1、2022年山西省高考數學總復習：立體幾何1 .如圖，在直四棱柱中，底面48co為等腰梯形，AB=CD,AA=AD=2BC,ZDAB=60,M,N分別為40,CDi的中點.(1)證明：MN平面48C)；(2)求直線MN與平面MC。所成角的正弦值.82 .如圖，在四棱錐S-/8CO中，底面/8CO為矩形，為等腰直角三角形，SA=SD=22，AB=2,F是BC的中點，二面角S-/Q-8的大小等于120.(1)在NQ匕是否存在點E,使得平面SEFL平面/8C。，若存在，求出點E的位置:若不存在，請說明理由；(2)求直線S/與平面58c所成角的正弦值.3 .如圖，三楂錐E-88中，AECD為正三角形,平

2、面ECO_L平面8C,BC=DC=BD=2,M,N分別是線段E。和8。的中點.(I)求點C到平面BDE的距離；(II)求直線EN與平面MC8所成角的正弦值.4 .如圖，在三棱柱48C-N181cl中，平面ZMCCi_L平面/8C,4BC和/MC都是正三角形，。是48的中點(1)求證：8。平面小DC：(2)求直線48與平面OCCi所成角的正切值.5 .如圖，在等腰直角三角形ZO尸中，已知4=*,/=3,B,C分別是z尸，OP上的點,是CD的中點，且8c/D現將尸8c沿8c折起，使得點P在平面/8C。上的射影為點Z.(1)若B,C分別是/尸、OP的中點，求證：平面處C_L平面PCO.(2)請判斷是

3、否存在一種折法，使得直線PB與平面ABCD所成角的余弦值是直線PB與平面R1E所成角的正弦值的等倍？若存在，求出48的長；若不存在，請說明理由.6 .在直三棱柱Z8C-481cl中，NBAC=90,AC=AB=AAi=2,設點M,N,尸分別是AB,BC,BiG的中點.(I)證明：/小平面PMN；(II)若。為/加上的動點，試判斷三棱錐的體積是否為定值？并說明理由.一17 .在多面體48CCM向中，四邊形48814為菱形，BC/BC,BC=與BiCi，AC=AA,ABLBC,ZBBA=60,平面J_平面Z8C.(1)在棱Z8上是否存在點O,使得Z8_L平面囪OC?若存在，請給予證明；若不存在,請

4、說明理由.(2)求二面角Ci-AC-B的正弦值.8 .在四棱錐尸-48CD中，側面R1D_L底面/8CD,PA=AD=DC=6,AC=62,48=3,CD平面/MB,ZB4Z)=60.(I)求證：平面尸8,平面PBC；(II)求二面角P-8C-D的余弦值.9 .如圖，己知四棱錐5-ABCD的底面是邊長為2的正方形，且平面SWL平面ABCD,M,N分別為棱8c的中點，SA=SD,SASD,P,。為側棱陽上的三等分點（點產靠近點S）.（1）求證：7W平面M0C；（2）求多面體MPQCN的體積.10 .如圖，四邊形陸18c中，ZBC是等腰直角三角形，ACYBC,4c是邊長為2的正三角形，以4c為折痕

5、，將朋1C向上折疊到/(7的位置，使點。在平面48c內的射影在48上，再將4c向下折疊到上1C的位置，使平面EZC_L平面ZBC,形成幾何體DABCE.(1)點尸在8c上，若DF/平面EAC,求點F的位置;(2)求宜線48與平面E8C所成角的余弦值.11 .如圖，直三棱柱8CF-/7E中，。為的中點，4B=BF,BFLCF,4B=BF=CF=2.(I)求證：(II)求平面NOC與平面NBC所成角的余弦值.12 .在如圖所示的幾何體中，四邊形力88是菱形，ZBAD=20,AELABCD,AE/CF.(1)求證：力尸平面NBE；(2)若AD=AE=2CF=2,求該幾何體的表面積.13 .如圖，在四

6、棱錐P-ABCD中，月1。是等邊三角形，平面平面ABCD,底面48CD是直角梯形，AD/BC,已知28c=4,ZBAD=60.(I)若E為為的中點，求證：BE平面產。；(II)求二面角B-PC-D的正弦值.14 .已知在平行四邊形488中，AD=2,AB=0,ZADC=如圖，DECF,且Ofo=3,CF=4,ZDCF=且平面/8C_L平面CEF.(I)求證：/CJ平面CDEF；(II)求二面角D-AE-C的余弦值.15 .如圖，已知四棱錐P-/BC。中，AD/BC,AB=CD,AD=2BC=2PC=2,PD=V3,ZADC=60.(1)求證：BP工CD；(2)若8尸=&,求直線PC與平面物。所

