1、初二數學輔助線添加方法1 .三角形問題添加輔助線方法方法1:有關三角形中線的題目，常將中線加倍。含有中點的題目，常常利用三角形的中位線,通過這種方法，把要證的結論恰當的轉移，很容易地解決了問題。方法2:含有平分線的題目，常以角平分線為對稱軸，利用角平分線的性質和題中的條件，構造出全等三角形，從而利用全等三角形的知識解決問題。方法3:結論是兩線段相等的題目常畫輔助線構成全等三角形，或利用關于平分線段的一些定理。方法4:結論是一條線段與另一條線段之和等于第三條線段這類題目，常采用截長法或補短法,所謂截長法就是把第三條線段分成兩部分，證其中的一部分等于第一條線段，而另一部分等于第二條線段。2 .平行

2、四邊形中常用輔助線的添法平行四邊形(包括矩形、正方形、菱形)的兩組對邊、對角和對角線都具有某些相同性質，所以在添輔助線方法上也有共同之處，目的都是造就線段的平行、垂直，構成三角形的全等、相似，把平行四邊形問題轉化成常見的三角形、正方形等問題處理，其常用方法有下列幾種，舉例簡解如下：(1)連對角線或平移對角線：(2)過頂點作對邊的垂線構造直角三角形(3)連接對角線交點與一邊中點，或過對角線交點作一邊的平行線，構造線段平行或中位線(4)連接頂點與對邊上一點的線段或延長這條線段，構造三角形相似或等積三角形。(5)過頂點作對角線的垂線，構成線段平行或三角形全等.3.梯形中常用輔助線的添法梯形是一種特殊

3、的四邊形。它是平行四邊形、三角形知識的綜合，通過添加適當的輔助線將梯形問題化歸為平行四邊形問題或三角形問題來解決。輔助線的添加成為問題解決的橋梁，梯形中常用到的輔助線有：(1)在梯形內部平移一腰。(2)梯形外平移一腰(3)梯形內平移兩腰(4)延長兩腰(5)過梯形上底的兩端點向下底作高(6)平移對角線(7)連接梯形一頂點及一腰的中點。(8)過一腰的中點作另一腰的平行線。(9)作中位線當然在梯形的有關證明和計算中，添加的輔助線并不一定是固定不變的、單一的。通過輔助線這座橋梁，將梯形問題化歸為平行四邊形問題或三角形問題來解決，這是解決問題的關鍵。作輔助線的方法一：中點、中位線，延線，平行線。如遇條件

4、中有中點，中線、中位線等，那么過中點，延長中線或中位線作輔助線，使延長的某一段等于中線或中位線；另一種輔助線是過中點作已知邊或線段的平行線，以達到應用某個定理或造成全等的目的。二：垂線、分角線，翻轉全等連。如遇條件中，有垂線或角的平分線，可以把圖形按軸對稱的方法，并借助其他條件，而旋轉180度，得到全等形，這時輔助線的做法就會應運而生。其對稱軸往往是垂線或角的平分線。三：邊邊若相等，旋轉做實驗。如遇條件中有多邊形的兩邊相等或兩角相等，有時邊角互相配合，然后把圖形旋轉一定的角度，就可以得到全等形，這時輔助線的做法仍會應運而生。其對稱中心，因題而異，有時沒有中心。故可分“有心”和“無心”旋轉兩種。

5、四：造角、平、相似，和、差、積、商見。如遇條件中有多邊形的兩邊相等或兩角相等，欲證線段或角的和差積商，往往與相似形有關。在制造兩個三角形相似時，一般地，有兩種方法：第一，造一個輔助角等于已知角；第二，是把三角形中的某一線段進行平移。故作歌訣：“造角、平、相似，和差積商見。”五：面積找底高，多邊變三邊。如遇求面積，（在條件和結論中出現線段的平方、乘積，仍可視為求面積），往往作底或高為輔助線，而兩三角形的等底或等高是思考的關鍵。如遇多邊形，想法割補成三角形；反之，亦成立。另外，我國明清數學家用面積證明勾股定理，其輔助線的做法，即“割補”有二百多種，大多數為“面積找底高，多邊變三邊”。三角形圖中有角

