1、第8章本構方程的原理連續介質力學的基本方程式：1 .物理定律Euler描述法質量守恒：;：divv=0動量守恒：divTf=-a動量矩守恒：T=TT局部能量守恒：:：u=T:D-Pr-divh嫡產率原理：卬才）=T:D+FTs-Pu-gradTh/T>0Lagrange描述法：可用S表示，也可以用T?表示上述公式2 .幾何關系式1TD=-（G+G）其中G=gradv2F=gradxF=GFE=FtDF以上均為幾何量及其之間的描述3 .本構方程式：材料屬性（本章講解的內容）應力應變關系（材料力學中）熱傳導過程（熱力學中）本構方程式的建立：a）實驗：三向荷載無法實驗（窮舉實驗不可能），只能用

2、特定材料。b）假定：再用實驗方法進行驗證；或根據實際（工程）現象進行某些假設。C）原理：從原理出發，研究本構方程一本構方程的框架；對推導本構方程具有指導意義。4 .初始條件和邊界條件。以上構成連續介質力學的定解問題，本章講敘本構方程的原理。§ 8.1 構方程的概念1 .材料的力學行為及其流變學分類力學性質外部干擾（荷載）廣義荷載（機械性載荷（力）、非機械性載荷（如溫度等）材料力學行為：材料在外部干擾下的響應（或反應）材料的力學行為復雜。唯象觀點（客觀理論）：根據響應結果、響應現象建立理論（不管原因）。不管響應產生的機制。如軸向拉壓：6-P圖。材料的破壞的二個最基本形式：韌性破壞（有明

3、顯的變形）脆性破壞：（無顯著變形）材料的破壞形式不是固有的，即不能稱某材料為韌性或脆性的，只能說某材料在某種條件下顯現為韌性或脆性。（這些條件包括：溫度、應力狀態等）。如：高溫下（地震）的巖石可流動、海底巖石也顯現為韌性，鋼在低溫下顯現為脆性等。通常我們稱某材料為韌性或脆性的，是以靜載、常溫、正常環境條件和應力狀態下材料呈現的性質為依據的。影響（決定）材料力學性質的主要因素有：1）材料的固有的成份、組成、內部構造等微觀因素有關。例如，一般的鑄鐵是脆性的，但球墨化可使其增韌；而鋼中摻碳可使其增強變脆。利用這一點可以人工改善材料性質，甚至設計材料。目前自然界材料、普遍高強、低韌，人們要保持其強度，

4、但要提高韌度。形成一門科學性一一材料科學-力學，較成功的材料為：陶瓷增韌。2）材料的力學行為通常通過對構件進行實驗，構件的尺寸、形狀會影響材料的力學性質。如巖石實驗，用一塊體作實驗，實驗結果嚴格地說應為結構的響應，并非真正的材料的響應，構件越大，包含缺陷越多。3）外部環境：周圍介質、溫度、輻射、磁場。4）加載方式：速度、交變、應力狀態。高速加載帶粘性，交變使材料變脆，三向等拉變脆，三向等壓變韌。裂紋尖端三向等拉。5）時間因素：老化。理論上說：將上述因素作為參數，來確定一個區分韌性破壞和脆性破壞區的過渡區（但實際上要做到是很困難的，甚至不可能的）。因此，要描述材料的力學性質是非常困難的，到目前為

5、止，不可能用一個函數來直接、全部描述材料性質。目前可行的辦法：根據各種材料（常見材料），在一定條件下的主導行為（主要表現、性質、抓主要矛盾）進行分類。建立相應的模型（模擬原型），及對應的理論。每一個模型不是一種或一類材料力學性質的直接和全部的描述，而是多種材料在各自一定條件下共同主導行為的模擬。這種在總體唯象方法上建立起來的材料性質的分類法稱為流變學分類法，1930年由Bingham提出的，在50年代得到重要的發展。例如：較一個典型的單元體，從它受干擾的響應分為：（單元體是一個微小系統，簡稱為系統）。一、長程系統：材料的響應不僅與該系統的狀態變量的現時值及其其全部歷史有關，而且與物質其它質點（