7、成角的正弦值.16 .如圖，在四棱錐尸-48C。中，以。是等邊三角形，平面以。_L平面力8CD,底血月58是直角梯形，.4Z)8C,已知ND=23C=4,ZBAD=60.(I)若E為R1的中點，求證：2E平面尸CD；(II)求四棱錐尸-ABCD的體積.17 .如圖，在直三棱柱月BC-NiBiCi中，AB=BC=AA,ABLBC,。為的中點，E為BC上一點，滿足CE=2E8.(1)求證：小。平面BiDE；(2)求二面角B-AC-C的余弦值.18 .已知在平行四邊形488中，AD=2,AB=0,ZADC=如圖，DECF,且Ofo=3,CF=4,ZDCF=且平面/8C_L平面CEF.(I)求證：/C

8、J平面CDEF；(Il)求四棱錐尸-Z8CO的體積.19 .如圖所示，在四棱錐E-Z8C。中，四邊形48CD是直角梯形，48=ZE=BC=1W=1,BC/AD,/EJ_平面48CO,ZBAD=90,N為DE的中點.(1)求證：NC平面48；(2)求二面角Z-CN-O的余弦值.20 .如圖，在多面體/8CDEF中，四邊形/8C。、四邊形NC7芯均為菱形，NB4D=NE4c=120.(1)求證：平面BZWtL平面ACFE-,E的余弦值.(2)若BE=DE,求二面角C-8F-NCBD=$點、21 .如圖所示，在三棱錐488中，AB=BC=BD=2,AD=2NCBAE,尸分別為力。，8。的中點.(I)

9、求證：平面4CDJ平面5CE；(II)求四面體CDEF的體積.C22 .如圖，在棱長為3的正方體中，過頂點功作平面a交441于E點，交5歷于產點，使得Z1E=LBF=L(I)求證：NC平面a；(II)求點D到平面a的距離.23 .己知/8C,AB=BC,ZC5J=60,沿著邊C8把彳8c進行翻折，使平面/8C與平面Q8C垂直，QBC可由/8C翻折得到.回答下列問題.(I)直線WC與平面所成角的余弦值；(II)二面角A-BD-C的余弦值.24 .如圖，四棱錐P-/8CO,底面四邊形/SCO為梯形，且滿足4。=1,48=8=3,BC=4且/DBC,尸。，底面/88.設平面以。與平面尸5c的交線為/

10、.(I)求/與平面PDC所成的角；(II)已知PD=1,求平面為8與平面尸。C所成的銳二面角的余弦值.25 .如圖，在三棱臺/8C-，BC中，已知平面/8夕A，平面48C,ACXBC,ZCBA=四邊形/8BA是等腰梯形，AB=2AB=2BB,E,尸分別為A6C的中點.(1)求證：EFAC,(2)求直線EF與平面/CCA所成角的正弦值.26 .如圖，43C為正三角形，半圓。以線段8c為直徑，。是船上的動點(不包括點8,C),平面/8CJ_平面8CD(1)是否存在點,使得BDL4C?若存在，求出點。的位置；若不存在，請說明理由.(2)若NC83=30,求二面角O-/。-C的余弦值.27 .如圖，4

11、BC是正三角形，D,E,尸分別是線段48,BC,4C的中點，現將/。產和CEF分別沿著。F,尸折起，使得Z,C兩點在尸點重合，得到四棱錐尸-8EFZ).(1)證明：平面PBF-L平面BEFD；(2)設正三角形力8c的邊長為4,求三棱錐尸-P8E的體積.28 .如圖，在四棱錐尸-N8C中，底面48CO為正方形，以。為等邊三角形，平面為。_L平面PCD.(I)證明：直線平面RJD；(H)若/8=2,。為線段總的中點，求三棱錐0-PCD的體積.29 .如圖，在四棱錐P-/BCD中，AD/BC,AD1AB,并且8c=2/。=船8=2,PM=y,點P在平面/BCD內的投影恰為BD的中點M.(I)證明：8

12、尸，平面尸CQ；(II)求點A到平面PCD的距離.30 .如圖，在四棱錐尸-N8CD中，已知以_L平面/8C3,且四邊形/8CD為直角梯形，ZTTABC=NBAD*,/D=2,AB=BC=.(1)當四棱錐P-NBCQ的體積為1時，求異面直線4c與PD所成角的大小；(2)求證：CD,平面以C.31 .如圖所示，在三棱錐/-88中，AB=BC=BD=2,AD=22CBA=4CBD=$,點E,尸分別為40,8)的中點.(I)求證：EF平面N8C；(II)求平面8CE與平面/CF所成銳二面角的余弦值.32 .如圖，在四棱錐P-48c。中，AD/BC,ADLAB,并且8c=2/。=8,點尸在平面ABCD

13、內的投影恰為BD的中點M.(I)證明：CDJ_平面尸80；(II)若求直線以與CO所成角的余弦值.33 .如圖，在三棱錐P-48C中，必_底面N8C,8c是邊長為2的正三角形，側棱P87T與底面所成的角為？4(1)求三棱錐P-ABC的體積匕(2)若。為尸8的中點，求異面直線RI與8所成角的大小.34 .如圖1,在三棱柱48C-4181cl中，已知AB=AC=,AAi=2,且4小_1平面ABC,過山，。，8三點作平面截此三棱柱，截得一個三棱錐和一個四棱錐（如圖2）.（1）求異面直線8。與441所成角的大?。ńY果用反三角函數表示）；（2）求四棱錐8-/CCi小的體積和表面積.35 .如圖，在矩形4

