1、精品文檔傳染病模型醫學科學的發展已經能夠有效地預防和控制許多傳染病，但是仍然有一些傳染病暴發 或流行，危害人們的健康和生命。社會、經濟、文化、風俗習慣等因素都會影響傳染病的傳播，而最直接的因素是：傳 染者的數量及其在人群中的分布、被傳染者的數量、傳播形式、傳播能力、免疫能力等。一般把傳染病流行范圍內的人群分成三類：S類，易感者(Susceptible),指未得病者, 但缺乏免疫能力，與感染者接觸后容易受到感染；I類，感病者(Infective)，指染上傳染 病的人，它可以傳播給S類成員；R類，移出者(Removal),指被隔離或因病愈而具有免疫 力的人。問題提出請建立傳染病模型，并分析被傳染的

2、人數與哪些因素有關？如何預報傳染病高潮的到 來？為什么同一地區一種傳染病每次流行時，被傳染的人數大致不變？關鍵字：傳染病模型、建模、流行病摘要：隨著衛生設施的改善、醫療水平的提高以及人類文明的不斷發展，諸如霍亂、天花等曾經肆虐全球的傳染性疾病已經得到有效的控制。但是一些新的、不斷變異著的傳 染病毒卻悄悄向人類襲來。20世紀80年代十分險惡的愛滋病毒開始肆虐全球，至今帶來 極大的危害。還有最近的 SARS病毒和禽流感病毒，都對人類的生產生活造成了重大的損 失。長期以來，建立制止傳染病蔓延的手段等，一直是各國有關專家和官員關注的課題。 不同類型傳染病的傳播過程有其各自不同的特點，弄清這些特點需要相

3、當多的病理知識， 這里不可能從醫學的角度一一分析各種傳染病的傳播，而只是按照一般的傳播模型機理建 立幾種模型。模型1在這個最簡單的模型中，設時刻t的病人人數x(t)是連續、可微函數，并且每天每個病人有效 接觸(足使人致病)的人數為常數 考察t到t t病人人數的增加，就有 x(t t) x(t) x(t) t再設t 訓有Xo有個病人，即得微分方 程d xx, x(0) Xo(1)dt方程(1)的解為x(t) xe t(2)結果表明，隨著t的增加，病人人數x(t)無限增長，這顯然是不符合實際的。建模失敗的原因在于：在病人有效接觸的人群中，有健康人也有病人，而其中只有健康人才可以被傳染為病人，所以在

4、改進的模型中必須區別健康人和病人這兩種人。模型2 SI模型假設條件為1 .在疾病傳播期內所考察地區的總人數 N不變，即不考慮生死，也不考慮遷移。人群分為 易感染者即健康人(Susceptible ) (S)和已感染者即病人(Infective ) (i)兩類(取兩 個詞的第一個字母，稱之為SI模型)，以下簡稱健康者和病人。時刻t這兩類人在總人數 中所占比例分別記作s(t)和i(t)。2 .每個病人每天有效接觸的平均人數是常數，稱為日接觸率。當病人與健康者接觸時，使健康者受感染變為病人。根據假設，每個病人每 天可使s(t)個健康者變為病人，因 為病人數為Ni(t),所以每天共 有Ns(t)i(t

5、)個健康者被感染，于是 Nsi就是病人數Ni的增加率，即s(t) i(t) 1(4)i(1 i),i(0) i0(5)N d-i-Nsidt再記初始時刻(t0)病人的比例為i0,則dl方程(5)是Logistic模型。它的解為(6)i (t) 儕口 i的圖形如圖1和圖2所7Ko由(5),(6)式及圖1可知，第一，當i 1/2時生到達最大值 更 dtdt,這個時刻為tm1 ln這時病人增加的最快，可以認為是醫院的門診量最大的一天，意味著傳染病高潮的到來, 是醫療衛生部門應該關注的時刻。精品文檔精品文檔tm與 成反比，因為日接觸率 表示該地區的衛生水平，越小衛生水平越高。所 以改善保 健設施、提高