6、單元體）的狀態變量及全部歷史有關，甚至認為與體積力有關。（最復雜的材料性質）。二、短程系統：材料的響應與本單元體的狀態變量的現時值及其全部歷史有關，與其它質點的狀態參數無關。力學中現有的流變模型大我數屬短程系統。短程系統分為兩類：梯度形：不僅與上述因素有關，而且與狀態變量的梯度有關。如：與£,（T有關，且ce-a與,右關。；x；x非梯度形：與狀態變量梯度無關。（現學的本構方程屬于這類）。短程系統：老化；非老化。力學中研究的對象為：短程，非梯度型，非老化。/即時的干擾一引起響應后效（蠕變）/可逆響應部分移去干擾一消減響應：4八;不可逆響應部分于是可得出以下的分類框圖（未考慮材料的損傷）

7、通常將（熱）彈性、塑性和粘性視作基本的流變模型。其實材料在一定條件下，一般地可用上述三種模型之一或其組合來模擬。如：彈塑性、粘彈性、粘塑性、彈-粘塑性等。如上所述，這種流變分類法不是固有的，而是一種人為的分類方法，它只是提供材料一般性質的參考框架。給定材料的行為，只相對于預期的用途和期望的精度而言，才可用一種流變模型來表示。例如室溫下的鋼、按其設計用及期望精度可被視為下列模型：線彈性的一一對于結構的靜力分析（小變形）粘彈性的一一對于振動阻尼分析剛塑性的一一對于塑性極限分析（土木）彈性強化的一一對精確計算殘余變形彈粘塑性的一一對應力松馳分析 韌性損傷的一一對于求加工限度（成型極限，分幾次成型）

8、疲勞損傷的一一對于估計構件壽命時。2.狀態變量（參數）力學-熱學系統的狀態要有一定的變量來描述或確定，稱為狀態變量。狀態變量變化必定引起或對應于狀態變化，稱為過程。狀態變量分兩類：獨立的狀態變量；可用獨立狀態變量來表示的，稱為狀態函數。體積V、應變（溫度（T）稱為獨立變量，壓力p,應力（T）、內能（u）或自由能（中），嫡（s）、熱流矢（h）稱為狀態函數。狀態變量之間的函數關系系，稱為本構方程。在空氣動力學中稱狀態方程。應變、組分濃度等稱為運動性狀態變量，與絕對溫度一起構成為獨立狀態變量。也可以應力作為獨立狀態變量。相應地應變為狀態函數。廣義虎克定律中可用應變表示應力，反之也行。狀態函數中有一類

9、特殊函數，稱為態函數，即此類函數只與獨立狀態變量的值有關，而與變化的過程（歷史）無關，具體地說，與獨立的狀態變量的變率之、T無關，e,中、s等是態函數，它們的增量是數學中的全微分。§8.2本構方程的表述方法三大方法：1 .微觀方法：在原子、分子或晶粒尺度上來考慮或模型材料的變形或斷裂，再將微觀變量（位錯濃度、孔洞濃度、構成等）加以整體化或平均化，以獲材料的客觀行為（該法距離應用還遠）。對于微體力學，要用微觀方法，如生物力學中血管流動力學等。2 .熱力學方法：引入等價于真實介質的均勻介質（均勻、連續假設），引入宏觀的內變量來反映材料行為的不可逆過程，即材料的歷史相關性。用c(k(k=1

