1、小波采樣定理。由此產生的問題是：的離散樣本往往得到的是但在實際應用中，我們。我們的輸入數列應該是象是算法中，我們處理的對在)2()()2()()(NNNkkNNkNNkfxfckxcxfxfMallat二者的聯系？）（。去得到樣由如果二者不相等，則怎）（？3)2()2()2(1NkNNNkckfkfc)2()2()2(sin)2()(2)(NNNkkNNNNNkfckxkxkfxfxf此時，采樣定理，有：的信號時，由仙農是帶寬為當)()2()()(sin21( )2()2()2()2(sin)2()2()2()2(sin)2()2()2()2(sin)2()2()2()2(,)()(sinkn

2、nfdxknxxcnfdxkxnxnxnfdxkxnxnxnfdxkxnxnxnfdxkxxfkxfcxxcnNNnNNNNnNNNNnNNnNNNNNNNNNk時，有，而是當尺度函數不是的一種加權和。可以當作是有限帶寬時，當由上面的討論，實際上)2()(NNkkfcxf如何處理？分析，我們又該但是，對一般的多尺度重建。可以由即，其本質在于我們有：以有：是有限帶寬時，我們可思考當)2()()2()2(sin)2()()2()(NkNNNNkNkfxfkxkxkfxfckfxf。得到我們就可以由則由使：若能找到對于一般的尺度函數)()()()()()()(),(0000kkkkckfVfkxcx

3、fVfkxSkfxfxSx有什么特征。或者，這樣的小波應該。構造出什么小波能由被轉換為：此時，小波的采樣問題)()(xSxGilbert G.Walter的采樣定理：“A Sampling Theorem for Wavelet Subspaces”（論文發表在 IEEE.Trans.,Information Theory,Vol.38,No.2,1992,pp881-884) 在這篇論文中，Walter給出了S(x)存在的一個充分條件。定理：kZkikkxSkfxfVfxSekxxOx)()()(,),(0)()()2(0,)|(|)(10*1有對任意的則存在）（數，且滿足：是多尺度分析的尺

4、度函設證明的分析： （證明的思想類似于離散小波的重構定理的證明。）存在。逆算子并由開映射原理，證明是一個有界線性算子。證明映射定義120)(:TTkfflVT還是正交基。其中：確定可以被由一個函數)()()()()(:1021kxSxfkxSkfkfTSVlTk重要的是怎樣構造這樣的函數S(t).)(/ )( )()()()( )()()(*如果SSekkxSkxkinwk例：nHaar小波)()()()(1 , 0kxkxSxx例：nFranklin小波)(|)|1 ()(sin)()sin321 ()()sin321 (sin)( : )(1 , 0222*212*212222xtkxSS

5、x例：nB_ 樣條小波1310313) 1()23(3) 1()23(3)(_2kkkkkxNkxNxSBB樣條小波，有對三階立。樣條小波采樣定理不成階例：nMeyer小波 可以證明S(x)存在，但給不出其解析表達式。Walter的定理的一個推廣：“The Zak Transform and Sampling Theorems For Wavelet Subspaces” by A.J.E.M.Jamssen發表在：IEEE.Tans.on Signal Processing,Vol.41,No.12,1993,pp3360-3364 n引入Zak變換作為研究工具。RtektftfZkik,)

6、(),)(結果：n稍弱的收斂條件。),)(/ )( )()()()(,0),)( 1 , 0| )(|0aZSkxSkfxfVfRaZaktakak其中：有則對任意的，使若存在某個上一致收斂。在區間討論：n兩人的結果，均不保證S(x)是尺度函數。n可以保證在定理條件滿足的前提下，我們可以由f(k)出發，用確定的辦法去生成c0kn定理的條件判斷和變換的計算困難。Xianggen Xia 的研究成果：“On samping theorem ,Wavelet ,and Wavelet ttransforms”發表在：IEEE.Tans.on Signal Processing,Vol.41,No.1

7、2,1993,pp3524-3535 n基數尺度函數：(cardinal scaling function) （這個概念由 A.Aldroubi和M.Unser提出） 是基數尺度函數。則稱滿足：若尺度函數, 2, 1001)()(nnnxnHaar 小波的尺度函數是基數尺度函數。nSinc(x)函數是基數尺度函數。定理：是基數尺度函數。成立的充要條件是：)()()2()2()(xVxfkxkfxfjjkj基數正交尺度函數：n正交的基數尺度函數。)0(0, 1)0(0)(10)2)(20khhnnkxhxkkk，）（及（由雙尺度方程）（因為令2112kkkkkkhhhhkkkmmkkhZmhhHH221)()(2222即的一個等價形式：的正交性條件：由Zmmhhhhkmkkkkkk, 00112我們可以得到：結合1)0(1)(, 001)(2和結合令HRHZmmhhhehHkmkkkkkikkiikkikkkikkikkeHeehhehhehH)2(21)(212121)()2(120)12(120定理：1)0(1)()2(21)()(和充要條件是：是基數正交尺度函數的HRHeHHxi定理：)()()()(1 , 0 xxHaarxx即：小波的尺度函數。是函數的充要條件是：是緊支集基數正交尺度一類基數正交尺度函數：NkaaeaeaeHkkNkik