1、Linear Algebra Exordium線性代數線性代數緒論緒論上上頁頁下頁下頁上上頁頁下頁下頁問題：問題：1 1、什么是線性代數？、什么是線性代數？2 2、為什么要學線性代數？、為什么要學線性代數？3 3、怎么做才能學好線性代數？、怎么做才能學好線性代數？上上頁頁下頁下頁上上頁頁下頁下頁線性代數是研究線性理論和方法線性代數是研究線性理論和方法學科學科, 應用廣泛應用廣泛, 但理論高度抽象，但理論高度抽象， 發展迅速發展迅速.高等學校各專業都開設高等學校各專業都開設了本課程了本課程, 上世紀末在需求牽引與上世紀末在需求牽引與研研的數學課程之一，希望大家能認的數學課程之一，希望大家能認研研

2、的數學課程之一，希望大家能認的數學課程之一，希望大家能認真真學好這門不易學好學好這門不易學好的重要課程的重要課程.前前言言上上頁頁下頁下頁上上頁頁下頁下頁 一、什么是線性代數一、什么是線性代數？（一）線性（一）線性 線性線性linear，指量與量之間按比例、成直線的關系，指量與量之間按比例、成直線的關系只有只有數乘和加減數乘和加減。線性就是變量都是一次的，沒有變量之間的乘法，線性就是變量都是一次的，沒有變量之間的乘法，一元線性函數在平面直角坐標系中的關系描述一元線性函數在平面直角坐標系中的關系描述為一條直線，所以把這種函數形象地稱為為一條直線，所以把這種函數形象地稱為“線線性性”函數，顯然，過

3、原點的直線是最簡單的線函數，顯然，過原點的直線是最簡單的線性函數。性函數。axybaxy 線性代數研究的都是線性問題線性代數研究的都是線性問題! !上上頁頁下頁下頁上上頁頁下頁下頁 代數學的英文名稱是代數學的英文名稱是algebra，是，是9 9世紀阿拉伯世紀阿拉伯數學家花拉子米的一部著作的名稱。原意是數學家花拉子米的一部著作的名稱。原意是“還原還原與對消的科學與對消的科學”。什么叫做對消，大家知道的有正。什么叫做對消，大家知道的有正負對消，就是解方程時所謂的移項，所謂還原，就負對消，就是解方程時所謂的移項，所謂還原，就是把本來淹沒在方程中的是把本來淹沒在方程中的x把它暴露出來，還原了把它暴露

4、出來，還原了x的本來面目，所以的本來面目，所以方程是和代數緊密聯系的方程是和代數緊密聯系的。 “代數代數”這一詞在我國出現較晚，在清代時才傳這一詞在我國出現較晚，在清代時才傳入中國，當時被人們譯成入中國，當時被人們譯成“阿爾熱巴拉阿爾熱巴拉”，直到，直到18591859年，清代著名的數學家、翻譯家李善蘭才將它翻譯年，清代著名的數學家、翻譯家李善蘭才將它翻譯成為成為“代數學代數學”，一直沿用至今。，一直沿用至今。（二）代數（二）代數上上頁頁下頁下頁上上頁頁下頁下頁 歷史上歷史上線性代數線性代數的第一個問題是關于解線的第一個問題是關于解線性方程組的問題，而線性方程組理論的發展又促成性方程組的問題，

5、而線性方程組理論的發展又促成了作為工具的矩陣論和行列式理論的創立與發展，了作為工具的矩陣論和行列式理論的創立與發展，這些內容已成為我們線性代數教材的主要部分。最這些內容已成為我們線性代數教材的主要部分。最初的線性方程組問題大都是來源于生活實踐，正是初的線性方程組問題大都是來源于生活實踐，正是實際問題刺激了線性代數這一學科的誕生與發展。實際問題刺激了線性代數這一學科的誕生與發展。 另外，近現代數學分析與幾何學等數學分支的另外，近現代數學分析與幾何學等數學分支的要求也促使了要求也促使了線性代數線性代數的進一步發展。的進一步發展。 上上頁頁下頁下頁上上頁頁下頁下頁（一）線性方程組（一）線性方程組 求

6、解線性方程組是數學問題中最重要的問題，求解線性方程組是數學問題中最重要的問題，超過超過75 %75 %的科學研究和工程應用中的數學問題，在的科學研究和工程應用中的數學問題，在某個階段都涉及線性方程組的求解。某個階段都涉及線性方程組的求解。二、為什么要學線性代數：二、為什么要學線性代數： 線性方程組的求解我們在中學甚至小學就已經線性方程組的求解我們在中學甚至小學就已經開始學習，可能大家覺得是一件非常簡單的事情。開始學習，可能大家覺得是一件非常簡單的事情。沒什么再值得研究學習的，是這樣的嗎？沒什么再值得研究學習的，是這樣的嗎？線性方程組線性方程組 22221211212111bxaxabxaxa是

