1、附錄附錄 1.1 微積分簡介微積分簡介 物體作勻速直線運動，路程速度物體作勻速直線運動，路程速度 時間，時間，即即sv t 。在在 v-t 圖中，圖中，路程路程 s 為陰影的為陰影的面積面積。例例 若物體作變速直線運動，速度若物體作變速直線運動，速度vv(t ) , 可可以把以把 t 分成許多均等小段分成許多均等小段 t ，只要，只要 t 充分小，每充分小，每段時間中的速率近似看成是不變的，把各小段時間中的速率近似看成是不變的，把各小段時間內走過的路程相加，即近似為總路程，段時間內走過的路程相加，即近似為總路程，曲折的梯形曲線下的曲折的梯形曲線下的面積即近似為總路程。面積即近似為總路程。12(

2、 )( )( )nsv ttv ttv tt 0,tn 當當 時時 , 右右邊的極限值就是所求總路程：邊的極限值就是所求總路程：1( )niiv tt上式可用積分形式表達：上式可用積分形式表達：0( )dtsv tt定積分的上、下限、被積函數(shù)、積分變量定積分的上、下限、被積函數(shù)、積分變量即定積分形式。定積分的一般形式：即定積分形式。定積分的一般形式：( )dbaf xx 幾何意義幾何意義: 從從 0 到到 t 這段時間中這段時間中v (t ) 曲線下的曲線下的面積。面積。01lim( )nitinsv tt 二、基本定理二、基本定理如果被積函數(shù)如果被積函數(shù) f (x) 是某一個函數(shù)是某一個函數(shù)

3、 (x) 的導數(shù)的導數(shù)， f (x) (x)，則在，則在 xa 到到 xb 區(qū)間內區(qū)間內 f (x) 對對x 的定積分等于的定積分等于 (x) 在這區(qū)間內的增量。在這區(qū)間內的增量。 (x) 稱為稱為原函數(shù)原函數(shù) 積分是導數(shù)的積分是導數(shù)的逆運算逆運算( )d( )( )bafxxba230dxx求求解解例例找找 的原函數(shù)的原函數(shù)：因為因為 故故:2234440011d20444xxx3431,4xxx41()4xx三、不定積分三、不定積分不定積分是不定出上、下限的積分，可寫成不定積分是不定出上、下限的積分，可寫成( )d( )fxxxC式中式中C 為常量，可根據(jù)具體問題所給的條件為常量，可根據(jù)具

4、體問題所給的條件定出此常量定出此常量1,4kx已知曲線的切線斜率為已知曲線的切線斜率為5(2)2,2 若曲線經(jīng)過點若曲線經(jīng)過點 求此曲線方程求此曲線方程 。例例(1) 求曲線方程求曲線方程 ；21dd48xyyxx xC解解1( ),4yf xyx(1) 設曲線方程為設曲線方程為 已知已知故故不同的不同的C 對應不同的曲線。對應不同的曲線。5(2)2,2曲線經(jīng)過點曲線經(jīng)過點 把把 代入代入曲線方程，曲線方程， 則曲線方程為則曲線方程為:52,2xy228xy 252228CC四、基本積分公式四、基本積分公式附錄附錄 1.2 矢量矢量一、矢量定義一、矢量定義 物理量可以按其是否具有空間方向性來分

5、類。物理量可以按其是否具有空間方向性來分類。 矢量的大小矢量的大小 矢量的模矢量的模 模等于模等于 1 1 的矢量的矢量 單位矢量單位矢量 需要以大小和方向表示的物理量需要以大小和方向表示的物理量 矢量，矢量， 如：速度、加速度、力。如：速度、加速度、力。 只有大小而無方向的量只有大小而無方向的量 標量，如：標量，如： 溫度、質量、體積。溫度、質量、體積。用圖表示矢量用圖表示矢量 用有向線段表示：用有向線段表示：長度表示其大小，箭頭表示其方向。長度表示其大小，箭頭表示其方向。矢量平移時大小和方向不變。矢量平移時大小和方向不變。二、矢量的合成二、矢量的合成1. 三角形法則：三角形法則：222co

6、sCABAB余弦定理余弦定理 sinarctancosBAB幾何關系幾何關系 若兩個以上的矢量相加若兩個以上的矢量相加 所有的矢量首尾相連所有的矢量首尾相連2. 解析法解析法將矢量沿直角坐標軸分解，各分矢量叫分量將矢量沿直角坐標軸分解，各分矢量叫分量 只需用帶正號或負號的代數(shù)值表示只需用帶正號或負號的代數(shù)值表示 (,)xxyyzzABABABABCAB三、矢量的標積三、矢量的標積( (點乘點乘) )兩矢量相乘得到一個標量兩矢量相乘得到一個標量 標積。其定義為標積。其定義為：cosA BAB 投影投影根據(jù)標積定義根據(jù)標積定義 推論推論：A BB A2A AA 0A B 1i ij jk k 0i