10、,2,3，熊書77頁)表示內變量，則本構方程可表不為：T=T(二k,T,qk)s=s(：k,T,qk)=k,T,qk)h=h(：k,T,qk)其中，T為Euler(Cauchy)應力張量，s為比嫡，中為比自由能(也可用比內能u,中=u-Ts),h為熱流矢。上述四類本構方程中，若為可逆過程，則qk沒有出現，若為不可逆過程，則qk出現,由于qk的出現，多了未知數，因此，還要建立內變量的變化規律為(率方程)：q'k=q"k,T,qk)3.泛函表述法(上面用“人”表示泛函)：T=Tx(X,t),T(X,t),X,t=?x(X,t),T(X,t),X,tu=?lx(X,t),T(X,t

11、),X,ts=?x(X,t),T(X,t),X,th=?lx(X,t),T(X,t),X,t其中，左邊的量與2中敘述相同，右邊的量為：X'為該單元體以外所有的質點(長程系統)，X為該單元體內的質點，t'：表示時刻t以前的所有的時間(-mwt,wt)。最后導出一個積分型的遺傳規律(與歷史有關)，這個規律表示材料的特征函數。微觀方法難在：微觀變量不好測量，且平均化有誤差。熱力學方法難在：引入的勢函(自由能中，耗散勢)難于直接觀測；內變量按定義就是不可直接觀測的，有人為的任意性。泛函方法難在：具體寫出泛函數的形式。粘彈性力學用泛函方法，但不是直接寫出泛函的形式，而是一個積分形式。微觀

12、和宏觀相結合的方法建立了本構方程，目前有用。§8.3本構方程的原理(相當于工程中的規范)1 .確定性原理：認為任何力學一熱學狀態都是可確定的。牛頓經典力學確定性原理：只要知道初始狀態就可知任何狀態。近代力學確定性原理：只要知道現在和歷史，方可知未來。但現在的渾沌問題具有不確定性。.*hod11-tt將來過去令：t=t-工，為從現時刻t回到T時刻的經過的時間。物質點X在t時刻以前的變形史x(t)(X,t*)t*=0為現時刻，t*>0為過去時刻。或記為：x(t)(X,t-=x(X,按確定性原理寫出的本構方程為：T(X,t)二下(x(t);X,t)其中下稱為本構泛函一一單值性。X點的

13、應力無2 .局部作用原理(短程原理)只與本身單元有關，與周圍無關。即：離開物質點X有限距離之外的物質點的變形史與關。以X為中心取一領域R(X)zwR(X)即z-X<d設x(t)和父是二個變形史，在R(X)內的物質點變形史完全一樣，但在R(X)以外的物質點的變形史不一樣，根據確定性原理，分別寫出其本構方程，于是有:書(x(t)；x,t)=T(？；x,t)3 .客觀性原理：(時空系無關原理，標架無關原理)材料本構方程完全決定于材料本身的本構屬性。材料的本構方程與觀察者所處的時空系無關；作相對運動的兩個觀察者觀測同一個本構實驗，應得到同一個本構方程。以上為Noll三原則(1958年)，后又提出

14、以下原理(進一步完善)。4 .短暫記憶原理衰減記憶5 .坐標系不變性原理本構方程是張量方程，張量是坐標系不變的。6 .許可性原理本構方程不違反守恒定律和嫡不等式。7 .等存在性原理各類本構方程所包含的狀態變量相同。如果對一類本構方程證明某個變量難排除，則一般地在其它級本構方程中也不包含該變量。1 8.4參考標架的變換，標架無關量2 .參考標架的變換時空系：參考系+時鐘在邛系中看M：x(t)在?系中看M：x(t)時空系的變換：x(t)=c(t)Q(t)x(t)其中Q(t)變換張量，(夾角余弦)，與時間有關的正交變換張量。設=t+a(a為常數，即兩個鐘快慢一致)上述變換具有兩個性質:空間距離不變性

