1、第五講第五講 差分方程建模差分方程建模處理動態(tài)的離散型的問題處理動態(tài)的離散型的問題處理處理對象雖然涉及的變量對象雖然涉及的變量( (如時間如時間) )是連續(xù)的，是連續(xù)的，但是從建模的目的考慮，把連續(xù)變量離散化更但是從建模的目的考慮，把連續(xù)變量離散化更為合適，將連續(xù)變量作離散化處理，從而將連為合適，將連續(xù)變量作離散化處理，從而將連續(xù)模型續(xù)模型( (微分方程微分方程) )化為離散型化為離散型( (差分方程差分方程) )問題問題 5.1 銀行復利問題銀行復利問題5.2 抵押貸款買房問題抵押貸款買房問題 5.3 減肥計劃減肥計劃節(jié)食與運動節(jié)食與運動5.4 按年齡分組的種群增長按年齡分組的種群增長5.5

2、 差分基礎知識差分基礎知識5.1 5.1 銀行復利問題銀行復利問題 背背景景所付利息一年內(nèi)復合所付利息一年內(nèi)復合n n次，即把一年分次，即把一年分n n個相個相等的時間段，而所付利息為每一時間段的未等的時間段，而所付利息為每一時間段的未尾尾 .給出一個可以預測在任意給定時間的帳目余額給出一個可以預測在任意給定時間的帳目余額 分分析析帳目余額與時間直接相關，而時間是離散的帳目余額與時間直接相關，而時間是離散的本期結束時的總存款等于前一時期余下的本本期結束時的總存款等于前一時期余下的本利，及本利得到的利息與第本期內(nèi)新存入的存利，及本利得到的利息與第本期內(nèi)新存入的存款之和款之和 任何時候都可以存款任

3、何時候都可以存款模模型型假假設設1. 儲蓄的年利率為儲蓄的年利率為 r2. 任何時候都可以存款，但存款利息只任何時候都可以存款，但存款利息只從下一時期開始計算，如時間段開始第從下一時期開始計算，如時間段開始第一天的存款即開始計算利息一天的存款即開始計算利息 :)(tyt期結束時的總存款期結束時的總存款 記號:)(tx第第t t期內(nèi)的新存款期內(nèi)的新存款 模 型)() 1()1 ()(txtyrtyn rrnn 1)1其其中中（注：注：上式中上式中n n=2=2時，相應于半年的復利，而時，相應于半年的復利，而n=365n=365則是相應于逐日計算的復利則是相應于逐日計算的復利5.2 抵押貸款買房問

4、題抵押貸款買房問題 背背景景 每戶人家都希望有一套屬于自己的住房，但每戶人家都希望有一套屬于自己的住房，但又沒有足夠的資金一次買下。這就產(chǎn)生了貸款又沒有足夠的資金一次買下。這就產(chǎn)生了貸款買房問題。某新婚夫婦急需一套屬于自己的住買房問題。某新婚夫婦急需一套屬于自己的住房。他們看到一則理想的房產(chǎn)廣告：房。他們看到一則理想的房產(chǎn)廣告：“名流花名流花園之高尚住宅公寓，供工薪階層選擇。一次性園之高尚住宅公寓，供工薪階層選擇。一次性付款優(yōu)惠價付款優(yōu)惠價40.240.2萬元。若不能一次性付款也沒萬元。若不能一次性付款也沒關系，只付首期款為關系，只付首期款為1515萬元，其余每月萬元，其余每月1977.041

5、977.04元等額償還，元等額償還，1515年還清。年還清。( (公積金貸款月利息為公積金貸款月利息為3.6753.675）。）。問問題題公寓原來價多少？每月等額付款如何算出來？公寓原來價多少？每月等額付款如何算出來？假假設設貸款期限內(nèi)利率不變貸款期限內(nèi)利率不變 銀行利息按復利計算銀行利息按復利計算 記記號號A（元）：貸款額（本金）（元）：貸款額（本金） n（月）：貨款期限（月）：貨款期限r(nóng) ：月利率：月利率B(元元) :月均還款額月均還款額 C Ck k：第：第k個月還款后的欠款個月還款后的欠款模模型型BCrCkk1)1(AC00nC求求解解ArrrBnn1)1()1(代入代入n=180、