7、 jj kk i (3) 若若 兩矢量垂直兩矢量垂直 ,AB(4) 直角坐標系的直角坐標系的單位矢量單位矢量 具有具有正交性正交性, ,ij k xxyyzzA BA BA BA B 四、矢量的矢積四、矢量的矢積( (叉乘叉乘) )兩矢量相乘得到一個矢量兩矢量相乘得到一個矢量 矢積。寫成：矢積。寫成：(1)()ABBA (2),0;ABAB若若 則則根據(jù)矢積定義根據(jù)矢積定義 推論推論：CA B 規(guī)定規(guī)定：,|ABA BAB若若 則則五、矢量的導數(shù)五、矢量的導數(shù)設矢量設矢量 為時間為時間t 的函數(shù)，規(guī)定其對時間的導數(shù)為的函數(shù)，規(guī)定其對時間的導數(shù)為：0d()( )limdtAA ttA ttt d

8、dddddddyxzAAAAijktttt,ij k 在直角坐標中，在直角坐標中， 為常矢量為常矢量 A一般情況下有以下性質：一般情況下有以下性質：六、矢量的積分六、矢量的積分一般采用直角坐標分量式計算。一般采用直角坐標分量式計算。d( dd + d )xyzLLAlA xAy A z 矢量的矢量的線積分線積分：矢量的矢量的面積分面積分, ,就是計算矢量通過曲面的就是計算矢量通過曲面的通量通量N : :在正法線方向的分量在正法線方向的分量ddnSSNASA S 一、函數(shù)一、函數(shù)有兩個互相聯(lián)系的有兩個互相聯(lián)系的變量變量 x 和和y ，每當，每當x 取了某一取了某一數(shù)值后，按照一定的規(guī)律就可以確定

9、數(shù)值后，按照一定的規(guī)律就可以確定 y 的值，就的值，就稱稱 y 是是 x 的的函數(shù)函數(shù)，記作，記作 yf（x）或）或 yy（x），x 為為自變量自變量， y 叫叫因變量因變量。 自由落體運動自由落體運動: 物體從離地面為物體從離地面為 h0 高度處開始下高度處開始下 落，則物體與地面的距離依賴于落，則物體與地面的距離依賴于時間時間 t 的規(guī)律是：的規(guī)律是：2012hhgt( )hh t這里這里t 為自變量，為自變量，h 為因變量，也可記為：為因變量，也可記為：二、極限二、極限當自變量當自變量 x 無限趨于某一數(shù)值無限趨于某一數(shù)值 x0 ( 記作記作x x0 ) 時，時，函數(shù)函數(shù) f (x) 的

10、數(shù)值無限趨于某一確定的數(shù)值的數(shù)值無限趨于某一確定的數(shù)值a ，則則 a 叫做叫做 x x0 時函數(shù)時函數(shù) f (x) 的極限值，記作：的極限值，記作：0lim ( )xxf xa 在三角函數(shù)中，在三角函數(shù)中， 當當 x 無限向正向增大時，無限向正向增大時， arctan x 無限接近無限接近 ，用極限表示：，用極限表示：limarctan2xx類似有：類似有：lim arctan2xx2三、導數(shù)三、導數(shù)當自變量當自變量 x 由一個數(shù)值由一個數(shù)值 x0 變到另一個數(shù)值變到另一個數(shù)值 x1 時，后者減去前者叫作該自變量的時，后者減去前者叫作該自變量的增量增量，記作，記作函數(shù)函數(shù) xx1x0 .增量可

11、正可負，增量可正可負， y 與自變量的增量與自變量的增量 x 密切密切相關，兩者之比：相關，兩者之比：101000( )( )()( )yyyf xf xf xxf x 稱稱增量比增量比。00()( )yf xxf xxx 與此對應，因變量與此對應，因變量 y 的數(shù)值的數(shù)值由由 y0 f ( x0 ) 變到變到 y1 f ( x1 ) ，增量增量為：為：存在，則該極限就稱為函數(shù)存在，則該極限就稱為函數(shù) f ( x ) 在在 x 點的點的導導數(shù)數(shù)，記為，記為 ，f ( x ) 或或 y 。定義：如果定義：如果極限極限00()( )limlimxxyf xxf xxx ddyx四、導數(shù)的意義四、導