6、平分線，可向兩邊作垂線。也可將圖對折看，對稱以后關系現。角平分線平行線，等腰三角形來添。角平分線加垂線，三線合一試試看。線段垂直平分線，常向兩端把線連。線段和差及倍半，延長縮短可試驗。線段和差不等式，移到同一三角去。三角形中兩中點，連接則成中位線。三角形中有中線，延長中線等中線。四邊形平行四邊形出現，對稱中心等分點。梯形問題巧轉換，變為和口。平移腰，移對角，兩腰延長作出高。如果出現腰中點，細心連上中位線。上述方法不奏效，過腰中點全等造。證相似，比線段，添線平行成習慣。等積式子比例換，尋找線段很關鍵。直接證明有困難，等量代換少麻煩。斜邊上面作高線，比例中項一大片。三角形中作輔助線的常用方法舉例一

7、.倍長中線圖521:已知ABCAD是BC邊上的中線，分別以AB邊、AC邊為直角邊各向形外作等腰直角三角形，如圖5-2,求證EF=2AD二、截長補短法作輔助線。在ABC中,ADF分/BAG/AC氏2/B,求證：AB=ACCDA12I/cBDE、延長已知邊構造三角形:例如：如圖7-1:已知AC=BDADLAC于A,BCLBD于B,求證：A又BC分析：欲證AD=BC先證分別含有ADBC的三角形全等，有幾種方案：ADC與ABCDAAOD與ABOCABDfABA（C但根據現有條件，均無法證全等，差角的相等，因此可設法作出新的角，且讓此角作為兩個三角形的公共角。證明：分別延長DACB,它們的延長交于E點,

8、.ADLACBC±BD（已知）丁./CAE=/DBE=900（垂直的定義）在DB*ACAEEE（公共角）DBECAE©證）.BDAC（已知）.DB圖ACAE（AASEAECEB=EA（全等三角形對應邊相等）.ED-EA=ECEB即：A決BG（當條件不足時，可通過添加輔助線得出新的條件，為證題創造條件。）四、連接四邊形的對角線，把四邊形的問題轉化成為三角形來解決。例如：如圖8-1:AB/CDAD/BC求證：AB=CD分析：圖為四邊形，我們只學了三角形的有關知識，必須把它轉化為三角形來解決。證明：連接AC（或BD）vAB/CDAD/BC（已知）（兩直線平行，內錯角相等）/1=/

9、2,/3=/4在ABCfACDAt12（已證）ACCA（公共邊）.34（已證）AAB（CACDA（ASAA況CD（全等三角形對應邊相等）五、有和角平分線垂直的線段時，通常把這條線段延長。例如：如圖9-1:在ABC,AB=AC,/BAG=90°,/1=/2,CHBD的延長于E。求證:BD=2CE分析：要證BD=2CE想到要才造線段2CE同時CE與/ABC勺平分線垂直，想到要將其延長。證明：分別延長BACE交于點F。.BE!CF（已知）八F丁./BE曰/BEC=90°（垂直的定義）廠在4BEF與BEC,A.E12（已知）.d.BEBE（公共邊）/yBEFBEC（已證）_2BC.

10、BE售ABEC（ASA圖911.CE=FE=2CF（全等三角形對應邊相等） ./BAC=90BE±CF（已知） ./BAC=/CA曰90°Z1+ZBDA=90°/1+/BFO90 ./BDA=/BFC在AABMAACF中BACCAF（已證）BDABFC（已證）AB=AC（已知） .ABDAACF（AAS.BACF（全等三角形對應邊相等） .BA2CE六、連接已知點，構造全等三角形。例如：已知：如圖10-1;AGBD相交于O點，且AB=DCAOBD求證：/A=/D=分析：要證/A=/D,可證它們所在的三角形ABOffiDCOlr等，而只有AB=DC和對頂角兩個條件,

