1、數學二歷年考研試題及答案詳解（20032017）2017年全國碩士研究生入學統一考試數學二試題解析一、選擇題：18小題，每小題4分，共32分，下列每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求的，請將所選項前的字母填在答題紙指定位置上.（1）若函數在處連續，則（ ）(A)(B)(C)(D)【答案】A【解析】在處連續選A.（2）設二階可導函數滿足且，則（ ）【答案】B【解析】為偶函數時滿足題設條件，此時，排除C,D.取滿足條件，則，選B.（3）設數列收斂，則（ ）當時， 當時，當時， 當時，【答案】D【解析】特值法：（A）取，有，A錯；取，排除B,C.所以選D.（4）微分方程的特解可設為（A） （

2、B）（C） （D）【答案】A【解析】特征方程為：故特解為：選C.（5）設具有一階偏導數，且對任意的，都有，則（A） （B） （C） （D）【答案】C【解析】是關于的單調遞增函數，是關于的單調遞減函數，所以有，故答案選D.（6）甲乙兩人賽跑，計時開始時，甲在乙前方10（單位：m）處，圖中實線表示甲的速度曲線（單位：），虛線表示乙的速度曲線，三塊陰影部分面積的數值依次為10,20,3，計時開始后乙追上甲的時刻記為（單位：s），則（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】B【解析】從0到這段時間內甲乙的位移分別為則乙要追上甲，則，當時滿足，故選C.（7）設為三階矩陣，為可逆矩陣，使得，則（ ）（A

3、） （B） （C） （D）【答案】 B【解析】,因此B正確。（8）設矩陣,則（ ）（A） （B）（C） （D）【答案】B【解析】由可知A的特征值為2,2,1,因為，A可相似對角化，即由可知B特征值為2,2,1.因為，B不可相似對角化，顯然C可相似對角化，但B不相似于C.二、填空題：9-14小題，每小題4分，共24分，請將答案寫在答題紙指定位置上.(9) 曲線的斜漸近線方程為_【答案】【解析】 (10) 設函數由參數方程確定，則_【答案】【解析】 (11) _【答案】1【解析】(12) 設函數具有一階連續偏導數，且，則【答案】【解析】故，因此，即，再由，可得【答案】【解析】（13）【答案】.【解

4、析】交換積分次序：.（14）設矩陣的一個特征向量為，則【答案】-1【解析】設，由題設知，故故.三、解答題：1523小題，共94分.請將解答寫在答題紙指定位置上.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.（15）（本題滿分10分）求極限【答案】【解析】，令，則有（16）（本題滿分10分）設函數具有2階連續偏導數，求，【答案】【解析】結論：（17）（本題滿分10分）求【答案】【解析】（18）（本題滿分10分）已知函數由方程確定，求的極值【答案】極大值為，極小值為【解析】兩邊求導得： （1）令得對（1）式兩邊關于x求導得 （2）將代入原題給的等式中，得，將代入（2）得將代入（2）得故為極大值點，；為極

5、小值點，（19）（本題滿分10分）設函數在區間上具有2階導數，且，證明：方程在區間內至少存在一個實根；方程在區間內至少存在兩個不同實根。【答案】【解析】（I）二階導數，解：1）由于，根據極限的保號性得有，即進而又由于二階可導，所以在上必連續那么在上連續，由根據零點定理得：至少存在一點，使，即得證（II）由（1）可知，令，則由羅爾定理，則，對在分別使用羅爾定理：且，使得，即在至少有兩個不同實根。得證。（20）（本題滿分11分）已知平面區域計算二重積分。【答案】【解析】（21）（本題滿分11分）設是區間內的可導函數，且，點是曲線L: 上任意一點，L在點P處的切線與y軸相交于點，法線與x軸相交于點，