14、8C。中，將/C。沿對角線/C折起，使點。到達點E的位置，且4EBE.(1)求證：平面平面R8C；Qfrj(2)若8C=3,三棱錐5-月EC的體積為S，求點E到平面N8C的距離.36 .如圖，在直三棱柱月8C-481G中，/BC是正三角形，點。在棱8以上，且881=33田，點E為8。的中點.(1)證明：平面力DEL平面8CG81；(2)若BB=3&,8=2,求點C到平面4DE的距離.37 .如圖所示，在宜三棱柱ZBC-NiBCi中，底面是等腰直角三角形，ZJC5=90,CA=CB=CC=2.點。，。1分別是棱ZC,4G的中點.(1)求證：D,B,Bi，D四點共面：(2)求直線BC與平面DBBD

15、所成角的大小.C.38 .如圖，在四棱錐S-力8c。中，底面H8CO是等腰梯形，月8CD,CD=248=4,/1D=甚,SQ?是等腰直角三角形，SC=SD,&4=3.(I)證明：平面SCZ_L平面N8CZ)；(II)若平面SAD與平面SCB的交線為I,求二面角C-1-D的余弦值.39 .如圖，在矩形A8CO中，將48沿對角線月。折起，使點。到達點E的位置，且空工BE.(1)求證：平面/BE_L平面HBC；(2)若EB=小,三棱錐5-AEC的體積為手，求二面角E-4C-8的余弦值.40 .如圖，在三棱柱/8C-4181cl中，P,分別是441，CB上一點,且4尸=2R4i，CQ=2QB.(1)證

16、明：40平面CPBi；(2)若三棱柱N8C-小81cl為直三棱柱，且441=3,BC=BA=V15,JC=2V3,求點B到平面CPBi的距離.41 .如圖，在四棱錐P-中，底面是正方形，48=2,產。上平面48(7。，PB與底面N5C。所成的角為45，過4。的平面分別與P8,PC交于點E,F.(I)求證：EFVDC-,2V2IPEI(II)若二面角P-4D-E所成角的余弦值為不一，求7;的值.3EB42 .在四棱柱488-481。中，四邊形N8C)是平行四邊形，AAi=AC=,NABC=30,BC=2,平面1881/1_L平面N8CZ),M,N分別為小C,48的中點.(I)求證：W平面48。；

17、(II)若cosZACB=?，求二面角C-MN-D的余弦值.443 .如圖所示，三棱柱.4BC-N向。中，平面/CCM_L平面月8C,AALAC,AAi=AB=BC=2,D,功分別為/C,NiCi的中點，且/R4c=30.(I)求證：DDLBC-,(II)求二面角B-DA-Ci的余弦值.44 .如圖，四棱錐P-/18C。的底面為正方形，PC=PA=與PD=gD.E,尸分別是巴,尸。的中點.(1)證明：EKL平面尸C。；(II)求二面角A-CE-F的余弦值.45 .如圖，在四棱錐尸-48CD中，等邊三角形山。所在平面與梯形/8C。所在平面垂直,且CD/AB,AD=BD=2,DC=AB=調，點G為

18、國D的重心，AC與BD交于點M.(1)求證：GM平面PCD；(2)求點C到平面PBD的距離.46 .如圖，直三棱柱力/i。-/8c中，AB=AC=,Z.BAC=44=4,點M為線段的中點.（1）求直三棱柱小小。-/8c的體積；（2）求異面直線8M與81cl所成的角的大小.（結果用反三角表示）47 .如圖，已知直角梯形月BCD,BC/AD,BC=CD=2,4。=4,NBCD=90,點、E為,4。的中點，現將三角形月BE沿BE折疊，得到四棱錐4-BCDE,其中N，ED=120,點Mr為NZ)的中點.(1)求證：48平面EMC；(2)若點N為8C的中點，求四面體的體積.48 .如圖，在三棱錐P-48

19、C中，N5C為正三角形，點。，分別為4C,我的中點，其中PA=PB=4y/2,PC=AC=4.(1)證明：平面平面ABC；V6(2)若點尸是線段4c上異于點。的一點，直線/E與平面尸所成角的正弦值為:-,4求空的值.49 .如圖，在四棱錐尸-18CQ中，四邊形N8C。是梯形，AB/CD,AB1BC,且以=BC=CD=1,AB=2,PC=V3.(1)證明：8。，平面RID；(2)求直線HD與平面尸8c所成角的正弦值.50 .在四棱錐尸-/BCD中，PA=PC=2,底面是菱形，4B=2ZABC=60.(I)求證：ACPB；(II)求四棱錐P-ABCD的體積.2022年山西省高考數學總復習：立體幾何

