1、二重積分計算中積分限的確定摘要：二重積分計算中積分限的確定對于初學者是一個重點更是一個難點.本文旨在介紹一種二重積分計算中確定積分限的簡單易行的方法關鍵詞：二重積分累次積分積分限積分次序引言：高等數學學習過程中，二重積分計算是個難點。原因在于將二重積分化為累次積分時，對于積分限的確定學生難以掌握。本人結合自己的教學過程和自己的學習體會總結出一個口訣，發現在教學過程中效果不錯可以很好的幫助學生解決這一難題。1 .高等數學中計算二重積分的方法在高等數學課本中，在直角坐標系下計算二重積分的步驟為：1。(1)畫出積分區域(2)確定積分區域是否為X-型或Y-型區域，如既不是X-型也不是Y-型區域，則要將

2、積分區域化成幾個X-型和Y-型區域，并用不等式組表示每個X-型和Y-型區域.(3)用公式化二重積分為累次積分.(4)計算累次積分的值.在教學的過程中我發現學生對于此種方法掌握的很不好，尤其是在第二步中，確定積分區域從而確定累次積分的積分限是一個薄弱環節.下面就本人在教學中的體會談談在這方面的一點心得.2 .教學過程中總結的方法本人的心得可用下面的口訣概括：后積先定限，限內畫條線，先交下限取，后交上限見.下面簡單解釋一下該口訣，然后以具體的仞題加以說明.在將二重積分轉化為累次積分的時候對于兩個積分變量必然會有個先后順序，這就要求對后積分的那個變量我們要根據積分區域確定其上下限(所謂確定是指根據積

3、分區域圖將其上下限定為常數).確定了這個變量的上下限以后，我們在其上下限內畫一條和上下限平行的直線，該直線沿著坐標軸白正方向畫過來，這樣該直線如果和積分區域總是有兩個交點，先交的即為另一個積分變量的積分下限，后交的即為其積分上限.3 .例題解析例1計算jjxydxdy淇中D是由直線x=2,y=1,y=x所圍成的區域.D解:作出積分區域D的圖形在這個例題中我們既可以選擇先對x積分也可以選擇先對y積分.若我們選擇先對x積分，那么根據口訣需要先把后積分的變量y的積分限根據積分區域先定下來.從積分區域圖可以看出y最小取到1最大取到2.然后我們在y的限y=1和y=2內畫一條和這兩條直線平行的直線，易見這

4、條線只要畫在y=1和y=2內，則其左邊總是和直線x=y相交，從而x的積分下限即為y，而右邊總是和直線x=2相交,從而x的積分上限為2.這樣就完成了二重積分到累次積分的轉化2211xydxdy=ydyxdxDy2小121y（2-2y1上限為x。于是該二重=118若我們選擇先對y積分也是可以的。先把后積分的變量x的積分限根據積分區域確定下來。從積分區域圖易見x最小取到1最大取到2。然后在x=1和x=2內畫一條和這兩條直線平行的直線，只要這條線畫在*=1和*=2內，則其下邊總是和y=1相交，而上面總是y=x相交。從而y這個積分變量的下限為積分也可轉化為下面的二次積分來計算：2x2x3x|x4xydx

5、dy=1xdx1ydy=1（丁-）dx=-D22_82例2計算口xydxdy,其中D是由拋物線y=x和直線y=x-2所圍成的區域。D解首先作出積分區域圖在本題中若我彳門選擇先對x積分，則根據積分區域圖和上面介紹的口訣可以知道該二重積分化為二次積分為：11xydxdy=D2y212255ydyxdxy(y2)-ydy=5-y28在本題中若我們選擇先對由圖可見x最小取到0平行的直線的時候發現在所畫直線上下均與拋物線交上面是與拋物線相交。y積分，則根據積分區域圖我們先把x的上下限定下來，最大取到4。但在x=0和x=4這兩條直線之間畫和他們x=1這條直線的左右兩側情況有所不同：在x=1的左側2y=x相

6、交，而右側所回直線下面是與直線y=x-2相從而本題若選擇先對y后對x積分則需要將積分區域從直線x=1處分割成兩半來處理:!Jxydxdy=0xdxydy1xdx-ydyD顯然這樣計算起來要比上一種方法復雜的多！故當積分區域屬這種情況時一般來講我們會選擇先對x后對y積分。還有的情況恰與這種情況相反，那么我們為了簡便4x24x-x5)dx=-1x44x32H_43在本題中若我們仍然選擇先對x積分，則根據積分區域圖易知：積分變量y的最小取到0最大取到4。但是在y=0和y=4這兩條直線之間畫平行于它們的直線的時候會發現在直線y=1的上下兩側所畫直線與區域圖的交點所在的曲線有所不同：在直線y=1的下側，

7、所畫直線左右兩端均與拋物線相交。在直線y=1的上側，所畫直線左端與直線相交右端與拋物線相交。于是二重積分轉化為累次積分進行計算時要將積分區域沿直線y=1分割成兩塊來處理：1y!.xydxdy=0ydyD一下面我們選擇先對y積分看是否可以起到簡化計算的效果：從積分區域圖可以看到積分變量x最小取到-1最大取到2,在直線x=-1和x=2之間畫平行于它們的直線時易見該直線上端總是與直線y=x+2相交下端總是與拋物線y=x2相交，從而二重積分化為累次積分如下:2x212xydxdy=4xdxx2ydy=-式D2以上兩個例題是根據積分區域選擇積分次序以簡化計算，積分次序的選擇有時還要根據被積函數來選擇，比

8、如下面這個例題：2例4：計算x2edxdy,其中D是由直線x=0,y=1及y=x所圍成的區域。D解先畫出積分區域圖y=i/y=x若我們選擇先對x積分，根據積分區域圖，積分變量y最小取到0最大取到1,在直線y=0和y=1之間畫平行于他們的直線，該直線左端總是與直線x=0相交右端總是與直線x=y相交，從而二重積分化為累次積分為：221一xedxdy=0DA2,丫2,1edyxdx=-,03y3e-y2dy:-613e本題中若我們選擇先對y積分，則有:21c1.211xedxdy=oxdx*edyD、，2由于e的原函數不能用初等函數表出，因此我們無法求出二重積分的值！綜上所述，對于初學者在將二重積分

9、轉化為累次積分時，應該依積分區域和被積函數的具體情況選擇積分的先后順序，方能達到簡化計算的目的。參考文獻：【1】杜先能孫國正。高等數學M。安徽大學出版社，2004【2】華東師范大學數學系。數學分析M。高等教育出版社，2004Theintegrallimitsascertainingindoubleintegralscalculation(zhaojuanchenhao)(DepartmentofMathematics,SuzhouCollege,Suzhou,AnhuAbstract:Thatdualaccumulatepointscalculatesascertainingthatmirestrictedtoisthatapriorityalsoisadifficultpointtothebeginner.Tarticleaimatascertainingthemethod