6、若，求L上點的坐標滿足的方程。【答案】【解析】設的切線為，令得，法線,令得。由得，即。令，則，按照齊次微分方程的解法不難解出,（22）（本題滿分11分）設3階矩陣有3個不同的特征值，且。證明：若，求方程組的通解。【答案】（I）略；（II）通解為【解析】（I）證明：由可得，即線性相關，因此，即A的特征值必有0。又因為A有三個不同的特征值，則三個特征值中只有1個0，另外兩個非0.且由于A必可相似對角化，則可設其對角矩陣為（II）由（1），知，即的基礎解系只有1個解向量，由可得，則的基礎解系為，又，即，則的一個特解為，綜上，的通解為（23）（本題滿分11分）設二次型在正交變換下的標準型，求的值及一個

7、正交矩陣.【答案】【解析】，其中由于經正交變換后，得到的標準形為，故，將代入，滿足，因此符合題意，此時，則，由，可得A的屬于特征值-3的特征向量為；由，可得A的屬于特征值6的特征向量為由，可得A的屬于特征值0的特征向量為令，則，由于彼此正交，故只需單位化即可：，則，1752016年考研數學二真題一、選擇題 18小題每小題4分，共32分當時，若，均是比高階的無窮小，則的可能取值范圍是（ ）（A） （B） （C） （D）2下列曲線有漸近線的是（A） （B）（C） （D）【詳解】對于，可知且，所以有斜漸近線應該選（C）3設函數具有二階導數，則在上（ ）（A）當時， （B）當時，（C）當時， （D）當

8、時，4曲線 上對應于的點處的曲率半徑是（ ）（）（）(）（）5設函數，若，則（ ）（）（）（）（）6設在平面有界閉區域D上連續，在D的內部具有二階連續偏導數，且滿足及，則（ ）（A）的最大值點和最小值點必定都在區域D的邊界上； （B）的最大值點和最小值點必定都在區域D的內部；（C）的最大值點在區域D的內部，最小值點在區域D的邊界上；（D）的最小值點在區域D的內部，最大值點在區域D的邊界上7行列式等于（A） （B）（C） （D）8設 是三維向量，則對任意的常數，向量，線性無關是向量線性無關的（A）必要而非充分條件 （B）充分而非必要條件（C）充分必要條件 （D） 非充分非必要條件二、填空題（本題

9、共6小題，每小題4分，滿分24分. 把答案填在題中橫線上）9 10設為周期為4的可導奇函數，且，則 11設是由方程確定的函數，則 12曲線的極坐標方程為，則在點處的切線方程為 13一根長為1的細棒位于軸的區間上，若其線密度，則該細棒的質心坐標 14設二次型的負慣性指數是1，則的取值范圍是 三、解答題15（本題滿分10分）求極限16（本題滿分10分）已知函數滿足微分方程，且，求的極大值和極小值17（本題滿分10分）設平面區域計算18（本題滿分10分）設函數具有二階連續導數，滿足若，求的表達式19（本題滿分10分）設函數在區間上連續，且單調增加，證明：（1） ；（2） 20（本題滿分11分）設函數

10、，定義函數列，設是曲線，直線所圍圖形的面積求極限21（本題滿分11分）已知函數滿足，且，求曲線所成的圖形繞直線旋轉所成的旋轉體的體積22（本題滿分11分）設，E為三階單位矩陣（1） 求方程組的一個基礎解系；（2） 求滿足的所有矩陣23（本題滿分11分）證明階矩陣與相似2015年全國碩士研究生入學統一考試數學（二）試題一、選擇題:18小題,每小題4分,共32分.下列每題給出的四個選項中,只有一個選項符合題目要求的,請將所選項前的字母填在答題紙指定位置上.(1) 下列反常積分收斂的是 ( )(A) (B) (C) (D) (2) 函數 在內( )(A) 連續 (B) 有可去間斷點(C) 有跳躍間斷

11、點(D) 有無窮間斷點 (3) 設函數,若在處連續則:( )(A) (B) (C) (D) (4)設函數在內連續，其中二階導數的圖形如圖所示，則曲線的拐點的個數為( )(A) (B) (C) (D) (5) 設函數滿足 ，則與 依次是 ( )(A) (B) (C) (D) (6)設是第一象限由曲線，與直線，圍成的平面區域，函數在上連續，則 ( )(A) (B) (C) (D) (7) 設矩陣,.若集合，則線性方程組有無窮多解的充分必要條件為 ( )(A) (B) (C) (D) (8) 設二次型在正交變換下的標準形為，其中，若則在正交變換下的標準形為( )(A) (B) (C) (D) 二、填

