1、極坐標方程與其應用極坐標方程與其應用2學習目標學習目標1 1理解極坐標的概念；理解極坐標的概念； 會正確進行點的極坐標與直角坐標的互化，會正確進行點的極坐標與直角坐標的互化， 會進行曲線的極坐標方程與極坐標方程的互化；會進行曲線的極坐標方程與極坐標方程的互化；2 2理解等速螺線的概念及其極坐標方程理解等速螺線的概念及其極坐標方程3重重 點點難難 點點極坐標的概念極坐標的概念等速螺線等速螺線4 極坐標最早是由瑞士數學家雅各極坐標最早是由瑞士數學家雅各貝努利于貝努利于16911691年引年引入的，雖然牛頓在入的，雖然牛頓在16711671年曾使用過極坐標系，但他的年曾使用過極坐標系，但他的文章直至

2、文章直至17361736年才發表。年才發表。17291729年德國數學家赫爾曼年德國數學家赫爾曼（Jacob HermannJacob Hermann）進一步完善了極坐標的概念，并）進一步完善了極坐標的概念，并導出了直角坐標與極坐標互換的公式。導出了直角坐標與極坐標互換的公式。17481748年歐拉給年歐拉給出了極坐標的現代形式。出了極坐標的現代形式。 5以洞山中路為以洞山中路為X X軸軸以田大路為以田大路為Y Y軸軸.請問：去技師請問：去技師學院怎么走？學院怎么走？精神?。【癫?！6從這向東從這向東20002000米。米。請問：去技師請問：去技師學院怎么走？學院怎么走？7請分析上面這句話，他

3、告訴了問路人什么？請分析上面這句話，他告訴了問路人什么？從 這 向 東 走從 這 向 東 走 2 0 0 02 0 0 0 米 ！米 ！出發點出發點方向方向距離距離 在生活中人們經常用方向和距離來表示一在生活中人們經常用方向和距離來表示一點的位置。這種用方向和距離表示平面上一點點的位置。這種用方向和距離表示平面上一點的位置的思想，就是極坐標的基本思想。的位置的思想，就是極坐標的基本思想。81 1、極坐標系的建立：、極坐標系的建立：在平面內取一個定點在平面內取一個定點O O，叫做極點。，叫做極點。引一條射線引一條射線OXOX，叫做極軸。，叫做極軸。再選定一個長度單位和角度單位及它的正方向再選定一

4、個長度單位和角度單位及它的正方向（通常取逆時針方向）。（通常取逆時針方向）。這樣就建立了一個極坐標系。這樣就建立了一個極坐標系。XO92 2、極坐標系內一點的極坐標的規定、極坐標系內一點的極坐標的規定 對于平面上任意一點對于平面上任意一點M M，用，用 表示表示線段線段OMOM的長度，用的長度，用 表示從射線表示從射線OXOX到到OM OM 的角度，的角度， 叫做點叫做點M M的極徑，的極徑， 叫叫做點做點M M的極角，有序數對（的極角，有序數對（ ， ）就）就叫做叫做M M的極坐標。的極坐標。特別強調：特別強調： 表示線段表示線段OMOM的長度，即點的長度，即點M M到極點到極點O O的的距

5、離；距離； 表示從表示從OXOX到到OMOM的角度，即以的角度，即以OXOX（極軸）為（極軸）為始邊，始邊，OM OM 為終邊的角。為終邊的角。XOM 特別規定特別規定: :當當M M在極點時，它的極坐標在極點時，它的極坐標 =0=0， 可以取任意值?？梢匀∪我庵?。10平面上一點的極坐標是否唯一？平面上一點的極坐標是否唯一？若不唯一，那有多少種表示方法？若不唯一，那有多少種表示方法？坐標不唯一是由誰引起的？坐標不唯一是由誰引起的？不同的極坐標是否可以寫出統一表達式？不同的極坐標是否可以寫出統一表達式？想一想？想一想？113 3、極坐標系下點與它的極坐標的對應情況、極坐標系下點與它的極坐標的對應

6、情況11給定（給定（ , , ）, ,就可以在就可以在極坐標極坐標平面內平面內確定唯一的一點確定唯一的一點M M。22給定平面上一點給定平面上一點M M，但卻有無數個極坐標與之對應。，但卻有無數個極坐標與之對應。原因在于：極角有無數個。原因在于：極角有無數個。OXPM(,)它們有統一的表達式：（它們有統一的表達式：（，2 2k+）如果限定如果限定0,00,022那么除極點外那么除極點外, ,平面內的點和極坐標就可以一一對應了平面內的點和極坐標就可以一一對應了. .12在直角坐標系中在直角坐標系中, , 以原點作為極點以原點作為極點,x,x軸的正半軸作為極軸軸的正半軸作為極軸, , 并且兩種坐標

