2018版高中數學北師大版選修1-1學案:第二章3.2雙曲線的簡單性質_第1頁
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文檔簡介

1、3.2 雙曲線的簡單性質學習目標】1了解雙曲線的簡單性質(對稱性、范圍、頂點、實軸長和虛軸長等).2 理解離心 率的定義、取值范圍和漸近線方程 .3掌握標準方程中 a, b, c, e 間的關系 4 能用雙曲線的 簡單性質解決一些簡單問題.H問題導學-知識點一雙曲線的簡單性質思考 類比橢圓的簡單性質,結合圖像,你能得到雙曲線2 2字一 b2= i(a0, b0)的哪些性質?梳理標準方程- 2-2-予器=1(a 0, b0)-2-2-02含=1(a0, b0)圖形NA0性質范圍對稱性對稱軸:對稱中心:對稱軸:對稱中心:頂點坐標漸近線y=xy=傘離心率e=c,e(1,+s) a知識點二雙曲線的離心

2、率思考 1 如何求雙曲線的漸近線方程?思考 2 橢圓中,橢圓的離心率可以刻畫橢圓的扁平程度,在雙曲線中,雙曲線的“張口” 大小是圖像的一個重要特征,怎樣描述雙曲線的“張口”大小呢?梳理 雙曲線的焦距與實軸長的比C,叫作雙曲線的,其取值范圍是 ea- -越大,雙曲線的張口 _ 知識點三雙曲線的相關概念1 雙曲線的對稱中心叫作雙曲線的中心.2實軸和虛軸等長的雙曲線叫作等軸雙曲線,它的漸近線是y= (.題型探究類型一由雙曲線方程研究其性質例 1 求雙曲線 9y2-4X2=-36 的頂點坐標、焦點坐標、實軸長、虛軸長、離心率和漸近線 方程.反思與感悟由雙曲線的方程研究其性質的解題步驟(1) 把雙曲線方

3、程化為標準形式是解決此類問題的關鍵.(2) 由標準方程確定焦點位置,確定a, b 的值.(3) 由 c2= a2+ b2求出 c 值,從而寫出雙曲線的簡單性質.跟蹤訓練 1 求雙曲線 9y216X2=144 的實半軸長和虛半軸長、焦點坐標、離心率、漸近線 方程.類型二由雙曲線的簡單性質求標準方程例 2 求適合下列條件的雙曲線的標準方程.5(1) 虛軸長為 12,離心率為 4;(2) 頂點間距離為 6,漸近線方程為 y= 2x;(3) 求與雙曲線 x2 2y2= 2 有公共漸近線,且過點M(2, - 2)的雙曲線方程.反思與感悟(1)求雙曲線的標準方程的步驟1確定或分類討論雙曲線的焦點所在的坐標

4、軸;2設雙曲線的標準方程;3根據已知條件或簡單性質列方程,求待定系數;4求出 a, b,寫出方程.2 2(2)與雙曲線 j淳=1 共焦點的雙曲線方程可設為類型三 與雙曲線有關的離心率問題2與雙曲線字-洋=1具有相同漸近線的雙曲線方程可設為字-滬X仔0);漸近線為 axby= 0 的雙曲線方程可設為a2x2 b2y2= ?(仔0).跟蹤訓練 2 求適合下列條件的雙曲線的標準方程.(1)一個焦點為(0,13),且離心率為 :;雙曲線過點(3,9 2),離心率 e=1; (3)漸近線方程為 y= 2x,且經過點 A(2, 3).2y2222= 1(0, b ?0, b0)的左、右焦點,雙曲線上存在一

5、點P 使9得|PFi|+ |PF2|= 3b,|PFI|PF2|=4ab,則該雙曲線的離心率為()4A. 3B.539引申探究D . 3例 3 條件9“|PFi|+ |PF2|= 3b, |PFi| |PF2|= 4ab” 改為“若 PFi丄 PF2,且/PFiF2= 30 ,結果如何?反思與感悟求雙曲線離心率的常見方法(1)依據條件求出 a, c,再計算 e=ca(2)依據條件建立參數 a, b, c 的關系式,一種方法是消去b 轉化為離心率 e 的方程求解,另一種方法是消去 c 轉化成含 a 的方程,求出 a 后,利用 e=i 求解.2 2跟蹤訓練 3 雙曲線X2-1(0a0)與直線 I:

6、 x+ y= 1 相交于兩個不同的點 A, B,求雙曲線aC 的離心率的取值范圍.反思與感悟求離心率的取值范圍技巧(1)根據條件建立 a, b, c 的不等式.c b(2)通過解不等式得:或:的取值范圍,求得離心率的取值范圍.a a2 2跟蹤訓練 4 已知 F1, F2是雙曲線予一2= l(a, b0)的左,右焦點,過 Fi且垂直于 x 軸的直線與雙曲線交于 A, B 兩點,若厶 ABF2為鈍角三角形,則該雙曲線的離心率 e 的取值范圍為()A . (1 ,+ )B. ( . 2 + 1 ,+ )C. (1 , .2+ 1)D. (1 , .3)當堂訓練2 2 21雙曲線 1x5/= 1 與橢

7、圓 25+ = 1 的(A.焦點相同B .頂點相同C.實軸與長軸相同D 短軸與虛軸相同2 22.設雙曲線+卷=1 的漸近線方程為 3xi2y= 0,則 a 的值為()a 9C. 22 23.設 Fi和 F2為雙曲線 j器=1(a0, b0)的兩個焦點,若三個頂點,則雙曲線的離心率為()3B.25C.q D. 34等軸雙曲線的一個焦點是Fi( 6,0),則其標準方程為()2 2x y_ . A 匚=1A.9 92 2y x 彳C= 118 1822 2B.y2*= 1 9 92 2x V D. = 118 1825設雙曲線?一 1(a 0, b 0)的虛軸長為 2,焦距為 2 3,則雙曲線的漸近

