1、專題研究巧用向量法求空間角眾所周知，解決立體幾何問題，“平移是手段，垂直是關(guān)鍵”，向量的運算中：兩向量的共線易解決垂直，兩向量所成角及線段的長度等問題。一般來說，當(dāng)掌握了用向量的方 法解決立體幾何問題這套強(qiáng)有力的工具，應(yīng)該說不僅會降低了學(xué)習(xí)的難度，而且增強(qiáng)了可 操作性，為我們的學(xué)習(xí)提供了嶄新的視角，豐富了思維結(jié)構(gòu)，消除了學(xué)習(xí)立體幾何知識所 產(chǎn)生的畏懼心理，有利于牢固對立幾知識的掌握。角這一幾何量本質(zhì)上是對直線與平面位 置關(guān)系的定量分析，其中轉(zhuǎn)化的思想十分重要，三種空間角都可 轉(zhuǎn)化為平面角來計算，可進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為向量的夾角求解。1、求兩條異面直線所成的角：求a,b所成的角(再化為異面直線所成的角(

2、0,切記即：arccos|其中a,b分別是直線a,b的方向向量。例 1、(2020 年福建卷)如圖，四面體 ABCD 中, O E分別是BDBC 的中點，CA CB CD BD 2, AB AD .2.求異面直線 AB 與 CD 所成角的大小；解：以 O 為原點，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，貝V B(1,0,0), D( 1,0,0),uuu uuur cosBA, CDluurBAuiur(1,0,1),CDBA.CDuuu uurBA CD異面直線 AB 與 CD 所成角的大小為.2arccos .評注：以向量為工具，利用空間向量的坐標(biāo)表示，空間向量的數(shù)量積計算，異面直線所成角問題思路自然，解

3、法靈活簡便； 另本題也可用傳統(tǒng)方法(平移法)求解。例 2、(2020 年廣東卷)如圖 5 所示，AF、DE 分別是OOOO 的直徑.AD與兩圓所在的平面均垂直， AC 8,BC是OO的直 徑， AB= AC=6, OE/AD求直線 BD 與 EF 所成的角.解：以 O 為原點，BG AF、OE 所在直線為坐標(biāo)軸，建立空間 直角坐標(biāo)系(如圖所示)，則 0( 0, 0, 0), A(0,3 邁,0),B (3(2, 0, 0) ,D (0,3 忑,8), E (0, 0 , 8) , F (0 ,32 0)C(0, 3,0), A(0,0,1), E(2具體求法：設(shè)i是斜線I的方向向量，n是平面的

4、法向量, 則斜線與平面所成的角是.i?n | arcsin |I i l?ln|特別的：最小角定理：cos cos1?cos2是斜線與平面內(nèi)過斜足的直線所成的角；1是線面角 （斜線與射影） ；是射影與過斜足的直線（面內(nèi)）所成的角。ABC 中，E、F、P 分別是 AB AC BC 邊上的點，滿足 （如圖 1）。將厶 AEF 沿 EF 折起到 A,EF 的位置，使二 連結(jié) AiB、AiP（如圖 2）；求直線 AiE 與平面 AiBP 所成圖 1所以，BD(3 返3 血,8), FE (0, 3 邁,8)cosBD,EFBD ?FE0 18 64V82| BD | FE | J1008210工個設(shè)異

5、面直線BD 與EF 所成角為|cos | cos BD , EF直線 BD 與 EF 所成的角為2、求直線和平面所成的角:求a與的法向量n所成的角，則線面角是或 _。利用此種2 2方法的關(guān)鍵是求出平面的法向量。2例 3（ 2020 年江蘇卷）在正三角形AE:EB= CF:FA= CP:PB= 1:2面角 A EF B 成直二面角,角的大。Oi，則EDiF10)I)yA( (l+誌Hma、PD = F =#r由圖1知R#恥且PF = l PIfAt 0).:、= (2PQt-) ), 5? = 0f從而 g石巨;=又_4中進(jìn)+4的堪小值為徽/. oisfJXQ的戟鬢值嗎即兀t?與知夾伽遲小的価為

6、3匕所以點戲dt與平面| FP航龍的魚為&叭(EI)如怪M.過F柞戸圍丄岳P于M”過財托腫岸丄兒尸發(fā)M尸于他則為二面矗B A.r 的平SUB 又訐二抿I).+5( (z- A) -s例 4、如圖，在四棱錐P ABCD中，底面為直角梯形，AD/BC,BAD 90,PA底面ABCD，且PA AD AB2BC,M、N分別為PC、PB的 中點。求CD與平面ADMN所成的角。( (H) )如圖 j 由解倉一知弘丄普面圧E幾僉時*J*立如田口所茹的空阿衣希愛標(biāo) 則(0, 0, 0) ),九囹L十+ 弗站 DF,T /F -丹N冃2 .1A(0,0,0), P(0,0,2), B(2,0,0), C

7、(2,1,0), M (1, ,1),D(0,2,0)2 uuu uuur因為PB AD (2,0,2) (0,2,0)0，所以PB AD，又因為PB DM，所以PBuuu uur平面ADMN.因此PB,DC的余角即是CD與平面ADMN所成的角，因為例 5、（2020 年湖北卷）如圖，在棱長為1 的正方體評注：要特別注意線面角的范圍-0,。先求平面法向量與2斜線夾角，再進(jìn)行換算。3、求二面角：范圍：0, 二面角的求法有棱二面角：三步法一-作（*先作平面的垂線*過垂足作棱的垂線*連 線）、證、算射影面積公式：cos 色（是鈍角時取負(fù)）S2ABCD AB1C1D1中，P是側(cè)棱CC1上的一點，CP