12、空題：914小題,每小題4分,共24分.請將答案寫在答題紙指定位置上. (9) 則 (10)函數在處的階導數_ (11) 設連續，若，則 (12)設函數是微分方程的解，且在處取得極值3，則= . (13)若函數由方程確定，則= . (14) 若階矩陣的特征值為，其中為階單位陣，則行列式 .三、解答題：1523小題,共94分.請將解答寫在答題紙指定位置上.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.(15) (本題滿分10分）設函數，.若與在時是等價無窮小，求的值. (16) (本題滿分10分)設A>0，D是由曲線段及直線，所圍成的平面區域，分別表示D繞軸與繞軸旋轉成旋轉體的體積，若，求A的值

13、. (17) (本題滿分11分)已知函數滿足，求 的極值. (18) (本題滿分10分)計算二重積分，其中(19)(本題滿分 11 分)已知函數，求零點的個數？ (20) (本題滿分10分) 已知高溫物體置于低溫介質中，任一時刻該物體溫度對時間的變化率與該時刻物體和介質的溫差成正比，現將一初始溫度為的物體在的恒溫介質中冷卻，30min后該物體降至，若要將該物體的溫度繼續降至，還需冷卻多長時間？ (21) (本題滿分10分) 已知函數在區間上具有2階導數，設，曲線在點處的切線與軸的交點是，證明.(22) (本題滿分 11 分)設矩陣且.(1) 求的值；(2) 若矩陣滿足，為3階單位陣，求.(23

14、) (本題滿分11 分)設矩陣相似于矩陣.（1）求的值；（2）求可逆矩陣，使為對角陣. 2013年全國碩士研究生入學統一考試數學二試題一、選擇題 18小題每小題4分，共32分設，當時， （ ）（A）比高階的無窮小 （B）比低階的無窮小（C）與同階但不等價無窮小 （D）與等價無窮小2已知是由方程確定，則（ ）（A）2 （B）1 （C）-1 （D）-2設，則（ ）（）為的跳躍間斷點 （）為的可去間斷點（）在連續但不可導 （）在可導設函數，且反常積分收斂，則（ ）（A） （B） （C） （D）設函數，其中可微，則（ ）（A） （B）（C） （D）6設是圓域的第象限的部分，記，則（ ）（A） （B）

15、（C） （D）7設，均為階矩陣，若，且可逆，則（A）矩陣C的行向量組與矩陣A的行向量組等價（B）矩陣C的列向量組與矩陣A的列向量組等價（C）矩陣C的行向量組與矩陣B的行向量組等價（D）矩陣C的列向量組與矩陣B的列向量組等價8矩陣與矩陣相似的充分必要條件是（A） （B），為任意常數（C） （D），為任意常數二、填空題（本題共6小題，每小題4分，滿分24分. 把答案填在題中橫線上）9 10設函數，則的反函數在處的導數 11設封閉曲線L的極坐標方程為為參數，則L所圍成的平面圖形的面積為 12曲線上對應于處的法線方程為 13已知是某個二階常系數線性微分方程三個解，則滿足方程的解為 14設是三階非零矩陣

16、，為其行列式，為元素的代數余子式，且滿足，則= 三、解答題15（本題滿分10分）當時，與是等價無窮小，求常數16（本題滿分10分）設D是由曲線，直線及軸所轉成的平面圖形，分別是D繞軸和軸旋轉一周所形成的立體的體積，若，求的值17（本題滿分10分）設平面區域D是由曲線所圍成，求18（本題滿分10分）設奇函數在上具有二階導數，且，證明：（1）存在，使得；（2）存在，使得19（本題滿分10分）求曲線上的點到坐標原點的最長距離和最短距離20（本題滿分11）設函數求的最小值；設數列滿足，證明極限存在，并求此極限21（本題滿分11）設曲線L的方程為（1）求L的弧長（2）設D是由曲線L，直線及軸所圍成的平面

