1、 3.3.點點. .直線直線. .平面的投影平面的投影 3.3 平面的投影平面的投影 3.2 直線的投影直線的投影 3.1 點的投影點的投影 教學目標教學目標 3.3.點點. .直線直線. .平面的投影平面的投影3.3.掌握各種位置直線和平面的投影特征，作圖掌握各種位置直線和平面的投影特征，作圖方方 法以及在投影圖上正確判斷其空間位置。法以及在投影圖上正確判斷其空間位置。2.2.掌握點與線的相對位置中，從屬性和定比性的掌握點與線的相對位置中，從屬性和定比性的 運用。運用。 1. 掌握點、掌握點、直線直線和平面的投影規律與作圖法。和平面的投影規律與作圖法。 教學目標教學目標 4.4.掌握兩直線，

2、兩平面相對位置的投影特征及掌握兩直線，兩平面相對位置的投影特征及 判斷方法。判斷方法。 3.3.點點. .直線直線. .平面的投影平面的投影 3.1 點的投影點的投影點的三面投影點的三面投影 點的空間位置點的空間位置 兩點的相對位置兩點的相對位置 3.3.點點. .直線直線. .平面的投影平面的投影 3.2 直線的投影直線的投影各種位置直線及其投影特征各種位置直線及其投影特征 直線與點的相對位置直線與點的相對位置 兩直線的相對位置兩直線的相對位置 3.3.點點. .直線直線. .平面的投影平面的投影 3.3 平面的投影平面的投影平面的表示法平面的表示法 各種位置平面及其投影特征各種位置平面及其

3、投影特征 平面上的直線和點平面上的直線和點 面點、直線、平面是構成形體的基本幾何元素點、直線、平面是構成形體的基本幾何元素BCDA線31 點的投影點的投影點點的三面投影點的三面投影P 采用多面投影。采用多面投影。點的三面投影點的三面投影 過空間點過空間點A的投射線的投射線與投影面與投影面P的交點即為點的交點即為點A在在P面上的投影。面上的投影。a A 點在一個投影面上的投影點在一個投影面上的投影不能確定點的空間位置。不能確定點的空間位置。Pb BB2B1解決辦法解決辦法HWV投影面與投影軸投影面與投影軸OV面與面與H面的交線面的交線OX軸軸V面與面與W面的交線面的交線OZ軸軸H面與面與W面的交

4、線面的交線OY軸軸點的三面的投影點的三面的投影YXZ空間點空間點A A；a a 點點A的水平的水平(H)投影投影;a a 點點A的正面的正面(V)投影投影;a a 點點A的側面的側面(W)投影。投影。點的三面投影點的三面投影空間點的位置和直角坐標空間點的位置和直角坐標 空間點的位置，可由空間點的位置，可由直角坐標值來確定，直角坐標值來確定，一般采用下列的書寫一般采用下列的書寫形式：形式：A(x,y,z)A(x,y,z)。 點到各投影面的點到各投影面的距離，為相應的坐標距離，為相應的坐標數值數值X X，Y Y，Z Z 。 W投影面展開投影面展開XVAYOWZaa Ya ZaXaaVHYWHOXZ

5、YHaxaza ayayaa a aOX軸軸; a a OZ軸軸; a到到OX軸的距離軸的距離= a 到到OZ軸的距離軸的距離 AaAa=aa=aax x= = a a az z=a=ay y0=y0=yA AAA點到點到V面的距離面的距離 Aa =Aa =a ax x= = a a ay y=a=az z0=z0=zA AAA點到點到H面的距離面的距離 Aa a=aa=aay y= = a a az z=a=ax x0=x0=xA AAA點到點到W面的距離面的距離 點的三面投影規律點的三面投影規律:XVYOWZaa Ya ZaXaaHZAYAXAaOXYWYHaYHaYWaZZaX XAYA

