1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上五簡(jiǎn)答題（每題4分）1、設(shè)是一個(gè)拓?fù)淇臻g，是的子集，且.試說(shuō)明.答案：對(duì)于任意,設(shè)是的任何一個(gè)鄰域，則有,由于，從而，因此，故.2、設(shè)都是拓?fù)淇臻g., 都是連續(xù)映射，試說(shuō)明也是連續(xù)映射.答案：設(shè)是的任意一個(gè)開(kāi)集，由于是一個(gè)連續(xù)映射，從而是的一個(gè)開(kāi)集，由是連續(xù)映射，故是的一開(kāi)集，因此 是的開(kāi)集，所以是連續(xù)映射.3、設(shè)是一個(gè)拓?fù)淇臻g，.試說(shuō)明：若是一個(gè)閉集，則的補(bǔ)集是一個(gè)開(kāi)集.答案：對(duì)于,則，由于是一個(gè)閉集，從而有一個(gè)鄰域使得,因此，即,所以對(duì)任何,是的一個(gè)鄰域，這說(shuō)明是一個(gè)開(kāi)集.4、設(shè)是一個(gè)拓?fù)淇臻g，.試說(shuō)明：若的補(bǔ)集是一個(gè)開(kāi)集，則是一個(gè)閉集.答案：設(shè),則,由于是一個(gè)開(kāi)

2、集，所以是的一個(gè)鄰域，且滿足,因此,從而,即有，這說(shuō)明是一個(gè)閉集.5、在實(shí)數(shù)空間R中給定如下等價(jià)關(guān)系：或者或者設(shè)在這個(gè)等價(jià)關(guān)系下得到的商集,試寫(xiě)出的商拓?fù)銽.答案：6、在實(shí)數(shù)空間R中給定如下等價(jià)關(guān)系:或者或者設(shè)在這個(gè)等價(jià)關(guān)系下得到的商集,試寫(xiě)出的商拓?fù)銽 .答案：7、在實(shí)數(shù)空間R中給定如下等價(jià)關(guān)系：或者或者設(shè)在這個(gè)等價(jià)關(guān)系下得到的商集,試寫(xiě)出的商拓?fù)銽.答案：8、在實(shí)數(shù)空間R中給定如下等價(jià)關(guān)系：或者或者設(shè)在這個(gè)等價(jià)關(guān)系下得到的商集,試寫(xiě)出的商拓?fù)銽.答案：9、在實(shí)數(shù)空間R中給定如下等價(jià)關(guān)系:或者或者設(shè)在這個(gè)等價(jià)關(guān)系下得到的商集,試寫(xiě)出的商拓?fù)銽 .答案：10、在實(shí)數(shù)空間R中給定如下等價(jià)關(guān)系:或

3、者或者設(shè)在這個(gè)等價(jià)關(guān)系下得到的商集,試寫(xiě)出的商拓?fù)銽 .答案：11、在實(shí)數(shù)空間R中給定如下等價(jià)關(guān)系:或者或者設(shè)在這個(gè)等價(jià)關(guān)系下得到的商集,試寫(xiě)出的商拓?fù)銽 .答案：12、離散空間是否為空間?說(shuō)出你的理由.答案：因?yàn)殡x散空間的每一個(gè)基必定包含著單點(diǎn)集，所以包含著不可數(shù)多個(gè)點(diǎn)的離散空間不是空間.至多含有可數(shù)多個(gè)點(diǎn)的離散空間是空間.13、試說(shuō)明實(shí)數(shù)空間是可分空間.答案: 因?yàn)槭强蓴?shù)集，且的任何一個(gè)非空的開(kāi)集至少包含一個(gè)球形鄰域,從而與Q都有非空的交，因此，故實(shí)數(shù)空間是可分空間.14、試說(shuō)明每一個(gè)度量空間都滿足第一可數(shù)性公理.答案: 設(shè)是一個(gè)度量空間, 對(duì)，則所有的以為中心，以正有理數(shù)為半徑的球形鄰域