8、m.試確定m， 使得直線AP與平面BDD1B1所 成角的正切值為3.2；解、建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A（1，0，0），B（1，1, 0），P（0，1, m），C（0，1, 0），D（0，0, 0） ，B（1，1，1），D（0，0，1）所以iuuuuruuuuuuBD （ 1, 1,0）, BB1（0,0,1）,AP （ 1,1,m）,AC （uuu uur uuu uuruuu又由AC BD 0, AC BB,0知，AC為平面D.zBB1D1D的一個法向量。角為 ，設(shè) AP 與平面BB1D1D所成的則sincos(-2uuu uuuAP ACuuuAP ACuuur2 , 2m2依題意

9、有.2 2m21,.,解得m -。、1 (3 2)231故當(dāng)m時，直線 AP 與平面BB1D1D所成的角的正3切值為3.2。1OPCABA1C1B1uuu UULTcos PB,DCuuT uuLTPB DC-uur uuu|PB|DC|所以CD與面ADMN所成的角為arcsin法向量法：方法一：構(gòu)造二面角丨的兩個半平面上的方向，如圖 3 所示），則1若二面角丨是“鈍角型”的如圖 3 甲所示， 那么其大小等于兩法向量ni、巳的夾角的補(bǔ)角，即-COS也衛(wèi).（例如 2020 年高考數(shù)學(xué)廣東|nill n2|卷第 18 題第（1）問）.2若二面角丨是“銳角型”的如圖 3 乙所示，那|1|?|2|a?

10、b|a|?|b|例 6、三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，三個側(cè)面與底面所成角分別是的法向量厲、n2（都取向么其大小等于兩法向量n1、2的夾角，即cos FFl1l l2|.（例如 2020 年高考數(shù)學(xué)廣東卷第 18 題第（1）問）方法二：在二面角的棱I上確定兩個點A、過A、B分別在平面- *垂直的向量所示），則二面角即cosri2l1l2|1,2分別的法向量, 則二面角,而COS在內(nèi)a，在內(nèi)b丨，則二面的平面角無棱二面角：方法一：無棱變有棱（延長、射影面積公式：CO連線找到棱）色（是鈍角時取負(fù)S2（大題一般按不可輕易使30,45,600，底面面圖3內(nèi)求出與丨-r積是.6,則三棱錐的體積是法向量法:1

11、,2分別是l的平面角或,而 cos探在內(nèi)a l，在_ （1）,的法向量，則二面角勺？2l1l?l2|內(nèi)b l，則二面角irir設(shè)平面 PAB 的法向量為n (x1, y1,1)，則n1uurirPA，n1uunPB，得ir23uu5(, 2,1);設(shè)平面 PDB 勺法向量為n22y2仝2(X2, y2,1)，則uun21尹43TX1uurPD,uun2uunPB，得小是X2,n20ir m w n1n,cos nn2-tr- tu-m 丨 n i10535所求二面角大arccos35例 8、如圖，在底面是直角梯形的四棱錐SABCDL/ABC= 901SA!面ABCD SA=AB=BC= 1 ,

12、AD -2(I)求四棱錐SABC啲體積；(n)求面SCD與面SBA所成的二面角的正切值.解:(I)直角梯形ABC啲面積是M底面110531-BC AD AB1-,四棱錐S-ABCD勺體積是V SAM底22431d31面1344(n)延長BA CD相交于點E,連結(jié)SE則SE是所求二面角 的棱/AD/ BC BC= 2ADEA=AB=SASE! SB:SA丄面ABCD得SEBL面EBC EB是交線，又BCL EBBCL面SEB故SB是CS在面SEB上的射影,CS1 SE,所以/BSC是所求二面角的平面角.SBSA2AB22,BC=1 ,BC!SB, tan /BSC的平面角探或,而 cos|a|?

13、|b|例 7、(2020 年安徽卷)如圖，P 是邊長為 1 的正六邊形 ABCDEF 所在平面外一點，PA 1,P 在平面 ABC 內(nèi)的射影為 BF 的中點 0。求面APB與面DPB所成二面角的大小。解：以 O 為坐標(biāo)原點，建立空間直角坐標(biāo)系，P(0,0 , 1) , A(0 ,丄,0),B(3, 0,0),2 2um1D(0,2 , 0) ,PA (0,亍 1),1)uuiPBuuu,0, 1)，PD (0,2,中)；_BC-即所求二面角的正切值為-SB 22可建立空間直角坐標(biāo)系得cos丄-6進(jìn)而得二面角的正切值為3三棱錐S ABCD中，有AB / DC ,SAD與面SBC的交線，說明理由；SAB與面SDC的交線，說明理由。評注：作兩平面的交線，是學(xué)習(xí)立體幾何的基本功，在以后的學(xué)習(xí)中經(jīng)常用到，尤其是作 無棱的二面角的平面角時，更顯重要。（2）中還運用了直線與平面平行的判定和性質(zhì)定理。作簡單幾何體的截面問題是數(shù)學(xué)的心臟，痛，并快樂著!評注:，同學(xué)們自己2