17、圖形，求D的形心的橫坐標22本題滿分11分）設，問當為何值時，存在矩陣C，使得，并求出所有矩陣C23（本題滿分11分）設二次型記（1）證明二次型對應的矩陣為 ；（2）若正交且為單位向量，證明在正交變換下的標準形為 2012年全國碩士研究生入學統一考試數學二試題一、選擇題:1-8小題,每小題4分,共32分.下列每題給出的四個選項中,只有一個選項符合題目要求的,請將所選項前的字母填在答題紙指定位置上.(1)曲線的漸近線條數 ( )(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3(2) 設函數，其中為正整數,則 ( )(A) (B) (C) (D) (3) 設，則數列有界是數列收斂的 ( )(A) 充

18、分必要條件 (B) 充分非必要條件 (C) 必要非充分條件 (D) 非充分也非必要(4) 設則有 ( )(A) (B) (C) (D) (5) 設函數為可微函數，且對任意的都有則使不等式成立的一個充分條件是 ( )(A) (B) (C) (D) (6) 設區域由曲線圍成，則 ( )(A) (B) 2 (C) -2 (D) - (7) 設, , , ,其中為任意常數，則下列向量組線性相關的為 ( )(A) (B) (C) (D) (8) 設為3階矩陣，為3階可逆矩陣，且.若，則 ( )(A) (B) (C) (D)二、填空題：9-14小題,每小題4分,共24分.請將答案寫在答題紙指定位置上.(9

19、) 設是由方程所確定的隱函數，則 .(10) .(11) 設其中函數可微，則 .(12) 微分方程滿足條件的解為 .(13) 曲線上曲率為的點的坐標是 .(14) 設為3階矩陣，為伴隨矩陣，若交換的第1行與第2行得矩陣，則 . 三、解答題：15-23小題,共94分.請將解答寫在答題紙指定位置上.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.(15)(本題滿分 10 分)已知函數，記，(I)求的值;(II)若時，與是同階無窮小，求常數的值.(16)(本題滿分 10 分)求函數的極值.(17)(本題滿分12分)過點作曲線的切線,切點為,又與軸交于點,區域由與直線圍成,求區域的面積及繞軸旋轉一周所得旋轉體

20、的體積.(18)(本題滿分 10 分)計算二重積分，其中區域為曲線與極軸圍成.(19)(本題滿分10分)已知函數滿足方程及,(I) 求的表達式;(II) 求曲線的拐點.(20)(本題滿分10分) 證明,.(21)(本題滿分10 分)(I)證明方程，在區間內有且僅有一個實根；(II)記(I)中的實根為，證明存在，并求此極限.(22)(本題滿分11 分)設，(I) 計算行列式；(II) 當實數為何值時，方程組有無窮多解，并求其通解.(23)(本題滿分11 分)已知，二次型的秩為2，(I) 求實數的值；(II) 求正交變換將化為標準形.2011年全國碩士研究生入學統一考試數學二試題一、 選擇題：18

21、小題，每小題4分，共32分。下列每題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的，請將所選項前的字母填在答題紙指定位置上。（1）已知當時，函數與是等價無窮小，則（ ）（A） （B）（C） （D）（2）設函數在處可導，且，則（ ）（A） （B） （C） （D）（3）函數的駐點個數為（ ）（A）0 （B）1 （C）2 （D）3（4）微分方程的特解形式為（ ）（A） （B）（C） （D）（5）設函數，均有二階連續導數，滿足，則函數在點處取得極小值的一個充分條件是（ ）（A）， （B），（C）， （D）， （6）設，則，的大小關系為（ ） （A） （B） （C） （D）（7）設為3階矩陣，將的第2列