11、差二個條件一難以證其全笠，只另尋其它的三角形全笠，由A生.DC.AChBD在連接一旦C則ABCftDCE&等，所以，證得/A=/D。證明：連接BC在AABC?口DC-ABDC（已知）ACDB（已知）BCCB（公共邊）.AB登ADCB（SSS）./A=/D（全等三角形對應邊相等）七、取線段中點構造全等三有形。例如：如圖11-1:AB=DC/A=/D求證：/ABC=/DCB分析：由AB=DC/A=/D,想到如取AD的中點N,連接NBNC再由SA卷理有AB率DCN故BN=CN/ABN=/DCN下面只需證/NBC=/NCB再取BC的中點M連接MN則由SSS公理有ANB陣NCM所以/NB秘/NC

12、B問題得證。證明：取ADBC的中點N、M連接NB在ABNffiDCNfrD（已知）ABDC（已知）ANDN（輔助線的作法）.AB隼ADCN（SAS丁./ABN=ZDCNNB=NC（全等三角形對應邊、角相等）在NBMWANChNB=NC（已證）BM=CM（輔助線的作法）NM=NM（公共邊）.NM空ANCiyi（SSS）./NBC=/NCB（全等三角形對應角相等）丁/NBCb/ABN=/NC即/DCN即/ABC/DCB二由角平分線想到的輔助線口訣：圖中有角平分線，可向兩邊作垂線。也可將圖對折看，對稱以后關系現。角平分線平行線，等腰三角形來添。角平分線加垂線，三線合一試試看。角平分線具有兩條性質：a

13、、對稱性；b、角平分線上的點到角兩邊的距離相等。對于有角平分線的輔助線的作法，一般有兩種。從角平分線上一點向兩邊作垂線；利用角平分線，構造對稱圖形（如作法是在一側的長邊上截取短邊）。通常情況下，出現了直角或是垂直等條件時，一般考慮作垂線；其它情況下考慮構造對稱圖形。至于選取哪種方法，要結合題目圖形和已知條件。與角有關的輔助線（一）、截取構全等幾何的證明在于猜想與嘗試，但這種嘗試與猜想是在一定的規律基本之上的，希望同學們能掌握相關的幾何規律，在解決幾何問題中大膽地去猜想，按一定的規律去嘗試。下面就幾何中常見的定理所涉及到的輔助線作以介紹。如圖1-1,/AOC=BOC如取OE=OF并連接DEDF,

14、則有OE%AOFID從而為我們證明線段、角相等創造了條件。如圖1-2,ABZ/CD,BE平分/BCDCE平分/BCD點E在AD上，求證：BC=AB+GD分析：此題中就涉及到角平分線，可以利用角平分線來構造全等三角形，即利用解平分線來構造軸對稱圖形，同時此題也是證明線段的和差倍分問題，在證明線段的和差倍分問題中常用到的方法是延長法或截取法來證明，延長短的線段或在長的線段長截取一部分使之等于短的線段。但無論延長還是截取都要證明線段的相等，延長要證明延長后的線段與某條線段相等，截取要證明截取后剩下的線段與某條線段相等，進而達到所證明的目的。簡證：在此題中可在長線段BC上截取BF=AB再證明CF=CD

15、從而達到證明的目的。這里面用到了角平分線來構造全等三角形。另外一個全等自已證明。此題的證明也可以延長BE與CD的延長線交于一點來證明。自已試一試。（二）、角分線上點向角兩邊作垂線構全等過角平分線上一點向角兩邊作垂線，利用角平分線上的點到兩邊距離相等的性質來證明問題。1、如圖2-1,已知AB>AD,/BACWFAC,CD=BC求證：/ADC廿B=180分析：可由C向/BAD勺兩邊作垂線。近而證/ADCt/B之和為平角。圖2-1（三）：作角平分線的垂線構造等腰三角形從角的一邊上的一點作角平分線的垂線，使之與角的兩邊相交,則截得一個等腰三角形,垂足為底邊上的中點，該角平分線又成為底邊上的中線和