4、構(gòu)成處的一個(gè)可數(shù)鄰域基，從而滿足第一可數(shù)性公理.15、設(shè)是一個(gè)空間，試說(shuō)明的每一個(gè)單點(diǎn)集是閉集.答案：對(duì)，由于是空間，從而對(duì)每一個(gè)，點(diǎn)有一個(gè)鄰域使得，即，故，因此,這說(shuō)明單點(diǎn)集是一個(gè)閉集.16、設(shè)是一個(gè)拓?fù)淇臻g，若的每一個(gè)單點(diǎn)集都是閉集，試說(shuō)明是一個(gè)空間.答案：對(duì)于任意，都是閉集，從而和分別是和的開(kāi)鄰域，并且有,.從而是一個(gè)空間.17、設(shè)是一個(gè)空間，是任何一個(gè)不屬于的元素.令和，試說(shuō)明拓?fù)淇臻g是一個(gè)空間. 答案：對(duì)任意,若,都不是，則.由于 是一個(gè)空間，從而各有一個(gè)開(kāi)鄰域,使得;若,中有一個(gè)是，不妨設(shè),則有開(kāi)鄰域不包含.由以上的討論知，對(duì)中任意兩個(gè)不同點(diǎn)必有一個(gè)點(diǎn)有一個(gè)開(kāi)鄰域不包含另一點(diǎn)，從而

5、是空間.18、若是一個(gè)正則空間，試說(shuō)明：對(duì)及的每一個(gè)開(kāi)鄰域，都存在的一個(gè)開(kāi)鄰域,使得.答案: 對(duì),設(shè)是的任何一個(gè)開(kāi)鄰域，則的補(bǔ)集是一個(gè)不包含點(diǎn)的一個(gè)閉集.由于是一個(gè)正則空間，于是和分別有開(kāi)鄰域和,使得，因此，所以.19、若是一個(gè)正規(guī)空間，試說(shuō)明：對(duì)的任何一個(gè)閉集及的每一個(gè)開(kāi)鄰域，都存在的一個(gè)開(kāi)鄰域,使得.答案：設(shè)是的任何一個(gè)閉集，若是空集，則結(jié)論顯然成立.下設(shè)不是空集，則對(duì)的任何一個(gè)開(kāi)鄰域，則的補(bǔ)集是一個(gè)不包含點(diǎn)的一個(gè)閉集. 由于是一個(gè)正規(guī)空間，于是和分別有開(kāi)鄰域和,使得，因此，所以.20、試說(shuō)明空間的任何一個(gè)子集的導(dǎo)集都是閉集.答案：設(shè)是的任何一個(gè)子集，若是空集，則，從而的導(dǎo)集是閉集.下設(shè)不

6、是空集，則對(duì),則有開(kāi)鄰域,使得，由于是空間，從而是開(kāi)集，故 ,于是,所以是它每一點(diǎn)的鄰域，故是開(kāi)集，因此是閉集.21、試說(shuō)明緊致空間的無(wú)窮子集必有凝聚點(diǎn).答案：如果的無(wú)窮子集的沒(méi)有凝聚點(diǎn)，則對(duì)于任意，有開(kāi)鄰域，使得，于是的開(kāi)覆蓋沒(méi)有有限子覆蓋，從而不是緊致空間，矛盾.故緊致空間的無(wú)窮子集必有凝聚點(diǎn).22、如果是緊致空間，則是緊致空間.答案：考慮投射，由于是一個(gè)連續(xù)的滿射，從而由緊致知是一個(gè)緊致空間.23、如果是緊致空間，則是緊致空間.答案：考慮投射，由于是一個(gè)連續(xù)的滿射，從而由緊致知是一個(gè)緊致空間.24、試說(shuō)明緊致空間的每一個(gè)閉子集都是緊致子集.答案：如果A 是的任意一個(gè)由中的開(kāi)集構(gòu)成的覆蓋，