20、參考答案與試題解析1.如圖，在直四棱柱中，底面N8CD為等腰梯形，AB=CD,AA=AD=2BC,ZDAB=60,M,N分別為由。，C。的中點.(1)證明：A/N平面/8C。；(2)求直線MN與平面A/C。所成角的正弦值.H【解答】解：(1)證明：連接4)i，AC,由題意知側面ADDA是正方形，為小。的中點，為的中點，為C5的中點，J.MN/AC,平面Z8CQ,/Cu平面48c。，；.MV平面48CD(2)過點8作。8，力。于點O,過點。作OE/小，交出。|于點E,則。E_L平面/8CC,OEA.AD,OEVOB,以。為原點，OB,OD,OE所在直線分別為x,y,z軸，建立空間直角坐標系，如圖

21、，設44i=NO=2BC=4,則4(0,-1,4),C(V3,2,0),D(0,3,0),D(0,3,4),V35則M(0,1,2),N(，一,2),22TW3TT：.MN=(，0),MC=(V3,1,-2),MD=(0,2,-2),22設平面MCD的法向量為m=(.a,b,c).則絲,弓=V5a+b-2c=0,取c=,得/=(,i,i)是平面“co的一個法向-MD-m=2b-2c=03量,設直線A7N與平面MCD所成角為0,則疝0=膽虱=絹.I二IInri/2 .如圖，在四棱錐S-/1BCQ中，底面48co為矩形，以。為等腰直角三角形，SA=SD=2或，AB=2,尸是8c的中點，二面角S-4

22、9-8的大小等于120.（1）在上是否存在點E,使得平面SE/，平面/國,若存在，求出點E的位置；若不存在，請說明理由：（2）求直線”與平面S8C所成角的正弦值.【解答】解：（1）在線段“。上存在點E滿足題意，且E為/。的中點.如圖，連接即，SE,SF,:四邊形/8C。是矩形，又E、尸分別是/、BC的中點，J.EF/AB,ADA.EF,SZO為等腰直角三角形，SA=SD,E為力。的中點,：.SEAD,：SECEF=E,SE、EPu平面SEF,二/。，平面5尸，平面力8C),/.平面SERL平面ABCD,故AD上存在中點E,使得平面SEFJ_平面ABCD.(2)由(1)知，SE1.AD,EFLA

23、D,尸為二面角S-Z。-8的平面角，即/SEF=120.以E為原點，EA.E戶所在的直線分別為尤、y軸，作&_!_平面49C。，建立如圖所示的空間直角坐標系，在等腰RtZO中，SA=SD=25/2,.,.AD=4,SE=2,：.S(0,-1,V3),A(2,0,0),B(2,2,0),C(-2,2,0),：.SA=(2,1,-V3),SB=(2,3,一代)，SC=(-2,3,-y/3),設平面SBC的法向量為1 = (x, y, z),貝福.& = 0,即 (2x + 3y 岳=0In - 5C = 01-2+ 3y - V3z = 0令y=l,則x=0,z=遮，：.n=(0,1,遍)，設宜線

24、SA與平面SBC所成角為0,TTr.TTSAn1-3J?則sin6=|cos=_|=|.l=|S*|n|V4+1+3X24故直線”與平面S8C所成角的正弦值為座.43 .如圖，三棱錐-88中，AECD為正三角形,平面ECOJ_平面BC。，BC=DC=BD=2,M,N分別是線段和8。的中點.(I)求點C到平面8OE的距離；(II)求直線EN與平面MC8所成角的正弦值.1tND【解答】解：(I).平面ECO_L平面SCO,且ECO為正三角形，CD=2,：.點E到平面BCD的距離為百，.8C=OC=8C=2,.88是等腰直角三角形，1ASa5CD=qBCDC=2.在3OE中，BE=BD=22,DE=

25、2,1廣LSBDE=2x2xv7=v7.設C到平面BDE的距離為d,*VeBCD=Vc-BDE，gx依X24dx。解得仁孥,故點C到平面BDE的距離為一弓(n)以C為原點，CD、CB所在的直線分別為x、y軸，作Czl_平面8c0,建立如圖所示的空間直角坐標系，,3V3則B(0,2,0),C(0,0,0),D(2,0,0),M(-,0,),E(1,0,V3),N(1,221, 0),-廠-3V5：.EN=(0,1,-V3),CM=(一，0,),CB=(0,2,0),22TT(3-J3勺=,即尹+N=0,n-CB=0(2y=0令x=l,則y=0,z=-V3,.,.n=(1,0,-V3),設直線EN

