)(1()()(2222212222211111110sTsTsTssssKasasasbsbsbsbsHsGnnnnmmmm 將系統開環頻率特性改寫為各個典型環節的乘積形式后將系統開環頻率特性改寫為各個典型環節的乘積形式后, ,確確定各環節的定各環節的轉折頻率轉折頻率, ,并將轉折頻率由并將轉折頻率由低到高低到高依次標注到半對依次標注到半對數坐標紙上（不妨設為：數坐標紙上（不妨設為：w w1 1、w w2 2、w

39、w3 3、w w4 4 ）（一般步驟）（一般步驟）Bode圖圖) 1( ) 1() 1()(1221TTsTssTKsG11/T11/T220lgKdB 0dB0o-90o-45o45ow0.12040-20Glg2030100-10例 ：已知，作240(0.1s+1)3G(s)=Bodes(+10s+4)s-20-4020101 . 0110441)(101 . 0141041)(122wjwjwjwjwGsssssG得到頻率特性：節相乘的形式：）轉化為標準的典型環改變量由斜率差決定。改變一次折線斜率轉折頻率每遇到一個從小到大方向按）確定低頻漸近線斜率,;4w2110-20-60-40；過點

40、為斜率積分環節：直線)0 , 1 (,/20,decdB2）確定各環節的轉折頻率，作出各環）確定各環節的轉折頻率，作出各環節對數幅頻特性的漸進線。節對數幅頻特性的漸進線。;/40, 2:1decdBw高頻漸進線斜率轉折頻率振蕩環節101 . 0112Tw一階微分環節轉折頻率dB2010lg20比例環節：性曲線，疊加。作出各環節對數相頻特標注各轉折頻率，）在對數相頻坐標圖中50180 90wG45900.12101100 270 45 例例已知系統的開環傳遞函數如下：已知系統的開環傳遞函數如下：)10010)(12() 15 . 0(1000)()(2ssssssHsG試繪制系統的開環試繪制系統

41、的開環Bode圖。圖。解：解：10010100121115 . 010)()(2ssssssHsG易知系統開環包括了五個典型環節：易知系統開環包括了五個典型環節：10)(1sGssG1)(315 . 0)(2ssG轉折頻率：轉折頻率： 2=2 rad/s121)(4ssG轉折頻率：轉折頻率： 4=0.5 rad/s10010100)(25sssG轉折頻率：轉折頻率： 5=10 rad/s10011025 . 0901001102905 . 00)()()()()()(2254321arctgarctgarctgarctgarctgarctg1001001lg2041lg20lg2025. 01

42、lg2010lg20)()()()()()(2222254321LLLLLL開環對數幅頻及相頻特性為開環對數幅頻及相頻特性為：Bode Diagram-60-40-20020400.1-270-180-900901100 ( ) / (deg)L( )/ (dB) (rad/sec)L1L2L3L4L5L( ) ( ) 1 2 3 4 5-20dB/dec-40-20-60 2 4 5=102. 順序頻率法順序頻率法Bode圖繪制步驟圖繪制步驟q 將開環傳遞函數表示為典型環節的串聯：將開環傳遞函數表示為典型環節的串聯：) 12)(1() 1() 12)(1() 1()()(1122111122

43、11sTsTsTsTsssssKsHsGqqqqvppppq 確定各環節的轉折頻率：確定各環節的轉折頻率：,2121TT并由并由小到大小到大標示在對數頻率軸上。標示在對數頻率軸上。q 計算計算20lgK，在，在 1 rad/s 處找到縱坐標等于處找到縱坐標等于 20lgK 的點，過該點作斜率等于的點，過該點作斜率等于 -20v dB/dec 的直線，向左延長此線至所有環節的轉折頻的直線，向左延長此線至所有環節的轉折頻 率之左，得到最低頻段的漸近線。率之左，得到最低頻段的漸近線。q 向右延長最低頻段漸近線，向右延長最低頻段漸近線，每遇到一個轉折每遇到一個轉折 頻率改變一次漸近線斜率頻率改變一次漸

44、近線斜率。q 對漸近線進行修正以獲得準確的幅頻特性。對漸近線進行修正以獲得準確的幅頻特性。q 相頻特性曲線由各環節的相頻特性相加獲得。相頻特性曲線由各環節的相頻特性相加獲得。 Bode圖繪制步驟圖繪制步驟總結：總結：Bode圖特點圖特點q 最低頻段的斜率取決于積分環節的數目最低頻段的斜率取決于積分環節的數目v， 斜率為斜率為20v dB/dec。q 注意到注意到最低頻段最低頻段的對數幅頻特性可的對數幅頻特性可近似近似為：為：lg20lg20)(vKL當當 1 rad/s時，時，L( )=20lgK，即最低頻段，即最低頻段的對數幅頻特性或其延長線在的對數幅頻特性或其延長線在 1 rad/s時的數