15、(兩事物發生地點的距離相同)時間間隔不變化(兩事物發生的時間差相同)1)空間距離不變性質邛系中：M0M=(x%)(x-x)爐系中：M0M=(xx°)(xxo)=Q(t)(x-%)Q(t)(x-x0)一T_三(xx0)Q(t)Q(t)(xxo),、，、三(xx0)(x-x0)2)時間間隔不變性：,t-to=t-t0(均只相差常數a)3 .標架無關量的變換規律中：(x，t)一個標架(一個觀察者)審:(x,t)另一個標架(另一個觀察者)Jx=C(t)Qx標架變換規律t=ta1)標量：一,.,一,.，,一a=a稱為標架無關標重，標重的變換規律，否則稱為標架有關的標重2）矢量:*一一一八,一a

16、的張量，稱為標架無關張量。兩點之間的相對位置是一個標架無關的矢量、x-x0=Q（xx0）或a=Qa或a=Qa3）張量：.、.*邛中：矢量的變換為二階張量B,即a=Ba。中，a"=Ba'在什么條件下才稱B與標架無關張量？將一個標架無關矢量a變換為另一個標架無關矢量tT-則：a=Qaa=Qa=QBa=QBQa比較，有：B=qbqt標架無關張量變換規律上述三種稱為典型的規律本構方程是與標架無關，所以要研究與本構方程有關量的標架無關性。3.力學中遇到的量的標架變換規律（力學的客觀量與非客觀量）守（矢性算子，0=0三二XiV=（T7）T（本構方程中要用到它，如：Tk+Pf=Pa）-邛中

17、：V=（）T二x中：。=（二）T:x又x=c（t）+Qx,則=Q,=Q1=QT：xFx則=（一土QT）T=Q（-土）T=Qk（現時構形中）xx.現時構形中的矢性算子是標架無關的算子。在參考構形中，匚I=（）TX邛中：口二（工）TX中：5=工iXX它符合標量的變換規律，用它時，將=口一.一口就可寫為口F變形梯度張量1C=FTFB=FFTE=-(C-I)2U2=CF=QU在中中：f=X在中中：一度=C+Q'x=Q=QFXXX變形梯度張量相當于矢量的變換規律（原因是它為兩點張量，只有x與不同觀察者有,而X與參考標架無關）。CGreen變形張量在中中：C=FTF在中中：C=FTF=（QF）T（

18、QF）=FtQtQF=FtF=CC的標架變換規律符合標量變換規律（原因是它為物質張量，即一點張量，且在參考構形中）。U=U（與上同理，U也為一點張量，物質張量）R極分解正交張量在中中：F=RU在中中：F=Ru=Ru又F=QF=QRU比較有：R=QRR的變換規律相當于矢量變換規律（:R是一個兩點張量）BCauchy應變弓量B1它符合張量的變換規律B=QBQT規律：凡兩點張量相當于矢量變換規律凡一點張量：若該點在參考構形上，相當于標量變換規律若該點在現時構形上，相當于張量變換規律T柯西應力張量（Euler應力張量）任一點的應力矢為：pn=Tn島和n均為與標架無關矢量，根據標架無關的定義，有：T=Q

19、TQT（T為現時構形中的一點張量）T、在中中：TB在審中：Te=QTQTQM=Q（TV）符合標準的矢量變換規律（注：T，十Pf=Pa中，由于a非標架無關量，整個式子均非標架無關的，要換式表示之，凡與變率有關（與時間變率有關）的量，均有此缺陷）溫度場的梯度邛中：g=VT中：g=Ut=QVT=Qg現時構形上溫度的梯度符合矢量變換規律,參考構形上：邛中：G=UT。中：G=口丁=口T=G參考構形上溫度梯度的變換規律相當于標量變換規律dvJ=detF（體積膨脹比）dV在中中：J=detF=det（QF）=detQdetF=±J.若Q為正常正交變換（轉動）有：J=J若Q非正常正交變換（鏡射）有：