6、衛生水平 可以推遲傳染病高潮的 到來。第二，當t 時i 1,即所有人終 將被傳染，全變為病人，這顯然不符合實際情況。其原因是模型中沒有考慮到病人可以治愈，人群中的健康者只能變成病人，病人不會再變 成健康者。模型3 SIS模型有些病毒人在感染并治愈之后，沒有免疫性，即還有可能再被感染。模型假設在模型二假設條件的前提下我們再增加一個假設條件3.病人每天治愈的比例為日治愈率。 / 一個感染期內每個病人的有效接觸人數模型構成于是有 N i(tt)-iNs(t)i(t) t- Ni(t)(8)可得微分方程 di-i(1-i)- i i(0) i0(9)dt得到 %t i i (1 1/)(10)模型4

7、SIR 模型大多數傳染者如天花流感肝炎麻疹等治愈后均有很強的免疫力，所以冰域的人即非 易感者，也非感病者，因此他們將被移除傳染系統，我們稱之為移除者，記為R類SIR模型是指易感染者被傳染后變為感染住，感病者可以被治愈，并會產生免疫力， 變為移除者。人員流動圖為：S-I-R。假設：1總人數為常數N,且i (t) +s (t) +r (t) =1;2 .病人的日接觸率(每個病人每天有效接觸的平均人數)為常數 入，日治愈率(每天 被治愈的病人占總病人數的比例)為常數內顯然平均傳染期為1/%傳染期接觸數為66 /件該模型的缺陷是結果常與實際有一定程度差距，這是因為模型中假設有效接觸率傳 染力是不變的。

8、3單位時間內病愈免疫的人數與但是的病人人數成正比，比例系數l o稱為恢復系數。在以上三個基本假設條件下，易感染者從患病到移出的過程框圖表示如下：入si模型結構在假設1中顯然有：s(t) + i(t) + r(t) = 1對于病愈免疫的移出者的數量應為NtNi(2)不妨設初始時刻的易感染者，染病者，恢復者的比例分別為So (So0), io (i00), r0=0.SIR基礎模型用微分方程組表示如下：dt ds dt dr dts(t),si isi(3)i4)求求解極度困難，在此我們先做數值計算來預估計s(t) ,i的一般變化規律。數值計算在方程(3)中設 入=1 =0.3 i (0) = 0

9、.02, s (0) =0.98,用 MATLAB 軟件編程： function y=ill(t,x)a=1;b=0.3;y=a*x(1)*x(2)-b*x(1);-a*x(1)*x(2);ts=0:50;x0=0.20,0.98;t,x=ode45(ill,ts,x0);plot(t,x(:,1),t,x(:,2)pauseplot(x(:,2),x(:,1)輸出的簡明計算結果列入表 1。i(t) , s的圖形以下兩個圖形，is圖形稱為相軌線，初值 i(0)=0.02,s(0)=0.98相當于圖2中的P0點，隨著t的增,(s,i)沿軌線自右向左運動.由表1、圖1、 圖2可以看出，。由初值增長

10、至約 t=7時達到最大值，然后減少,t -Hi -0型期調減 少,t -oo,s -0.039肝分析i(t),s的一般變化規律.表1i(t),s的數值計算結果t012345678i(t)0.02000.03900.073210.1285 10.20330.27950.33120.34440.3247s(t)0.98000.95250.90190.81690.69270.54380.39950.28390.2027t91015202530354045i(t)0.28630.24180.07870.02230.00610.00170.00050.00010s(t)0.14930.11450.054

11、30.04340.04080.04010.03990.03990.0398精品文檔精品文檔相軌線分析我們在數值計算和圖形觀察的基礎上，利用相軌線討論解i (t) ,s (t)的性質。D = (s, i) | sQ i 0, s + i在方程(3)中消去dt并注意到的定義，可得dids一 1 i Is s0ioS (T(5)i s 1di 1dsios0s CT1所以：di1 dss (T(6)精品文檔精品文檔利用積分特性容易求出方程(5)的解為：i (% io) s lln-So在定義域D內,(6)式表示的曲線即為相軌線，如圖3所示.其中箭頭表示了隨著時間t的增加 s和i的變化趨向圖3下面分析