22、加到第1列得矩陣，再交換的第2行與第3行得單位矩陣。記，則=（ ） （A） （B） （C） （D）（8）設是4階矩陣，為的伴隨矩陣。若是方程組的一個基礎解系，則的基礎解系可為（ ） （A） （B） （C） （D）二、填空題：914小題，每小題4分，共24分。請將答案寫在答題紙指定位置上。（9） 。（10）微分方程滿足條件的解為 。（11）曲線 的弧長 。（12）設函數 ，則 。（13）設平面區域由直線，圓及軸所圍成，則二重積分 。（14）二次型，則的正慣性指數為 。三、解答題：1523小題，共94分。請將解答寫在答題紙指定位置上，解答應字說明、證明過程或演算步驟。（15）（本題滿分10分） 已

23、知函數，設，試求的取值范圍。（16）（本題滿分11分） 設函數由參數方程 確定，求的極值和曲線的凹凸區間及拐點。（17）（本題滿分9分） 設函數，其中函數具有二階連續偏導數，函數可導且在處取得極值，求。（18）（本題滿分10分） 設函數具有二階導數，且曲線與直線相切于原點，記為曲線在點處切線的傾角，若，求的表達式。（19）（本題滿分10分） （I）證明：對任意的正整數，都有成立。 （II）設，證明數列收斂。（20）（本題滿分11分） 一容器的內側是由圖中曲線繞軸旋轉一周而成的曲面，該曲線由與連接而成。 （I）求容器的容積； （II）若將容器內盛滿的水從容器頂部全部抽出，至少需要做多少功？（長度

24、單位：，重力加速度為，水的密度為）（21）（本題滿分11分） 已知函數具有二階連續偏導數，且，其中，計算二重積分。（22）（本題滿分11分） 設向量組，不能由向量組，線性表示。 （I）求的值； （II）將用線性表示。（23）（本題滿分11分） 設為3階實對稱矩陣，的秩為2，且。 （I）求的所有的特征值與特征向量； （II）求矩陣。2010年全國碩士研究生入學統一考試數學二試題一選擇題(1)A0 B1 C2 D32.設是一階線性非齊次微分方程的兩個特解，若常數使是該方程的解，是該方程對應的齊次方程的解，則A B C D(1)A4e B3e C2e De4.設為正整數,則反常積分的收斂性A僅與取值

25、有關 B僅與取值有關C與取值都有關 D與取值都無關5.設函數由方程確定,其中為可微函數,且則=AB C D 6.(4)= A B CD7.設向量組，下列命題正確的是：A若向量組I線性無關，則 B若向量組I線性相關，則r>sC若向量組II線性無關，則 D若向量組II線性相關，則r>s(A) 設為4階對稱矩陣,且若的秩為3,則相似于A B CD 二填空題9.3階常系數線性齊次微分方程的通解y=_10. 曲線的漸近線方程為_11. 函數12.13. 已知一個長方形的長l以2cm/s的速率增加，寬w以3cm/s的速率增加，則當l=12cm,w=5cm時，它的對角線增加的速率為_14. 設A

26、，B為3階矩陣，且三解答題15.16.(1)比較與的大小,說明理由. (2)記求極限17. 設函數y=f(x)由參數方程18. 一個高為l的柱體形貯油罐，底面是長軸為2a,短軸為2b的橢圓。現將貯油罐平放，當油罐中油面高度為時，計算油的質量。（長度單位為m，質量單位為kg，油的密度為）19.20.21. 設函數f(x)在閉區間0,1上連續，在開區間(0,1)內可導，且f(0)=0,f(1)=,證明：存在22.23.設，正交矩陣Q使得為對角矩陣，若Q的第一列為，求a、Q.2009年全國碩士研究生入學統一考試數學二試題一、選擇題：18小題，每小題4分，共32分，下列每小題給出的四個選項中，只有一項