6、ZAYAaa A例例1:已知已知A點的坐標值點的坐標值A(12，10，15)，求作，求作A點的點的 三面投影圖。三面投影圖。 作投影軸；作投影軸； 量取：量取：OaOax x=12=12、OaOaz z=15=15、OaOaYHYH=Oa=OaYWYW=10,=10,得得a ax x、a az z、OaOaYHYH、OaOaYWYW等點等點 ； 步驟步驟: :aaaOXYWHYZaZ15YWaYHa10aX12過過a ax x、a az z、a aYHYH、a aYWYW等點分別作等點分別作所在軸的垂線，交點所在軸的垂線，交點a a、a a、a a既為所求。既為所求。 a aax例例2：已知點

7、的兩個投影，求第三投影。：已知點的兩個投影，求第三投影。a a aaxazaz解法一解法一:解法二解法二:a 點的空間位置點的空間位置1. 在空間（在空間（X X，Y Y，Z Z） 點在投影體系中有點在投影體系中有四種位置情況：四種位置情況：點的空間位置點的空間位置 XVYOWZHXYWYHOaaaZ 由于由于X X，Y Y，Z Z均不為均不為零，對三個投影面都有零，對三個投影面都有一定距離，所以點的三一定距離，所以點的三個投影都不在軸上。個投影都不在軸上。a Zaaa YaXaA點的空間位置點的空間位置 由于點在投影面上，點對該投影面的距離為零。所以，點在該投影由于點在投影面上，點對該投影面

8、的距離為零。所以，點在該投影面上的投影與空間點重合，另兩投影在該投影面的兩根投影軸上。面上的投影與空間點重合，另兩投影在該投影面的兩根投影軸上。2. 在投影面上：在投影面上： 在在H H面上（面上（X X，Y Y，0 0）XVYOWZH 在在V V面上（面上（X X，0 0，Z Z） 在在W W面上（面上（0 0，Y Y，Z Z）bBCdbCdDbdCCbXbHYbOWYZdXdHYdOWYZYWOcYHcXc VWaabbOabZYAHBX點的相對位置點的相對位置兩點的相對位置兩點的相對位置兩點的相對位置指兩點在空間的兩點的相對位置指兩點在空間的上下、前后、左右位置關系。上下、前后、左右位置

9、關系。 x 坐標大的在左；坐標大的在左； y 坐標大的在前；坐標大的在前； z 坐標大的在上。坐標大的在上。判斷方法：判斷方法：ZW YHYaabbOXabB點在點在A點的點的左、下、前方。左、下、前方。OXa bW YHYaabb當空間兩點到兩個投影面的距離都分別對應相等時，該兩點當空間兩點到兩個投影面的距離都分別對應相等時，該兩點處于同一投射線上，它們在該投射線所垂直的投影面上的投影處于同一投射線上，它們在該投射線所垂直的投影面上的投影重合在一起，這兩點稱為對該投影面的重影點。重合在一起，這兩點稱為對該投影面的重影點。OH(b)aWYBAXZVabab兩點重影兩點重影重影點需要判斷其可見性

10、，將不可見點的投影用括號括起來，重影點需要判斷其可見性，將不可見點的投影用括號括起來，以示區別。以示區別。 兩點重影兩點重影( )H面重影，被擋面重影，被擋住的投影加住的投影加( )XZabOYWYHabba3.2 直線的投影直線的投影 兩點確定一條直線，將兩點的同兩點確定一條直線，將兩點的同面投影用直線連接，就得到直線的面投影用直線連接，就得到直線的投影。投影。直線平行于投影面直線平行于投影面投影反映線段實長投影反映線段實長 ab=AB 真實性真實性直線垂直于投影面直線垂直于投影面投影重合為一點投影重合為一點ab=0 積聚性積聚性abmBAM直線傾斜于投影面直線傾斜于投影面投影比空間線段短投