12、s(t),i和r的變化情況(t 一麗它們的極限值分別記作s , i和r ).1 .不論初始條件s0,i0如何，病人將消失，即：t ,i 01 s2 .最終未被感染的健康者的比例是，在式中令i=0得到，是方so io s -ln 0so在(0,1/肉)的根.在圖形上 是相軌線與s軸在(。,1/內波點的橫坐標3 .若%1/現J開始有51 o, i(t)先增加，令5A1或 可得當s=1/時,i(t)dss bdss b達到最大值：1，、im so io (1 In so)然后s1/（7即（71/s（射傳染病就會蔓延.而減小傳染期接觸數6即提高閾值1/6使得S0 0 1/即（6& ISo）,傳染病就不

13、會蔓延（健康者比例的初始值So是一定的，通?？烧J為So接近1）。并且，即使So1/ * （T減小時，S增加（通過作圖分析），im降低,也控制了蔓延的程度.我們注 意到在（7=入也人們的衛生水平越高，日接觸率入越小;醫療水平越高，日治愈率以越大，于是 越小，所以提高衛生水平和醫療水平有助于控制傳染病的蔓延 .從另一方面看，S S?1/是傳染期內一個病人傳染的健康者的平均數，稱為交換數，其 含義是一病人被 S個健康者交換.所以當So 1/ 即So 1時必有.既然交換數不超過1,病人比例i絕不會增加，傳染病不會蔓延。群體免疫和預防：根據對SIR模型的分析，當So 1/時傳染病不會蔓延.所以為制止蔓延

14、，除了提高衛生和醫 療水平，使閾值1/疫大以外，另一個途徑是降低So，這可以通過比如預防接種使群體免疫的 辦法做到.忽略病人比例的初始值1有“ 1ro,于是傳染病不會蔓延的條件So 1/ 可以表為r 11o1這就是說，只要通過群體免疫使初始時刻的移出者比例（即免疫比例）就可以制止傳染病的蔓延。這種辦法生效的前提條件是免疫者要均勻分布在全體人口中，實際上這是很難做到的。據估計當時印度等國天花傳染病的接觸數（7=5至少要有80%的人接受免疫才行。據世界衛生組織報告，即使花費大量資金提高r,也因很難做到免疫者的均勻分布，使得天花直到1977年才在全世界根除。而有些傳染病的6更高，根除就更加困難。模型

15、驗證：上世紀初在印度孟買發生的一次瘟疫中幾乎所有病人都死亡了。死亡相當于移出傳染系統，有關部門記錄了每天移出者的人數，即有了a的實際數據，Kermack等人用這組數據dt對SIR模型作了驗證。首先，由方程（2）, （3）可以得到之 Si Sis在dtdt上式兩邊同時乘以dt可1dsdr,兩邊積分得SsSdrlns|Sr e。0 r6So所以：s(t) se r(t)(8)一 d.再 i (1 r s) (1 r s0e r)(9)dt當r 1/ 時，取(13)式右端eTaylor展開式的前3項得：,2 2二(1 r soSor -)(10)dt2在初始值ro=O下解高階常微分方程得：1t-、r

16、(t) 2 (So 1) th(-)(11)So2其中2 (So1)2 2soio 2, ths1從而容易由(1O)式得出:ddt2so 2ch2(T)精品文檔然后取定參數so,6等，畫出（11）式的圖形，如圖4中的曲線，實際數據在圖中用圓點 表示，可以看出，理論曲線與實際數據吻合得相當不錯。模型的應用與推廣:根據傳染病的模型建立研究進而推廣產生了傳染病動力學模型。傳染病動力學1是對進行理論性定量研究的一種重要方法，是根據種群生長的特性，疾病的發生及在種群內的傳播，發展規律，以及與之有關的社會等因素，建立能反映傳染病動力學特性的數學模型 通過對模型動力學性態的定性，定量分析和數值模擬，來分析疾病的發展過程，揭示流行規律,預測變化趨勢,分析疾病流行的原因和關鍵。對于2003年發生的SARS8E情，國內外學者建立了大量的動力學模型研究其傳播規律和趨勢, 研究各種隔離預防措施的強度對控制流行的作用,為決策部門提供參考.有關SARS專播動力學研究多數采用的是 SIR或SEIR模型 . 評價措施效果或擬合實