6、r=0.003675、 B=1977.04結果：結果： A=260000（元）（元） 一次性優(yōu)惠價一次性優(yōu)惠價9.89.8折折還款總額還款總額 ？ 利息負擔總額利息負擔總額 ？5.3 減肥計劃減肥計劃節(jié)食與運動節(jié)食與運動背背景景 多數(shù)減肥食品達不到減肥目標，或不能維持多數(shù)減肥食品達不到減肥目標，或不能維持 通過控制飲食和適當?shù)倪\動，在不傷害身體通過控制飲食和適當?shù)倪\動，在不傷害身體的前提下，達到減輕體重并維持下去的目標的前提下，達到減輕體重并維持下去的目標分分析析 體重變化由體內(nèi)能量守恒破壞引起體重變化由體內(nèi)能量守恒破壞引起 飲食（吸收熱量）引起體重增加飲食（吸收熱量）引起體重增加 代謝和運動

7、（消耗熱量）引起體重減少代謝和運動（消耗熱量）引起體重減少 體重指數(shù)體重指數(shù)BMI=w(kg)/l2(m2). 18.5BMI25 超重超重; BMI30 肥胖肥胖.模型假設模型假設1）體重增加正比于吸收的熱量）體重增加正比于吸收的熱量每每8000千卡增加體重千卡增加體重1千克；千克；2）代謝引起的體重減少正比于體重）代謝引起的體重減少正比于體重每周每公斤體重消耗每周每公斤體重消耗200千卡千卡 320千卡千卡(因人而異因人而異), 相當于相當于70千克的人每天消耗千克的人每天消耗2000千卡千卡 3200千卡；千卡；3）運動引起的體重減少正比于體重，且與運動）運動引起的體重減少正比于體重，且

8、與運動形式有關；形式有關； 4）為了安全與健康，每周體重減少不宜超過）為了安全與健康，每周體重減少不宜超過1.5千克，每周吸收熱量不要小于千克，每周吸收熱量不要小于10000千卡。千卡。基本模型基本模型w(k) 第第k天天(末末)體重體重c(k) 第第k天吸收熱量天吸收熱量)()() 1()() 1(ktwkwkckwkw千卡）千克 /(80001 代謝消耗系數(shù)代謝消耗系數(shù)(因人而異因人而異) : 因因運動運動,每小時每千克體重消耗的熱量每小時每千克體重消耗的熱量 (千卡千卡) (因運動項目而異因運動項目而異)t: 每天運動時間每天運動時間(小時小時)某甲體重某甲體重100千克，目前每周吸收千

9、克，目前每周吸收20000千卡熱量，千卡熱量，體重維持不變。現(xiàn)欲減肥至體重維持不變。現(xiàn)欲減肥至75千克。千克。第一階段：每周減肥第一階段：每周減肥1千克，每周吸收熱量逐漸減千克，每周吸收熱量逐漸減少，直至達到下限（少，直至達到下限（10000千卡）；千卡）；第二階段：每周吸收熱量保持下限，減肥達到目標第二階段：每周吸收熱量保持下限，減肥達到目標 2）若要加快進程，第二階段增加運動，試安排計劃。）若要加快進程，第二階段增加運動，試安排計劃。1）在不運動的情況下安排一個兩階段計劃。）在不運動的情況下安排一個兩階段計劃。減肥計劃減肥計劃3）給出達到目標后維持體重的方案。）給出達到目標后維持體重的方案

10、。)()1()()1(kwkckwkw千卡）千克 /(80001 確定某甲的代謝消耗系數(shù)確定某甲的代謝消耗系數(shù)即每周每千克體重消耗即每周每千克體重消耗 20000/100=200千卡千卡基本模型基本模型w(k) 第第k周周(末末)體重體重c(k) 第第k周吸收熱量周吸收熱量 代謝消耗系數(shù)代謝消耗系數(shù)(因人而異因人而異)1）不運動情況的兩階段減肥計劃）不運動情況的兩階段減肥計劃每周吸收每周吸收20000千卡千卡 w=100千克不變千克不變wcww025. 0100800020000wc 第一階段第一階段: w(k)每周減每周減1千克千克, c(k)減至下限減至下限10000千卡千卡1) 1()(

11、kwkwk20012000 )() 1()() 1(kwkckwkw第一階段第一階段10周周, 每周減每周減1千克，第千克，第10周末體重周末體重90千克千克10kkwkw)0()()1(1)0()1(kwkc80001025.09, 1 , 0,20012000) 1(kkkc吸收熱量為吸收熱量為1）不運動情況的兩階段減肥計劃）不運動情況的兩階段減肥計劃1)(1)1(kwkc10000mC)1 ()1 (1 )()1 ()(1nmnCkwnkw 第二階段：每周第二階段：每周c(k)保持保持Cm, w(k)減至減至75千克千克 代入得以10000,80001,025. 0mC5050)(975