7、并且兩種坐標系中取相同的長度單位系中取相同的長度單位Oxy設點設點M M的直角坐標是的直角坐標是(x, y)(x, y)，極坐標是，極坐標是(,)(,),(yxM則極坐標與直角坐標的互化關系式則極坐標與直角坐標的互化關系式: :x=cos, y=sin)0(tan,222 xxyyx 4 4、極坐標和直角坐標的互化、極坐標和直角坐標的互化13互化公式的三個前提條件：互化公式的三個前提條件：1. 1. 極點與直角坐標系的原點重合極點與直角坐標系的原點重合; ;2. 2. 極軸與直角坐標系的極軸與直角坐標系的x x軸的正半軸重合軸的正半軸重合; ;3. 3. 兩種坐標系的單位長度相同兩種坐標系的單

8、位長度相同. .x=cos, y=sin) 0(tan,222 xxyyx 14定義：定義：設一個動點沿著一條射線作等速運動，同時這條射設一個動點沿著一條射線作等速運動，同時這條射線又繞著它著的端點等角速旋轉，這個動點的軌跡線又繞著它著的端點等角速旋轉，這個動點的軌跡稱為等速螺線（或阿基米德螺線）稱為等速螺線（或阿基米德螺線）5 5、極坐標的應用、極坐標的應用15l設設O O為射線為射線 的端點，以的端點，以O O為極點，為極點， 的初始位置為極軸，建立極坐標系。的初始位置為極軸，建立極坐標系。 ll設動點設動點 在射線在射線 上的起始上的起始位置為位置為 ，并設動點，并設動點P P沿射線沿射

9、線 作直線運動的速度為作直線運動的速度為 ，射線，射線 繞著點繞著點O O作作旋轉運動的角速度為旋轉運動的角速度為 ，則由等到螺線的定義，則由等到螺線的定義和平面幾何知識可得等速螺線的極坐標方程為：和平面幾何知識可得等速螺線的極坐標方程為：),( Pl)0 ,(0 Plvl )0(0 vaa令令下面我們來建立等速螺的極坐標方程下面我們來建立等速螺的極坐標方程. .16特別地，特別地， 時，即動點時，即動點P P從極點從極點O O開始運動，等速螺線開始運動，等速螺線的極坐標方程為：的極坐標方程為：00 a l在機械傳動中，經常需要把旋轉運動轉變為直線在機械傳動中，經常需要把旋轉運動轉變為直線運動

10、，凸輪是實現這種運動變換的重要部件，而運動，凸輪是實現這種運動變換的重要部件，而常用凸輪的輪廓線就是等速螺線的一部分。常用凸輪的輪廓線就是等速螺線的一部分。17 例例3 3：一滑桿（設此滑桿足夠長）一端固定，其：一滑桿（設此滑桿足夠長）一端固定，其上有一滑塊，位于端點上有一滑塊，位于端點20mm20mm處，它以處，它以5mm/s5mm/s一速度一速度向遠離固定的一端，又此滑桿另一端以每秒逆時向遠離固定的一端，又此滑桿另一端以每秒逆時針方向旋轉針方向旋轉/6/6的角速度旋轉，求此滑塊的運動的角速度旋轉，求此滑塊的運動軌跡。軌跡。解：此滑塊的運動軌跡為等速螺線，其軌跡為解：此滑塊的運動軌跡為等速螺

11、線，其軌跡為30206/52018例例4：已知凸輪的基圓半徑：已知凸輪的基圓半徑R=60mm，要求：當轉角，要求：當轉角自自0轉到轉到 時，推桿等速上升時，推桿等速上升60mm；當轉角；當轉角自自 旋轉到旋轉到 時，推桿等速下降時，推桿等速下降60mm；當轉角；當轉角自自 旋轉到旋轉到 時，推時，推桿保持不動桿保持不動.求凸輪輪廓曲線的極坐標方程求凸輪輪廓曲線的極坐標方程. 65910265910解解 :凸輪輪廓曲線的極坐標方程凸輪輪廓曲線的極坐標方程a0（1）當）當=0=0時，時，R=60R=60，代入得，代入得0600a當當= 時，時，R=120，代入得，代入得65651200a解得：解得：72600，a即即7260( (見教材見教材P P6161) )19（2 2）當）當= = 時，時，R=120R=120，代入得，代入得65651200a當當= 時，時，R=60，代入得，代入得910910600a解得：解得：2163000，a即即216300(3)當當 時，時，29106020小小 結結你能總結一下本講的主要內容嗎？你能總結一下本講的主要內容嗎？21練練 習習1 1將下列直角坐標轉化