1、數學系05級高等代數（二次型與線性空間部分）試題及答案（2006年3月27日，滿分：120分）命題人：胡付高、判斷題（在括號里打或“x”，每小題2分，共20分）1若向量組二，與向量組：2,川，：t都線性無關，則1，2，|I，S，：2,川，：t也線性無關；（X）2n維線性空間V中任何n個線性無關的向量都是V的一組基；（V）3對n維線性空間V中任何非零向量：，在V中一定存在n-1個向量1i2,IHn_i，使得冷，+2,川作成V的一組基；（V）4三個子空間V1,V2,V3的和V1V2V3為直和的充要條件是V2V0;（X）5 把復數域看成實數域R上的線性空間，它與R2是同構的；（V）6 線性空間V的兩

2、組基1,2,l|,n到-1,-2JH,n的過渡矩陣是可逆的；（V）7V的任意兩個子空間的交V,V2與并V,_V2都是V的子空間；（X）&集合w=aA壬PnYA=0作成P41的子空間；（X）9實對稱矩陣為半正定的充要條件是它的所有順序主子式都非負；（X）10.設n元實二次型的正負慣性指數分別為s,t，則必有st空n（V）二、填空題（每小題2分，共20分）1.如果dimV|=m，dimV2=m2，dim（V1V2）=m3，則dim（yV2）=mm2-m3.2.兩個有限維線性空間V1、V2同構的充分必要條件是dimV|dimV2.3兩個復對稱矩陣合同的充分必要條件是它們的秩相等.4設實二次型的秩為r

3、，負慣性指數為q，符號差為m，則r、q、m的關系是r二m2q.5.22級實對稱矩陣的所有可能的規范型是：00、巾0、廣-10、50、巾0、C10、00,00丿,0001,3到-1,-2,-3的過渡矩陣為-111、A=1-11，向量口在基1一1丿1,-2,-3下的坐標為（1,2,3），在在基：-1-23下的坐標為（4,2,0）.22210.n元實二次型f（為兀，ll|,Xn）=（a1）x（a-2）x2山（a-n）Xn正定的充分必要條件是常數a滿足an.三、簡述下列定義（共12分）n級矩陣A、B合同：如果存在可逆矩陣C,使得B=CAC1. 子空間的和Vj+V2=%+2囤Vi,i=1,2生成子空間L

4、Cw,。？，0）=匕。1+k刃（2+k31-川-也r4丄：，因而=,2,川，r4,r可由匕12,川2線性表出，krkrkr故向量組：筋/-2jH/r4/與：斗，2,1丨Lr斗宀等價，最后不難得到結論.五、(1)討論：取什么值時，二次型-(x12xfX2)-(x,-x2-x3)2是正定的.(2)證明當=3時，上述二次型是半正定的.(共14分)解(1)二次型可化為(一1)片2(_1)xf(-1)xf-2x2-2x3-2x2x3,它對應的矩陣是-1-1-1、-1k1-1I_1_1九由二次型是正定的二它的矩陣的所有順序主子式全大于零，可得到-10,(-2).0,2c-3)0，它等價于，3，即二次型是正

5、定的3.(2)當=3時，二次型可化為(N-X2)2(N-X3)2(x2-X3)2一0,故二次型是半正定的.注對(2)還可以用求二次型標準型的方法得到結論，求得它的正慣性指數為2,負正慣性指數為0.六、設A、B是兩個固定的n級矩陣，證明：(1) W=xX乏Pnn,AX=XB是Pnxn的一個子空間；(2) 當A=B是主對角元兩兩互異的對角矩陣時，W是什么樣的子空間，并求W的維數及一組基(可以只寫結果，不必說明理由)(共14分)解(1)因為0W，故W-,對-X,YW，即AX=XB,AY二YB，得A(XY)=AXAY=XBYB=(XY)B，于是XYW，設kP，又由A(kX)二k(AX)=k(XB)=(

6、kX)B，得到kXW，因此WPnn的一個子空間；(2)W是所有n級對角矩陣作成的子空間，它的一組基可取為E11,E22l,Enn,dimW=n.七、設W(1,-1,3,7)，匹=(2,-1,0,1),5=(1,1,1,1)4=(121,0)(1)分別寫出生成子空間LC,)與L(34)的基和維數；(2)求L(1,：2,：3/4)的一組基和維數；求LG1,廠L(3,4)的維數.(共15分)解(1)1/2為L(1,2)的一組基，34為L(3,4)的一組基，它們的維數都為2；(12_11、(12-11、(2)由1112初等行變換：0103,L12a34)的一組基可取為301100143，故它的維數為3

7、；(3)注意到L(1,2)L(34)=L(冷23,4),由維數公式即得LCi,2)L(34)的維數=22-3=1.八、補充題(共15分，本題得分可以計入總分)設Pxh表示數域P上次數小于n的多項式及零多項式作成的線性空間，aP.(1)驗證Vi=f(x)f(a)=0,f(x)Pxn/是Pxn的一個子空間；(2)求V1的一組基及維數；(3)記V2-P，則V2也是數域P上的一個子空間，試證明：PxVV2.證明(1)因為OV,，所以V,式，設f(x),g(x)V,p，貝yf(a)=0,g(a)=0，且f(x)g(x)Px,因此f(a)g(a)=0,kf(a)=0，故f(x)g(x)V1,kf(x)V，即V是Pxn的一個子空間；(2) 對-f(X)Pxn,f(x)一定可以表成形式f(x)G(x-a)C2(x-a)2川Cn(x-a)n()若f(x)V1,則f(a)=c=0，即得f(x)=G(x-a)q(x-a)2川Cn(x-a)n，注意到(x-a),(x-a)2,|il,(x-a)n都屬于V，且線性無關，它們構成了V的一組基，dim二n-1；(3) V2是一個一維子空間，1為它的一組基，由(“)式即得PxnV1V2，故PxV1V2,又dimV2)=dimPxn=n二dimydim/，故Pxn二V2.注對(2)式也可以用數學分析中nTaylor公式f(