7、則是的一個(gè)開(kāi)覆蓋.設(shè)是的一個(gè)有限子族并且覆蓋.則便是A 的一個(gè)有限子族并且覆蓋，從而是緊致子集.六、證明題（每題8分）1、設(shè)是從連通空間到拓?fù)淇臻g的一個(gè)連續(xù)映射.則是的一個(gè)連通子集.證明：如果是的一個(gè)不連通子集，則存在的非空隔離子集使得 3分于是是的非空子集，并且：所以是的非空隔離子集 此外，這說(shuō)明不連通，矛盾.從而是的一個(gè)連通子集. 8分2、設(shè)是拓?fù)淇臻g的一個(gè)連通子集, 證明: 如果和是的兩個(gè)無(wú)交的開(kāi)集使得,則或者,或者. 證明：因?yàn)槭堑拈_(kāi)集，從而是子空間的開(kāi)集.又因中，故 4分由于是的連通子集,則中必有一個(gè)是空集. 若,則;若,則 8分3、設(shè)是拓?fù)淇臻g的一個(gè)連通子集, 證明: 如果和是的兩

8、個(gè)無(wú)交的閉集使得,則或者,或者. 證明：因?yàn)槭堑拈]集，從而是子空間的閉集.又因中，故 4分由于是的連通子集,則中必有一個(gè)是空集. 若,則;若,則 8分4、設(shè)是拓?fù)淇臻g的一個(gè)連通子集，滿足，則也是的一個(gè)連通子集.證明：若是的一個(gè)不連通子集，則在中有非空的隔離子集 使得.因此 3分由于是連通的，所以或者,如果，由于，所以，因此 ,同理可證如果，則,均與假設(shè)矛盾.故也 是的一個(gè)連通子集. 8分5、設(shè)是拓?fù)淇臻g的連通子集構(gòu)成的一個(gè)子集族.如果,則是的一個(gè)連通子集.證明：若是的一個(gè)不連通子集.則有非空的隔離子集使得 4分任意選取,不失一般性，設(shè),對(duì)于每一個(gè)，由于連通，從而及,矛盾，所以是連通的. 8分6

9、、設(shè)是拓?fù)淇臻g的一個(gè)連通子集，是的一個(gè)既開(kāi)又閉的集合.證明：如果,則.證明：若,則結(jié)論顯然成立.下設(shè),由于是的一個(gè)既開(kāi)又閉的集合,從而是的子空間的一個(gè)既開(kāi)又閉的子集 4分由于及連通，所以，故. 8分7、設(shè)A是連通空間X的非空真子集. 證明:A的邊界.證明：若,由于,從而,故是的隔離子集 4分因?yàn)锳是X的非空真子集,所以A和均非空,于是X不連通,與題設(shè)矛盾.所以. 8分8、設(shè)X是一個(gè)含有不可數(shù)多個(gè)點(diǎn)的可數(shù)補(bǔ)空間.證明X不滿足第一可數(shù)性公理. 證明：若滿足第一可數(shù)公理，則在處,有一個(gè)可數(shù)的鄰域基，設(shè)為V x ,因?yàn)閄是可數(shù)補(bǔ)空間，因此對(duì),是的一個(gè)開(kāi)鄰域，從而 ,使得. 于是, 4分由上面的討論我們

10、知道： 因?yàn)槭且粋€(gè)不可數(shù)集，而是一個(gè)可數(shù)集，矛盾.從而X不滿足第一可數(shù)性公理. 8分9、設(shè)X是一個(gè)含有不可數(shù)多個(gè)點(diǎn)的有限補(bǔ)空間.證明:X不滿足第一可數(shù)性公理. 證明：若滿足第一可數(shù)公理，則在處,有一個(gè)可數(shù)的鄰域基，設(shè)為V x ,因?yàn)閄是有限補(bǔ)空間，因此對(duì),是的一個(gè)開(kāi)鄰域，從而 ,使得.于是, 4分由上面的討論我們知道： 因?yàn)槭且粋€(gè)不可數(shù)集，而是一個(gè)可數(shù)集，矛盾.從而X不滿足第一可數(shù)性公理. 8分10、設(shè)是兩個(gè)拓?fù)淇臻g，是一個(gè)滿的連續(xù)開(kāi)映射.滿足第二可數(shù)性公理，證明：也滿足第二可數(shù)性公理.證明：設(shè)滿足第二可數(shù)性公理，是它的一個(gè)可數(shù)基.由于是一個(gè)開(kāi)映射，是由中開(kāi)集構(gòu)成的一個(gè)可數(shù)族. 3分下面證明是

