1、空間幾何體的外接球與內切球一、有關定義 1.球的定義：空間中到定點的距離等于定長的點的集合（軌跡）叫球面，簡稱球。2.外接球的定義：若一個多面體的各個頂點都在一入球的球面上，則稱這個多 面體是這個球的內接多面體，這個球是這個多面體的外接球。3,內切球的定義：若一個多面體的各面都與一個球的球面相切，則稱這個多面 體是這個球的外切多面體，這個球是這個多面體的內切球。二、外接球的有關知識與方法性質I：過球心的平面截球面所得圓是大圓，大圓的半徑與球的半徑相等;性質2：經過小圓的直徑與小圓面垂直的平面必過球心，該平面截球所得圓是大 圓;性質3：過球心與小圓圓心的直線垂直于小圓所在的平面（類比：圓的垂徑定

2、理）;性質4：球心在大圓面和小圓面上的射影是相應圓的圓心;性質5：在同一球中，過兩相交圓的圓心垂直于相應的圓面的直線相交，交點是 球心（類比：在同圓中，兩相交弦的中垂線交點是圓心）.初圖1初圖22.結論: 結論I:長方體的外接球的球心在體對角線的交點處，即長方體的體對角線的中 點是球心；結論2：若由長方體切得的多面體的所有頂點是原長方體的頂點，則所得多面體 與原長方體的外接球相同；結論3：長方體的外接球直徑就是面對角線及與此面垂直的棱構成的直角三角形 的外接圓圓心，換言之，就是：底面的一條對角線與一條高（棱）構成的直角三角 形的外接圓是大圓；結論4：圓柱體的外接球球心在上下兩底面圓的圓心連一段

3、中點處；結論5:圓柱體軸截面矩形的外接圓是大圓，該矩形的對角線（外接圓直徑）是球 的直徑；結論6：直棱柱的外接球與該棱柱外接圓柱體有相同的外接球；結論7：圓錐體的外接球球心在圓錐的高所在的直線上；結論8:圓錐體軸截面等腰三角形的外接圓是大圓，該三角形的外接圓直徑是球 的直徑；結論側棱相等的棱錐的外接球與該棱錐外接圓錐有相同的外接球.3.終極利器：勾股定理、正弦定理及余弦定理（解三角形求線段長度）；三、內切球的有關知識與方法|.若球與平面相切，則切點與球心連線與切面垂直。（與直線切圓的結論有一致性） 2.內切球球心到多面體各面的距離均相等，外接球球心到多面體各頂點的距離均 相等。（類比：與多邊形

4、的內切圓） 3.正多面體的內切球和外接球的球心重合。圖(3)”,取/從9r的中點/),£,連接力*,(7), AE,CD交于H,連接SH,則是底面正三角形力伏、的中心,，51平面月8(二51/8,V AC = iiC , AD = HD, /. CD LAfi , ，Hl.平面 SCO,SSC,同理："Cl”, ACLSI即正三棱錐的對棱互垂直,本題圖如圖(3)2, v AM 1 MV , SBH MN,4V/J.S8, .4CJ.S3, S8i平面s/r,SB ISA, SB 1 SC, / SB 1 SA , BC1 SA ,SA 1 平面SBC, ；. SA 工SC,

5、故三棱錐S-ABC的三棱條側棱兩兩互相垂直,B(3)0-2 (解答圖)/. (2R)2 = (2)2 + (2>/3)2 + (2)2 = 36 f 即4肥=36,，正三棱錐S 181 外接球的表面積是36萬.(4)在四面體3c中一 1平面/從K' = 120 ,"二/('=2,48 = 1,則該四面體的外接球的表面積為(D)A11及7萬建萬3解：在&4HC 中,BC1 -= AC2 + AH1 - 2J/r BC - cos 120u = 7 , BC =后，&45C 的外 接 球 直 徑K 幣 277為 2r = j=- = -lsin ZB