8、線方程為規律與方法1.漸近線是雙曲線特有的性質,2 2兩方程聯系密切,把雙曲線的標準方程 孑*= 1(a0,b0)右邊的常數“1”換為“ 0”,就是漸近線方程.反之由漸近線方程 ax )y= 0 變為 a2x2 b2y2=人再結合其他條件求得 X 就可得雙曲線方程.2準確畫出幾何圖形是解決解析幾何問題的第一突破口對圓錐曲線來說,漸近線是雙曲線特有的性質.利用雙曲線的漸近線來畫雙曲線特別方便,而且較為精確,只要作出雙曲線的兩個頂點和兩條漸近線,就能畫出它的近似圖形.Fi, F2, P(0,2b)是正三角形的答案精析問題導學知識點一思考 范圍、對稱性、頂點、離心率、漸近線.梳理 x a 或 xwa

9、 y a 或 yw a 坐標軸 原點 坐標軸 原點Ai( a,0), A2(a,0) Ai(0, a), A2(0, a)知識點二2 2 2 2思考 1 將方程Xy2= 1(a0, b0)右邊的“ 1 ”換成0”,即由X2占=0 得X琴=0,如 a ba baD2 2圖,作直線 ab=o,在雙曲線i 的各支向外延伸時,與兩直線逐漸接近,把這兩條直線叫作雙曲線的漸近線.2 2思考 2 雙曲線字i 的各支向外延伸逐漸接近漸近線,所以雙曲線的“張口”大小取 決于b的值,設 e=c,則b= = e2 1.aa a av當 e 的值逐漸增大時,的值增大,雙曲線的“張口”逐漸增大.a梳理離心率 (1 ,+

10、 )越大題型探究 例 1 解 將 9y24X2=36 變形為2x_9所以 a= 3, b = 2, c=:13,因此頂點坐標為(一 3,0), (3,0);焦點坐標為(一.13 , 0), ( 13, 0);實軸長是 2a = 6,虛軸長是 2b= 4; 離心率 e=C=;a 3漸近線方程為 y= x= 3x.2 22 2 2跟蹤訓練 1 解 把方程 9y2 316X2=144 化為標準方程七-32= 1.由此可知,實半軸長 a= 4,虛半軸長 b = 3;c= a2+ b2=42+ 32= 5,焦點坐標是(0, 5), (0,5);離心率 e=C=5;a 4漸近線方程為 y= 3x.2 2

11、2 2例 2 解(1)設雙曲線的標準方程為a ba b由題意知 2b= 12 ,C=5,a 42 2 . .2且 c = a + b ,b = 6, c= 10, a= 8.2 22 2雙曲線的標準方程為右曇=1 或右36= 1.64 3664 3632 2設以 y= 分為漸近線的雙曲線方程為 X = 2 0)-當?0 時,a2= 4 入一9 2a=2 4?= 6?X=4;當=0 時,a2= 9 入- 2a = 2 9 = 6? = 1.2 2 2 2雙曲線的標準方程為 7 七=1 或半y = 1.9819442 2設與雙曲線 X2 y2= 1 有公共漸近線的雙曲線方程為X2 y2=將 0).

12、將點(2, 2)代入雙曲線方程,/曰222得=-(2)2=- 2,2 2雙曲線的標準方程為二x= 1.跟蹤訓練 2 解(1)依題意可知,雙曲線的焦點在y 軸上,且 c= 13,c 13I又=5, 二 a= 5, b = c2 a2= 12,故所求雙曲線的標準方程為2 2y丄=25144 = 由 e2=10,設 a2= 9k(k0),則 c2= 10k, b2= c2 a2= k.22 22設所求雙曲線方程為 -乞=1或 L- = 19k k9k k將(3,9 .2)代入,得 k = 161,與 k0 矛盾,無解;將(3,9 .2)代入,得 k = 9.2 2故所求雙曲線方程為x= 1.1方法一

13、雙曲線的漸近線方程為y= x,2 2若焦點在 x 軸上,設所求雙曲線的標準方程為予詁=1(a0, b0),則b=1a 2 A(2, 3)在雙曲線上,聯立,無解.2 2若焦點在 y 軸上,設所求雙曲線的標準方程為*詁=1(a0, b0),a 1則 b=1聯立,解得 a2= 8, b2= 32.2 2所求雙曲線的標準方程為= 1.832 A(2, 3)在雙曲線上,弊點=1.方法二由雙曲線的漸近線方程為y= x,可設雙曲線方程為 一 y2=X將 0). A(2, - 3)在雙曲線上,I?(3)2=入即X=8.2 2所求雙曲線的標準方程為y令=1.832例 3 B 考慮雙曲線的對稱性,不妨設 P 在右

14、支上,則 |PFi| |PF2|= 2a,而 |PFi|+ |PF2|= 3b,兩式等號左右兩邊平方后相減,2 29b 4a 得 IPF111PF2匸 4又已知 |PFi| |PF2|=9ab,229 9b 4a b 4 4ab=4,得 a= 3(負值舍去).該雙曲線的離心率e=a,,1+a1+42引申探究 解 作出滿足題意的幾何圖形(如圖),利用 PFi丄 PF2及/PF1F2=30 求出 a, c 的關系式.設點 P 在雙曲線右支上.TPF1PF2,|F1F2|=2C,且/ PF1F2= 30- |PF2|=C,|PF1|=3C.又點 P 在雙曲線的右支上,- |PF1| |PF2|= ( 3

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