45、值等于時的數值等于20lgK。q 如果各環節的對數幅頻特性用漸近線表示，如果各環節的對數幅頻特性用漸近線表示， 則對數幅頻特性為一系列折線，折線的轉則對數幅頻特性為一系列折線，折線的轉 折點為各環節的轉折頻率。折點為各環節的轉折頻率。q 對數幅頻特性的漸近線每經過一個轉折點，對數幅頻特性的漸近線每經過一個轉折點， 其斜率相應發生變化，斜率變化量由當前其斜率相應發生變化，斜率變化量由當前 轉折頻率對應的環節決定。轉折頻率對應的環節決定。對慣性環節，斜率下降對慣性環節，斜率下降 20dB/dec；振蕩環；振蕩環節，下降節，下降 40dB/dec；一階微分環節，上升；一階微分環節，上升20dB/de

46、c；二階微分環節，上升；二階微分環節，上升 40dB/dec。說明：對數曲線求斜率說明：對數曲線求斜率L()dB0dBabLaLbab斜率斜率=對邊對邊斜邊斜邊=La-Lb a- blg a- lg b三、最小相位系統和非最小相位系統三、最小相位系統和非最小相位系統 極點和零點全部位于極點和零點全部位于S左半平面系統稱為左半平面系統稱為最最小相位系統小相位系統。反之，稱為。反之，稱為非最小相位系統非最小相位系統。 非最小相位一般由兩種情況產生非最小相位一般由兩種情況產生: 系統內系統內包含有非最小相位元件包含有非最小相位元件(如延遲因子如延遲因子); 內環內環不穩定。不穩定。 最小相位系統的幅

47、值特性和相角特性有最小相位系統的幅值特性和相角特性有一一單值對應關系一一單值對應關系 (Bode定理定理) 。 故用故用Bode分析最小相位系統時，常只畫對數幅頻曲線分析最小相位系統時，常只畫對數幅頻曲線即可。即可。四、四、閉環頻率特性閉環頻率特性設系統的前向和反饋傳遞函數分別為設系統的前向和反饋傳遞函數分別為G(S)和和H(S)，則系統閉環頻率特性為，則系統閉環頻率特性為: 上式還可表示成上式還可表示成:GB(jw)的幅值和相位可分別表示成的幅值和相位可分別表示成: 4-4頻域性能指標與時域性能指標間的關系頻域性能指標與時域性能指標間的關系如圖所示，在頻域分析時要用到的一些有關頻率如圖所示，

48、在頻域分析時要用到的一些有關頻率的特征量或頻域性能指標有：的特征量或頻域性能指標有： brmA(0)OAmax0.707A(0)A()bw：截止頻率：截止頻率rw：諧振頻率：諧振頻率rM：諧振峰值：諧振峰值)0(M：零頻幅值：零頻幅值Mw：復現頻率：復現頻率A(0)AmaxmaxAwA(w)A(0)0.707A(0)0wMwrwbXwXjwGwAio)()()(GKXiXo+-對于單位負反饋系統，若對于單位負反饋系統，若A(0)=1，說明系統輸出對輸入的跟隨性好。說明系統輸出對輸入的跟隨性好。wwMM02；復現帶寬、復現頻率稱為復現帶寬。率，時的頻率，稱為復現頻之差，第一次達到幅頻特性值與零頻

49、值的允許誤差，則當系統作為反映低頻輸入信號規定wAM0)0(1、零頻幅值、零頻幅值A(0).3、諧振頻率、諧振頻率wr；相；相對諧振峰值對諧振峰值Mr使幅頻特性曲線出現峰值的頻率稱為諧振頻率。諧振峰值使幅頻特性曲線出現峰值的頻率稱為諧振頻率。諧振峰值Amax與與A(0)的比值，稱為相對諧振峰值的比值，稱為相對諧振峰值Mr=Amax/A(0)，得：令，其頻率特性為，222222222224)1 (1)(211)(2)(),10(2)(jwGjjwGwwwwjwwwjwGwswswsGnnnnnnnmaxAwA(w)A(0)0.707A(0)0wMwrwbXwXjwGwAio)()()(2221,

