1、6.4 參數的區間估計參數的區間估計2010年11月p 矩估計與極大似然估計，都是一種點估計。矩估計與極大似然估計，都是一種點估計。p點估計的兩個缺陷點估計的兩個缺陷: (1)不能說明估計值與真值的偏差到底有多大(精確性); (2)不能說明這個估計有多大的可信度(可靠性); p區間估計是指用一個區間估計是指用一個(隨機隨機) 區間去做未知參數區間去做未知參數 的估計，可以解決這兩個不足的估計，可以解決這兩個不足 。點估計與區間估計點估計與區間估計: :例例: :設有一批電子元件的壽命XN(a，），現從中抽取容量為的一組樣本，算得其樣本均值為小時，試估計a 解：由點估計,a的估計值為 . 實際上

2、a的值是非真是000呢？顯然，不同的抽樣，可得到不同的 值，故000與a會有差異這種差異有多大呢？ 我們從另一個角度考慮5000a a/21( , )(0,1)1(01),1XXN anXaUNnXaPn由于a= 是一個隨機變量,它有自己的分布因此, 于是對給定的一個正數有 z=1-/2/2/2110.051.96,10.7212.480.95P XXnnP即 zaz=1- 如果取有Z于是有 a= 這95%的把握認為a在區間(10.72 , 12.48) 內.就是說,我們有這樣一種方式的估計稱為區間估計.?2/z為什么要取2211.96 ( 1.96) 3.92zz -2-1120.10.20

3、.30.42z21z取 = 0.05/2/211XaPnXaPnz=1-z=23311.84 ( 2.13) 3.97zz -2-1120.10.20.30.432z31z/21/2ZZ 在保持面積不變的條件下在保持面積不變的條件下, 以對稱區間的長度為最短以對稱區間的長度為最短 .12122X,(0 1),(,),(,),1,1,)1.:,nnXXXXXX 1212121設總體 的分布中含有未知參數是任意給定的正數如果能從樣本出發確定出兩個統計量使得 P成立 我們稱為,區間(為參數 的置信度為的定義置信度或置信概率分別稱為置信上限和置置信區間信下限.n置信度為置信度為 0.950.95 是指

4、是指 100 100 組樣本值所得置信區組樣本值所得置信區間的間的實現實現中中, ,約有約有9595個能覆蓋個能覆蓋 , ,而不是說一個而不是說一個實現實現以以 0.95 0.95 的概率覆蓋了的概率覆蓋了 . .n要求要求 以很大的可能被包含在置信區間內以很大的可能被包含在置信區間內, ,就是就是說說 , , 概率概率 要盡可能大要盡可能大, ,即要求估計盡量即要求估計盡量可靠可靠. .置信度即可靠度置信度即可靠度. .n區間的寬度反映了估計的精度區間的寬度反映了估計的精度. .顯然顯然, ,區間越小區間越小, ,精度越高精度越高. .n區間估計中的精確性與可靠性是相互矛盾的區間估計中的精確

5、性與可靠性是相互矛盾的. .當樣本容量一定時當樣本容量一定時, ,提高估計的可靠度，將降低提高估計的可靠度，將降低估計的精度，相反，提高估計的精度，將降低估計的精度，相反，提高估計的精度，將降低估計的可靠度估計的可靠度. .n在實際使用中在實際使用中, ,總是在保證一定的可靠度的情況總是在保證一定的可靠度的情況下盡可能地提高其精度下盡可能地提高其精度. .1P 12區間估計的步驟區間估計的步驟22211,)TP TTT 111(1)選取一個合適的隨機變量 ,這個隨機變量一方面包括了待估參數 ,另一方面,它的分布是已知的;(2)根據實際需要,選取合適的置信度1- ;(3)根據相應分布的分位數概念

6、,寫出如下形式的概率表達式 (4)將上式表達式變形為P(5)寫出參數 的置信區間( X , S 2 分別是其樣本分別是其樣本均值和樣本方差均值和樣本方差, X N( ( , 2/ /n), ), 求參數求參數 、 2 的置信水平為的置信水平為1- - 的置信區間的置信區間. 設設 X1, , Xn 是總體是總體 X N( ( , 2) )的樣本的樣本, nXU/ 確定未知參數的確定未知參數的估計量及其函數的分布估計量及其函數的分布 是是 的無偏估計量的無偏估計量, 由分布求分位數由分布求分位數 Z / 2即得置信區間即得置信區間( (一一) ) 單個正態總體單個正態總體置信區間的求法置信區間的