26、與平面M8C所成角為仇一ENn則sin0=|cos|=|EM|n|故直線EN與平面MBC所成角的正弦值為2.44.如圖，在三棱柱X8C-481cl中，平面4/CGJ平面N8C,ZX/BC和小/C都是正三角形，。是的中點(1)求證：8cl平面4DC：(2)求直線48與平面。CG所成角的正切值.【解答】(1)證明：連接4。，交4c于E,連接。E,.四邊形4ZCG是平行四邊形，是ZCi的中點，是48的中點，：.DE/BC,：Z)Eu平面NiOC,8cle平面/i)C,二8。平面4)C.(2)解：取4C的中點O,連接小。，BO,/BC和由/lC都是正三角形，：.AiOA.AC,BOLAC,平面小/CC

27、i_L平面ABC,平面ZMCCiC平面ABC=AC,二小O_L平面48C,：.AOLBO,以。為原點，08、0C、OA所在宜線分別為x、y、z軸建立如圖所示的空間宜角坐標系,設/C=2,則/(0,-1,0),B(V3,0,0),C(0,1,0),D(,0),Ci(0,2, V3),3 -2.， 艮 坦2 ，- o O=T D T 珀-g -c D n- fnfnO + = y y 5-2 3 -2 +*T3/.AB=(V3,1,0),CD=(一,一2設平面DCC的法向量為九=(x,y,令x=3,貝iJy=V5,z=-1,：.n=(3,V3,-1),設直線48與平面DCCi所成的角為仇則sin。

28、=|cos尸|=|-,1=AB-n2XV9+3+1243宿，.tan0=25/3,故直線AB與平面DCC所成角的正切值為2次.5.如圖，在等腰直角三角形NOP中，已知公小40=3,B,。分別是4尸，。尸上的點,E是CO的中點，且BC/AD.mPBC沿BC折起，使得點P在平面48CO上的射影為點4P(1)若B,C分別是ZP、。尸的中點，求證：平面刃C_L平面PCO.(2)請判斷是否存在一種折法，使得直線PB與平面ABCD所成角的余弦值是直線PB與平面B4E所成角的正弦值的等倍？若存在，求出48的長：若不存在，請說明理由.【解答】(1)證明：,點P在平面/8CO上的射影為點4平面48CZ),：a)

29、u平面48CO,：.PAVCD,V等腰RtZXZOP,且C為OP的中點，：.ACLCD,：PAQAC=A,PA./Cu平面HC,；.CJ_平面為C,又CQu平面尸C),二平面A4CJ_平面尸CD(2)解：.以，平面438,AD.NABP為直線PB與平面ABCD所成的角，設其大小為a,則cosa=器過點8作8A/_L4E,交AE于點、M,連接尸M,平面488,：.PALBM,5LAECPA=A,AE,以u平面RIE,.8AL平面刃E,.N8PM為直線P8與平面RIE所成的角，設其大小為。，則sin|3=翳,.直線尸8與平面N8CZ所成角的余弦值是直線尸8與平面RIE所成角的正弦值的督倍,.cos

30、a=|sinP，H|JAB=設AB=t(0/=PD=設乙48M=/ZME=O,在4OE中，由正弦定理知,DEADsinZ-DAE sinZ.AED.爭9 sin0得 sin0= cos6,：.BM=t(6T)J2t2一+363./3兀Q、，sm(丁-0)7T.,sirr0+cos“8=l,H.06(0,一),26TJ2t2-12t+36一S又BM=V26t(6t)5o=K，化簡整理得，2+l3=0,解得1=1或一微(舍負)，V2t2-12t+36V262故當45=1時，直線PB與平面ABCD所成角的余弦值是直線PB與平面PAE所成角的正弦值的半倍.56 .在直三棱柱A8C-/18C1中，NBA

31、C=90,ACAB=AA=2,設點M,N,P分別是AB,BC,51cl的中點.(I)證明：/小平面尸仞7；(n)若0為Z出上的動點，試判斷三棱錐的體積是否為定值？并說明理由.【解答】(I)證明：.點M,N,P分別是N8,BC,81cl的中點，./wacci，又；44iCCi，：.AA/PN,：1C平面PMN,PNu平面PMN,；.44i平面PMN；(11)解：如圖，連接4N,AP,根據等體積法可知，Vp-qmn=Vq-pmn，由(I)可知，441平面PMN,又。為44l上的動點、，：.-Q.PMN=y4.PMN=yp.4MN，Samn=Vp-QMN=Vq-PMN=VA-PMN=Vp-AMN=3

32、X21，若Q為AA上的動點，則三棱錐p-QMN的體積定值317 .在多面體力8CC1Z向中，四邊形488Ml為菱形，BC/BC,BCBC,AiCi=AA,ABLBiC,NBiB4=60,平面_L平面48c.(1)在棱上是否存在點O,使得平面8iOC?若存在，請給予證明；若不存在,請說明理由.(2)求二面角Ci-4C-5的正弦值.【解答】解：(1)在棱Z8上存在點。(O為棱48的中點)，使得48J_平面810c.理由如下：連接力81，.,四邊形為菱形，且NBiA4=60,.4918是等邊三角形，又。為的中點，：.BiOJ-AB,：ABLBC,BODBiC=Bi，8Qu平面8QC,BiCu平面8Q