50、210)(wwwwjwGnrnrrrr，得而2121)(1)0()0()(rrrrjwGMAjGjwGM時，當wA(w)A(0)0.707A(0)0wb帶寬。稱為截止帶寬，或簡稱率，時的頻率，稱為截止頻下降到當系統幅頻特性值由；截止帶寬、截止頻率wAAwwbbb0)0(707. 0)0(04wXi(w)wb系統G(jw)wXo(w)wb1系統的截止帶寬或帶寬表示超過此頻率后，輸出就急劇系統的截止帶寬或帶寬表示超過此頻率后，輸出就急劇衰減，跟不上輸入，形成系統響應的截止狀態。衰減，跟不上輸入，形成系統響應的截止狀態。對于隨動系統，系統的帶寬表征系統允許工作的最高頻對于隨動系統，系統的帶寬表征系統

51、允許工作的最高頻率范圍，若此帶寬大，則系統的動態性能好。率范圍，若此帶寬大，則系統的動態性能好。對于低通濾波器，希望帶寬要小，即只允許頻率較低的對于低通濾波器，希望帶寬要小，即只允許頻率較低的輸入信號通過系統，而頻率稍高的輸入信號均被濾掉。輸入信號通過系統，而頻率稍高的輸入信號均被濾掉。對系統響應的快速性而言，帶寬越大，響應的快速性越對系統響應的快速性而言，帶寬越大，響應的快速性越好，即過渡過程的上升時間越小。好，即過渡過程的上升時間越小。 1零頻值零頻值M(0)：它表示頻率接近于零時，系統輸：它表示頻率接近于零時，系統輸出的幅值與輸入的幅值之比，在頻率極低時，對單出的幅值與輸入的幅值之比，在

52、頻率極低時，對單位反饋系統而言，若輸出幅值能完全準確地反映輸位反饋系統而言，若輸出幅值能完全準確地反映輸入幅值，則入幅值，則M(0)=1,M(0)越接近于越接近于1，系統的穩態誤，系統的穩態誤差越小。差越小。bw：截止頻率：截止頻率rw：諧振頻率：諧振頻率rM：諧振峰值：諧振峰值)0(M：零頻幅值：零頻幅值Mw：復現頻率：復現頻率2復現頻率與復現帶寬復現頻率與復現帶寬0-M: 若事先規定一個若事先規定一個作作為反映低頻輸入信號的允許誤差，那么，為反映低頻輸入信號的允許誤差，那么，M就是就是幅頻特性值與幅頻特性值與M(0)的差第一次達到的差第一次達到時的頻率值，時的頻率值，稱為復現頻率。當頻率超

53、過稱為復現頻率。當頻率超過M ，輸出就不能，輸出就不能“復復現現”輸入，所以，輸入，所以，0-M表征復現低頻輸入信號的表征復現低頻輸入信號的帶寬，稱為復現帶寬。帶寬，稱為復現帶寬。3諧振頻率諧振頻率r及相對諧振峰值及相對諧振峰值Mr： 在在M(0)=l時，時，Mr與與Mmax一在數值上相同一在數值上相同(為最大幅值為最大幅值) 一般在二階系統中，希望選取一般在二階系統中，希望選取Mr1.4，因為這時，因為這時階躍響應的最大超調量階躍響應的最大超調量Mp25，系統能有較滿意，系統能有較滿意的過渡過程。的過渡過程。 這兩個指標反映瞬態響應的速度和相對穩定性。這兩個指標反映瞬態響應的速度和相對穩定性

54、。4. 截止頻率截止頻率b和截止帶寬和截止帶寬0-b: 一般規定由一般規定由M(0)下降下降3dB時時的頻率，亦即的頻率，亦即M(j)由由M(0)下降到下降到0.707M(0)時的頻率稱為時的頻率稱為系統的截止頻率因為，對單位反饋系統，系統的截止頻率因為，對單位反饋系統，M(0)1時，有時，有20lg0.707=3dB。 頻率頻率0-b稱為系統的截止帶寬或帶寬。它表示超過此頻率后，輸出就稱為系統的截止帶寬或帶寬。它表示超過此頻率后，輸出就急劇衰減，跟不上輸入，形成系統響應的截止狀態。對于隨動系統，系急劇衰減，跟不上輸入，形成系統響應的截止狀態。對于隨動系統，系統的帶寬表征系統允許工作的最高頻率