11、的一個(gè)基.設(shè)是的任意開(kāi)集，則是中的一個(gè)開(kāi)集.因此存在,使得.由于是一個(gè)滿射，所以有,從而是中某些元素的并，故是的一個(gè)基.這說(shuō)明也滿足第二可數(shù)性公理. 8分11、設(shè)是兩個(gè)拓?fù)淇臻g，是一個(gè)滿的連續(xù)開(kāi)映射.滿足第一可數(shù)性公理，證明：也滿足第一可數(shù)性公理.證明：對(duì),由于是一個(gè)滿射，所以存在,使得,由于滿足第一可數(shù)性公理，故在點(diǎn)處存在一個(gè)可數(shù)鄰域基，設(shè)為,又由于是一個(gè)開(kāi)映射，則是中點(diǎn)的一個(gè)可數(shù)鄰域族. 3分下面證明是中點(diǎn)的一個(gè)鄰域基.設(shè)是中點(diǎn)的任意鄰域，則是中點(diǎn)的一個(gè)鄰域.因此存在,使得.因此,從而是中點(diǎn)的一個(gè)鄰域基.這說(shuō)明也滿足第一可數(shù)性公理. 8分12、是滿足第二可數(shù)性公理空間X的一個(gè)不可數(shù)集。求證

12、：A至少有一個(gè)凝聚點(diǎn).證明：若沒(méi)有凝聚點(diǎn)，則對(duì)任,一定存在的一個(gè)鄰域，使得：,由于滿足第二可數(shù)性公理，設(shè)是它的可數(shù)基，故一定存在一個(gè),使得：, 更有A=x, 4分若令C= xA, B, ,則有C B ，從而C必可數(shù).于是 A =.這樣A就是可數(shù)集，這與題設(shè)A為不可數(shù)集相矛盾，故A至少有一個(gè)凝聚點(diǎn). 8分13、證明滿足第二可數(shù)性公理的空間中每一個(gè)由兩兩無(wú)交的開(kāi)集構(gòu)成的集族都是可數(shù)族.證明：設(shè)是滿足第二可數(shù)性公理的空間X中由兩兩無(wú)交的開(kāi)集構(gòu)成的集族, 由于滿足第二可數(shù)性公理，設(shè)是X的可數(shù)基 3分對(duì)的每一個(gè)元素A ,因?yàn)槭堑幕?存在使得.因?yàn)橹械脑貎蓛蔁o(wú)交,從而中不同元素包含中的元素也不相同.因?yàn)?/p>

13、可數(shù), 故是可數(shù)族. 8分14、設(shè)是一個(gè)空間,證明：的每一個(gè)鄰域中都含有中的無(wú)限多個(gè)點(diǎn).證明：設(shè)，若有一個(gè)開(kāi)鄰域含有中的有限多個(gè)點(diǎn)，設(shè),則是一個(gè)有限集，從而是一個(gè)閉集，故是一個(gè)開(kāi)集且是的一個(gè)開(kāi)鄰域. 4分又易知,從而，矛盾.故含有中的無(wú)限多個(gè)點(diǎn). 8分15、設(shè)是一個(gè)空間,證明：對(duì)的每一個(gè)鄰域有是無(wú)限集.證明：設(shè)，若有一個(gè)開(kāi)鄰域含有中的有限多個(gè)點(diǎn)，設(shè),則是一個(gè)有限集，從而是一個(gè)閉集，故是一個(gè)開(kāi)集且是的一個(gè)開(kāi)鄰域. 4分又易知,從而，矛盾.故是無(wú)限集. 8分16、設(shè)是空間的一個(gè)收斂序列,證明：的極限點(diǎn)唯一.證明：若極限點(diǎn)不唯一，不妨設(shè),其中，由于是空間，故和各自的開(kāi)鄰域，使得.因，故存在，使得當(dāng)時(shí)