16、高，以利用中位線的性質與等腰三角形的三線合一的性質。（如果題目中有垂直于角平分線的線段，則延長該線段與角的另一邊相交）已知：如圖3-1,/BAD=DACAB>AC,CDAD于D,H是BC中點。1求證：DH=2（AB-A。分析：延長CD交AB于點E,則可得全等三角形。問題可證。（四）、以角分線上一點做角的另一邊的平行線有角平分線時，常過角平分線上的一點作角的一邊的平行線，從而構造等腰三角形。或通過一邊上的點作角平分線的平行線與另外一邊的反向延長線相交，從而也構造等腰三角形。如圖4-1和圖4-2所示。A圖4-1圖4-2三由線段和差想到的輔助線口訣：線段和差及倍半，延長縮短可試驗。線段和差不等

17、式，移到同一三角去。遇到求證一條線段等于另兩條線段之和時，一般方法是截長補短法：1、截長：在長線段中截取一段等于另兩條中的一條，然后證明剩下部分等于另一條；2、補短：將一條短線段延長，延長部分等于另一條短線段，然后證明新線段等于長線段。對于證明有關線段和差的不等式，通常會聯系到三角形中兩線段之和大于第三邊、之差小于第三邊，故可想辦法放在一個三角形中證明。在利用三角形三邊關系證明線段不等關系時，如直接證不出來，可連接兩點或廷長某邊構成三角形，使結論中出現的線段在一個或幾個三角形中，再運用三角形三邊的不等關系證明，如：在利用三角形的外角大于任何和它不相鄰的內角時如直接證不出來時，可連接兩點或延長某

18、邊，構造三角形，使求證的大角在某個三角形的外角的位置上，小角處于這個三角形的內角位置上，再利用外角定理：四由中點想到的輔助線口訣：三角形中兩中點，連接則成中位線。三角形中有中線，延長中線等中線。在三角形中，如果已知一點是三角形某一邊上的中點，那么首先應該聯想到三角形的中線、中位線、加倍延長中線及其相關性質（直角三角形斜邊中線性質、等腰三角形底邊中線性質），然后通過探索，找到解決問題的方法。（一）、中線把原三角形分成兩個面積相等的小三角形即如圖1,AD是AABC的中線，則Saabd=SLac=?SaABC（因為AABDtAAC皿等底同高的）。例1.如圖2,AABC中,AD是中線，延長AD至ijE

19、,使DE=ADDF是ADCE勺中線。已知AABC的面積為2,求：ACDF的面積。1_解：因為AD是AABC勺中線，所以Saac=?SaabC=，X2=1,又因CDAACE的中線，故SacdE=Saac=1,£££因DF是ACDE勺中線，所以SaCD=sSacd=2X1=2o1ACDF勺面積為二。（二）、由中點應想到利用三角形的中位線7例2.如圖3,在四邊形ABCm，AB=CDE、F分別是BGAD的中點，BACD的延長線分別交EF的延長線GH=求證：/BGE=CHE證明：連結BD并取BD的中點為M連結MEMF.ME是ABCD勺中位線， .ME二CD/MEFWCHE.

20、MF是AABD勺中位線， m2AB,./MFEWBGEAB=CDME=MF/MEF=MFE從而/BGE=CHE（三）、由中線應想到延長中線例3.圖4,已知AABC中,AB=5AC=3連BC上的中線AD=2求BC的長。解：延長AD至ijE,使DE=AD貝UAE=2AD=22=4。在AACDffiAEBD,.AD=ED/ADCWEDBCD=BD .AAC四AEBDAC=BE從而BE=AC=3在AABE中，因At+BE=42+32=25=AB,故/E=90°,.BD=3£十口/=J1+”=行,故BC=2BD或0例4.如圖5,已知AABC中，AD是/BAC的平分線，AD又是BC邊上