20、J=-J在中中：p0=JP（dm=%v=P/V）在中：o=J又o=P0（:在參考構形上）當J=J時，有=p與變率有關的量的變換規律v,a,G=,T等:x1）Gv（速度梯度張量）；x在中中：G=FF在中中：G=FF，=(QF)?(QF)一=(QF+QF)(QF廠=(QFQF)F,QT=QQTQGQT可見G不是標架無關張量，但可進一步推導，<G=D+Q則G=QQT+QDQT+QQQT又G=DQ但QQT=I求導，有：QQTQQT=0則QQT(QQT)T=0有：QQT為反對稱張量D=QDQT6=QQt+QQQT(*)則對稱部分符合標架無關張量，而反對稱部分不符合(反對稱部分不能引入本構方程，而對

21、稱部分可引入)2)應力率張量T在邛中，T在中中：(T)=(QTQT)=QTQT+QTQT+QTQT本身不符合標架無關張量規律，但可通過本構導數來寫出與標架無關。下面設法消去Q由(*)式，Q-QQQT=QQT兩邊同乘以Q,有Q=(Q-QQQT)QQT二QtQ-QQT以入后，有(T)*=QTQT-(Q-QQQT)QTQTQT(-QTQQQT)=QTQTQT-QQTQTQTQQT-TQ=Q(T-QT-TQ)QT-TQ-QT則T-TQ-QT=Q(TTQ-QT)QT設TJ=TTQ_QT有TJ=QTJQT符合標準標架不變量規律Jaumann(1911年)提出的，TJ應力率張量TJJaumann應力率，本構

22、導數力學進展91年No.引入本構導數，僅解決了與標架無關的問題(必要條件)，但是否物質的行為可描述呢?50年代作為剪切模型，產生振蕩現象，說明該問題描述有問題。上述為非線性力學的基本問題之一，仍未解決，有爭議，怎么描述好？§8.5標架無關原理對本構方程的限制1 .本構方程的客觀性本構方程中包含有非客觀量確定性原理T(X,t)=科x;X,t)也可含溫度T(X,t)客觀性原理：在邛系中：T(X,t)=汽x(t);X,t)在中系中：t(x,t)=T?(X；x,t)本構泛函具有不變性T“(X,t)=QTQT滿足Euler應力的變換規律2 .根據Noll三原則導出的本構方程的框架X,t)在中中

23、確定性原則T(X,t)=T?(x(t);客觀性原則T(X,t)=T?(x(t);要求：T(X,t)=Q(t)T(X,t)QT(t)邛和。是兩個任意的時空系。令=0,一特殊的時空系變換在物體上有M、N兩點N在中時空系的變換有x(t)(Z,t*)M在中時空系的變換有x(t)(X,t*)x1邛與甲的坐標系相互平行，且只作相對平移運動令中時空系的原點和M點重合O點：x0t)=x(t)(X,t*)又由于時空系平行，則Q(t)(t*)=I中時空系中N點的運動矢：矢量算子x(Z,t*)=x(t)(Z,t*)-x(t)(X,t*)在中時空系內：T(X,t)=伙x(t)(Z,t*);X,t)T(X,t)=Tx(

24、t)(Z,t*)-x(t)(X,t*);X,t)Q=QT=I則T(X,t)=T(X,t)=科x(t)(Z,t*)-x(t)(X,t*);X,t)確定性原理+客觀性原理+特殊時空系=上面公式局部作用原理ZWR(X)Zx|<6以X為中心展成泰勒級數(注：區口=F(t)XT(X,t)二伙F(X,t*)(ZX)1F(2)(X,t*)(ZX)2;X,t)2苴_(t)_?x(t)(X,t)匚：2x(t)(X,t)FF2,X二X一次變形梯度史二次變形梯度史，對Z通過一個在R(X)的積分，有T(X,t)=T(F(t)(X,t*),F(X,t*),;X,t)§ 8.6 Noll簡單物質n次物質：本構泛函中，包含直到n次變形梯度史的物質。簡單物體：本構泛函中，只包含一次變形梯度史的物質。簡單物質的本構泛函：中中：T(X,t)=T?(F(t)(X,t*);X,t)簡記僅F)中：T(X,t)=T?(f'(t)(X,t*);X,t)簡記飲F(