1、本章內容可以概括為以下幾點v一、反映直線方向的量v二、直線方程的各種形式v三、平面內兩直線關系v四、線性規劃問題簡介v五、圓的方程v六、曲線和方程v七、直線和圓，圓和圓關系v八、對稱問題一、反映直線方向的量、知識要點（）直線的方向向量（）直線的法向量（）直線的傾斜角（）直線的斜率（）它們之間的關系、典型實例分析（）例題（）例題（）直線的方向向量設是直線上兩點，則向量或與平行的非零向量稱為直線的方向向量21, PPll21PP21PP1v2v OP1P2圖 1l如圖中，非零向量都是直線的方向向量2122,vvPPl（）直線的法向量與直線的方向向量垂直的非零向量，稱為直線的法向量，如圖中，都是直線

2、的法向量YXO1n2n1n2nlll顯然，當直線的一個方向向量時，便是直線的一個法向量（為什么？）),(bav ),(abnll（）直線的傾斜角若直線l與x軸交于點P，把x軸繞交點P,按逆時針方向旋轉到和直線l重合時，所轉的最小正角記為，則稱為直線l的傾斜角，如圖所示若直線l與x軸平行或重合，我們規定，此時直線l的傾斜角，如圖所示0yxo0），的取值范圍的定義可知，傾斜角由直線傾斜角0yxo(4)直線的斜率02202022tantan2kkklllkkll）時，（不存在時，）時，由直線斜率的定義可知斜率不存在，我們說此時直線的傾斜角若直線）的傾斜角，且為（表示，即：的斜率，常用為直線的正切，則

3、稱的傾斜角若直線(5)直線的方向向量、法向量、傾斜角、斜率之間的關系：），的一個法向量就是（直線），的一個方向向量就是（直線）（，則斜率的傾斜角為已知直線）cossinsincos2tan1llkl它們都是反映直線方向的量，它們之間有相互聯系，可以相互轉化，在一定條件下，已知其中一個，可以求出另外三個，如：時），（的斜率直線），（的一個法向量便是直線），則，（的一個方向向量為已知：直線0)2aabklabnlbavl時）（）（時）（）（的傾斜角直線0arctan0arctanababababl時），（便有：取向量上兩點，而直線的方向為直線特別地，121212121221222111),(),(

4、),(xxxxyykyyxxPPlyxPyxP時）（時）（的傾斜角直線），的一個法向量就是（直線），的一個方向向量就是（直線，則的斜率為已知：直線0arctan0arctan11)3kkkklklklkl典型例題分析的傾斜角直線又回到原來的位置，求則直線個單位，軸正方向平移個單位，再沿軸負方向平移沿：直線例llyxl231)2, 3(),(0000yxQlyxP上一點，經平移后到點是直線解：設的一個方向向量就是直線由已知lPQ)2, 3(3232k斜率32arctan32arctan）（傾斜角),(00yxP)2, 3(00yxQxyOl的取值范圍和傾斜角的斜率相交，求直線線段為端點的點，且與

5、過：已知直線例klABBAPl)0 , 3(),3, 2()2 , 1(2XYOPA(-2,-3)B(3,0)21132051223）（）（相交，而與線段直線或存在時，解：如圖當PBPAPBPAkkABlkkkkk不存在或），（取值范圍是kkk52121arctan5arctan，取值范圍是：的傾斜角從而直線l二、直線方程的各種形式、知識要點（）點斜式方程（）斜截式方程（）方向式方程（）參數式方程（）點法式方程（）一般式方程（）兩點式方程（）截距式方程、典型實例分析例題例題）（程，即得直線的點斜式方）（）（）是共線向量，）與（則（上任意一點直線且其斜率為經過點若已知直線直線的點斜式方程0000

6、0000001,),(),() 1xxkyyyyxxkkyyxxyxPlkyxPl軸上的截距就是直線在這里于是得直線斜截式方程即得：即軸交點為直線與，特別地取在直線的點斜式方程中直線的斜截式方程ybbkxykxbybPyP), 0()200byyaxxabRttbayyxxvPPyxPlyxPbavl000000000),(,/),(),()3也可寫為時，當）（故得直線方向式方程則，上任一點直線且經過點），（方向向量若已知直線直線的方向式方程l),(000yxP),(yxPxyttPP0如圖，具有幾何意義，變數在標準參數方程中，參的標準參數方程上式稱為直線，）（）（程為：此時，直線的參數式方傾

7、斜角為直線），特別地取方向向量為（為參變量的方向向量，）為直線，式中（寫成如下參數式：直線的方向式方程可改直線的參數式方程tlRttayytaxxltlbaRtbtyyatxxsincossincos)40000l),(000yxP),(yxPxyttPP0),(0)()(,),()0( ,),()500022000不同為零其中程為：于是得直線的點法式方則上任意一點直線）（的一個法向量為且已知直線上一點若直線直線的點法式方程BAyyBxxAnPPyxPlBABAnlyxPl),(0,600不同為零其中一般式則直線方程具有如下的，記在直線的點法式方程中）直線的一般式方程BACByAxByAxC1

8、21121121221122211100,/),(),(),(7yyyyxxxxyyxxPPPPlyxPyxPyxPl兩點式時，直線方程可以寫成，當則上任意一點是直線兩點，經過若已知直線）直線的兩點式方程軸上的截距軸和在都不為零，分別是直線，式中：于是可得直線的截距式即得軸交于與軸交于設與相交，而不過原點，若直線與兩坐標軸都在直線的兩點式方程中直線的截距式方程yxbabyaxbyaaxbbPyaaPx1000)0(), 0()0(),0 ,()821PyxlyxlllP之間的線段中點恰為點：與：在兩直線方程，使的直線，求過點例0820103) 1 , 0(321044141410227137)