21、的中線。求證：AABC®等腰證明：延長AD到E,使DE=AD八仿例3可證：XXABEDACAD/|故EB=AC/E=/2,"%又/1=/2,%j./i=/e,y；AB=EB從而AB=AC即AABCg等腰三角形。圖5（四）、直角三角形斜邊中線的性質例5.如圖6,已知梯形ABCm，ABZ/DC,AC1BCAD±BR求證：AC=BD因止匕AC=BD證明：取AB的中點E,連結DECE,WJDECE分別為RtAABQRtAABC斜邊AB上的中線，故DE=CE=AB,因止匕/CDE=DCE,.ABZ/DC,./CDE=1,/DCE=2,/1=/2,在AADEffiABCE,.

22、DE=CE/1=/2,AE=BE.AAD圖ABCE；AD=BC從而梯形ABCD1等腰梯形,(五)、角平分線且垂直一線段，應想到等腰三角形的中線(六)中線延長全等三角形輔助線找全等三角形的方法：(1)可以從結論出發，看要證明相等的兩條線段(或角)分別在哪兩個可能全等的三角形中；(2)可以從已知條件出發，看已知條件可以確定哪兩個三角形相等；(3)從條件和結論綜合考慮，看它們能一同確定哪兩個三角形全等；(4)若上述方法均不行，可考慮添加輔助線，構造全等三角形。三角形中常見輔助線的作法：延長中線構造全等三角形；利用翻折，構造全等三角形；引平行線構造全等三角形；作連線構造等腰三角形。常見輔助線的作法有以

23、下幾種：遇到等腰三角形，可作底邊上的高，利用“三線合一”的性質解題，思維模式是全等變換中的“對折”.遇到三角形的中線，倍長中線，使延長線段與原中線長相等，構造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“旋轉”.遇到角平分線，可以自角平分線上的某一點向角的兩邊作垂線，利用的思維模式是三角形全等變換中的“對折”，所考知識點常常是角平分線的性質定理或逆定理.過圖形上某一點作特定的平分線，構造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“平移”或“翻轉折疊”截長法與補短法，具體做法是在某條線段上截取一條線段與特定線段相等，或是將某條線段延長，是之與特定線段相等，再利用三角形全等的有關性質加以說明.這種作法，

24、適合于證明線段的和、差、倍、分等類的題目.特殊方法：在求有關三角形的定值一類的問題時，常把某點到原三角形各頂點的線段連接起來，利用三角形面積的知識解答.梯形的輔助線口訣：梯形問題巧轉換，變為和口。平移腰，移對角，兩腰延長作出高。如果出現腰中點，細心連上中位線。上述方法不奏效，過腰中點全等造。通常情況下，通過做輔助線，把梯形轉化為三角形、平行四邊形，是解梯形問題的基本思路。至于選取哪種方法，要結合題目圖形和已知條件。常見的幾種輔助線的作法如下：（一）、平移1、平移一腰:10例1.如圖所示，在直角梯形ABCLfr,/A=900,AB/DCA況15,AB=16,BO17.求CD的長.解：過點D作DE

25、/BC交AB于點E.又AB/CD所以四邊形BCD段平行四邊形.所以DE=BO17,CD-BE.在RzXDAE中，由勾股定理，得aU=dEaD,即aE=17-15=64.所以A8.所以BAB-AE=168=8.即CD=8.例2如圖，梯形ABCD勺上底AB=3下底CD=8月AD=4求另一腰BC的取值范圍。解：過點B作BM/AD交CD于點M在BCMfr,BM=AD=4CM=CDDM=CDAB=8-3=5,所以BC的取值范圍是：54<BC<濟4,即1<BC<92、平移兩腰：例3如圖，在梯形ABCDfr,ADBC,/B+/C=90°,AD=1BC=3E、F分別是ADBC

