1、綿陽南山中學（實驗學校）2014年自主招生考試數學試題本套試卷分試題卷和答題卷兩部份，試題卷共6頁，答題卷共6頁，滿分150分，考試時間120分鐘注意事項：1答卷前，考生務必將自己的姓名、考試號用05毫米的黑色墨水簽字筆或黑色墨水鋼筆填寫在答題卷與機讀卡對應位置上，并認真核對姓名與考號；2選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆將機讀卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號，答在試題卷上無效；3非選擇題（主觀題）用05毫米的黑色墨水簽字筆或黑色墨水鋼筆直接答在答題卷上每題對應的位置上，答在試題卷上無效作圖一律用2B鉛筆或05毫米黑色簽字筆；4考試結束后，請將本試題卷、

2、答題卷與機讀卡一并上交第一卷 （選擇題，共36分）一選擇題（本大題共12個小題，每小題3分，共36分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1下列計算正確的是（ ）（A） （B） （C） （D）2方程組的解是（ ）（A）1 （B）3 （C）1或3 （D）5或33如右圖所示，圖表示正六棱柱形狀的高大建筑物，圖中的陰影部分表示該建筑物的俯視圖，P、Q、M、N表示小明在地面上的活動區域（各區域均不含邊界），若小明想同時看到該建筑物的三個側面，他應在（ ）（A）P區域 （B）Q區域 （C）M區域 （D）N區域 4小李騎車上學，開始時勻速行駛，途中因交通堵塞停留了一段時間，后為了趕時間加快

3、速度行駛，與以上事件吻合得最好的圖像是（ ）5南山中學高一年級有四名學生A、B、C、D參加了校團委舉辦的“南山中學百佳、百杰學生”的選舉，已知候選人D得票比B得票多，候選人A、B得票之和超過C、D得票之和，候選人A、C得票之和與B、D得票之和相等，則這四人得票數由高到低的次序排列,他們依次為（ ）（A）A、D、C、B （B）D、B、A、C （C）D、A、B、C （D）A、D、B、C6南山中學數學建模小組的同學們在研究15、12、10這三個數的倒數時發現：，他們就將具有這樣性質的有序的三個數稱之為調和數若x、y、2 （x、y均為正整數）是一組調和數，則x、y的值（ ）（A）有一組 （B）有兩組

4、（C）有三組 （D）有無數組7如下圖所示，在RtABC中，AC=3，BC=4，D為斜邊AB上一動點，DEBC， DFAC，垂足分別為E、F，當線段EF最小時，的值等于（ ）（A） （B） （C） （D） 8如上圖所示，在正方形ABCD中，點E、F分別在邊BC、CD上，且使得AEF為等邊三角形，則AEF與梯形ABCF的面積之比為（ ） （A） （B） （C） （D）9已知函數，和在同一直角坐標系內的圖象如下圖所示，給出下列結論：如果，那么；如果，那么；如果，那么；如果時，那么則其中正確結論的序號為（ ）（A） （B） （C） （D） 10上右圖為一個污水凈化塔內部，污水從上方入口進入后流經形如等

5、邊三角形的凈化材枓表面，流向如圖中箭頭所示，每一次水流流經三角形兩腰的機會相同，經過五層凈化后流入底部的六個出口中的一個下列判斷：六個出口的出水量相同；2號出口的出水量與5號出口的出水量相同；1，2，3號出水口的出水量之比約為1510；若凈化材枓損耗的速度與流經其表面水的數量成正比，則更換最慢的一個三角形材枓使用的時間約為更換最快的一個三角形材枓使用時間的16倍其中，正確的判斷個數是（ ）（A）1個 （B）2個 （C）3個 （D）4個11如下圖所示，在RtABC中，A=2B，CD為C的內角平分線，若AD=2，則CD等于（ ）（A） （B） （C） （D） 12如上圖所示，點A、D在以BC為直徑

6、的半圓上，D是弧的中點，AC與BD交于點E若AE=3，CD=，則BC等于（ ）（A）6 （B）8 （C）10 （D）12第二卷 （非選擇題，共114分）二填空題（本大題共6個小題，每小題4分，共24分將答案填寫在答題卡相應的橫線上）13按下圖程序進行操作，規定：程序運行從“輸入一個x”到“結果是否>10”為一次操作若操作進行三次才停止，則x的取值范圍是_14如下圖所示，直線l1、l2、l3、l4及m1、m2、m3、m4分別平行，且，則_ 15如上圖所示，在正方形鐵皮上剪下一個扇形和一個半徑為1cm的圓形，使之恰好圍成一個圓錐，則圓錐的高為_16小明每天下午5點放學回家時，爸爸總是從家開車

