1、第一章第一章 振振 動動 (Vibration)1 1 簡諧振動簡諧振動 ( (運動學部分運動學部分) )2 2 簡諧振動簡諧振動 ( (動力學部分動力學部分) ) 3 阻尼振動阻尼振動 4 受迫振動與共振受迫振動與共振5 簡諧振動的合成簡諧振動的合成6 諧振分析諧振分析第一章第一章 振振 動動 (Vibration)振動有各種不同的形式振動有各種不同的形式 即：即：物理量物理量(如位移、電流等如位移、電流等)在某一數值附近反復變化。在某一數值附近反復變化。 物體位置周期性的變化。物體位置周期性的變化。任何物理量周期性的變化。任何物理量周期性的變化。廣義振動廣義振動機械振動機械振動振動分類振動

2、分類受迫振動受迫振動自由振動自由振動阻尼自由振動阻尼自由振動無阻尼自由非諧振動無阻尼自由非諧振動無阻尼自由諧振動無阻尼自由諧振動( (簡諧振動簡諧振動) )1 1 簡諧振動簡諧振動一一. 簡諧振動簡諧振動 表達式表達式 x(t)=Acos( t+ ) 特點特點 (1)等幅振動等幅振動 (2)周期振動周期振動 x(t)=x(t+T )( (運動學部分運動學部分) )二二. 描述描述簡諧振動簡諧振動的特征量的特征量 1. 振幅振幅 A2. 角頻率角頻率 (rad/s)、周期周期T (s) 和頻率和頻率 f (Hz)f =/(2 )= 1/T (Hz)3. 相位相位(1) =( t + + )是是

3、t 時刻的相位時刻的相位 (2) 是是t =0時刻的相位時刻的相位 初相初相三三. 簡諧振動簡諧振動的描述方法的描述方法1. 解析法解析法由由 x=Acos( t+ )已知表達式已知表達式 A、T、 已知已知A、T、 表達式表達式2. 曲線法曲線法mxox0 = 0otxA-A = /2T 已知曲線已知曲線 A、T、 已知已知 A、T、 曲線曲線3. 3. 旋轉矢量法旋轉矢量法 t+ oxxt = tt = 0 x = A cos( t + ) AA旋轉矢量的長度旋轉矢量的長度旋轉矢量與參考方向旋轉矢量與參考方向x 的夾角的夾角旋轉矢量旋轉的方向旋轉矢量旋轉的方向旋轉矢量旋轉的角速度旋轉矢量旋

4、轉的角速度振動相位振動相位振動角頻率振動角頻率 振幅振幅 A逆時針方向逆時針方向xt)(cos=+A點的運動點的運動規律：規律： 在在x 軸上投影軸上投影 Adtdxv xMPAV為為 在在x方向的分量方向的分量VMPxA注意：旋轉矢量在第注意：旋轉矢量在第 速度速度象限象限1v0MPxA注意：旋轉矢量在第注意：旋轉矢量在第 速度速度象限象限1v0MPxA注意：旋轉矢量在第注意：旋轉矢量在第 速度速度象限象限1v0MPxA注意：旋轉矢量在第注意：旋轉矢量在第 速度速度象限象限1v0MPxA注意：旋轉矢量在第注意：旋轉矢量在第 速度速度象限象限1v0MPxA注意：旋轉矢量在第注意：旋轉矢量在第

5、速度速度象限象限2v0MPxA注意：旋轉矢量在第注意：旋轉矢量在第 速度速度象限象限2v0MPxA注意：旋轉矢量在第注意：旋轉矢量在第 速度速度象限象限2v0MPxA注意：旋轉矢量在第注意：旋轉矢量在第 速度速度象限象限2v0MPxA注意：旋轉矢量在第注意：旋轉矢量在第 速度速度象限象限3v0MPxA注意：旋轉矢量在第注意：旋轉矢量在第 速度速度象限象限3v0MPxA注意：旋轉矢量在第注意：旋轉矢量在第 速度速度象限象限3v0MPxA注意：旋轉矢量在第注意：旋轉矢量在第 速度速度象限象限3v0MPxA注意：旋轉矢量在第注意：旋轉矢量在第 速度速度象限象限4v0MPxA注意：旋轉矢量在第注意：旋