6、AC <3 V32(2K)2=(2/)2 + ST =24404074+ 4 = 、= 選 D33(5)如果三棱錐的三個側面兩兩垂直，它們的面積分別為6、4、3,那么它的外接球的表面積是解：由己知得三條側棱兩兩垂直，設三條側棱長分別為。,。(。,力,。£叱)，則ab = 12he = 8 , . ubc = 24 9= 3 ,8=4, c = 2, (2R) =，+ />' + = 29 ,ac = 6S =4或。=29i 9（6）已知某幾何體的三視圖如圖所示，三視圖是腰長為I的等腰直角三角形和邊長為1的正方形，則該幾何體外接球的體積為解：(2爐=。2+/+。2=

7、3, R2 =2, K = 424 4 36 G=一冰=7T = ,3382 0H«ra類型二、對棱相等模型（補形為長方體）題設：三棱錐（即四面體）中，已知三組對梭分別相等，求外接球半徑（/夕=。）,AD=BC 9 AC = 81)來源：簡單高中生(IDjiandanlOOcn)第一步：畫出一個長方體，標出三組互為異面直線的對棱;第二步：設出長方體的長寬高分別為叫 AI） = BC = xfAB = CD = y, zK' = RD = 7,列方程組,a +/)= xb2 +c2 =y2 => (2R)? = a、b、c22，c +a =補充：圖2-1中，匕“0abc-

8、cihcx4=-ahc.第三步根據墻角2AM2邛,求出 V 28y 8R.思考：如何求棱長為。的正四面體體積，如何求其外接球體積？例2(1)如下圖所示三棱錐力-，其中A/i = CD = 5,A(' = BD = 6.AL) = BC = 7,則該三棱維外接球的表面積為.解：對棱相等，補形為長方體，如圖2-1,設長寬高分別為a, "c,2(a2 + />2 + c2) = 25 + 36 + 49 = 110 , a2+/>2+c2 = 55, 4/? =55, S = 55(OBR(2)在三棱錐 4-8(7)中，AB = CD = 2. JD = BC = 3,

9、 4C = BD = 4,則三棱錐7QA - BCD外接球的表面積為,萬2解：如圖2-1,設補形為長方體，三個長度為三對面的對角線長，設長寬高分別 為 a,b,c ,則。'+力=9,Z>:+r=4,c?+/=16；.2(a2+/>2+c?) = 9 + 4 + 16 = 29,2(/+/+/) = 9 + 4 + 16 = 29 ,(3)正四面體的各條棱長都為V2 ,則該正面體外接球的體積為U）解解;正四面體對棱相等的模式，放入正方體中，R”（4）棱長為2的正四面體的四個頂點都在同一個球面二，若過該球球心的一個截面如下圖，則圖中三角形（正四面體的截面）的面積是解：如解答圖，

10、將正四面體放入正方體中，截面為AZ¥'O1,面積是拉.題設：如圖31,圖32,圖33,直三棱柱內接于球（同時直棱柱也內接于圓柱,棱柱的上下底面可以是任意三角形) 第一步：確定球心。的位置，a是A4”的外心，則。Q1平面480；第二步：算出小圓a的半徑/咐=，。&二；四二:力(力4二。也是圓柱的高);第三步：勾股定理：O42 =已4+”> n R? f+/n R =卜心"解出 例3(1)一個正六棱柱的底面上正六邊形，其側棱垂直于底面，已知該六棱柱的頂點都在同一個球面上，且該六棱柱的體積為？，底面周長為3,則這個球的體積 8為解：設正六邊形邊長為明正六棱柱

11、的高為力，底面外接圓的半徑為廠，則。=L2正六棱柱的底面積為s=6曲(，)2=士回，幾=$力=羽3%=2,:=百, 428884*=m+(6)2=4也可比=(多+(= 1), R = l,球的體積為/ =竺；22*3直三棱柱ABC _ 的各頂點都在同一球面上，若AB = AC =彳4 = 2/BAC = 120。，則此球的表面積等于.26解：BC = 243 , 2r = = 4, r = 2 f R = 4 ,sin 1200(3) B(3)已知AH"所在的平面與矩形48(7)所在的平 面互相垂直，EA = EH = 3yAD = 2,Z.AEH = 60 , 則多面體E-ABCD

