布豐的投針試驗_第1頁
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文檔簡介

1、布豐的投針試驗公元1777年的一天，法國科學家布豐（DBuffon1707-1788）的家里賓客滿堂，原來他們是應主人的邀請前來觀看一次奇特試驗的。試驗開始，但見年已古稀的布豐先生興致勃勃地拿出一張紙來，紙上預先畫好了一條條等距離的平行線。接著他又抓出一大把原先準備好的小針，這些小針的長度都是平行線間距離的一半。然后布豐先生宣布：“請諸位把這些小針一根一根往紙上扔吧！不過，請大家務必把扔下的針是否與紙上的平行線相交告訴我。”客人們不知布豐先生要干什么，只好客隨主意，一個個加入了試驗的行列。一把小針扔完了，把它撿起來又扔。而布豐先生本人則不停地在一旁數著、記著，如此這般地忙碌了將近一個鐘頭。最后

2、，布豐先生高聲宣布：“先生們，我這里記錄了諸位剛才的投針結果，共投針2212次，其中與平行線相交的有704次。總數2212與相交數704的比值為3.142。”說到這里，布豐先生故意停了停，并對大家報以神秘的一笑，接著有意提高聲調說：“先生們，這就是圓周率的近似值！”眾賓嘩然，一時議論紛紛，個個感到莫名其妙。“圓周率？這可是與圓半點也不沾邊的呀！”布豐先生似乎猜透了大家的心思，得意洋洋地解釋道：“諸位，這里用的是概率的原理，如果大家有耐心的話，再增加投針的次數，還能得到的更精確的近似值。不過，要想弄清其間的道理，只好請大家去看敝人的新作了。”說著布豐先生揚了揚自己手上的一本或然算術試驗的書。在這

3、種紛紜雜亂的場合出現，實在是出乎人們的意料，然而它卻是千真萬確的事實。由于投針試驗的問題，是布豐先生最先提出的，所以數學史上就稱它為布豐問題。布豐得出的一般結果是：如果紙上兩平行線間相距為d，小針長為，投針的次數為n，所投的針當中與平行線相交的次數是m，那么當n相當大時有：在上面故事中，針長等于平行線距離d的一半，所以代入上面公式簡化 我想，喜歡思考的讀者，一定想知道布豐先生投針試驗的原理，下面就是一個簡單而巧妙的證明。找一根鐵絲彎成一個圓圈，使其直徑恰好等于平行線間的距離d。可以想象，對于這樣的圓圈來說，不管怎么扔下，都將和平行線有兩個交點。因此，如果圓圈扔下的次數為n次，那么相交的交點總數必為2n。現在設想把圓圈拉直，變成一條長為d的鐵絲。顯然，這樣的鐵絲扔下時與平行線相交的情形要比圓圈復雜些，可能有4個交點、3個交點、2個交點、1個交點，甚至于都不相交。由于圓圈和直線的長度同為d，根據機會均等的原理，當它們投擲次數較多，且相等時，兩者與平行線組交點的總數可望是一樣的。這就是說，當長為d的鐵絲扔下n次時，與平行線相交的交點總數應大致為2n。現在再來討論鐵絲長為的情形。當投擲次數n增大的時候，這種鐵絲跟平行線相交的交點總數m應當與長度成正比，因而有：mk式中

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