12、. 0)(kwnkwnmmnCCkw)()1 (1）不運動情況的兩階段減肥計劃）不運動情況的兩階段減肥計劃)() 1()() 1(kwkckwkw基本模型基本模型mCkwkw)()1 () 1(nnkwkw求，要求已知75)(,90)(50)5090(975.075n 第二階段：每周第二階段：每周c(k)保持保持Cm, w(k)減至減至75千克千克 5050)(975.0)(kwnkwn第二階段第二階段19周周, 每周吸收熱量保持每周吸收熱量保持10000千卡千卡, 體重按體重按 減少至減少至75千克。千克。)19, 2 , 1(50975. 040)(nnwn19975. 0lg)40/25

13、lg(n)028. 0()025. 0(t24,003. 0tt即取運動運動 t=24 (每周每周跳舞跳舞8小時或自行車小時或自行車10小時小時), 14周即可。周即可。2）第二階段增加運動的減肥計劃）第二階段增加運動的減肥計劃根據(jù)資料每小時每千克體重消耗的熱量根據(jù)資料每小時每千克體重消耗的熱量 (千卡千卡): 跑步跑步 跳舞跳舞 乒乓乒乓 自行車自行車(中速中速) 游泳游泳(50米米/分分) 7.0 3.0 4.4 2.5 7.9t每周運動每周運動時間時間(小時小時)()() 1()() 1(kwtkckwkw基本基本模型模型6 .44)6 .4490(972. 075n14nmmnCCkw

14、nkw)()1()(3）達到目標體重）達到目標體重75千克后維持不變的方案千克后維持不變的方案)()() 1()() 1(kwtkckwkw每周吸收熱量每周吸收熱量c(k)保持某常數(shù)保持某常數(shù)C，使體重，使體重w不變不變wtCww)(wtC)()(1500075025. 08000千卡C 不運動不運動)(1680075028. 08000千卡C 運動運動(內(nèi)容同前內(nèi)容同前)5.4 按年齡分組的種群增長按年齡分組的種群增長 不同年齡組的繁殖率和死亡率不同不同年齡組的繁殖率和死亡率不同 建立差分方程模型，討論穩(wěn)定狀況下種群的增長規(guī)律建立差分方程模型，討論穩(wěn)定狀況下種群的增長規(guī)律假設與建模假設與建模

15、 種群按年齡大小等分為種群按年齡大小等分為n個年齡組，記個年齡組，記i=1,2, , n 時間離散為時段，長度與年齡組區(qū)間相等，記時間離散為時段，長度與年齡組區(qū)間相等，記k=1,2, 以雌性個體數(shù)量為對象以雌性個體數(shù)量為對象 第第i 年齡組年齡組1雌性個體在雌性個體在1時段內(nèi)的時段內(nèi)的繁殖率繁殖率為為bi 第第i 年齡組在年齡組在1時段內(nèi)的死亡率為時段內(nèi)的死亡率為di, 存活率存活率為為si=1- di1, 2 , 1),() 1(1nikxskxiii假設假設與與建模建模xi(k)時段時段k第第i 年齡組的種群數(shù)量年齡組的種群數(shù)量)() 1(kLxkx)0()(xLkxkTnkxkxkxkx

16、)(),(),()(21按年齡組的分布向量按年齡組的分布向量預測任意時段種群預測任意時段種群按年齡組的分布按年齡組的分布000000121121nnnsssbbbbLLeslie矩陣矩陣(L矩陣矩陣)() 1(11kxbkxinii(設至少設至少1個個bi0)穩(wěn)定狀態(tài)分析的數(shù)學知識穩(wěn)定狀態(tài)分析的數(shù)學知識nkk, 3 , 2,1 L矩陣存在矩陣存在正單特征根正單特征根 1， 若若L矩陣存在矩陣存在bi, bi+10, 則則 nkk, 3 ,2,1)0()(xLkxk11),(PdiagPLnP的第的第1列是列是x*)0()0, 0 , 1 ()(lim11xPPdiagkxkkTnnssssss

17、x11121212111*, 1特征向量特征向量*1)(limcxkxkk, c是由是由bi, si, x(0)決定的常數(shù)決定的常數(shù) 且且解解釋釋L對角化對角化11),(PdiagPLknkk*cx*)() 1xckxk)() 1()2kxkx穩(wěn)態(tài)分析穩(wěn)態(tài)分析k充分大充分大種群按年齡組的分布種群按年齡組的分布*1)(limcxkxkk 種群按年齡組的分布趨向穩(wěn)定，種群按年齡組的分布趨向穩(wěn)定，x*稱穩(wěn)定分布稱穩(wěn)定分布, 與初始分布無關。與初始分布無關。 各年齡組種群數(shù)量按同一各年齡組種群數(shù)量按同一倍數(shù)增減，倍數(shù)增減， 稱固有增長率稱固有增長率Tnssssssx121211*, 1)() 1(kx