14、，；同理存在，使得當(dāng)時(shí)，.4分令,則當(dāng)時(shí)，從而,矛盾，故的極限點(diǎn)唯一. 8分17、設(shè)是一個(gè)拓?fù)淇臻g，證明是hausdorff空間當(dāng)且僅當(dāng)積空間的對(duì)角線是一個(gè)閉集.證明：充分性：對(duì)任意，于是,由于是閉集，所以是開(kāi)集，從而有的開(kāi)鄰域使得，于是分別是的開(kāi)鄰域,且，從而是Hausdorff空間. 4分必要性：若是hausdorff空間，對(duì)，則和分別有開(kāi)鄰域，使得，從而，由于是中的開(kāi)集，所以是其每一點(diǎn)的鄰域，故是開(kāi)集，從而是閉集. 8分18、設(shè)是Hausdorff空間，是連續(xù)映射.證明是的閉子集.證明：對(duì)于，則，從而有互不相交的開(kāi)鄰域和，設(shè)，4分則是的開(kāi)鄰域，并且,故是開(kāi)集，從而是閉集. 8分19、設(shè)X

15、是一個(gè)正則空間，A是的閉子集,，證明：和分別有開(kāi)鄰域和使得.證明：由于X是一個(gè)正則空間，從而x和A分別有開(kāi)鄰域W和V使得，故，因此. 4分又由正則空間的性質(zhì)知：存在x的開(kāi)鄰域U使得,從而. 8分20、設(shè)X是一個(gè)正規(guī)空間，A ，B是X的兩個(gè)無(wú)交的閉子集.證明：和B分別有開(kāi)鄰域和使得.證明：由于X是一個(gè)正規(guī)空間，從而A和B分別有開(kāi)鄰域W和V使得，故，因此.4分由正規(guī)空間的性質(zhì)知：存在A的開(kāi)鄰域U使得,從而. 8分21、設(shè)X是一個(gè)拓?fù)淇臻g，是閉區(qū)間，若對(duì)的任何兩個(gè)無(wú)交的閉集都存在一個(gè)連續(xù)映射,使得當(dāng)時(shí)，,當(dāng)時(shí)，.證明：X是一個(gè)正規(guī)空間.證明：設(shè)是的任意兩個(gè)無(wú)交的閉集，由題意知存在一個(gè)連續(xù)映射,使得當(dāng)

16、時(shí)，,當(dāng)時(shí)，.設(shè),4分易知分別是和的開(kāi)鄰域且.從而X是一個(gè)正規(guī)空間. 8分22、證明空間中任何一個(gè)連通子集如果包含著多于一個(gè)點(diǎn)，則它一定是一個(gè)不可數(shù)集.證明：設(shè)是空間中的一個(gè)連通子集，如果不只包含一個(gè)點(diǎn)，任意選取.對(duì)于空間中的兩個(gè)無(wú)交的閉集，應(yīng)用Urysohn引理可見(jiàn)，存在一個(gè)連續(xù)映射，使得和.4分由于是的一個(gè)連通子集，從而連通，由于，所以，由于是一個(gè)不可數(shù)集，所以也是一個(gè)不可數(shù)集. 8分23、X是空間，B為X的一個(gè)拓?fù)浠瑒t對(duì)于每一個(gè)BB及xB,都有一個(gè)B使得xB.證明：X是空間，必為的正規(guī)空間，對(duì)任意xX,x為閉集.對(duì)于BB且xB,B就是x的一個(gè)開(kāi)鄰域.由于X為正規(guī)空間，必存在x的一個(gè)開(kāi)鄰

17、域U,使得.4分U也是x的開(kāi)鄰域，一定存在一個(gè)B ，使得 xU,且有，當(dāng)然就有x.8分24、設(shè)為Hausdorff空間 ,是一個(gè)連續(xù)映射, 且證明:是的閉集證明：對(duì)，則，由于是Hausdorff空間，存在和的鄰域，使得.又因?yàn)檫B續(xù),故存在的鄰域,使得,令,則是的鄰域,且.4分事實(shí)上,若存在使得,即使得.于是,而,這樣,矛盾.所以,即 是閉集. 8分25、設(shè)X是空間，A是X的至少含有兩點(diǎn)的連通子集，則A一定是無(wú) 限集證明：若A為有限集，設(shè)a,bA且ab,由于X為空間，于是a與A-a就是X的閉集.且a（A-a）=及A-a,4分從而，A=a(A-a) ,故A不是X的連通子集.這與題設(shè)相矛盾，所以A必