11、影比空間線段短 abAB 類似性類似性cos3.2 直線的投影直線的投影各種位置直線的投影特征各種位置直線的投影特征ABababAB直線中的投影特性直線中的投影特性投影面平行線投影面平行線平行于某一投影面而平行于某一投影面而與其余兩投影面傾斜與其余兩投影面傾斜投影面垂直線投影面垂直線正平線（平行于面）正平線（平行于面）側平線（平行于面）側平線（平行于面）水平線（平行于面）水平線（平行于面）正垂線（垂直于面）正垂線（垂直于面）側垂線（垂直于面）側垂線（垂直于面）鉛垂線（垂直于面）鉛垂線（垂直于面）一般位置直線一般位置直線與三個投影面都傾斜的直線與三個投影面都傾斜的直線統稱特殊位置直線統稱特殊位置

12、直線垂直于某一投影面垂直于某一投影面直線在三個投影面中的投影特性直線在三個投影面中的投影特性VZWYHXbaOabbaAB投影特性：投影特性： 三個投影都縮短了。即三個投影都縮短了。即: 都不反映空間線段的實都不反映空間線段的實長及與三個投影面夾角，且與三根投影軸都傾斜。長及與三個投影面夾角，且與三根投影軸都傾斜。(1) (1) 一般位置直線一般位置直線XZabOYWYHabba(2) (2) 投影面平行線投影面平行線投影特性：投影特性：1. 水平線的水平線的H面投影反映線段實長。即：面投影反映線段實長。即：ab=AB;水平線的水平線的V、W面投影分別平行于面投影分別平行于H面的兩根軸。面的兩

13、根軸。 即即 abox軸，軸，abOYW軸；軸；3. 水平線的水平線的H面投影與面投影與OX軸夾角反映該直線對軸夾角反映該直線對V面的傾角面的傾角；與；與OYH軸的夾角，反映該直線對軸的夾角，反映該直線對W面的傾角面的傾角。水平線的投影特征：水平線的投影特征：對正平線和側平線作分析，可得出類似的投影特征。對正平線和側平線作分析，可得出類似的投影特征。YOWYHZXababababababb a aba b b aa b ba 投影面平行線投影面平行線1. 在其平行的那個投影面上的投影反映實長，在其平行的那個投影面上的投影反映實長， 并反映直線與另兩投影面傾角。并反映直線與另兩投影面傾角。2.另

14、兩個投影面上的投影平行于相應的投影軸。另兩個投影面上的投影平行于相應的投影軸。水平線水平線側平線側平線正平線正平線投投 影影 特特 性：性：與與H面的夾角面的夾角: 與與V面的角面的角: 與與W面的夾角面的夾角:實長實長實長實長實長實長ba aa b b (3)(3)投影面垂直線投影面垂直線投影特性：投影特性：H面投影積聚成一點；面投影積聚成一點；V、W面投影反映實長，即面投影反映實長，即ab=ab=AB；V、W面投影，分別垂直于面投影，分別垂直于H面的兩面根軸，即：面的兩面根軸，即： abox軸軸ab oz軸軸 。對正垂線和側垂線作分析，可得出類似的投影特征。對正垂線和側垂線作分析，可得出類

15、似的投影特征。鉛垂線投影特征鉛垂線投影特征:OZbaa(b)baYHXYW投影面垂直線投影面垂直線鉛垂線鉛垂線正垂線正垂線側垂線側垂線2.另外兩個投影面上，投影反映線段實長。另外兩個投影面上，投影反映線段實長。且垂直于相應的投影軸。且垂直于相應的投影軸。1.在其垂直的投影面上，投影有積聚性在其垂直的投影面上，投影有積聚性。投影特性投影特性: :c (d )cdd c a b a(b)a b e f efe (f )積聚積聚為點為點積聚積聚為點為點積聚積聚為點為點例例1：判斷下列直線的空間位置：判斷下列直線的空間位置ababababdCdddC直線與點的相對位置直線與點的相對位置 若點在直線上若