6、轉矢量在第 速度速度象限象限4v0MPxA注意：旋轉矢量在第注意：旋轉矢量在第 速度速度象限象限4v0MPxA注意：旋轉矢量在第注意：旋轉矢量在第 速度速度象限象限4v0t2/00 x0v2/0 x0v0v0v0 x0 x2/322/3k2特別有：特別有：2/2k) 12(kAx 0 xmaxvv 結論：結論： 決定質點的運動狀態，即決定質點的運動狀態，即x和和v的情況的情況0vAx0v2/32k0 xmaxvv 稱振動稱振動 2 超前超前振動振動 1 =12若若位位相差相差0稱兩振動稱兩振動反相反相= (2k+1) , ( k =0,1,2,),若位相差若位相差稱兩振動稱兩振動同步同步= 2

7、k , ( k =0,1,2,),若位相差若位相差振動振動 1 滯后滯后振動振動 2A1A20A2A101A10 xA22四四. 相位差相位差 領先、落后以領先、落后以 0 0 0a 0 0 0減速減速加速加速減速減速加速加速 AA-A- A- 2Av3xAA21.00tt = 0時時000 x=A2vxA=3 、以及振動方程。以及振動方程。求：求： 例例1 一諧振動的振動曲線如圖所示。一諧振動的振動曲線如圖所示。 32AxAt =1t = 02+31=T2x = A cos ( 56t3)Fm0Xkx由牛頓定律：由牛頓定律： kx = md xdt22m=k令令2=d xdt22kmx+0k

8、m=， 簡諧振動簡諧振動 ( (動力學部分動力學部分) )一一. . 簡諧振動的動力學方程簡諧振動的動力學方程1、動力學、動力學方程方程（彈簧振子的角頻率）（彈簧振子的角頻率） 當當 t = 0 時時2、求解此方程必須具備的初始條件：、求解此方程必須具備的初始條件：得得：d xdt22=+2x0振動動力學方程振動動力學方程)()(:tiAetx通解00, 0vxt )cos()(:tAtx取實部)cos()(tAtx由)sin()(tAtvcos0Ax sin0AvxA0 x0v00v00vx0000A=xvv)(tg2+2則有則有(不合題意不合題意)200= Acosxx =05(2t)co

9、s53.3=5cos()2t0.296v00=tgx8=23433.531 87.1262若取若取87.1262 例例2 一彈簧振子一彈簧振子 k = 8N/m, m= 2 kg,求求:, A, , 振動方程振動方程00 x=3m, v=8 m s解：解：二二. . 簡諧振動的簡諧振動的判定條件判定條件 )cos()(. 1tAtxd xdt22=+2x02.xkf合. 3三三. .簡諧振動的能量簡諧振動的能量(以水平彈簧振子為例以水平彈簧振子為例)1.1.簡諧振動系統的能量特點簡諧振動系統的能量特點(1) 動能動能221 mEk )(sin2122 tkA0,21min2max kkEkAE

10、2411kAdtETETttkk (2) 勢能勢能221kxEp )(cos2122 tkA情況同動能情況同動能。pppEEE,minmax(3) 機械能機械能221kAEEEpk 簡諧振動系統機械能守恒簡諧振動系統機械能守恒2. 由起始能量求振幅由起始能量求振幅xtTEEpEk(1/2)kA2okpEE kEAmax2 四四. .簡諧振動的動力學解法簡諧振動的動力學解法 1.1.從分析受力出發從分析受力出發 (由牛頓定律列方程由牛頓定律列方程) 2. 從分析能量出發從分析能量出發 (將將能量能量守恒式對守恒式對t求導求導) 2max21kAEk k=?例例3：k1(a)k2Fk2k1(b)F

11、(a)(b)k1單獨存在單獨存在11/kFx k2單獨存在單獨存在22/kFx k2k1、同時存在同時存在)/ 1/ 1 (2121kkFxxx )/ 1/ 1/(1/21kkxFk 111/kFx 222/kFx xxx 21kxxkkFFF )(212121kkk k=?例例4：質點振動方程為質點振動方程為)43cos(06. 0tx（SI）(1)、當、當 x =？時系統勢能為總能量的一半？時系統勢能為總能量的一半？(2)、系統由平衡位置到此位置所需的最短時間？、系統由平衡位置到此位置所需的最短時間？解：解：(1)、221kAE 總總22212121kAkxmAx0424. 022(2)、