7、按時到達學校接他回家有一天，學校提前1小時放學，小明自己步行回家，在途中遇到開車接他的爸爸，結果比平時早了20分鐘到家則小明步行_分鐘遇到來接他的爸爸17已知關于x的一元二次方程對任意的實數a均有實數根，則實數m的取值范圍是_18如右圖所示，矩形ABCD的對角線AC、BD交于點O，已知，邊CD上有一點S，滿足線段OC上有一點M，OS與MB交于點L，聯結CL、SM給出以下結論：SM/BD與SM/CL等價；若，則點L在AD的延長線上；若，則AD=DL；若，則方程無等根其中，正確的結論有_（填所有正確結論的序號）三解答題（本大題共7個小題，共90分解答應寫出文字說明證明過程或演算步驟）19（本題共2

8、個小題，每小題8分，共16分）解答下列各題：（1）計算：；（2）計算：20（本小題滿分12分）做服裝生意的唐老板經營甲、乙兩個店鋪每個店鋪在同一段時間內都能售出A、B兩種款式的服裝合計30件，并且每售出一件A款式和B款式服裝，甲店鋪獲利潤分別為30元和40元，乙店鋪獲利潤分別為27元和36元某日，唐老板進A款式服裝35件，B款式服裝25件，怎樣分配給每個店鋪各30件服裝，使得在保證乙店鋪獲利潤不小于950元的前提下，唐老板獲取的總利潤最大？最大總利潤是多少？ 21（本小題滿分12分）一個不透明的口袋里裝有分別標有漢字“百”、“年”、“經”、“典”、“南”、“山”的六個小球，除漢字不同之外，小球

9、沒有任何區別，每次摸球前先攪拌均勻再摸球（）若從中任取一個球，求球上的漢字剛好是“南”的概率；（）從中任取一球，不放回，再從中任取一球，請用樹狀圖的方法，求取出的兩個球上的漢字恰能組成 “經典”或“南山”的概率P1；（）從中任取一球，記下漢字后再放回袋中，然后再從中任取一球，記取出的兩個球上的漢字恰能組成 “經典”或“南山”的概率為P2，指出P1，P2的大小，并證明你的結論22（本小題滿分12分）如右圖所示，已知點A（4，0），點B在y軸上，經過A、B兩點的直線與反比例函數在第四象限的圖像只有一個公共點又一次函數的圖像與x軸、y軸分別交于點C、D兩點當四邊形ABCD的面積最小時，求k的值及面積

10、的最小值 23（本小題滿分12分）如右圖所示，在平面直角坐標系xOy中，多邊形OABCDE的頂點分別為O（0，0），A（0，6），B（4，6），C（4，4），D（6，4），E（6，0）已知直線l經過點M，分別與邊OA、DE相交，且將多邊形OABCDE分成面積相等的兩部分（）若點，求直線l的函數表達式；（）是否存在一點M，使得過點M有無數條直線l將多邊形OABCDE分成面積相等的兩部分？若存在，求出M的坐標；否則，說明理由24（本小題滿分12分）如下圖所示，與外切于點O，直線l分別與、外切于點A、B，分別與x軸、y軸交于點、（）求的半徑長；（）在直線l上找一點P，使得與相似，并求出點P的坐標 2

11、5（本小題滿分14分）如下圖所示，過y軸上一點M（0，1）作直線與二次函數的圖像交于A、B兩點，過A、B兩點分別作y軸的垂線，垂足為C、D，直線l過點M關于原點O的對稱點N，且與y軸垂直過點A作l的垂線，垂足為E（）當A點的橫坐標是1時，證明AM=AE；（）當直線AB變化時（點A與點O不重合），求的值；（）當直線AB變化時（點A與點O不重合），試判斷直線l與以AB為直徑的圓的位置關系，并證明你的結論綿陽南山中學（實驗學校）2014年自主招生考試數學參考答案及評分標準一選擇題（本大題共12個小題，每小題3分，共36分每小題給出的四個選項中，只有一個符合題目的要求）題號12345678910111

12、2答案CBBCDBADACD C1C顯然正確，故選擇C2B，故選擇B3B顯然P、N區域只能給看到一面，M區域只能看到兩面，Q區域可以看到三面，故選擇B4C開始時勻速行駛，此時對應的圖像為直線，函數的圖像遞減途中因交通堵塞停留了一段時間，此時到學校的距離為常數，最后加快速度行駛對應的曲線為上凸曲線，故選擇C5D用a、b、c、d依次表示A、B、C、D的得票，由條件可得，于是，于是，故選擇D6B由已知得當y=1時，（舍去）；當y=2時，；當y=3時，所以x、y的值有兩組，故選擇B7A由，于是當CD與AB垂直時，EF最小此時，于是，故選擇A8D令，則由得：于是，故選擇D9A由圖像知，當時，成立，當時，