27、符合題目要求，把所選項前的字母填在題后的括號內.（1）函數的可去間斷點的個數，則（ ）1.2. 3.無窮多個.（2）當時，與是等價無窮小，則（ ）. .（3）設函數的全微分為，則點（ ）不是的連續點.不是的極值點. 是的極大值點. 是的極小值點.（4）設函數連續，則（ ）. . .（5）若不變號，且曲線在點上的曲率圓為，則在區間內（ ）有極值點，無零點.無極值點，有零點. 有極值點，有零點.無極值點，無零點.（6）設函數在區間上的圖形為：1-2023-1O則函數的圖形為（ ）.0231-2-11. 0231-2-11.0231-11.0231-2-11（7）設、均為2階矩陣，分別為、的伴隨矩陣

28、。若，則分塊矩陣的伴隨矩陣為（ ）. .（8）設均為3階矩陣，為的轉置矩陣，且，若，則為（ ）. .二、填空題：9-14小題，每小題4分，共24分，請將答案寫在答題紙指定位置上.（9）曲線在處的切線方程為 （10）已知,則 （11） （12）設是由方程確定的隱函數，則 （13）函數在區間上的最小值為 (14)設為3維列向量，為的轉置，若矩陣相似于，則 三、解答題：1523小題，共94分.請將解答寫在答題紙指定的位置上.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.（15）（本題滿分9分）求極限（16）（本題滿分10 分）計算不定積分 （17）（本題滿分10分）設，其中具有2階連續偏導數，求與（18）

29、（本題滿分10分）設非負函數滿足微分方程，當曲線過原點時，其與直線及圍成平面區域的面積為2，求繞軸旋轉所得旋轉體體積。（19）（本題滿分10分）求二重積分，其中（20）（本題滿分12分）設是區間內過的光滑曲線，當時，曲線上任一點處的法線都過原點，當時，函數滿足。求的表達式（21）（本題滿分11分）（）證明拉格朗日中值定理：若函數在上連續，在可導，則存在，使得（）證明：若函數在處連續，在內可導，且，則存在，且。（22）（本題滿分11分）設，（）求滿足的所有向量（）對（）中的任一向量，證明：線性無關。（23）（本題滿分11分）設二次型（）求二次型的矩陣的所有特征值；（）若二次型的規范形為，求的值。

30、2008年全國碩士研究生入學統一考試數學二試題一、選擇題：18小題，每小題4分，共32分，下列每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求，把所選項前的字母填在題后的括號內.（1）設，則的零點個數為（ ）0 1. 2 3（2）曲線方程為函數在區間上有連續導數，則定積分（ ）曲邊梯形ABOD面積.梯形ABOD面積.曲邊三角形面積.三角形面積.（3）在下列微分方程中，以（為任意常數）為通解的是（ ） （5）設函數在內單調有界，為數列，下列命題正確的是（ ）若收斂，則收斂. 若單調，則收斂.若收斂，則收斂.若單調，則收斂.（6）設函數連續，若，其中區域為圖中陰影部分，則 （7）設為階非零矩陣，為階單

31、位矩陣. 若，則（ ）不可逆，不可逆. 不可逆，可逆.可逆，可逆. 可逆，不可逆. （8）設，則在實數域上與合同的矩陣為（ ）. . 二、填空題：9-14小題，每小題4分，共24分，請將答案寫在答題紙指定位置上.（9） 已知函數連續，且，則.（10）微分方程的通解是.（11）曲線在點處的切線方程為.（12）曲線的拐點坐標為_.（13）設，則.（14）設3階矩陣的特征值為.若行列式，則.三、解答題：1523題，共94分.請將解答寫在答題紙指定位置上.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.(15)（本題滿分9分）求極限.(16)（本題滿分10分）設函數由參數方程確定，其中是初值問題的解.求.(1

32、7)（本題滿分9分）求積分 .(18)（本題滿分11分）求二重積分其中(19)（本題滿分11分）設是區間上具有連續導數的單調增加函數，且.對任意的，直線，曲線以及軸所圍成的曲邊梯形繞軸旋轉一周生成一旋轉體.若該旋轉體的側面積在數值上等于其體積的2倍，求函數的表達式.(20)（本題滿分11分）(1) 證明積分中值定理：若函數在閉區間上連續，則至少存在一點，使得 (2)若函數具有二階導數，且滿足，證明至少存在一點（21）（本題滿分11分）求函數在約束條件和下的最大值與最小值.（22）（本題滿分12分） 設矩陣，現矩陣滿足方程，其中，（1）求證；（2）為何值，方程組有唯一解，并求；（3）為何值，方程