7、求法( (1) )已知已知方差方差 2 時時 故可用故可用 X 作為作為 EX 的一個估計量的一個估計量, niiXnX11 N( (0, 1), ), 對給定的置信度對給定的置信度 1- - , ,/2/2/2|/XZXZXZnnn/2|(|),ZP U 由由Z / 2確確定置信區間定置信區間/2/2(,) ,ZZXXnn 有了分布就可求出有了分布就可求出U 取值于任意區間的概率取值于任意區間的概率簡記為簡記為 2XZn由抽樣分布定理知由抽樣分布定理知 1. 均值均值 的置信區間的置信區間 故不能采用已知方差故不能采用已知方差的均值估計方法的均值估計方法 由于由于 與與 有關有關, 但其解決

8、的思路一致但其解決的思路一致. nSX 由于由于 S 2是是 2 的無偏估計量的無偏估計量, 查查 t 分布表確定分布表確定 / /2 分位數分位數令令 ， 1)1(| 2ntTP T = ( (2) ) 未知方差未知方差/2/2(,)ZZXXnnnXU/ 用用 分布的分位數求分布的分位數求 的置信區間的置信區間. 故可用故可用 S 替代替代 的估計量的估計量: S t( (n- -1), ), ) )( ()1(, ) 1(22 ntnSXntnSX 即為即為 的置信度為的置信度為 1- - 的區間估計的區間估計. ) 1() 1(22 ntnSXntnSX 2 時時 由抽樣分布定理知由抽樣

9、分布定理知 實用價值更大實用價值更大 ! )1(|2/ ntnSX t / 2( (n - -1), ), , )1()1(222 nSn ( (2) ) 未知時未知時 1)1()1(222221nnP,)1()1()1()1(22122222 nSnnSn 所以所以 2的置信水平為的置信水平為1- - 的區間估計為的區間估計為因為因為 2 的無偏估計為的無偏估計為 S 2 , 2. 方差方差 2 的的置信區間的求法置信區間的求法 由抽樣分布定理知由抽樣分布定理知 2 = 由由確定確定 2 分布的分布的 /2 分位數分位數.)1()1(,)1()1(2212222 nSnnSn 找一個含找一個

10、含 與與S, 但不含但不含 , 且分布已知的統計量且分布已知的統計量 為了計算簡單為了計算簡單, ,在概率密度不對稱的情形下在概率密度不對稱的情形下, ,如如 2 分布分布, ,F 分布分布, ,習慣上仍取習慣上仍取對稱的分位點對稱的分位點來計算未知參數的置信區間來計算未知參數的置信區間. . 并不是最短的置信區間并不是最短的置信區間 /2 /2)1()1()1(2222221 nSnn , )1(22 n , )1(221 n ),90%.(1)0.01;(2) 222例:隨機地從一批釘子中抽取6枚,測得長度為2.14 2.10 2.15 2.10 2.13 2.12并設總體XN( ,試求下

11、列情況下 的的置信區間未知; 0000.11.645,6,XnXXnnn 2200.05解:容易求出 x=2.123, (1) =已知時,選取 U=N(0,1) 置信區間為( Z ,Z )這里,Z代入得 的90%的置信區間為(2.056, 2.190) (5)2.015,XtSnSSXXnn220.05 (2) 未知時,選取 T=(n-1) 置信區間為( t (n-1),t (n-1)這里,t代入得 的90%的置信區間為(2.106, 2.140) 注:兩種不同的條件,得到兩種不同的結果.其可靠性相同,而精度卻不同, 已知時 的估計精度比 未知時 的估計精度差.但一般情況下,給定的信息越多,估

12、計越精確,而本例能說明什么問題呢? 設設 X1, , Xm分別是總體分別是總體 X N( ( 1 1 , 1 12) )的樣本的樣本, Y1, , Yn分別分別是總體是總體 Y N( ( 2 2 , 2 22) )的樣本的樣本, X , Y 分別是總體分別是總體 X 和和 Y 的樣本均值的樣本均值, 求參數求參數 1- - 2 和和 12/ / 22 的的置信水平為置信水平為 1- - 的置信區間的置信區間. 由于由于X , Y 分別是分別是 1, , 2 的無偏估計量的無偏估計量, 即得置信區間即得置信區間( (二二) ) 兩個正態總體兩個正態總體( (1) )已知已知方差方差 12, ,

13、22 時時 故可用故可用 X - -Y 作為作為 1- - 2 的一個估計量的一個估計量, N( (0, 1), ), 對給定的置信度對給定的置信度 1- - , ,nuYXmuYXuU222/21212/2/| ,21)(2/ u令令查正態分布表可得查正態分布表可得 u / 2 , 由抽樣分布定理知由抽樣分布定理知 1. 均值均值 1- - 2 的置信區間的置信區間 SX2 , SY2分別是總體分別是總體 X 和和 Y 的樣本方差的樣本方差, 置信區間的求法置信區間的求法 nmYXU222121)( ),(222/212/nuYXmuYX 設設 X1, , Xm分別是總體分別是總體 X N(