33、C,.*.48_L平面BOC.(2)由(1)知，4C_L平面BiOC,J.ABLOC,又平面ABBA1.平面Z8C,平面ABBAiC平面ABC=AB,，OC_L平面OCLBO,以。為坐標原點，OB,OC,0由所在直線為x,y,z軸，建立空間直角坐標系，取81。的中點E,連接小E.CE,由題意知幾何體/8C-4181E是三棱柱，取力向中點。,連接QE,貝IJOQOEg&G，設/小=2,則。(0,0,0),/(-1,0,0),C(0,1,0),Bi(0,0,痘),A(-2,0,V3),：.OCr=OB1+8遇1+A1c1=OB1+2OA+2OC=(0,0,V3)+2(-1,0,0)+2(0,1,0

34、)=(-2,2,V3),ACi(-2,2,V3),AC=(1,1,0),AR=(-1,2,V3),設平面力CG的法向量根=(x,y,z),1TTm-4C=x+y=0,取l,得3(,_,但，m-4cl=-%+2y+V3z=0平面力8c的一個法向量=(0,0,1),設二面角Ci-4C-8的平面角為仇則 cos0=mn |時|71|=而sin0=，二面角C-4c-B的正弦值為.58.在四棱錐尸-48C中，側面以O1.底面488,PA=AD=DC6,AC=f2,AB=3,CO平面目8,ZPAD=60.(I)求證：平面PCCJ_平面P8C；(II)求二面角P-BC-D的余弦值.【解答】解：(I)證明：,

35、:AD=DC=6,AC=6y/2,.AD+DAC2,：.ADDC, .側面以。，底面ABCD,側面以。CI底面ABCD=AD,.CJ_平面R。，.PDu平面以。，J.CD1PD,取尸C和。C的中點分別為M和N,連接MN,BM,則尸D,：.CDMN,平面以8,。平面力88,平面818n平面188=48,J.CD/AB, :AB=ND=3,：.四邊形ABND為平行四邊形，C.BN/AD,J.CDLBN, :BNCMN=N,；.COJ-平面BMN,/BMu平面BMN,：.CDIBM, .CD_L平面HO,且Rlu平面HQ,：.ABPA,即為8為宜角三角形，PB=V62+32=375,:PB=BC,且

36、M是尸C的中點，J.PCA.BM,：PCCCD=C,二平面PCD, ；8A/u平面PBC,；.平面PCO_L平面PBC.(II)在處。中，：PA=AD=6,ZR4D=60Q,.R1Z)為等邊三角形，PD=6,取NO的中點O,連接PO,：.POLAD,KPO=y/62-32=373,.平面為。J_平面/8C,平面必0rl平面18co=4。，尸。！,平面ZBCZ),過點P作PH工BC,交BC于點、H,連接?！?，則N/WO即為三面角P-BC-D的平面角，,:PD=CD=6,CDLPD,.PDC為等腰直角三角形，,由(I)知P8=8C=3近，M為尸C的中點，：.BMVPC,在RtASMC中，BM=7B

37、C2-MC2=J(3V5)2-(3V2)2=3次,11在P8C中，Sbc=xBMxPC=專PH-BC,解得尸=智，f.|.1./DUCPO3乃10則sm/P4=而=遜=丁,Rt尸O中，NP/7O為銳角，；.cus/PHO=半，V6J二面角P-8C-O的余弦值為.49.如圖，已知四棱錐S-ABCD的底面是邊長為2的正方形，且平面S/Z)J_平面ABCD,M,N分別為棱4。，BC的中點，SA=SD,SASD,P,。為側棱SZ)上的三等分點(點P靠近點S).(1)求證：PN平面M0C；(2)求多面體MPQCN的體積.f)BNC【解答】證明：（1）如圖，連接ND交CM于點、R,連接。R,在正方形ABC

38、。中，N分別為/）,8C的中點，四邊形MVCC為矩形,得R為N的中點，又為尸。的中點，尸代0/?,：Q?u平面M0C,PNC平面MQC,平面M0C；解：（2）連接SM,:歷為/。的中點，SA=SD,SALSD,J.SM1AD,且SA/=%C=1,又平面SZO_L平面ABCD,平面SZOC平面ABCD=AD,121122*Vp-mnc=qSmncXgSM=3X2XX2X3X1=9-;平面S/O_L平面Z8CO,平面OC平面H8CD=4。，CD1AD,CO_L平面SAD.又在RtZXSMZ)中，SD=y2SM=V2,SP=PQ=QD,.1,S&PQM=3S&SMD91111111,C-PQM=3S

39、&pqmXCD=可X可S&smd乂。=可乂4乂乂1乂1乂2=3.多面體MPQCN的體積V=VP_MNC+Vc-pqm=9+9=3-BNC10 .如圖，四邊形M48c中，ABC是等腰直角三角形，ACBC,M4C是邊長為2的正三角形，以/C為折痕，將向上折疊到D4C的位置，使點Z)在平面48c內的射影在48上，再將/(:向下折疊到AE4c的位置，使平面E/C_L平面/8C,形成幾何體DABCE.(1)點尸在5C上，若D尸平面E4C,求點尸的位置；(2)求直線與平面E8C所成角的余弦值.【解答】解：(1)點尸為8c的中點，理由如下：設點O在平面48c內的射影為O,連接OO,OC,：AD=CD,：.O