55、范圍，若此帶寬大，則系統的動統的帶寬表征系統允許工作的最高頻率范圍，若此帶寬大，則系統的動態性能好。對于低通濾波器，希望帶寬要小，即只允許頻率較低的輸入態性能好。對于低通濾波器，希望帶寬要小，即只允許頻率較低的輸入信號通過系統，而頻率稍高的輸入信號均被濾掉。對系統響應的快速性信號通過系統，而頻率稍高的輸入信號均被濾掉。對系統響應的快速性而言，帶寬越大，響應的快速性越好，即過渡過程的上升時間越小。而言，帶寬越大，響應的快速性越好，即過渡過程的上升時間越小。 一一.系統的頻域指標系統的頻域指標brmA(0)OAmax0.707A(0)A()對于二階系統 222)(2)()(nnnjjjG系統的諧振

56、頻率為 221nr(/)012諧振峰值為 2121rM系統的頻寬為244)21 (242nb二、一階、二階系統閉環頻率指標與時域指標二、一階、二階系統閉環頻率指標與時域指標1、一階系統、一階系統Ts1R(s)C(s)_11)(1)()(TssGsGsTssG1)(11)(1)()(jTwjwGjwGjwTwwwTwMarctan)(11)(22閉環頻域指標：閉環頻域指標：閉環階躍響應閉環階躍響應時域指標：時域指標：TwwMMbrr/1, 0, 1, 1)0(brbswTtwTt/20. 220. 2,/33)05. 0(2、二階系統、二階系統)2(2nnwsswR(s)C(s)_2222)(n

57、nnwswsws22222212arctan)(21 1)(nnnnwwwwwwwwwwM222)(2)()(nnnwjwwjwwjw閉環頻域指標：閉環頻域指標：閉環階躍響應閉環階躍響應時域指標：時域指標：42222442)21 (,21,121, 1)0(nbnrrwwwwMM)9 . 00,05. 0(3)1/()(/ )()1/(/%100%221/2nsndrndpwtwwtwwte)707. 0( )707. 0( 因此，若知道頻域指標中的任兩個，就可解算出因此，若知道頻域指標中的任兩個，就可解算出 ，從而求出時域指標。反之，給出時域指標的任兩個，就可確定從而求出時域指標。反之，給出

58、時域指標的任兩個，就可確定閉環頻域指標。閉環頻域指標。nw,%100%211111222rrrrMMMMreM在學習系統頻域性能指標時，要充分注意到時域性在學習系統頻域性能指標時，要充分注意到時域性能指標和頻域性能指標一樣，能指標和頻域性能指標一樣，從不同的側面描述了系從不同的側面描述了系統的動態特性和穩態特性，統的動態特性和穩態特性，要注意兩類性能指標之間要注意兩類性能指標之間的聯系。的聯系。 4.54.5由由BodeBode圖確定系統的傳遞函數圖確定系統的傳遞函數 由由Bode圖確定系統傳遞函數，與繪制系統圖確定系統傳遞函數，與繪制系統Bode圖相反。即圖相反。即由實驗測得的由實驗測得的B

59、ode圖，經過分析和測算，確定系統所包含的各圖，經過分析和測算，確定系統所包含的各個典型環節，從而建立起被測系統數學模型。個典型環節，從而建立起被測系統數學模型。 信號源信號源對象對象記錄儀記錄儀【Asinwt 由頻率特性測試儀記錄的數據由頻率特性測試儀記錄的數據,可以繪制最小相可以繪制最小相位系統的開環對數頻率特性位系統的開環對數頻率特性, 對該頻率特性進行處對該頻率特性進行處理，即可確定系統的對數幅頻特性曲線。理，即可確定系統的對數幅頻特性曲線。1、頻率響應實驗、頻率響應實驗 2、傳遞函數確定、傳遞函數確定 （1）對實驗測得的系統對數幅頻曲線進行對實驗測得的系統對數幅頻曲線進行分段處理分段

60、處理。即用斜。即用斜率為率為 20dB/dec整數倍的直線整數倍的直線段來近似測量到的曲線。段來近似測量到的曲線。（2）當某）當某 處系統對數幅頻特性漸近線的斜率發生變化時，此處系統對數幅頻特性漸近線的斜率發生變化時，此 即為某個環節的轉折頻率。即為某個環節的轉折頻率。當斜率變化當斜率變化+20dB/dec時時,可知可知 處有一個一階微分環節處有一個一階微分環節Ts+1; 若斜率變化若斜率變化+40dB/dec時，則時，則 處有一個二階微分環節處有一個二階微分環節 (s2/ 2n+2 s/ n+1) 或一個二重一階微分環節或一個二重一階微分環節(Ts+1)2； 若斜率變化若斜率變化 -20dB