12、sT62tt12)4()4(12 tt)(12tt 4/ stt75. 0)4/(12 方法一、方法一、M = J,LmgsinM=222mLLmg=ddt2g = 0d2dt+L2J=Lm=max cos()+t動動+轉轉正正方方向向mmgLLmg 例例5 、角振動角振動 單擺單擺gLT2 Lg 由轉動定律：由轉動定律：動動+轉轉正正方方向向mmgL方法二、能量法（課后自學）方法二、能量法（課后自學）Ep=0取如圖位置重力取如圖位置重力勢能為勢能為0pkEEEcos212mgLmvdtdmgLdtdvmvdtdEsindtdmgLdtddtdmL222dtdLv 02g= 0d2dt+Lb0

13、 x平衡位置平衡位置取靜平衡位取靜平衡位置為坐標原點置為坐標原點 例例6 垂直懸掛的彈簧下端系一質量為垂直懸掛的彈簧下端系一質量為m的小球，彈簧的小球，彈簧伸長量為伸長量為b 。將重物上托使彈簧保持自然長度后放手。將重物上托使彈簧保持自然長度后放手。求證：放手后小球作簡諧振動，并寫出振動方程。求證：放手后小球作簡諧振動，并寫出振動方程。自然長度自然長度b自然長度自然長度靜平衡時靜平衡時mgFkb - mg = 0自然自然長度長度任意位置時小球所受到的合外力為：任意位置時小球所受到的合外力為：F = =kmgb=當當t0=:x0b,=0=v0得得A=b,=得：小球作諧振動得：小球作諧振動,且且m

14、g - k ( b + x ) = - kx)cos(tbgbxb平衡平衡位置位置0 xxmgK(b+x)22dtxdmkx 由由mk 2kb - mg = 0例例7 水面上浮有一方形木塊，在靜止時水面以上高度為水面上浮有一方形木塊，在靜止時水面以上高度為a,水面以下高度為水面以下高度為b,水密度為水密度為 木塊密度為木塊密度為 ，不計水的，不計水的阻力。現用外力將木塊壓入水中，使木塊上表面與水面平阻力。現用外力將木塊壓入水中，使木塊上表面與水面平齊。求證：木塊將作諧振動，并寫出諧振動方程。齊。求證：木塊將作諧振動，并寫出諧振動方程。 任意位置木塊受到的合外力為：任意位置木塊受到的合外力為：0

15、)(gbsgsba平衡時gxsgsxbgsbaF )()( 平衡平衡位置位置bca.s0 xy木塊作諧振動木塊作諧振動tbagax )(cos )(bag gxsdtxdsba 22)(0)(22 xbagdtxd t =0ax 000vaA0ac.b0 xs y任意任意位置位置x例例8一輕彈簧掛一質量為一輕彈簧掛一質量為10g的物體的物體 ,伸長量為伸長量為4.9cm.用此彈簧和用此彈簧和質量為質量為 80g的小球構成彈簧振子的小球構成彈簧振子 ,將小球由平衡位置向下拉開將小球由平衡位置向下拉開 1.0cm后后 ,給予向上的初速度給予向上的初速度 5.0cm/s. 試求振動的周期和振動表達式

16、試求振動的周期和振動表達式 . 解解:由平衡條件由平衡條件 可得11kxgmmNxgmk/0 .211自然自然長度長度x自然自然長度長度80gObkbMg 以豎直向下為以豎直向下為 x軸軸 ,并以平衡位置為并以平衡位置為原點在原點在 x位置處列位置處列方程方程 22)(dtxdMxbkMg022 xMkdtxd2 Mk令令物作諧振動物作諧振動 21.26MTsk000,0.010.05 /txmvm s220022vAx(cm)005()()44varctgx或舍2cos(5/4)()xtcm表達式與坐標選取有關表達式與坐標選取有關 0 x0vxMg)(bxkfF =kxF = v 阻尼力阻尼

