1、第二章第二章 數值積分數值積分牛頓牛頓-柯特斯柯特斯(Newton-Cotes)公式公式及其復化求積公式及其復化求積公式牛頓牛頓- -柯特斯公式柯特斯公式q 等距節點的插值型求積公式稱為等距節點的插值型求積公式稱為牛頓牛頓- -柯特斯公式柯特斯公式：取等距節點：取等距節點：xi = a + i h， ，i = 0, 1, , nnabh令令 x = a + t h 得：得：0,.( )d djnbbjiiaaj iijxxl xxxxx0( )d()nbiiaif xxf x q 插值型求積公式插值型求積公式 baiixxld)( 其中其中0,.,0 djnnj itjh tij0()( 1)

2、()!()!n inj ibatj dtn i ni牛頓牛頓- -柯特斯公式（續）柯特斯公式（續） 注：注：Cotes 系數系數僅取決于僅取決于 n 和和 i，可通過查表得到。與可通過查表得到。與被積函數被積函數 f (x) 及積分區間及積分區間 a, b 均無關。均無關。0,.,0()( 1)()!()!n ijnnij ibatj dtn i ni柯特斯柯特斯(Cotes)系數系數)( niCq 牛頓牛頓- -柯特斯公式柯特斯公式：niinibaxfCabxxf0)()()(d)(幾個常見公式幾個常見公式21,21)1(1)1(0 CCn = 1:)()(2)(bfafabdxxfba 代

3、數精度代數精度 = 1梯形求積公式梯形求積公式n = 2:61,32,61)2(2)2(1)2(0 CCC)()(4)(6)(2bffafabdxxfbaba 代數精度代數精度 = 3拋物線求積公式拋物線求積公式辛甫生辛甫生(Simpson)求積公式求積公式n = 4:)(7)(32)(12)(32)(790)(43210 xfxfxfxfxfabdxxfba柯特斯柯特斯(Cotes)求積公式求積公式4/ )( ,abhhiaxiTSC柯特斯系數表柯特斯系數表系數特點和穩定性系數特點和穩定性q柯特斯系數具有以下特點：柯特斯系數具有以下特點：(1) 10)(niniC(2) )()(ninniC

4、C(3) 當當 n 8 時，出現負數，時，出現負數，穩定性得不到保證穩定性得不到保證。而且。而且當當 n 較大時，由于較大時，由于Runge現象，現象，收斂性也無法保證收斂性也無法保證。故故一般一般不采用不采用高階的牛頓高階的牛頓- -柯特斯求積公式柯特斯求積公式。q 當當 n 7 時，牛頓時，牛頓- -柯特斯公式是穩定的。柯特斯公式是穩定的。牛頓牛頓- -柯特斯公式的代數精度柯特斯公式的代數精度定理定理當等距節點的個數為奇數當等距節點的個數為奇數n+1(n 為偶數為偶數)時，時， 牛頓柯特斯公式至少有牛頓柯特斯公式至少有 n+1 次代數精度。次代數精度。證證：只要證明當只要證明當 n 為偶數

5、時，公式對為偶數時，公式對f (x)xn+1精確成立。精確成立。xxxnffRniiband )( )!1()(0)1( 由插值型求積公式的誤差公式得由插值型求積公式的誤差公式得 d )(0 baniixxx作變量代換作變量代換 x = a + t h，并將，并將 xi = a + i h 代入得代入得 d )(002 nnintithfR再作變量代換再作變量代換 t = n - s，得，得 )d( )(002 nninsisnhfR d )()1(0021 nninnsinsh又又niniisins00)(fRfR0fRn 偶數偶數數值積分的余項數值積分的余項 積分中值定理積分中值定理 若若

6、f(x), g(x)均在均在a,b上連續上連續, 且且g(x)在在a,b不變號不變號, 則存在則存在a,b 使使 ( ) ( )( )( )bbaaf x g x dxfg x dx 插值型求積公式的余項：插值型求積公式的余項：0( ) d()( ) d( ) dnbbbiinaaaiR ff xxf xf xxLxx (1)0( )( )( ) d () d(1)!nnbbniaaiff xL xxxxxn 左矩形公式左矩形公式而而 x-a 在在a,b上不變號（非負），由積分中值定理知上不變號（非負），由積分中值定理知2()( )()( )()(2)abbaGabafxa dxfxRa dx

7、ff 于是有于是有( )() ( )baf x dxba f a 證明：證明：設設f (x)在在a,b上連續，上連續，右式為右式為左矩形公式左矩形公式，余項為，余項為2()( ), 2 ,baRfa b 2()()( )() ( )( )2abGabaRff x dxba f af 左矩形公式余項左矩形公式余項梯形公式梯形公式3()()()()( ) ( )( )( )212TbaRfI fT fbabaf x dxf af bf q 梯形公式的余項證明：梯形公式的余項證明：1()( )( )()(2( )!bbbaaxTafRff xxxax xxLbx d d d dd d xbxaxfb