26、的中點,連接EF,求EF的長。，丹C解：過點E分別作ABCD的平行線，交BC于點GH,可得/EGHb/EHG=B+/C=90°則EGFfe直角三角形因為E、F分別是ARBC的中點，容易證得F是GH的中點1_1八_EFGH(BCBGCH)所以221 _1_一(BCAEDE)BC(AEDE)2 21 -1一(BCAD)-(31)12 23、平移對角線：例4、已知：梯形ABCm，AD/BC,AD=1,BC=4BD=3AC=4求梯形ABCD勺面積.11解：如圖，作DEE/AG交BC的延長線于E點.AD/BC四邊形ACED!平行四邊形BE=BC+CE=BC+AD=4+,1=DE=AC=4.在A

27、DBE中，BD=3,DE=4BE=5丁./BDE=90.一,BDED12DH-S梯形ABCD(ADBC)DH5J22例5如圖，在等腰梯形ABCLfr,ADZ/BC,AD=3BC=7BDjE,求證:ACLBD作DHLBC于H,則BE5解：過點C作BD的平行線交AD的延長線于點E,易得四邊形BCED1平行四邊形，貝UDE=BCCE=BDK2,所以AE=AD-DE=ADBC=*7=10。在等腰梯形ABCD,AC=BD5v'2,所以在4ACE中，AC2CE2(5.2)2(5.2)2100AE2從而ACLCE于是AC!BD例6如圖，在梯形ABCD,ADZ/BC,AC=15cmBD=20cm高DH

28、=12cm求梯形ABCD勺面積。解：過點D作DE/AC,交BC的延長線于點E,則四邊形ACED1平行四邊形，即SABDSACDSDCE。所以S梯形ABCDSDBE由勾股定理得EHDE2DH2'AC2DH<1521229(eg)12BH詬DDH2，20212216(cm)1SDBEBE所以212DH(916)12150(cm),2,即梯形ABCD勺面積是150cm。（二）、延長即延長兩腰相交于一點，可使梯形轉化為三角形。例7如圖，在梯形ABCLfr,AD/BC,/B=50°,/C=80,AD=2BC=5求CD的長解：延長BACD交于點E。在八BCE中，/B=50°

29、;,/C=80。所以/E=50°,從而BC=EC=5同理可得AD=ED=2所以CD=EGED=5-2=3例8.如圖所示，四邊形ABCLfr,AD不平行于BCAOBRAD=BC.判斷四邊形ABCD勺形狀,并證明你的結論.解：四邊形ABC此等腰梯形.證明：延長ADBC相交于點E,如圖所示.,.AOBDAD=BC,AB=BA.DABACBA.丁/DA樂/CBA.EA=EB.又AD=BC,DE=CE/EDC=/ECD.而/E+/EAB/EBA=/E+/EDCb/EC&180./EDC=/EAB-DC/AB.又AD不平彳r于BC一四邊形ABCD1等腰梯形.（三）、作對角線即通過作對角線

30、，使梯形轉化為三角形。例9如圖6,在直角梯形ABCW,AD/BC,AB±ADBC=CDBE1CDT點E,求證：AD=DE13解：連結BD由AD/BC,得/ADBWDBE由BC=CD得/DBCWBDC所以/ADBWBDE又/BADWDEB=90,BD=BD所以RtABAtDRtABED得AD=DE（四）、作梯形的高1、作一條高例10如圖，在直角梯形ABCm，AB/DC,/ABC=90,AB=2DC對角線ACLBD垂足為F,過點F作EF/AB,交ADT點E,求證：四邊形ABF皿等腰梯形。BE=1cmf-3 cm,c24 .3cmAD為上底，AB>CD求證：BD>AC證：過點D作DGLAB于點G則易知四邊形DGBCI矩形，所以DC=BG因為AB=2DC所以AG=GB從而DA=DB于是/DAB=DBA又EF/AB,所以四邊形ABF皿等腰梯形。2、作兩條高例11、在等腰梯形ABCD,AD/BC,AB=CD/ABC=60,AD=3cmBC=5crp求：腰AB的長；(2)梯形ABCD勺面積.解：作AE±BC于E,DF±BC于F,又AD/BC,四邊形AEFD1矩形，EF=AD=3cm.AB=DC-1-BEFC(BCEF)1cm2.在R