17、力彈性力彈性力dtdx=kx令令=k m20m=2（阻尼因子）（阻尼因子）特征方程：特征方程：特征根：特征根：r2+=02220有兩個虛根：有兩個虛根：r0=i20r1= + i,dtd xm22dtd xdx22+=00dt2x2=rr2+0220 2. 小阻尼小阻尼 1、阻尼振動、阻尼振動 3 阻尼振動（自學）阻尼振動（自學）方程的解為：方程的解為：0=220T =222tx00t x=A ecos()t+TA0是一非周期運動。是一非周期運動。tx過阻尼過阻尼阻尼阻尼 3. 過阻尼過阻尼臨界阻尼臨界阻尼 4 受迫振動與共振（自學）受迫振動與共振（自學）一一. 受迫振動受迫振動 在外來策動力

18、作用下的振動在外來策動力作用下的振動1. 系統受力系統受力 彈性力彈性力 -kx阻尼力阻尼力 tddx 強迫力的圓頻率強迫力的圓頻率 p0F力幅力幅 周期性干擾力（強迫力）周期性干擾力（強迫力）0F=Fcos pt2、動力學方程：、動力學方程：令令hF0m=m=2,0km=2,得得0=d xdtdtdx222+ 2xhcos t方程的解為：方程的解為：dxdtF0kx+cost=d xdt22m+t 2000t2Ax = A ecos()+cos(t+ )隨時間很快衰減為零穩定時的振動方程 tt 20002Ax = A ecos()+cos(t+) 在達到穩定態時，系統振動頻率等于強在達到穩定

19、態時，系統振動頻率等于強迫力的頻率。迫力的頻率。3. 穩態解穩態解 x=Acos( t+ ) 4. 特點特點 穩態時的受迫振動按穩態時的受迫振動按簡諧振動簡諧振動的規律變化的規律變化 (1)頻率頻率: 等于策動力的頻率等于策動力的頻率 2/12222204)( hA(2)振幅振幅: 求求A 的極值得：的極值得：A0較小較大00A =h022()222+40/ ddA(3)初相初相:2202tg 二二. .共振共振在一定條件下在一定條件下, 振幅出現振幅出現 極極大值大值, 振動劇烈的現象。振動劇烈的現象。1. 位移共振位移共振(1)共振頻率共振頻率 :2202 r(2)共振振幅共振振幅 :22

20、02 hAr若若 T=Mk2=m+Mk11=T21振子的速度振子的速度v1= 0mohMx0=Ax(1)彈簧振子的圓頻率為：彈簧振子的圓頻率為：M2=m()+M v0v=M2m()+Mv0v=0vA=MkA=Mm()+MAMk(2)當振子在平衡位置時當振子在平衡位置時m 落下落下,由動量守恒由動量守恒2A+=0v2222=m+Mk2=12=m+Mk=T2T112kA1=E12=12kA=2E系統的振系統的振動能量為：動能量為：=Mm()+MAMkm+Mk=m+MMAA=2vMm()+MAMk2v22A=12kA2=E2212=kA2m+MM=m+Mk2=1E12kA=2 例例8 一彈簧振子由勁

21、度系數為一彈簧振子由勁度系數為k 的彈的彈簧和質量為簧和質量為M的物塊組成，將彈簧一端與頂的物塊組成，將彈簧一端與頂板相連，如圖所示。開始時物塊靜止，一顆板相連，如圖所示。開始時物塊靜止，一顆質量為質量為m、速度為、速度為v0的子彈由下而上射入物的子彈由下而上射入物塊，并留在物塊中。塊，并留在物塊中。 (1)求振子以后的振求振子以后的振動振幅與周期；動振幅與周期； (2)求物塊從初始位求物塊從初始位置運動到最高點所需的置運動到最高點所需的時間。時間。 Mx02x01oxx0mM+Mgxk10=m0vvm()+M=m+Mkm()+M gxk20=x0 x02x01=m0vvm()+M=mkg解：

22、在初始位置解：在初始位置+Mx02x01oxx0mM(1)由動量守恒由動量守恒振子的頻率為：振子的頻率為：得到：得到：=m+MkA2+=x0v22=m0vvm()+M+mkgk0v2m()+M2g1=()+=mkg222m0v22m()+M2m+Mk.x0=mkg=tgx0v0=m+Mkm0vm+M.mkg=0vgm+Mk+=t2=t2=0vgm+Mk1tg0vgm+Mk1tg=tm+Mk=m+Mk=m0vvm()+Mx0=mkg 例例9 一彈簧振子作簡諧振動，振幅一彈簧振子作簡諧振動，振幅A =0.20m，如彈簧的勁度系，如彈簧的勁度系k =2.0N/m，所，所系物體體的質量系物體體的質量m