7、不是有解？有的話是唯一解還是無窮多解？是不是有解？有的話是唯一解還是無窮多解？ 上上頁頁下頁下頁上上頁頁下頁下頁 對于線性方程組我們主要研究三個問題對于線性方程組我們主要研究三個問題: : 前面的方程組有兩個未知量，那如果有五個，前面的方程組有兩個未知量，那如果有五個，十個，一百個十個，一百個把未知量的個數再把未知量的個數再代數代數一下，一下，n個個未知量呢？未知量呢？1 1、是否有解、是否有解? ?2 2、有唯一解還是有無窮多解、有唯一解還是有無窮多解? ?3 3、有無窮多解的話通解怎么表示、有無窮多解的話通解怎么表示? ?( (通解是指線性方程組所有解的通解是指線性方程組所有解的代數表示代

8、數表示) )上上頁頁下頁下頁上上頁頁下頁下頁（二）矩陣（二）矩陣 矩陣相關理論知識在解決實際問題中也發揮著矩陣相關理論知識在解決實際問題中也發揮著越來越重要的作用：越來越重要的作用：用矩陣知識可以做投入產出分析、價格矩陣、產銷用矩陣知識可以做投入產出分析、價格矩陣、產銷矩陣及破譯密碼、編寫復雜的密碼等方面應用；矩陣及破譯密碼、編寫復雜的密碼等方面應用； 數字圖像處理的實質就是矩陣的運算，每一幅灰度數字圖像處理的實質就是矩陣的運算，每一幅灰度圖像就對應著一個矩陣；圖像就對應著一個矩陣； 著名的搜索引擎著名的搜索引擎GoogleGoogle則應用了矩陣的特征值和特則應用了矩陣的特征值和特征向量理論

9、；征向量理論； 矩陣相似于對角陣的理論是機械振動、線性電路分矩陣相似于對角陣的理論是機械振動、線性電路分析及自動控制理論中不可缺少的工具。析及自動控制理論中不可缺少的工具。 上上頁頁下頁下頁上上頁頁下頁下頁（三）向量、向量組、向量空間（三）向量、向量組、向量空間 對矩陣的進一步分析研究產生了向量的相關對矩陣的進一步分析研究產生了向量的相關理論，有了向量，向量組，向量空間的相關概念理論，有了向量，向量組，向量空間的相關概念知識后，得以使我們將代數與幾何聯系起來。知識后，得以使我們將代數與幾何聯系起來。 進一步的，我們可以對代數有了直觀的理解。進一步的，我們可以對代數有了直觀的理解。這種關系在我們

10、學過相關知識后會有一個更清晰這種關系在我們學過相關知識后會有一個更清晰的認識。的認識。 （四）考研的需要（四）考研的需要數學一：高等數學、線性代數和概率與統計數學一：高等數學、線性代數和概率與統計 數學二：高等數學和線性代數數學二：高等數學和線性代數 上上頁頁下頁下頁上上頁頁下頁下頁三、怎么做才能學好線性代數：三、怎么做才能學好線性代數：1 1、線性代數是大學幾門數學課里相對來說、線性代數是大學幾門數學課里相對來說最容易最容易的，這門課對數學的的，這門課對數學的基礎要求很低基礎要求很低，只要，只要認真學認真學，每個人都可以學好，它與中學里的數學基礎并無每個人都可以學好，它與中學里的數學基礎并無

11、多大關系。因此，現在每位同學是在相同的起跑多大關系。因此，現在每位同學是在相同的起跑線上的，要對自己有信心。線上的，要對自己有信心。 2 2、抽象性抽象性是線性代數的最大特點。所謂的抽象，是線性代數的最大特點。所謂的抽象，主要指的是我們研究的全是主要指的是我們研究的全是代數代數，不是具體的數。，不是具體的數。因此，面對抽象性，我們要能做到使抽象具體化。因此，面對抽象性，我們要能做到使抽象具體化。當把代數用具體的數來代替時，自然就不抽象了。當把代數用具體的數來代替時，自然就不抽象了。上上頁頁下頁下頁上上頁頁下頁下頁3 3、 概念多、定理多、符號多、運算規律多、內容概念多、定理多、符號多、運算規律

12、多、內容相互縱橫交錯，知識前后緊密聯系是線性代數課程相互縱橫交錯，知識前后緊密聯系是線性代數課程的主要特點，應充分理解概念，掌握定理的條件、的主要特點，應充分理解概念，掌握定理的條件、結論、應用，熟悉符號意義，掌握各種運算規律、結論、應用，熟悉符號意義，掌握各種運算規律、計算方法，并及時進行總結，抓聯系，使所學知識計算方法，并及時進行總結，抓聯系，使所學知識能融會貫通，舉一反三。能融會貫通，舉一反三。 具體在學習過程中，希望大家做到以下幾點：具體在學習過程中，希望大家做到以下幾點： (1)(1)課前預習，認真聽講，課后復習，親自練習課前預習，認真聽講，課后復習，親自練習(2)(2)注重對基本概念的理解與把握，正確熟練運注重對基本概念的理解與把握，正確熟練運用基本方法及基本運算用基本方法及基本運算上上頁頁下頁下頁上上頁頁下頁下頁(3)(3)知識要成網知識要成網 線性代數主要研究三種對象：