40、A=OC,.在RtZ48C中，。為力8的中點，取/C的中點，連接77,由題意知E_L4C,又平面E4CJ_平面/BC,平面E4CCI平面/8C=4C,平面48C,由題意知。O_L平面48C,.,.DO/EH,二。平面EZC,取8c的中點R連接。凡則OF/C,又OFC平面E/C,4Cu平面EZC,/平面E/C,：DOnOF=O,二平面。OF平面E/C,。尸u平面DOF,：.。尸平面EAC.(2)連接0”,由(1)可知。尸，OH,0。兩兩垂直，以。為坐標原點，OF,OH,OD所在宜線分別為x,y,z軸，建立如圖所示空間直角坐標系，則8(1,-1,0),4(-1,1,0),E(0,1,-V3),C(

41、1,1,0),：.AB=(2,-2,0),BC=(0,2,0),BE=(-1,2,一百)，設平面E8C的法向量1=(a,b,c),（TBC-n=2b=0，取a=g,則=（遮，0,-1）,BE-n=-a+2b-V3c=0設直線與平面E8C所成的角為。，則 sinO=T AB-n273 _ 762ax2 =彳.直線AB與平面曲所成角的余弦值為cos0=J1-咯2=孚.11 .如圖，直三棱柱8c尸中，。為77的中點，AB=BF,BFLCF,AB=BF=CF=2.(I)求證：AFLBH；(II)求平面/OC與平面N8C所成角的余弦值.【解答】解：（I）證明：由三棱柱8C77-彳/*是直三棱柱，得CFJ

42、-EF,：BFLCF,BFCEF=F,：.CFLmABFE,：CF/HE,ABFE,：.HEAF,：AB=BF,ABLBF,.平行四邊形/18FE是正方形，：.AFVBE,又HECBE=E,平面HE8,；BHu平面HEB,：.AFLBH.(II)以E為坐標原點，EA,EF,EH為x,y,z軸，建立空間直角坐標系,在RtZXZV/C中，為EH的中點，11：.DE=EH=CF=1,則/(2,0,0),C(0,2,2),D(0,0,1),B(2,2,0),：.AC=(-2,2,0),AD=(-2,0,1),AB=(0,2,0),設平面力8c的法向量益=(x,y,z),TT則7呼=-2尤+2y=o,取

43、I得/=(,0,6m-AB=2y=0設平面NDC的法向量蔡=(a,h,c),AC=-2a+2b+2c=Ojc=2；得旌(1.L2)AD=-2a+c=0 cos =r=-7=f,|m|n|/2Xy/62由圖知平面4Z）C和平面48c所成角為鈍角,二平面ADC與平面所成角的余弦值為-苧.X12 .在如圖所示的幾何體中，四邊形8。是菱形，ZBAD=2Q,工后_1_平面/88,AE/CF.(1)求證：OF平面力8E；(2)若/D=4E=2CF=2,求該幾何體的表面積.【解答】解：(1)證明：因為ZECF,CFC平面4BE,所以C5平面/8E,因為四邊形為8CO是菱形，所以CDAB,由于C0C平面Z8E

44、,所以8平面N8E,又CFCCD=C,所以平面C。尸平面ABE,又QFu平面CDF,(2)由nECF,知4C,F,E四點共面，連接ZC,于是該幾何體是由兩個相同的四棱錐8-XCFE,。-4CFE構成的，由題意知，Sabe=x2x2=2,SAabc=x2x2xsin60=V3,Sabcf=：x2x1=1,在8EF中，EF=V5,BE=22,BF=V5,SaBF=x2/2xV3=V6,所以該幾何體的表面積為2X(SmbeSmbcSabcAS&bef)=6+2V3+2/6.13 .如圖，在四棱錐P-ABCD中，APAD是等邊三角形，平面以。_1_平面ABCD,底面488是直角梯形，AD/BC,已知4

45、O=28C=4,ZBAD=60Q.(I)若E為總的中點，求證：8E平面PCD；(II)求二面角B-PC-D的正弦值.A1【解答】解：(I)證明：如圖，取尸。的中點尸，連接ERCF,則即/,且=1由條件可知，BC/AD,.BC=AD,：.EF/BC,EF=BC,四邊形BCE尸為平行四邊形，：.BE/CF,又BEU平面PCD,Cku平面PCD,平面尸8：(II)如圖，取的中點O,連接OB,OP,則OB=OP=2V3,由條件可得OA,OB,OP三條直線兩兩垂直，故以點。為坐標原點，分別以0/,OB,所在的直線為X軸，y軸，Z軸建立空間直角坐標系，則8(0,2V3,0),P(0,0,2V3),C(一2