9、 1 , 0(27082113701031,121yxxylkkkABPkxyxkxykxyxkxyBAllkkxylBA，即的方程為直線，得的中點為線段又得由得由兩帶點分別交于，與直線條件）不存在時，不滿足題設（，的方程為解法一、設直線),(00yxABxyOP1l2l044)0 , 4(),2 , 4(08)2()(20103,),2 ,(1202) 1 , 0(,),(,00002100000021yxlBAyxyxllBAyxByyxxPBAyxABAlllBB的方程為：從而由兩點式得得上，在又中心對稱可知兩點關于又由，設分別交于與解法二、設直線方程取得最小時，求直線）當（的方程面積最

10、小時，求直線）當（為坐標原點，兩點，軸正半軸交于，且分別與過點，直線例lMBMAlABCOBAyxMl21,) 1 , 2(4042122121041212)02(422)2(1)2(2)21)(12(2121210),0 ,12(120) 1 (2yxxylkkkkkkkkkkOBOASkBykAxxkylklAOB，也即）（的方程為故，取，又即當且僅當），（軸正半軸交于與正半軸交于它與）（方程為：，設的斜率解法一、由已知直線04212424214124212111210, 0), 0(),0 ,(yxyxlbababaabOBOASbabyaxlbabBaAAOB，即的方程為，時成立，等號

11、當且僅當，且的方程可寫成從而直線解法二、由已知可設03, 1)2(1022, 4)2()2()2, 2)(1,1() 1 , 2(),21 , 0(),0 ,12(012)2(yxxykkkkkkkMBMAMBMAMBMAABMkBkAkxkyl即直線方程為時成立時，即當且僅當上的點是線段又則），（）（方程為線解法一、由已知可設直0322122243212sin42sin4cossin2,cos2,sin12sin1cos2yxtytxaaaattMBMAtatatBAlRttaytaxlBABA，即直線方程為），（時成立，又等號當且僅當的幾何意義由參數兩點對應的，則的傾斜角，）為直線，（其中

12、）（）（的方程為解法二、設直線三、平面內兩直線關系、知識要點（）兩直線平行的條件（）兩直線垂直的條件（）兩直線重合的條件（）兩直線相交的夾角（）直線到直線的角（）點到直線的距離（）兩平行直線間的距離（）點與直線的位置關系、典型實例分析例題例題212121222111122112212122221111/0:, 0) 1bbkkllbxkylbxkylCACABABAllCyBxAlCyBxAl，且則此時，即兩直線斜率均存在：，：若，且則：若兩直線平行的條件100:, 0)2212122211121212122221111kkllbxkylbxkylBBAAllCyBxAlCyBxAl則此時，：

13、，：若，則：若兩直線垂直的條件2121212221111221122121222211110:, 0)3bbkkllbxkylbxkylCACABABAllCyBxAlCyBxAl，且重合則此時，：，：若，且重合于則：若兩直線重合的條件211221222121222111212112212122222121212121222211111tan2111costan2cos0:, 0)4kkkkllkkkkbxkylbxkylBBAABABAllBABABBAAllCyBxAlCyBxAl）不垂直于時（即當則：，：又若若）不垂直于時（即當，則的夾角為與：若兩直線相交的夾角來表示一般不能用注意則：，

14、：又若若：，若若不垂直于當時，的角到直線22222121212121122221112121122122221111212121cos1tantan0:, 02)5BABABBAAkkkkbxkylbxkylBBAABABACyBxAlCyBxAlllllll220000002200220000),(0),(,),(, 0)6BACByAxddlyxPdlPlyxPBACByAxnnQPddlPBAnlPBACByAxdlQnnQPddlPBAnlPyxPCByAxl的距離到直線，故綜上所述有：距離的到直線上，則在直線由于的距離到直線點）指向異側（如圖）（的法向量位于當化簡得上任意一點點為其中

15、的距離到直線點）指向同側（如圖）（的法向量位于當點：設直線點到直線的距離：lnPQOyxlnPQOyx相等方程的一次項對應系數與求注意：距離公式中，要之間的距離與則：，若兩平行直線間的距離2122212122221111210:, 0/)7llBACCdllCyBxAlCyBxAlll0,),()3(0,),(20),(1),(, 0)800000000000000CByAxBAnlyxPCByAxBAnlyxPCByAxlyxPyxPCByAxl）指向異側（的法向量與當）指向同側（的法向量與）當（上在直線）當（點：設直線點與直線的位置關系：系來判定點與直線位置關同的特點，根據特殊點方程左邊值

16、的符號必相般式方程，的坐標，代入直線的一以利用直線同一側各點點與直線位置關系也可坐標求所在的直線方程為平分線，所在直線方程為邊上中線的頂點、例CByxBEABCyxCDABAABC,04202474),8 , 2(5xyAB）坐標（的中點則解法一、設28,22),(BBBByxDAByxB024)28(7)22(404202474042,BBBByxyxyxyxDB上和直線分別在直線又)0 , 4(0, 4ByxBB，即得34)4(208ABk21, 042BEkyxBEABC：平分線所在直線又)0 , 6(02474002474002134121342112111CyxyyxCDyBCkkkkkkkkkkkBCBCBCBEABBEABBCBEBCBE，得由所在直線方程，又所在直線方程為，得即由已知條件得074247)42(47424872402474), 42(0422222BBBByyyxAByyByxB程為邊上的中線所在直線方又上，可設在直線解法二、 xyAB)0 , 4(, 0ByB從而得042)8 , 2(AyxA的對稱點關于直線作上在直線由已知得BCAA),0 , 6()0 , 6(02474CxyxCxBC即軸交點，與點即為直線軸，故所在直線即為的方程求直線過