16、點在直線上, 則點的投影必在則點的投影必在直線的同面投影上。即具有從屬性。直線的同面投影上。即具有從屬性。 若點在直線上，則點將線段的同若點在直線上，則點將線段的同面投影分割成與空間直線相同的比例。面投影分割成與空間直線相同的比例。即具有定比性：即具有定比性：AC/CB=ac/cb= ac / cb 若點的投影有一個不在直線的同名若點的投影有一個不在直線的同名投影上，投影上， 則該點必不在此直線上。則該點必不在此直線上。判別方法：判別方法：ABVH直線與點的相對位置直線與點的相對位置Cbcac b a e e在在不在不在C點點 直線直線AB上上D點點 直線直線AB上上D例例2：判斷點：判斷點K

17、是否在線段是否在線段AB上。上。a b k 因因k 不在不在a b 上，上， 故點故點K不在不在AB上。上。應用定比定理應用定比定理abka b k 另一判斷法是另一判斷法是因因a k :k b ak:kb 故點故點K不在不在AB上。上。XOcabdbacd 兩直線平行兩直線平行投影特性：投影特性：空間兩直線平行，則其各同面投影空間兩直線平行，則其各同面投影必相互平行，反之亦然。必相互平行，反之亦然。兩直線的相對位置兩直線的相對位置空間兩直線的相對位置分為：平行、相交、交叉。空間兩直線的相對位置分為：平行、相交、交叉。abcda b c d 例例1：判斷圖中兩條直線是否平行。：判斷圖中兩條直線

18、是否平行。 對于一般位置直對于一般位置直線，只要有兩個同名線，只要有兩個同名投影互相平行，空間投影互相平行，空間兩直線就平行。兩直線就平行。結論：結論：AB/CDXcbadd b a c b d c a 對于投影面平行線，只對于投影面平行線，只有兩個同面投影互相平行，有兩個同面投影互相平行，空間直線不一定平行。若用空間直線不一定平行。若用兩個投影判斷，其中應包括兩個投影判斷，其中應包括反映實長的投影。反映實長的投影。結論結論:AB:AB與與CDCD不平行不平行例例2：判斷圖中兩條直線是否平行。：判斷圖中兩條直線是否平行。求出側面投影求出側面投影如何判斷如何判斷HVXABCDabcda b c

19、d abcdb a c d 2.2.兩直線相交兩直線相交判別方法：若空間兩直線相交，則其同名投影必相判別方法：若空間兩直線相交，則其同名投影必相交，且交點的投影必符合空間一點的投影規律。交，且交點的投影必符合空間一點的投影規律。kk 交點是兩直線交點是兩直線的共有點的共有點k kKcabb a c d k kd例例3：過：過C點作水平線點作水平線CD與與AB相交。相交。先作正面投影先作正面投影12d b a abcdc1 (2 )3(4 )3.兩直線交叉兩直線交叉 同名投影可能相交，同名投影可能相交，但但 “交點交點”不符合空間不符合空間一個點的投影規律。一個點的投影規律。 “交點交點”是兩直

20、線上是兩直線上的一的一 對重影點的投影，對重影點的投影，用其可幫助判斷兩直線用其可幫助判斷兩直線的空間位置。的空間位置。、是面的重影點，是面的重影點，、是是H面的重影點。面的重影點。3 4 AB與與CD兩直線相交嗎兩直線相交嗎投影特性：投影特性：結論：結論：AB與與CD兩直線不相交兩直線不相交兩直線垂直相交（或垂直交叉）兩直線垂直相交（或垂直交叉）直角的投影特性：直角的投影特性： 若直角有一邊平行于投影面，則它在該投影面若直角有一邊平行于投影面，則它在該投影面上的投影仍為直角。上的投影仍為直角。設直角邊設直角邊BC/H面面因因BCAB, 同時同時BCBb所以所以BCABba平面平面結論結論:直