12、的外接球的表面積 為.167r 解：折疊型,法一：的外接圓半徑為八二J5,(叫=, 7? = 5/T+3 = 2 ;法二：O.M -= (KD -, R: = + = 4, R = 2 , Sf -16 ；2*24 4法三：補形為直三棱柱，可改變直三棱柱的放置方式為立式，算法可同上，略.換一種方式，通過算圓柱的軸截面的對角線長來求球的直徑： (2A)2=(2>/3)2+22 = l6f ,=16不；(4)在直三棱柱中，43 = 4,/(' = 64=工/4=4,則直三棱柱 3力樂-4片(；的外接球的表面積為160n3解:法：802 = 6 + 36 246，= 28, BC =

13、2行,2二畢=也，r = 2V3 V3 V3"八(幺六"+4=竺，y嗎;233 衣 3法二：求圓柱的軸截面的對角線長得球直徑，此略.類型四、切瓜模型(兩個大小圓面互相垂直且交于小圓直徑一正弦定理求大圓直徑是通法)1 .如圖41,平面04(3平面46C,且"18('(即水'為小圓的直徑)，且尸的射影是A4”的外心o三棱錐P- AHC的三條側棱相等o三棱P- ABC的底面 色48(在圓錐的底上，頂點點也是圓錐的頂點.解題步驟：第一步：確定球心。的位置，取&的外心則a三點共線；第二步：先算出小圓a的半徑力a=/，再算出棱錐的高二力(也是圓錐的高)

14、;第三步：勾股定理：OA2 =()2+()02 => R2=(h-R)2+r2,解出 R;事實上，A4C尸的外接圓就是大圓，直接用正弦定理也可求解出/L2 .如圖42,平面1平面,且即4(、為小圓的直徑)，且PA1AC,則利用勾股定理求三棱錐的外接球半徑：®(2/e)2 = PJ2+(2r)2o 2R=yjPA2 +(2r)2 ； * + ()()i。r =+ 0()；3 .如圖4.3,平面P/C_L平面力BC,且4_L伙'(即為小圓的直徑)0C2 = 01C2 + 002 o 肥=產+00。AC = 2 Jr2-004題設：如圖4M,平面4(平面且次'(即力(

15、,為小圓的直徑)第一步：易知球心。必是A/"(的外心，即A/('的外接圓是大圓，先求出小圓的直徑/C = 2r；來源：簡單高中生(ID:jiandanlOOcn)第二步：在AP/J1中，可根據正弦定理上一 二，_ =<二=2",求出A. sin A sin H sin (例4(1)正四棱錐的頂點都在同一球面上，若該棱錐的高為1,底面邊長為26，則該球的表面積為.解：法一：由正弦定理(用大圓求外接球直徑)；法二：找球心聯合勾股定理，2A = 7, S = 4成？=49萬；(2)正四棱錐S ABCD的底面邊長和各側棱長都為v2 ,各頂點都在同一球面上,則此球體積為

16、解:方法一:找球心的位置，易知，二1 "二1,萬二r,故球心在正方形的中心方法二：大圓是軸截面所的外接圓，即大圓是的外接圓，此處特殊，心awc的斜邊是球半徑，2火=2,火=1, / =(3)一個正三棱錐的四個頂點都在半徑為1的球面上，其中底面的三個頂點在該球的一個大圓上，則該正三棱錐的體積是()A.也B至C.D.亙43412解：高力= =1,底面外接圓的半徑為* = 1,直徑為2 = 2,設底面邊長為明則2及二一 = 2,5 =史/ 二 士生，三棱錐的體積 sin 6044為3 二立； 34(4)在三棱錐”-力加，中，P力=尸"=火'=6,側棱21與底面力加所成的角

17、為60則該三棱維外接球的體積為()A. nB.-C. 4 1D.33解：選D,由線面角的知識，得ZU8C的頂點4及C在以尸="為半徑的圓上，在圓錐中求解，R = l;(5)已知三棱惟34伙的所有頂點都在球。的求面上,A4坎'是邊長為1的正三角形,SC為球。的直徑，且sr = 2,則此棱錐的體積為()Aa£B.C."D.受6632葩 <>/)向"J L 泡2 瓜 k 2瓜 u 1 v, 1 V3 2V6 4i和牛： 0()=7R£ 一尸=<1-(¥ =,h =. 匕=-Sh =1 V 333* 33436類型五