23、 =0.50kg。試求。試求: (1)當動能和勢能相等時，物體的位移當動能和勢能相等時，物體的位移多少？多少？ (2)設設t =0時，物體在正最大位移處，達時，物體在正最大位移處，達到動能和勢能相等處所需的時間是多少？到動能和勢能相等處所需的時間是多少？ (在一個周期內。在一個周期內。) Axtcos()+=mk2xtcos=0.212Emvk2=2sinA12m=2t212Ekxp2=2cosA12m=2t2解：設諧振動方程為：解：設諧振動方程為：0=t時刻，物體在正方向最大處時刻，物體在正方向最大處=0=20.5= 2 s-1A=0.2mEk=Ep當當=sint2cost2=sint2co

24、st2+=t42k+=42k2+=84k=0,1,2,3k當當=t8385878,t =0.39s,1.2s,2s,2.7s+=t42kxcos=0.24=0.141m 例例10 一水平放置的彈簧振子，已知物一水平放置的彈簧振子，已知物體經過平衡位置向右運動時速度體經過平衡位置向右運動時速度v =1.0m/s，周期周期T =1.0s。求再經過求再經過1/3 s時間，物體的時間，物體的動能是原來的多少倍。彈簧的質量不記。動能是原來的多少倍。彈簧的質量不記。()+12Emvk2=2sinA12m=2t2()2sinA12m=226142A12m=2.EEm=14Em=2A12m2經經 T/3 后，

25、后， 物體的相位為物體的相位為6解：經平衡位置向正方向運動時，最大動能為解：經平衡位置向正方向運動時，最大動能為 例例11 試用最簡單的方法求出下列兩組試用最簡單的方法求出下列兩組簡諧振動合成后所得合振動的振幅：簡諧振動合成后所得合振動的振幅： 第一組：第一組：第二組：第二組：0.05cos(3t+/3)mx1=0.05cos(3t+/3)mx1=0.05cos(3t+7/3)mx2=0.05cos(3t+4/3)mx2=3732=343A = A1+A2= 0.05 + 0.05 =0.10(m)A = A1-A2= 0解：解：0.05cos(3t+/3)mx1=0.05cos(3t+7/3

26、)mx2=(1)0.05cos(3t+/3)mx1=0.05cos(3t+4/3)mx2=(2)=0.01m2A1A2cos()+=A22A1A221arc tg+=1A1sin2A2sin1A1cos2A2cos+()+arc tg=230.04210.04210.04()+0.0423=6解：解： 例例12 一質點同時參與兩個在同一直線一質點同時參與兩個在同一直線上的簡諧振動上的簡諧振動: 試求其合振動的振幅和初相位試求其合振動的振幅和初相位(式中式中x以以m計計, t 以以s計計) 。 0.04cos(2t+/6)mx1=0.03cos(2t-5/6)mx2= 例例13 有兩個同方向的簡

27、諧振動，它們有兩個同方向的簡諧振動，它們的表式如下：的表式如下： (1)求它們合成振動的振幅和初相位；求它們合成振動的振幅和初相位； 0.06cos(10t+/4)mx2=0.05cos(10t-3/4)mx1=問問0為何值時為何值時x1+x3的振幅為最大；的振幅為最大； (2)若另有一振動若另有一振動0.07cos(10t+0)mx3=0為何值時為何值時x2+x3的振幅為最小。的振幅為最小。 (式中式中 x 以以 m計計; t 以以 s計計)=0.078m2A1A2cos()+=A22A1A221=(0.05)2+(0.06)2+20.050.06cos(-/2)arc tg+=1A1sin2A2sin1A1cos2A2cos+解：解： (1)+arc tg=220.050.060.05+0.06222222()= 8404830=343=3443=3=54(2) 例例14 兩個同方向的簡諧振動，周期相兩個同方向的簡諧振動，周期相同，振幅為同，振幅為A1=0.05m， A2=0.07m，組成，組成一個振幅為一個振幅為A=0.09m的簡諧振動。求兩個分的簡諧振動。求兩個分振動的相位差。振動的相位差。 2A1A2cos()+=A22A1A221解：解