33、組有無窮多解，并求通解.（23）（本題滿分10分）設為3階矩陣，為的分別屬于特征值特征向量，向量滿足，（1）證明線性無關；（2）令，求.2007年全國碩士研究生入學統一考試數學二試題一、選擇題：110小題，每小題4分，共40分. 在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求，把所選項前的字母填在題后的括號內.（1）當時，與等價的無窮小量是 （A） （B） （C） （D） （2）函數在上的第一類間斷點是 （A）0 （B）1 （C） （D）（3）如圖，連續函數在區間上的圖形分別是直徑為1的上、下半圓周，在區間的圖形分別是直徑為2的下、上半圓周，設，則下列結論正確的是： （A） (B) （C） （

34、D） （4）設函數在處連續，下列命題錯誤的是： （A）若存在，則 （B）若存在，則 . （C）若存在，則 （D）若存在，則. （5）曲線的漸近線的條數為（A）0. （B）1. （C）2. （D）3. （6）設函數在上具有二階導數，且，令，則下列結論正確的是： (A) 若 ，則必收斂. (B) 若 ，則必發散 (C) 若 ，則必收斂. (D) 若 ，則必發散. （7）二元函數在點處可微的一個充要條件是 （A）.（B）.（C）.（D）.（8）設函數連續，則二次積分等于（A） （B）（C） （D）（9）設向量組線性無關，則下列向量組線性相關的是線性相關，則(A) (B) (C) .(D) . （10

35、）設矩陣，則與 (A) 合同且相似 （B）合同，但不相似. (C) 不合同，但相似. (D) 既不合同也不相似 二、填空題：1116小題，每小題4分，共24分. 把答案填在題中橫線上.（11） _.（12）曲線上對應于的點處的法線斜率為_.（13）設函數，則_.（14） 二階常系數非齊次微分方程的通解為_.（15） 設是二元可微函數，則 _.（16）設矩陣，則的秩為 . 三、解答題：1724小題，共86分. 解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.（17） (本題滿分10分)設是區間上單調、可導的函數，且滿足，其中是的反函數，求.（18）（本題滿分11分） 設是位于曲線下方、軸上方的無界區域.

36、 （）求區域繞軸旋轉一周所成旋轉體的體積；（）當為何值時，最小？并求此最小值.（19）（本題滿分10分）求微分方程滿足初始條件的特解.（20）（本題滿分11分）已知函數具有二階導數，且，函數由方程所確定，設，求.（21） (本題滿分11分)設函數在上連續，在內具有二階導數且存在相等的最大值，證明：存在，使得.（22） (本題滿分11分) 設二元函數，計算二重積分，其中.（23） (本題滿分11分) 設線性方程組與方程有公共解，求的值及所有公共解.（24） (本題滿分11分)設三階對稱矩陣的特征向量值，是的屬于的一個特征向量，記，其中為3階單位矩陣. （I）驗證是矩陣的特征向量，并求的全部特征值

37、與特征向量；（II）求矩陣. 2006年全國碩士研究生入學統一考試數學二試題一、 填空題：16小題，每小題4分，共24分. 把答案填在題中橫線上.（1）曲線 的水平漸近線方程為 （2）設函數在處連續，則 .（3）廣義積分 .（4）微分方程的通解是 （5）設函數由方程確定，則 （6）設矩陣，為2階單位矩陣，矩陣滿足，則 .二、選擇題：714小題，每小題4分，共32分. 每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求，把所選項前的字母填在題后的括號內.（7）設函數具有二階導數，且，為自變量在點處的增量，分別為在點處對應的增量與微分，若，則 (A) . (B) .(C) . (D) . （8）設是奇函