18、、垂面模型(一條直線垂直于一個平面) 1.題設：如圖5, 平面片以，求外接球半徑.圖5解題步哪：第一步：將畫在小圓面上，力為小圓直徑的一個端點，作小圓的直徑/。，連接則必過球心”；第二步：化為A/i伙的外心，所以(gi平面加(，算出小圓4的半徑(D =r(三角形的外接圓直徑算法：利用正弦定理，得3二3二三二2廠), sin A sin n sin (O(1 = ；PA；第三步：利用勾股定理求三棱雄的外接球半徑：(2)2 = PA2 + (2r)2。2R = 才+(2廠了；犬=產+()0；。A= 6+00；.2題設:如圖5/至5-8這七個圖形,/)的射影是41/“、的外心o三棱錐P- ABC的三

19、條側棱相等。三棱錐P-AHC的底面MfiC在圓錐的底上，頂點點也是圓錐的頂點.ffis-lHFIS-2圖S3圖N第一步：確定球心。的位置，取的外心q,則匕3a三點共線；第二步：先算出小圓a的半徑A（= r,再算出棱錐的高P（ =力（也是圓錐的高）;第三步：勾股定理：0A2 = OtA2 + Op2 => /?2 = （/r- R）2 + r2,解出 R方法二：小圓直徑參與構造大圓，用正弦定理求大圓直徑得球的直徑.例5 一個幾何體的三視圖如圖所示,A. 3了B. 2乃CA A 22正視圖便視圖O 倚視圖則該幾何體外接球的表面積為（）C：.D.以上都不對3解答圖解：選C, 法一：（勾股定理）

20、利用球心的位置求球半徑，球心在圓錐的高線上, (0-"+1 =居/=丁蘆=4成2 = ” ;A33法二：（大圓法求外接球直徑）如圖，球心在圓錐的高線上，故圓錐的軸截面三角24形PMN的外接圓是大圓，于是2R=- = ',下略； sin 60 V3類型六、折分模型題設：兩個全等三角形或等腰三角形拼在一起，或菱形折疊（如圖6）圖6第一步：先畫出如圖6所示的圖形，將A伙7）畫在小圓上，找出A8（7）和A/1力/） 的外心片和也;第二步：過和上分別作平面3CQ和平面4%）的垂線，兩垂線的交點即為球 心0,連接OE,OC;第三步：解AO/M，算出。修，在及，八。（耳中，勾股定理：OH-

21、 + CH； = OC2注：易知。,廣心2四點共面且四點共圓，證略.例6（1）三棱錐中，平面1平面伙"”/和48均為邊長為2的正三角形，則三棱錐外接球的半徑為.242解：如圖，2八=2=7= , r =r2 r » 6H = ,sin 60J3V3J3(i)遇n,八，/22 1 4 5r Jl 5R =()J1 +r + = -. R =法二：（）?h=卡,a=七，ah=9 3 3 33R1 = AO2 = AH2 + (H2 + OX)2 = -, R = 1133(2)在直角梯形力*7)中，A/i/ICJ), ZJ = 90 Z(T = 45 AB = AD = ,沿對

22、 角線折成四面體H-8(7),使平面48。1平面伙7),若四面體片-灰力的 頂點在同一個球面上，則該項球的表面積為解：如圖，易知球心在3C的中點處，S表=4不； (3)在四面體S-力雙,中，A/iLBC. AB = BC = e,二面角S-/C-A的余弦值為-衛，則四面體S-4,('的外接球表面積為 、解：如圖9 法一：cos/SQB = cos(NO()。、+) = -23sin /.()().(), = , cos 4)()0、=,123123八八4102113 c0(1 = ,/?* = 1 + = , S= 4成-=6zr；cos NW22 2法二：延長8億到。使。Q二小 由余