12、數(shù)的意義(1)(1)導數(shù)是函數(shù)在一點導數(shù)是函數(shù)在一點( (而不是一個區(qū)間里而不是一個區(qū)間里) )的變化率，的變化率， 物理中的瞬時速度和瞬時加速度即導數(shù)的例子。物理中的瞬時速度和瞬時加速度即導數(shù)的例子。(2) 幾何意義：幾何意義：函數(shù)的曲線上任意一點的切線的函數(shù)的曲線上任意一點的切線的 斜率斜率，就是函數(shù)在這一點的導數(shù)值。，就是函數(shù)在這一點的導數(shù)值。設函數(shù)設函數(shù) y f (x) ，在曲線上，在曲線上取一點取一點A， A是曲線上另一是曲線上另一點，割線點，割線AA 和和 x 軸的夾角軸的夾角記為記為 。當。當A點沿著曲線趨近點沿著曲線趨近于于A時，時，割線割線AA趨近于某一趨近于某一極限位置極限

13、位置 AT，顯然，直線，顯然，直線 AT 就是曲線在就是曲線在A點的點的切線切線，AT與與 x 軸所成的軸所成的夾角夾角 即為變即為變角角 的極限。的極限。導數(shù)的幾何意義導數(shù)的幾何意義00tanlimtanlim()AAxyfxx 曲線上橫坐標為曲線上橫坐標為x0 的一點的一點A處的切線斜率就處的切線斜率就 是是函數(shù)函數(shù) f ( x ) 在在 x0 處的導數(shù)值處的導數(shù)值 f ( x0 ) 。一、基本函數(shù)的導數(shù)運算舉例一、基本函數(shù)的導數(shù)運算舉例2d1.( ),dyyf xxx求求解解2200d()limlimdxxyyxxxxxx 0lim(2)2xxxx 4dd2.sin,ddxyyyxxx求

14、求 及及解解00sincosd22limlimd2xxxxxyyxxx sin()sin2sincos22xxyxxxx 4d2cosd42xyx0sin22xxx當當 時，時，0dlimcoscosd2xyxxxx 二、常用初等函數(shù)的導數(shù)公式二、常用初等函數(shù)的導數(shù)公式三、導數(shù)運算法則三、導數(shù)運算法則以下設以下設 u, ,v 為為x 的的函數(shù)函數(shù)，且導數(shù)，且導數(shù) u, ,v 存在存在()uvuv(1) (1) 和（差）的導數(shù)，由極限的和（差）的導數(shù)，由極限的加法法則加法法則：(2) (2) 積的導數(shù)：積的導數(shù)：()uvuv uv()CuCu(3) (3) 商的導數(shù)：商的導數(shù)：2,0uu vuv

15、vvv(4) (4) 復合函數(shù)的導數(shù)法則，設復合函數(shù)的導數(shù)法則，設 yf (v )，v (x) 均有導數(shù)，則均有導數(shù)，則ddd( )( )( )dddyyvy xfvv xxvx或或3123,yxyx求求解解例例1 111133224132232313yxxxxxxtan,yxy求求解解例例2222222sincossincossincoscoscossin1seccoscosxxxxxyxxxxxxx 21,yxy求求解解例例3112222212221111211221yxxxxxxx 22127xy求雙曲線求雙曲線 在任意點的切線斜率。在任意點的切線斜率。解解例例422027xyyddyx

16、切線斜率為切線斜率為 ，在方程中逐項對，在方程中逐項對 x 求導求導72xyy 于是于是 ，此即曲線在坐標為，此即曲線在坐標為( x , y ) 的點的切線斜率。的點的切線斜率。一、微分概念一、微分概念定義：若定義：若 f (x) 在在x 處有導數(shù)，則稱處有導數(shù)，則稱 f (x) dx 為為 f (x) 在在 x 處的微分，處的微分，記為記為dy f (x) dx 。P，C 是曲線上兩點，是曲線上兩點，二、微分的幾何意義二、微分的幾何意義d( )dtandBDyfxxx函數(shù)函數(shù)微分微分自變量自變量微分微分導數(shù)導數(shù) 微商微商 根據(jù)微分定義，可直接由導數(shù)公式求微分，相應根據(jù)微分定義，可直接由導數(shù)公式求微分，相應地，微分運算法則與導數(shù)運算法則相同，如：地，微分運算法則與導數(shù)運算法則相同，如：三、微分運算法則三、微分運算法則d()dduvuvd()dCuC u(2)(1)函數(shù)在函數(shù)在 x 處的微分處的微分 dy 就是曲線在就是曲線在 x 點的切線的點的切線的縱坐標的增量?？v坐標的增量。(5) 若若 ，則，則( ),( )yf xxt( )yftdd() ddxtxyytyxtyxd()dduvv uu v2ddduv u