1、第三節第三節 向量的數量積和向量積向量的數量積和向量積一、 兩向量的數量積二、 兩向量的向量積一、兩向量的數量積1 定義定義兩個向量兩個向量a a和和b b的模與它們之間夾角的余弦之積，的模與它們之間夾角的余弦之積，稱為向量稱為向量a與與b的的數量積數量積，記作記作abb, ,即即),cos(|bababa數量積也稱數量積也稱點積點積。力學意義：力學意義：一物體在力一物體在力F的作用下，的作用下，沿直線沿直線AB移動了移動了S， F與與AB的夾角為的夾角為,如右圖，如右圖，則力對物體做的功為則力對物體做的功為cos|SFW BSAF2 性質：性質： （1） aaa=|a|=|a|2 21, 1

2、, 1kkjjii0baba（2）0, 0, 0ikkjji（3） 表示兩非零向量表示兩非零向量a a和和b b的夾角，則的夾角，則有有|cosbaba 3 運算律運算律（1）交換律）交換律abba（2）分配律）分配律cbcacba )(（3）結合律）結合律)()()(bababa其中其中為常數。常數。4 數量積的計算公式數量積的計算公式設向量設向量kzjyixbkzjyixa222111,則有則有212121zzyyxxba證明：證明：)()(222111kzjyixkzjyixbakizxjiyxiixx212121kjzyjjyyijxy212121kkzzjkyzikxz2121212

3、12121zzyyxx則有兩非零向量則有兩非零向量a a和和b b的夾角的夾角的的余弦坐標余弦坐標表示為表示為 222222212121212121|coszyxzyxzzyyxxbaba此時，對于非零向量此時，對于非零向量a，b，有，有212121zzyyxxba5 向量在軸上的投影向量在軸上的投影設設A為空間一點，為空間一點，u軸已知，如圖。軸已知，如圖。Au過點過點A作與軸垂直的平面，作與軸垂直的平面，平面與軸平面與軸的交點的交點A稱為稱為A在軸上的投影。在軸上的投影。A對于已知向量對于已知向量 ， ABu軸上的有向軸上的有向線段線段 的模稱為向量的模稱為向量 在軸在軸u BA AB上的

4、投影，上的投影，它是一個數量，記作它是一個數量，記作ABjPruBBcos|AB|ABjPru那么那么為向量為向量 與軸與軸u的夾角。的夾角。AB用用e表示表示u軸上的單位向量，軸上的單位向量，則則aee為向量為向量a a在在e e方向方向上的投影，那么有上的投影，那么有cos|a|cos|e|a|ea例例1 已知已知a=1，1，-4，b=1，-2，2，求：求：（1）abb； （2）a與與b的夾角；的夾角；（3）a在在b上的投影。上的投影。解：解：（1）2(-4)2(111ba9（2）|b|a|ba)b,acos(212)2(1)4(119222222所以所以43)b,a(（3）因為因為ajP

5、r|b|)b,acos(|b|a|bab所以所以339|b|baABjPru例例2 求證余弦定理求證余弦定理cosab2bac222為邊為邊CACA，CBCB的夾角。的夾角。證明：證明：如圖所示的如圖所示的ABCABC，令令,c|AB| ,b|CA| ,a|CB|ABC可得可得CACBAB那么那么所以所以cosab2bac222證畢證畢)CACB()CACB()CACB(AB22CACB2CACB22二、兩向量的向量積二、兩向量的向量積1 定義定義設向量設向量c由兩個向量由兩個向量a和和b按下列規定給出：按下列規定給出：（1）|c|=|a| |b| sin， 為向量為向量a a和和b b的夾角

6、；的夾角；（2）bc,ac ，且向量，且向量a，b ， c的方向滿的方向滿足右手定則，如圖；足右手定則，如圖；那么向量那么向量c稱為向量稱為向量a和和b的的向量積向量積， 記作記作ab，即，即C= ab向量積又稱為向量積又稱為叉積叉積。向量積模的幾何意義是：向量積模的幾何意義是：以以a，b為鄰邊的平行四邊形的面積。為鄰邊的平行四邊形的面積。abcO為一根杠桿為一根杠桿L的支點，的支點，LOPF有一個力有一個力F作用于其上點作用于其上點P處，處，F與與 的夾角為的夾角為，OP由力學由力學規定，規定， 力力F對支點對支點O的力矩的力矩是一個向量是一個向量M，Q它的模它的模sin|F|OP|F|OQ

7、|M|而而M的方向垂直于的方向垂直于 與與F所決定的平面，所決定的平面， OPM的指向是的指向是OP是按右手規則從是按右手規則從 以不超過以不超過的角的轉向的角的轉向F F來確定，來確定，因而實際上因而實際上FOPMFOPM力學意義：力學意義：力矩力矩， 如下圖所示。如下圖所示。2 兩向量積的性質兩向量積的性質（1）aa=o；okkjjii（2）obab|a（3）若）若ao，bo，a，b的夾角為的夾角為，則，則|b|a|ba|sin3 兩向量的向量積的運算律兩向量的向量積的運算律（1） ab=-ba；（2）（）（a）b=a（b）=（ab（為常數為常數）（3）（）（a+b）c=ac+bc4 兩向

8、量的向量積的坐標表示兩向量的向量積的坐標表示設向量設向量kzjyixbkzjyixa222111,則有則有222111zyxzyxkjiba此時，對于非零向量此時，對于非零向量a，b，有，有212121zzyyxxb/a約定：若分母中有零，相應地，分子也為零。約定：若分母中有零，相應地，分子也為零。例例3 設向量設向量. ba, k3ji 2b, kj2i 3a求解：解：k7j11i 5312123kjiba例例4 設向量設向量kj31ic , kib, kj3i 2a問問ab與與c是否平行？是否平行？解：解：k3ji3101132kjiba顯然顯然故故ab/c.例例5 問向量問向量k- j- ick,-jbk,3j-2ia=+=+=是否共面？是否共面？解：解：判斷三個向量是否共面，只要判斷其中的兩個判斷三個向量是否共面，只要判斷其中的兩個向量的向量及與第三個向量是否垂直即可。向量的向量及與第三個向量是否垂直即可。（為什么？）（為什么？）由于由于k2j2i 4110132kjiba所以，所以，)kji ()k2j2i 4(c)ba(=4-2-2=0因而因而a，b，c共面。共面。 例例6 求以點求以點A（1，2，3），），B（3，4，5）和）和C（-1，-2，7）為頂點的三角形的面積）為頂點的三角形的面積S。解：解：根據向量積模的幾何意義可知，根據向量積模的幾何意