18、為無(wú)限集. 8分26、如果拓?fù)淇臻g的每一個(gè)緊致子集都是閉集，則的每個(gè)收斂序列 的極限點(diǎn)唯一.證明：因?yàn)閱吸c(diǎn)集總是緊致子集，從而拓?fù)淇臻g的每一個(gè)單點(diǎn)集是閉集，故是空間，若的極限點(diǎn)不唯一，不妨設(shè)收斂到.易知是包含的開(kāi)鄰域,因此它包含序列的幾乎所有項(xiàng)，也就是說(shuō)只有有限項(xiàng)為 4分設(shè),則是緊致子集，從而是閉集.故是的一個(gè)開(kāi)鄰域，它最多只能含的有限多項(xiàng)，從而不是的極限點(diǎn)，矛盾.從而的每個(gè)收斂序列的極限點(diǎn)唯一. 8分27、設(shè)是兩個(gè)拓?fù)淇臻g，是一個(gè)連續(xù)映射.如果是的一個(gè)緊致子集，證明是的一個(gè)緊致子集.證明：設(shè)C是的一個(gè)由中的開(kāi)集構(gòu)成的覆蓋.對(duì)于任意，是中的一個(gè)開(kāi)集，由于,從而有：所以是一個(gè)由中的開(kāi)集構(gòu)成的的覆

19、蓋.由于是的一個(gè)緊致子集，所以A 有一個(gè)有限子族，設(shè)為覆蓋. 4分因?yàn)椋瑥亩词荂 的一個(gè)子族并且覆蓋，因此是的一個(gè)緊致子集. 8分28、設(shè)是一個(gè)正則空間，是的一個(gè)緊致子集，.證明：如果,則也是的一個(gè)緊致子集.證明：設(shè)A是任意一個(gè)由X中的開(kāi)集構(gòu)成的Y的覆蓋，因此A也是A的一個(gè)覆蓋，由于A是X的緊致子集，從而A有有限個(gè)成員使得. 4分由于A是正則空間的緊致子集，從而A有一個(gè)開(kāi)鄰域，使得,從而有,從而A有有限子覆蓋，因此Y是X的一個(gè)緊致子集. 8分29、設(shè)是一個(gè)正則空間，是的一個(gè)緊致子集.證明：也是的一個(gè)緊致子集.證明：設(shè)A是任意一個(gè)由X中的開(kāi)集構(gòu)成的的覆蓋，因此A也是A的一個(gè)覆蓋，由于A是X的

20、緊致子集，從而A有有限個(gè)成員使得. 4分由于A是正則空間的緊致子集，從而A有一個(gè)開(kāi)鄰域，使得,從而有,從而A有有限子覆蓋，因此是X的一個(gè)緊致子集. 8分30、設(shè)是一個(gè)Hausdorff空間，A 是它的一個(gè)非空集族，由的緊致子集構(gòu)成，證明：是的一個(gè)緊致子集.證明：對(duì)于任意，易知是一個(gè)閉集，從而是的一個(gè)閉集. 4分取，則有，由于是緊致的，從而是的一個(gè)緊致子集，易知也是的一個(gè)緊致子集. 8分31、設(shè)是連續(xù)的一一對(duì)應(yīng)，其中是緊致空間，是一個(gè)Hausdorff空間，證明是一個(gè)同胚映射.證明：要證明是一個(gè)同胚映射， 只需證明連續(xù)，進(jìn)而只需證明是閉映射.設(shè)是的閉集，由是緊致空間，從而是的一個(gè)緊致子集，故是的一個(gè)緊致子集，4分由于是一個(gè)Hausdorff空間，因此是的一個(gè)閉集，從而是閉映射. 8分32、是拓?fù)淇臻g的子空間，是的緊致子集，證明是的緊致子集.證明：對(duì)于的由的開(kāi)集構(gòu)成的任一開(kāi)覆蓋A ，即A,這樣，就有A =AY ,若令 , 就是由的開(kāi)集構(gòu)成的A的一個(gè)開(kāi)覆蓋，3分由于A是的緊致子集，必有有限的子覆蓋,即 A=,從而A,于是就是A的由X的開(kāi)集構(gòu)成的開(kāi)覆蓋，且是A的一個(gè)子覆