13、當時，當時，故選擇A10C若進水量為1，則從左到右的六個出水口的出水量依次為：，于是正確水流量最大與最小的三角形分別是最上面的三角形與第五排最左（或最右）的三角形，流經最上面的三角形的水量為1，而流經第五排最左（或最右）的三角形的水量為，于是正確故選擇C11D如圖，令AB邊的高線為CF，在CB上作一點E，使得CA=CE，聯結DE，則CADCED，所以過E作EGBD交BD于G，由得EG=1，于是在ACF中可得，在CDF中可得，故選擇D12C如圖，延長BA、CD交于點F由條件可得BD是等腰BCF的角平分線，可得由得，故選擇C二填空題（本大題共6個小題，每小題4分，共24分將答案填寫在答題卡相應的橫

14、線上）題號131415161718答案605013第一次運行的結果為，第二次運行的結果為，第三次運行的結果為由條件得14由圖可知：15圓錐底面周長等于扇形的弧長，于是可得扇形的半徑等于4cm，于是圓錐的高為16由已知得，爸爸從接到他的位置A處開車到達學校B，則往返AB段開車用時為20分鐘，單程AB段開車用時10分鐘，于是小明步行了50分鐘 17由條件得對任意的實數a恒成立，即 18設OS與AD交于點由知AS為的角平分線由及OA=OD，知為正三角形，有AD=AO又由AS平分，知又，則為正三角形，且S為其中心設BM與AD的延長線交于注意到故，因此正確注意到，則方程有等根1綜上，正確的結論有三解答題

15、（本大題共7個小題，共90分解答應寫出文字說明證明過程或演算步驟）19（1）原式=8分（2）令，則原式8分20分配給甲店鋪A款式服裝x件（x取整數，且5x30），則分配給甲B款式服裝30x件2分分配給乙店鋪A款式服裝35x件，分配給乙B款式服裝25（30x）=x5件4分甲店鋪的利潤為y甲，則有，6分乙店鋪的利潤為y乙，則有，8分于是總利潤 由條件得，解得10分對于隨著x的增大而減小，要使y總最大，則x必須最小又，故取x=21，即分配給甲店鋪A、B兩種款式服裝21件與9件，分配給乙店鋪A、B兩種款式服裝14件與16件此時，既保證乙店鋪獲利潤不小于950元，又保證了在此前提下，唐老板獲取的總利潤最

16、大，最大利潤是元12分21（）任取一球，共有6種不同結果，所以球上漢字剛好是“南”的概率3分（）由題知樹狀圖如下：5分共有30種不同取法，能滿足要求的有4種，所以7分（）P1>P2 8分各種情況列表如下：百年經典南山百百百百年經百典百南百山百年百年年年經年典年南年山年經百經年經經經經典南經山經典百典年典經典典典南典山典南百南年南經南典南南南南山山百山年山經出典出南出山山一共有36種結果，滿足要求的結果有4種，于是，所以12分22經過點A（4，0）的直線的函數表達式令為，1分由可得：3分因為直線與反比例函數圖像只有一個公共點，于是5分易得，可得7分于是10分于是當時，有最小值，最小值等于9

17、12分23（）如圖1，延長BC交x軸于F，聯結OB、AF交于P，聯結DF、CE交于Q易知P（2，3），Q（5，2）是兩個矩形的中心，過P的直線將矩形OABF的面積平分，過Q的直線將矩形CDEF的面積平分，于是直線PQ將多邊形OABCDE的面積平分2分直線PQ的函數表達式為4分顯然在上，且M不是GH的中點，故直線l的函數表達式為5分另解 如圖2，令過的直線的表達式為，與DE交于點H，則H的坐標為，1分則3分而4分由題意得，于是直線l的表達式為5分（）如圖3，由（）知直由線l的函數表達式為，可得6分令M為GH的中點，則M的坐標為，此即為滿足條件的點M8分證明如下：另取一條過點的直線分別與OA、DE交于注意到線段的中點也為，則，故也是滿足條件的直線10分由的任意性，知滿足條件的直線有無數條故存在滿足條件的點M，其坐標為12分24（）如圖1，易知2分令與的半徑分別是R與r，則，故的半徑5分 （），于是得是等腰三角形，且若存在滿足條件的點P，則或7分如圖2，當時，由知，點P與點C重合，此時，9分當時，作PHx軸于點H，則RtPO1ARtPO1H