1、談基本不等式及其應用（一）的教學一、引言基本不等式及其應用（一）這節課要學會代兩個公式：。看起來，這并不是很難的事。但我在第一個班級上課的效果不太理想，上課學生聽得懂，可課后作業不會做。備課組的其他老師也有同樣的感嘆：“現在的學生怎么了，公式都不會代！”究其原因，主要有二：第一，以前學的公式基本上是恒等式。而此處的公式是恒不等式，不僅要學生瞻前：關注公式中字母存在的條件；還要顧后：不等式中等號成立的條件。就是說代這個公式要關注的問題比較多。第二，不用這個公式，也能用過去熟悉的方法做差比較法求解。學生沒有體會到代公式的方便，對新學的知識有潛在的排斥。二、授課過程(圖1) (圖2) (圖3)第二次

2、上這節課時，我作了改進。1一見而鐘情引入時提出問題：直角三角形的兩直角邊為a、b，斜邊與正方形的邊長相等。問：四個這樣的直角三角形能否填滿這個正方形？（圖1、圖2、圖3） 圖2是我國古代用于證明勾股定理的弦圖的一個局部，也是在我國召開的國際數學家大會的會標。以弦圖引入新課，讓學生對基本不等式從形上加以認識，一見而鐘情。2從哪里來，到哪里去在理解公式的過程中，讓學生逐漸明白公式的來龍去脈。（1）逐步展示圖4中的內容，通過知識的梳理，讓學生進一步明確基本不等式1和基本不等式2是怎么來的，可有哪些用處，怎么用基本不等式。圖中虛線為學生給出了用好基本不等式的方向用不同的量代換公式中的字母,得到新的恒不

3、等式。（圖4）（2）與學生討論基本不等式1中“當且僅當a=b時等號成立”的含義。問題：“當a=b時等號成立”指的是什么？()“僅當a=b時等號成立” 指的是什么？()“當且僅當a=b時等號成立” 指的是什么？()此處把“當”和“僅當”分開提問，將難點分散，有助于學生對“等號成立條件”的理解。 (3) 考慮恒不等式與的關系。 恒不等式對中有且僅有一個是負數的情況放得太寬了，這時不等式可加強為。一方面，是的特殊情況(用代基本不等式中的)；另一方面可以由推得。通過對與關系的思考，使學生對基本不等式的應用方案：合理的變量代換或結合不等式的性質加以推理有了初步的體驗。在對不等式強弱的比較中，感受數學的奇

4、異美。(圖5)(4) 說明、分別叫做a、b的算術平均值和幾何平均值。基本不等式2就是指：兩個正數的算術平均值不小于它們的幾何平均值。其幾何意義是直角三角形斜邊上的高不大于斜邊的中線；或半弦不大于半徑（圖5）。3欲窮千里目，更上一層樓在公式的應用中，逐步認識到用基本不等式帶來的方便，體味登高望遠的喜悅。練習1：用、”，通過(5)、(6)的對比，初步體會基本不等式中“等號成立條件”的應用。練習2：判斷下列不等式是否恒成立 (1) ；(2)題中給出目的在于讓學生認識到用要滿足條件。若，有。題中給出目的在于讓學生認識到公式的靈活應用。初一看， 可以由平方得到，但由于的符號未知，所以不能用基本不等式2。

5、但不能用基本不等式2直接推出，不能說明不成立。事實上，由基本不等式1可得對任意實數成立。練習3：某人買了A、B股票各10萬元，A股票第一天的增長率是m， 第二天的增長率是n，B股票兩天的增長率都是。問： 在這兩天，哪只股票漲得多？本題的目的在于感受基本不等式在社會生活中的應用，即說明。有兩種方法，一種是把左右兩邊展開，即證，即證；另一種是把看成整體，證明。練習4：你能創造幾個恒不等式嗎？學生寫出了以下不等式： ；當為正數時，；三、感想這節課是我在市北中學“和而不同”上好家常課活動中上的公開課，師生互動，氣氛活躍，得到了同行、專家的普遍贊譽，從學生的作業反饋可以看出，學生是真正會代這兩個公式了！

6、我想這節課的成功有以下原因：1讓學生與知識對話人們常用“冰冷”來形容公式，但公式冰冷的面孔后也有豐富多彩的故事。本節課通過學生與公式的相遇、溝通、認同和理解，完成無聲的交流、心靈的碰撞和精神的對話，不讓公式成為冷漠的“獨白者”，讓學生認識到基本不等式不僅簡潔、美麗，而且有用、好用，從而讓學生在主觀上產生學好基本不等式的愿望。2讓預設與生成相得益彰考慮到課堂教學時間的限制，對結論“若，有”，我本不打算在本節課內講。作了這樣的預設：“若，是負數，是不成立的，那么的取值范圍是什么呢？這個問題在課后同學們可以繼續思考。”但學生并沒有完全遵從我的預設，在課堂進入“請同學們創造幾個恒不等式”這個環節時，有同學給出了結論，許多同學迫不及待的去證明這個結論。下課鈴聲響了，一位同學突然提出：“老師股票也可能下跌，如果是負數，成立嗎？”雖然這些問題的討論打亂了我原來的方案，沒有時間進行計劃中的課堂小結，但正是學生