14、 ( 1 1 , 1 12) )的樣本的樣本, Y1, , Yn分別分別是總體是總體 Y N( ( 2 2 , 2 22) )的樣本的樣本, X , Y 分別是總體分別是總體 X 和和 Y 的樣本均值的樣本均值, 求參數求參數 1- - 2 和和 12/ / 22 的的置信水平為置信水平為 1- - 的置信區間的置信區間. 即得置信區間即得置信區間( (二二) ) 兩個正態總體兩個正態總體置信區間的求法置信區間的求法 ( (2) )未知未知方差方差 12, , 22 , 但但 12 = 22 = 2時時 仍用仍用 X - - Y 作為作為 1- - 2 的一個估計量的一個估計量, t( (n+

15、 +m- -2), ), 對給定的置信度對給定的置信度 1- - , ,1111)2(|2/212/2/nmStYXnmStYXmntT 查查 t 分布表可得分布表可得 由抽樣分布定理知由抽樣分布定理知 1. 均值差均值差 1- - 2 的置信區間的置信區間 SX2 , SY2分別是總體分別是總體 X 和和 Y 的樣本方差的樣本方差, nmSYXT11)(21 2)1()1(22 nmSnSmYX)1111(2/2/nmStYXnmStYX ，t / 2( (n+ +m- -2),), 設同上設同上, 求參數求參數 12/ / 22 的置信水平為的置信水平為 1- - 的置信區間的置信區間.

16、即得即得 12/ / 22 的置信區間的置信區間 ( (二二) ) 兩個正態總體兩個正態總體置信區間的求法置信區間的求法 ( (2) )未知未知 1 , 2 時時 F( (m- -1, n- -1), ), 對給定的置信度對給定的置信度 1- - , ,) 11(1) 11(1) 1, 1(|2/1222122212/22212/ n,mFSSn,mFSSnmFF 查查 F 分布表可得分位數分布表可得分位數由抽樣分布定理知由抽樣分布定理知 2. 方差比方差比 12/ / 22 的置信區間的置信區間 222212 YXSSF ) 11(1,) 11(1(2/122212/2221 n,mFSSn

17、,mFSS F / 2( (m- -1, n- -1),), F1- - / 2( (m- -1, n- -1), ), 主要根據主要根據抽樣分布抽樣分布Th( (二二) )兩個總體兩個總體 由由 的概率分布和置信水平的概率分布和置信水平 1- - , 確定其相應的確定其相應的分位數分位數 x / /2 ; 小結小結正態總體正態總體置信區間的求法置信區間的求法 ( (一一) )單個總體單個總體均值均值 已知方差已知方差 2 均值差均值差 1- - 2 已知方差已知方差 12, , 22 方差方差 2 未知方差未知方差 2 . ),( 解得解得所求的置信區間所求的置信區間 根據未知參數的無偏估計

18、量根據未知參數的無偏估計量, 確定其某個估計量確定其某個估計量 ; 由不等式由不等式 ,| x 已知均值已知均值 未知均值未知均值 未知方差未知方差 12, , 22 方差比方差比 12/ / 22 已知均值已知均值 1, 2 未知均值未知均值 1, 2 但相等但相等! ! ; ),(2nNX . ) 1(1222 nSn )1( ntnSX ; )1,0 ()()(21222121NnmYX ，)1, 1(222212 nmFSSYX , )2()11()(2121 nmtnmSYX 6.4 分布參數的區間估計一、置信區間公式一、置信區間公式二、典型例題二、典型例題)10( 一、置信區間公式

19、置信區間是置信區間是的的的置信度為的置信度為則則為未知參數為未知參數其中其中的分布律為的分布律為的總體的總體分布分布它來自它來自的大樣本的大樣本設有一容量設有一容量 1, 1, 0,)1();( ,)10(,501ppxpppxfXXnxx,24,2422 aacbbaacbb, 22/ zna 其中其中),2(22/ zXnb .2Xnc 推導過程如下推導過程如下:因為因為(01)分布的均值和方差分別為分布的均值和方差分別為),1(,2ppp , , 21是一個樣本是一個樣本設設nXXX因為容量因為容量n較大較大,由由中心極限定理中心極限定理知知)1()1(1pnpnpXnpnpnpXnii

20、 , )1 , 0( 分布分布近似地服從近似地服從 N,1)1(2/2/ zpnpnpXnzP2/2/)1( zpnpnpXnz 不等式不等式, 0)2()( 222/222/ XnpzXnpzn 等價于等價于,24,242221aacbbpaacbbp 令令, 22/ zna 其中其中),2(22/ zXnb .2Xnc 的置信區間是的置信區間是的近似置信水平為的近似置信水平為則則 1p).,(21pp二、典型例題 設從一大批產品的設從一大批產品的100個樣品中個樣品中, 得一級品得一級品60個個, 求這批產品的一級品率求這批產品的一級品率 p 的置信水平為的置信水平為0.95的置信區間的置信區間.解解一級品率一級品率 p 是是(0-1)分布的參數分布的參數,100 n, 6 . 010060