1、.莃高 等 代 數(shù)(上)(No. 8)芁一、填空題(每小題1分, 共8分) 罿 1一非空復(fù)數(shù)集P為數(shù)域, 若其 包含0和1, 且對(duì)加減乘除四種運(yùn)算封閉. 螅 2 設(shè)d(x)為f (x), g(x) 的一個(gè)最大公因式, 則d(x)與(f (x), g(x)的關(guān)系 蒂 倍數(shù)關(guān)系即d(x)k(f (x), g(x) . 蝕3設(shè)i1,i2,in=1,2, n,則t( i1i2in)+ t( inin-1i1)= . 蠆4設(shè)n2, a1,an兩兩不同, 則的不同根為 a1, a2,an . 袇5設(shè)t1,tr兩兩不同, 則ai=(1,ti,), i=1, r線性 無關(guān) . 襖6若b可由a1,ar唯一表示,

2、 則a1,ar線性 無關(guān) . 肀7設(shè)a1,am為n維向量組, 且R (a1,am)=n, 則n m. 蒀8若A為n級(jí)實(shí)對(duì)稱陣且AA¢= O, 則A= O . 蚄二、選擇題(每小題1分, 共8分) 羂1 對(duì)于“命題甲：將n(>1)級(jí)行列式D的主對(duì)角線上元素反號(hào), 則行列式變?yōu)?D；命題乙：對(duì)換行列式中兩行的位置, 則行列式反號(hào)”有( B ) . 蕿 A. 甲成立, 乙不成立 B. 甲不成立, 乙成立 袆C. 甲, 乙均成立 D. 甲, 乙均不成立螅 2整系數(shù)多項(xiàng)式f (x)在Z不可約是f (x)在Q上不可約的( B ) 條件. 肁A. 充分 B. 充分必要 C. 必要 D. 既不

3、充分也不必要羈3設(shè)D=|aij|n, Aij為aij的代數(shù)余子式, 則=( C ) . 蚆A. D B . -D C. Dn D. (-1)nD螇4下述中, 錯(cuò)誤的是( D ) . 蒃A. 奇數(shù)次實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式必有實(shí)根 B. 代數(shù)基本定理適用于復(fù)數(shù)域螞C. 任一數(shù)域包含Q D. 在Px中, f (x)g(x)= f (x)h(x)Þg(x)=h(x) 莇5設(shè)A, B為n級(jí)方陣, mÎN, 則“命題甲：|-A|=-A；命題乙：(AB)m= AmBm”中正確的是( D ) . 薄A. 甲成立, 乙不成立 B. 甲不成立, 乙成立 薁C. 甲, 乙均成立 D. 甲, 乙均不成立肁6

4、. 任n級(jí)矩陣A 與-A, 下述判斷成立的是( B ) . 膇A. |A|=-|A| B. AX=0 與(-A)X=0同解 蚅C. 若A可逆, 則(-A)-1=(-1)nA-1 D. A反對(duì)稱, -A反對(duì)稱羄 7 向量組a1,as線性無關(guān)Û( C ) . 蒁A. 不含零向量 B. 存在向量不能由其余向量線性表出袈C. 每個(gè)向量均不能由其余向量表出 D. 與單位向量等價(jià)蚇 8 設(shè)A, B均為P上矩陣, 則由( A ) 不能斷言AB. 肂A. R(A)= R(B) B. 存在可逆陣P與Q使A=PBQ 羀C. A與B均為n級(jí)可逆 D. A可經(jīng)初等變換變成B蚈三、簡要回答(每小題5分, 共2

5、0分) 蒄1設(shè)f (x), g(x)ÎPx, g(x)¹0, 若f (x)= g(x)q(x)+r(x), 則 (f (x), g(x)=(f (x), r(x)成立嗎？為什么？蒅答: 不一定成立. 如：f (x)=6x2, g(x)=2x, q(x)=3x, r(x)=0, (f (x), g(x)= x, (f (x), r(x)=x2.荿2 設(shè), 則當(dāng)a,b,c,d滿足何條件時(shí), A=A¢？ A=A2？為什么？莈答: 當(dāng)b=c時(shí), A是一個(gè)對(duì)稱矩陣, 因此A=A¢.當(dāng)a+d=1或c=b=0且a, dÎ0,1時(shí), A=A2.直接根據(jù)矩陣相等