8、ad )()(21 中值定理中值定理3 , 1()( ), 12baa bf 1111( )( ),( )( ),( )()( ),baaf abf bL xLLT fL xx 令令線線值值 性性插插則則: d: dq Simpson公式的余項證明：公式的余項證明：SxxfRbaS d )(22(4)() ()() d4(!)ba bxafxaxxxb xbxxaxfbabad )()()(24122)4( )()(28801)4(5 fab 三次三次Hermite插值插值5(4)1( )( ) ( ) 4 ()( ) ()( ),62902bSab aa bb aR ff x dxf aff

9、 bf Simpson公式余項公式余項(證明證明: 用積分中值定理用積分中值定理+Hermite插值插值)2()( ),baS fL xx d dSimpson公式公式Newton-Cotes余項的一般形式余項的一般形式定理定理(1) 若若 n 為偶數，為偶數， f (x) Cn+2a, b ，則存在，則存在 (a, b) 使得使得設設 ，則有，則有 niinixfCabfQ0)()()(2) 若若 n 為奇數，為奇數， f (x) Cn+1a, b ，則存在，則存在 (a, b) 使得使得3(2)20( )( )d (1)()d ,(2)!nnbnabaff xxQ ftttntnn2(1)

10、0( )( )d (1)()d ,(1)!nnbnabaff xxQ ft ttntnn舉例（一）舉例（一）q 例：例：分別用梯形公式和分別用梯形公式和simpson公式計算積分公式計算積分 10dxe-x解：解：a0, b1, f (x) = e -x ，由由 simpson 公式可公式可得得 6323. 0461)()(4)(615 . 002 eeebffafabSba 6839. 021)()(210 eebfafabT由由梯形公式可梯形公式可得得 與精確值與精確值 0.6321. 相比相比得誤差分別為得誤差分別為 0.0518 和和 0.0002。復化求積公式復化求積公式q 提高積分

11、計算精度的常用兩種方法提高積分計算精度的常用兩種方法 用用 復化公式復化公式 用用 非等距節點非等距節點q 復化求積公式：復化求積公式：將積分區間分割成多個小區間，然將積分區間分割成多個小區間，然后在每個后在每個小區間小區間上使用低次牛頓柯特斯求積公式。上使用低次牛頓柯特斯求積公式。q 將將a, b 分成分成 n 等分等分 xi , xi+1 ，其中節點，其中節點(i = 0, 1, , n)nabhhiaxi ,復化梯形公式復化梯形公式q 復化梯形公式復化梯形公式:)()(2d )(d )(110101 iibaninixxxfxfhxxfxxfii )()(2)(2d )(11bfxfaf

12、hxxfniibaTnq 余項：余項： 103)(12niinfhTfI 103)(12niifh 10)(1)(niifnf )(122 fhab ， (a, b)復化復化辛甫生辛甫生(simpson)公式公式q 復化復化simpson公式公式: )()(2)(4)(6d )(111021bfxfxfafhxxfniiniibaSn)()(4)(6d )(11021 iiibanixfxfxfhxxfq 余項：余項： 10)4(5)(2880niinfhSfI 10)4(5)(2880niifh 10)4()4()(1)(niifnf )(2880)4(4 fhab ， (a, b)復化柯特

13、斯公式復化柯特斯公式q 復化復化cotes公式公式:Cnq 余項：余項： )(12)(32)(790d )(10102141niiniibaxfxfafhxxf )(7)(14)(32111043bfxfxfniinii)(4945)( 2)6(6 fhabCfIn ， (a, b)舉例（二）舉例（二）解：解：q 例：例：設設 ，利用下表中的數據分別用復化梯，利用下表中的數據分別用復化梯形公式和復化形公式和復化simpson公式計算積分公式計算積分 xxxfsin)( 10dsinxxxxi01/82/83/84/85/86/87/81.0f (xi )10.9970.9900.9770.95

14、40.9360.9090.8770.8419456909. 0)()(2)(16187108 xfxfxfTii )()()()(4)(241753104xfxfxfxfxfS 9460832. 0)()()()(28642 xfxfxfxf比較精確值比較精確值0.9460831.T h =(1-0)/8=1/8,步步長長h =(1-0)/4=1/4,S步步長長定義：若一個復化積分公式的誤差滿足定義：若一個復化積分公式的誤差滿足 且且C 0，則，則稱該公式是稱該公式是 p 階收斂階收斂的。的。 收斂速度與誤差估計：收斂速度與誤差估計： 103)(12niinfhTfI i (xi, xi+1 ) 102)(121niinhfhTfI 定積分定義定積分定義xxfbad )(121 (h 0)h 很小時的誤差很小時的誤差即即 )()(122