21、線在直線在H面上面上的投影互相垂直的投影互相垂直即即abc為直角為直角因此因此 bcab故故bc ABba平面平面又因又因BCbcABCabcHa c b abc.證明：證明：d abca b c d例例4：過：過C點作直線與點作直線與AB垂直相交。垂直相交。.AB為正平線為正平線, 正面正面投影反映直角。投影反映直角。s a b a b s a b 平面的表示法平面的表示法aa bb ss 不在同一不在同一直線上的直線上的三個點三個點直線及線直線及線外一點外一點兩平行直線兩平行直線兩相交直線兩相交直線平面圖形平面圖形3.3平面的投影平面的投影平面的表示法平面的表示法s a b s a b a

22、a b bss c d aa b bss aa b bcc dd aa b bss 各種位置平面的投影特性各種位置平面的投影特性平行平行垂直垂直傾斜傾斜投投 影影 特特 性性 平面平行投影面平面平行投影面-投影就把實形現投影就把實形現 平面垂直投影面平面垂直投影面-投影積聚成直線投影積聚成直線 平面傾斜投影面平面傾斜投影面-投影類似原平面投影類似原平面實形性實形性類似性類似性積聚性積聚性平面對一個投影面的投影特性平面對一個投影面的投影特性各種位置平面的投影特性各種位置平面的投影特性平面在三投影面體系中的投影特性平面在三投影面體系中的投影特性平面對于三投影面的位置可分為三類平面對于三投影面的位置

23、可分為三類：投影面垂直面投影面垂直面 投影面平行面投影面平行面一般位置平面一般位置平面特殊位置平面特殊位置平面垂直于某一投影面，垂直于某一投影面，傾斜于另兩個投影面傾斜于另兩個投影面平行于某一投影面，平行于某一投影面，垂直于另兩個投影面垂直于另兩個投影面與三個投影面都傾斜與三個投影面都傾斜 正垂面正垂面 側垂面側垂面 鉛垂面鉛垂面 正平面正平面 側平面側平面 水平面水平面投影面垂直面投影面垂直面XZabcacbabcOYHYW 1.H面投影積聚成一直線；2. 、 反映平面對V、W面的傾角。ABC為什么為什么位置的平面位置的平面abca c b c b a 投影面垂直面投影面垂直面鉛垂面鉛垂面投

24、影特性：投影特性： 在它垂直的投影面上的投影積聚成直在它垂直的投影面上的投影積聚成直線。該直線與投影軸的夾角反映空間平面線。該直線與投影軸的夾角反映空間平面與另外兩投影面夾角的大小。與另外兩投影面夾角的大小。 另外兩個投影面上的投影有類似性。另外兩個投影面上的投影有類似性。為什么？為什么？類似性類似性類似性類似性積聚性積聚性投影面平行面投影面平行面BbHbVccacAC aaOYWbZa b c a b c abc2.2.投影面平行面投影面平行面積聚性積聚性積聚性積聚性實形性實形性結論：水平面結論：水平面投影特性：投影特性：在它所平行的投影面上的投影反映實形。在它所平行的投影面上的投影反映實形

25、。 另兩個投影面上的投影分別積聚成與相應另兩個投影面上的投影分別積聚成與相應的投影軸平行的直線。的投影軸平行的直線。一般位置平面一般位置平面XHVZabcAaBbcacbCYa b c a c b abc 一般位置平面一般位置平面三個投影都類似。三個投影都類似。投影特性：投影特性：平面上的直線和點平面上的直線和點判斷直線在平面判斷直線在平面內的方法內的方法 定定 理理 一一若一直線過平面若一直線過平面上的兩點，則此上的兩點，則此直線必在該平面直線必在該平面內。內。定定 理理 二二若一直線過平面上的若一直線過平面上的一點，且平行于該平一點，且平行于該平面上的另一直線，則面上的另一直線，則此直線在該平面內。此直線在該平面內。 平面上取任意直線平面上取任意直線平面上的直線和點平面上的直線和點有無數解。有