6、的定義. 薆3若a1,as與b1,b s均相關(guān), 則a1+b1,as+b s相關(guān)嗎？為什么？薃答: 不一定. 如：a1=(0, 2, 0), a2=(1, 0, 1), a3=(2, 1, 2), b1=(0, -1, 0), b2=( -1, 0, 0), b3=(-1, -1, 0), 顯然a1, a2, a3; b1, b2, b3兩組向量均相關(guān), 但a1+b1, a2+b2, a3+b3是線性無關(guān)的.蝿4若A, B均為n級(jí)陣, 且AB, 則A與B的行向量組等價(jià)嗎？為什么？聿答：等價(jià)。因?yàn)锳B, 所以存在可逆矩陣P, Q, 使得A=PBQ, 設(shè)A=(a1,an)T, B=(b1, bn)

7、T, P=(pij), Q=(Q1, , Qn), 則根據(jù)矩陣相等的定義得到薇同理可得到，其中P-1=().蟻四計(jì)算題(每小題10分, 共40分) 12 蒂把f (x)=5x4-6x3+x2+4按x-1的方冪展開. 衿解：利用綜合除法可得莄1肄1袁-6/5蕿1蒆1/5膂-1/5莁0肆0薇4/5薅0螀螆1莄-1/5蚃1膀0薇4/5莆0螁4/5蠆4/5蕆1膄4/5肈1肇4/5芄9/5節(jié)4/5螂芆19/5113/5114/51所以f (x)= 5x4-6x3+x2+45(x4-x3+x2+) =5(x-1)4+(x-1)3+(x-1)2+(x-1)+ =5(x-1)4+14(x-1)3+13(x-1

8、)2+4(x-1)+4方法2 用待定系數(shù)法。3 計(jì)算. 解：Dn4 求向量組a1= (1,-1,2,4), a2=(0,3,1,2), a3=(3,0,7,14), a4=(1,-1,2,0), a5=(2,1,5,6)的極大無關(guān)組, 并求出組中其余向量被該極大無關(guān)組線性表出的表達(dá)式. 解：所以a5=a1+a2+a4, a3=3a1+a2 , a1, a2 ,a4,為向量組的極大線性無關(guān)組。解：設(shè)A=, 則|A|=6¹0, 則A可逆. 從而可求出A的逆A-1.所以，從而X=五、證明題(每小題8分, 共24分) 1 若(x3+x2+x+1)|(f (x2)+xg(x2), 則(x+1)

9、|f (x), (x+1)|g(x). 證明：因?yàn)閤3+x2+x+1= (x-i) (x+i) (x +1), 所以x=i, x=-i, x=-1為其根,因此由已知條件可得x=i, x=-i, x=-1為f (x2)+xg(x2)的根, 所以從而f (-1)=g(-1) =0, 故(x+1)|f (x), (x+1)|g(x).2 試證：.證明：=3 設(shè)h1, , hs 為AX=B¹0的解, 若k1+ks=1, 則x= k1h1+ +kshs 也為AX=B的解. 證明：因?yàn)閔1, , hs 為AX=B¹0的解, 所以Ah1= Ah2= Ahs=B¹0, 則Ax= A(k1h1+ +kshs)= A(k1h1)+ + A(kshs)= k1Ah1+ + ksAhs=k1B +ksB=B. 故x= k1h1+ +kshs 也為AX=B的解. 以下無正文 僅供個(gè)人用于學(xué)習(xí)、研究；不得用于商業(yè)用途。  , , . For personal use only in study and research; not for commercial use.Nur für den persönlichen für Studien, Forschung,