38、數，除外處處連續，是其第一類間斷點，則是（A）連續的奇函數.（B）連續的偶函數（C）在間斷的奇函數（D）在間斷的偶函數. （9）設函數可微，則等于（A）.（B）（C）（D） （10）函數滿足的一個微分方程是（A）（B）（C）（D） （11）設為連續函數，則等于（）. （B）.(C).(D) . （12）設均為可微函數，且，已知是在約束條件下的一個極值點，下列選項正確的是 (A) 若，則. (B) 若，則. (C) 若，則. (D) 若，則. （13）設均為維列向量，為矩陣，下列選項正確的是 (B) 若線性相關，則線性相關. (C) 若線性相關，則線性無關. (C) 若線性無關，則線性相關. (

39、D) 若線性無關，則線性無關. （14）設為3階矩陣，將的第2行加到第1行得，再將的第1列的倍加到第2列得，記，則（）.（）.（）.（）.三 、解答題：1523小題，共94分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.（15）（本題滿分10分） 試確定的值，使得，其中是當時比高階的無窮小.（16）（本題滿分10分）求 .（17）（本題滿分10分）設區域， 計算二重積分（18）（本題滿分12分）設數列滿足（）證明存在，并求該極限；（）計算.（19）（本題滿分10分） 證明：當時，. （20）（本題滿分12分）設函數在內具有二階導數，且滿足等式.（I）驗證；（II）若，求函數的表達式. （21）（本

40、題滿分12分）已知曲線L的方程（I）討論L的凹凸性；（II）過點引L的切線，求切點，并寫出切線的方程；（III）求此切線與L（對應于的部分）及x軸所圍成的平面圖形的面積.（22）（本題滿分9分）已知非齊次線性方程組有3個線性無關的解.（）證明方程組系數矩陣的秩；（）求的值及方程組的通解.（23）（本題滿分9分）設3階實對稱矩陣的各行元素之和均為3,向量是線性方程組的兩個解.()求的特征值與特征向量；()求正交矩陣和對角矩陣,使得.2005年全國碩士研究生入學統一考試數學二試題二、 填空題（本題共6小題，每小題4分，滿分24分. 把答案填在題中橫線上）（1）設，則 = .（2）曲線的斜漸近線方程

41、為 .（3） .（4）微分方程滿足的解為 .（5）當時，與是等價無窮小，則k= .（6）設均為3維列向量，記矩陣 ， 如果，那么 .二、選擇題（本題共8小題，每小題4分，滿分32分. 每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求，把所選項前的字母填在題后的括號內）（7）設函數，則f(x)在內(A) 處處可導. (B) 恰有一個不可導點.(C) 恰有兩個不可導點. (D) 至少有三個不可導點. （8）設F(x)是連續函數f(x)的一個原函數，表示“M的充分必要條件是N”，則必有(A) F(x)是偶函數f(x)是奇函數. （B） F(x)是奇函數f(x)是偶函數.(C) F(x)是周期函數f(x)

42、是周期函數. (D) F(x)是單調函數f(x)是單調函數. （9）設函數y=y(x)由參數方程確定，則曲線y=y(x)在x=3處的法線與x軸交點的橫坐標是 (A) . (B) . (C) . (D) . （10）設區域，f(x)為D上的正值連續函數，a,b為常數，則(A) . (B) . (C) . (D) . （11）設函數, 其中函數具有二階導數， 具有一階導數，則必有 (A) . （B） .(C) . (D) . （12）設函數則(A) x=0,x=1都是f(x)的第一類間斷點. （B） x=0,x=1都是f(x)的第二類間斷點.(C) x=0是f(x)的第一類間斷點，x=1是f(x)的第二類間斷點.(D) x=0是f(x)的第二類間斷點，x=1是f(x)的第一類間斷點. （13）設是矩陣A的兩個不同的特征值，對應的特征向量分別為，則，線性無關的充分必要條件是(A) . (B) . (C) . (D) . （14）設A為n（）階可逆矩陣，交換A的第1行與第2行得矩陣B, 分別為A,B的伴隨矩陣，則 (D) 交換的第1列與第2列得. (B) 交換的第1行與第2行得. (C) 交換的第1列與第2列得. (D)