46、,20,0),。(一2,0,0),T：.PC=(-2,2百，-2V3),BC=(-2,0,0),CD=(0,2百，0),設平面P8C的一個法向量為/=(a,b,c),貝；=-21+280-2代0=,則BC=-2a=0可取薪=(0,1,1),同理可得平面PCD的一個法向量為蔡=(-V3,0,1),設二面角8-尸C-。的大小為。，貝iJcosVrA,n=-!r=-?J=|m|n|&x2.sme=Ji(乎)2=孚.14 .已知在平行四邊形Z8CD中，4)=2,AB=ZADC=如圖，DECF,且OE=3,CF=4,ZDCF=且平面/8C_L平面CEF.(I)求證：/CJ平面CDEF；(II)求二面角D

47、-AE-C的余弦值.B【解答】解：(I )證明：在平行四邊形488 中，CD = 4B = g, AD = 2,乙4DC = J, o由余弦定理可得 ACAD+CD2 - 2AD-CDcosZADC= 4 + 3 2x2xgx空=1,:.ac2+cd2=ad2,J.ACLCD,又；平面力8co J_平面CZ)E兄 平面48CZJC平面CEF=CQ, NCu平面Z8CQ,./CJ平面 CDEF：(II)如圖以點C為坐標原點，CD, CF,。所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系,則點C(0, 0, 0), 4(0, 0, 1), D(V3, 0, 0), E(V5, 3,0),TT設平

48、面NOE的一個法向量為m = (a, b, c), DE = (0, 3,0), DA = (-V3, 0, 1),X+c = 0則可取/=(1，回，TT設平面ZCE的一個法向量為n = (x, y, z), AC = (0, 0,-1), CE = (V3, 3, 0),則3b = ，則可“=(b，- 1，0),設平面ADE與平面ACE所成的二面角為0,則cos。=孚當=離=坐,|m|n|2x2415 .如圖，已知四棱錐P-48co中，AD/BC,AB=CD,AD=2BC=2PC=2,PD=V3,Z/4DC=60.(1)求證：BPLCDx(2)若BP=求直線PC與平面玄。所成角的正弦值.【解

49、答】(1)證明：取8尸的中點E,連接CE、DE、BD,:BC=PC,J.CEVBP,：AD=2BC=2,ZADC=60,：.CD=,5D=V3,又PD=用,：.DEBP,:CECDE=E,CE、OEu平面CDE,；.8P_L平面COE,：C)u平面CDE,:.BPLCD.(2)解：過C作CF1.AD于F,連接PF,：AD/BC,：.CFLBC,：BP=V2,BC=PC=,.bc2+pc2=sp2,BPBCLPC,又CFCPC=C,CF、PCc5?PCF,，BC_L平面PCF,二/。1,平面尸C尸，：/)u平面以。，二平面以。_1_平面PC/7,過點C作CG_LPF于點G,.平面為。C平面PC尸

50、=尸尸，.CGd平面以D,.NC尸產即為直線PC與平面所成的角,在RtZC。/中，NCDF=60,CD=1,：.CF=DF=L在RtZXP。尸中，PD=V3,DF=L；.尸尸=孚，在尸C尸中，由余弦定理知，cosZCPF=pc=1去=冬，2X1X孚J11：.sinZCPF=V1-cos2/.CPF=等，故直線PC與平面PAD所成的角的正弦值為叵.1116.如圖，在四棱錐P-ABCD中，AR4D是等邊三角形，平面處。_1_平面ABCD,底面/8C。是直角梯形，AD/BC,已知/O=28C=4,NB4D=60.(I)若E為Ri的中點，求證：8E平面PC；(II)求四棱錐P-ABCD的體積.【解答】

51、證明：(I)如圖，取PD的中點尸，連接M,CF,1則E尸4),且1=),由已知可得8CNO,且8c=%,:.EFBCREF=BC,得四邊形8CE/為平行四邊形，則8EC凡又8EC平面尸CO,CFu平面PCD,.8E平面PC。；解：(II)如圖，取力。的中點O,連接尸。，OB,OC,平面以。_L平面Z8C。，丹。是等邊三角形，；.尸。_1_平面/18。),得P0=2/,0B=2V3,又.底面N8C)是宜角梯形，AD/BC,AD=2BC=4,-Sabcd=Ix(2+4)x2V3=6V3,1,V四棱鼾_abcd=qS梯形abcdXP=百X6V3x2值=12.17.如圖，在直三棱柱48C-4181cl中，AB=BC=AA,ABLBC,。為48的中點，E為BC上一點,滿足CE=2EB.(1)求證：4c平面81OE；(2)求二面角B-AC-C的余弦值.【解答】解：(1)連接4山交81。于點R連接EF,：AB/AB,:.AiFBisABFD,又。為48的中點，.BFBD1A1FA1B12,:CE=2EB,.BFBEAF-CE：.AC/