23、弦定理得58 =c，57)=收，大圓 直徑為2A = 58 ="(4)在邊長為2白的菱形/加力中，/BAD = 60、，沿對角線8。折成二面角A-BD-C為120的四面體ABCD ,則此四面體的外接球表面積為28萬解：如圖.取見）的中點和的外接圓半徑為q=G = 2. MBD和A（7）的外心儀,。二到弦的距離（弦心距）為4:出=1 ,法一：四邊形。口欣2的外接圓直徑OM = 2, < ="，5 = 2防；法二：0a =5 r = 4i ； 法三：作出的外接圓直徑（邁，則4W=r“ = 3, CE = 4 , ME = ,AE昉，AC = 36,c°sy=z&

24、#177;it2-V7-42V7sin ZAEC =里 2"2人焉而= * = 2后,心" 2yfl(5)在四棱錐,4 W 中，ZPJ = 120 Z/DC = 150 , 4D = BD = 2. CD = VJ, 二面角j-M-C的平面角的大小為120 ,則此四面體的外接球的體積為解：如圖，過兩小圓圓心作相應小圓所在平面的垂線確定球心，4/，= 2石，4=2,弦心距儀時二6，#1 = 75,八=715,弦心距01必二24，法一：/. R2 = OD2 = MD2 4- OM2 = 29 , R 二回、，噎二一;法二：O()l=()M2-O2M2=25 , :. R2=O

25、D2=r；+O()i=29 , R = yjf29 ,116、場類型七、兩直角三角形拼接在一起（斜邊相同,也可看作矩形沿對角線折起所得三棱錐）模型題設：如圖7,乙4PB = NACB = 90 ,求三棱錐，-N8C'外接球半徑（分析：取公 共的斜邊的中點。，連接OP、"，則。4 =（陰= = =。為三棱錐-力以'外接球球心，然后在儀'中求出半徑），當看作矩形沿對角線折起所得 三棱錐時與折起成的二面角大小無關，只要不是平角球半徑都為定值.例7（1）在矩形力以中，AB = 4, 8（7 = 3,沿4?將矩形48CQ折成一個直二面角/,則四面體力以7）的外接球的體積

26、為（）a 125八 125- 125C 125A.nB.nC.itD.k12963解：2& = =5, r=-9=-,選c23386（2）在矩形力"7）中，" = 2, " = 3,沿8。將矩形力*7）折疊，連接力（',所 得三棱推A - BCD的外接球的表面積為.解：用）的中點是球心"，2R = BD =屈、8 = 4成'=13”.類型八、錐體的內切球問題L題設：如圖8-1,三棱錐-力坎,上正三棱錐，求其內切球的半徑.第一步：先現出內切球的截面圖，分別是兩個三角形的外心;第二步：求P（） = PH r, /）是側面MH"

27、;的高; 3第三步：由A/W 相似于建立等式： 器二卷2 .髭設：如圖82,四棱錐P力/4是正四棱錐，求其內切球 的半徑 第一步：先現出內切球的截面圖，三點共線:第二步：求卜，=!（'，PO = PH/斗是側面MC/）的2第三步：由APOG相似于A/7H,建立等式：要二二Hb rr解出3 .題設：三棱錐-力伙是任意三棱錐，求其的內切球半徑 方法：等體積法，即內切球球心與四個面構成的四個三棱錐的體積之和相等 第一步：先畫出四個表面的面積和整個錐體體積;第二步：設內切球的半徑為，建立等式：ABC = Z J第三步:解出七I'P ABC = O ABC + PAB + ' O PAC + ' O PBC例8 （I）梭長為。的正四面體的內切球表面積是解：設正四面體內切球的半徑為，將正四面體放入棱長為a72的正方體中（即補形為正方體），如圖，則王方體二三運二證,P U4I C / 1百2 后2X*-, c=4 jAr = 4 -.a .r = ar,r = -, r = 3，.內切球的表面積為36%<22V62鼠=42=竺（注：還有別的方法，此略）6正四棱錐S-川版'。的底面邊長為2,側棱長為3,則其內切球的半徑為471 + 2