18、kxii)() 1(kLxkx與基本模型與基本模型比較比較3） =1時時*)() 1(cxkxkx 各年齡組各年齡組種群種群數(shù)量不變數(shù)量不變 1個個體在整個存活個個體在整個存活期內(nèi)的繁殖數(shù)量為期內(nèi)的繁殖數(shù)量為11121121nnsssbsbb穩(wěn)態(tài)分析穩(wěn)態(tài)分析Tnssssx, 1 1211*,)()4*xckxk存活率存活率 si是同一時段的是同一時段的 xi+1與與 xi之比之比（與（與si 的定義的定義 比較）比較） )()1(1kxskxiii1,2, 1),()(1nikxskxiii3） =1時時*xLx Tnssssssx121211*, 1000000121121nnnsssbbb

19、bL處一階向前差分處一階向前差分 ixxf在在)(5.5 5.5 差分基礎知識差分基礎知識一一 差分差分 1.1.概念概念 nhxxn 0（h h為非零實數(shù)稱為步長為非零實數(shù)稱為步長 ）)(nnxff iiifff 1ikikikfff111 ixxf在在)(處處k k階向前差分階向前差分 1 iiifffixxf在在)(處一階向后差分處一階向后差分 111 ikikikfffixxf在在)(處處k k階向后差分階向后差分 2121 iiifff ixxf在在)(處一階中心差分處一階中心差分 211211 ikikikfff ixxf在在)(處處k k階中心差分階中心差分 2. 性質(zhì)性質(zhì))()

20、()()1(xvxuxf ikikikuf )(!1)(! 21)()()()() 2()(2xfhnxfhxfhxfhxfxfnn kjjmkjmkfjkf0)1()3(kmkmkff )4(2kmkmkff 二二 常微分方程化為差分方程常微分方程化為差分方程 用導數(shù)近似式替代導數(shù)或者說用適當近似式替代用導數(shù)近似式替代導數(shù)或者說用適當近似式替代含有導數(shù)的表達式，可以得到這些近似值滿足的含有導數(shù)的表達式，可以得到這些近似值滿足的代數(shù)方程代數(shù)方程-差分方程差分方程 以二階常微分方程邊值問題為例以二階常微分方程邊值問題為例 0)()()()()(21xqdbydaybxaxfyxqyihaxnab

21、hi 令令,)(,iixyy 目的求目的求iy差分差分法法21112)(hyyyxyiiii 0)()()()( iiiixfxyxqxy210211,)2(dydyfhyyqyniiiii一般k階常系數(shù)線性差分方程為nnkknknfyayaya 110差分方程差分方程二二 偏微分方程偏微分方程化為差分方程化為差分方程以二階橢圓方程的邊值問題為例以二階橢圓方程的邊值問題為例),(),(),(),(2222yxyxuGyxyxfyuxu用兩族平行坐標軸的直線用兩族平行坐標軸的直線 x xxihiy yyjjii 000 1 20 1 2,正方形網(wǎng)格把區(qū)域正方形網(wǎng)格把區(qū)域G G剖分剖分 ),(,)

22、,(),(jiijjiyxuuyxji 記記節(jié)節(jié)點點節(jié)點可分三類節(jié)點可分三類 1通過該節(jié)點的網(wǎng)格線上的相鄰四網(wǎng)點都在通過該節(jié)點的網(wǎng)格線上的相鄰四網(wǎng)點都在G G內(nèi)內(nèi), ,記記 G12在在G內(nèi)部但不屬于內(nèi)部但不屬于G1 ，記，記G23恰在邊界上記恰在邊界上記G3 確定各節(jié)點處解的近似值確定各節(jié)點處解的近似值uij，需要建立代，需要建立代數(shù)方程，每一節(jié)點建立一個代數(shù)方程數(shù)方程，每一節(jié)點建立一個代數(shù)方程任務任務1),(Gji (i，j-1) (i，j+1) (i-1，j) (i，j)(i+1，j) 21,1,222,1,1221,2,12),(2),(),(),(jiijjijijiijjijiijjiiiijjijiuuuyyxuhuuuxyxuuuxyxuhuuxyxu偏導數(shù)近偏導數(shù)近似式替代似式替代1212211