1、 實(shí)驗(yàn)實(shí)驗(yàn)06 06 基于微分方程對基于微分方程對象建模及實(shí)現(xiàn)象建模及實(shí)現(xiàn) 實(shí)驗(yàn)?zāi)康膶?shí)驗(yàn)?zāi)康膶?shí)驗(yàn)內(nèi)容實(shí)驗(yàn)內(nèi)容2、學(xué)會用、學(xué)會用Matlab求微分方程的數(shù)值解求微分方程的數(shù)值解.1、學(xué)會用、學(xué)會用Matlab求簡單微分方程的解析解求簡單微分方程的解析解.1 1、求簡單微分方程的解析解求簡單微分方程的解析解.4 4、實(shí)驗(yàn)作業(yè)、實(shí)驗(yàn)作業(yè): :地中海鯊魚問題地中海鯊魚問題. .（要求在實(shí)驗(yàn)報告中以參考數(shù)（要求在實(shí)驗(yàn)報告中以參考數(shù)學(xué)模型論文格式完成學(xué)模型論文格式完成）2、求微分方程的數(shù)值解、求微分方程的數(shù)值解.3、 數(shù)學(xué)建模實(shí)例數(shù)學(xué)建模實(shí)例. 3、微分方程法建模及其數(shù)學(xué)模型論文寫作、微分方程法建模及其數(shù)

2、學(xué)模型論文寫作. 求微分方程的數(shù)值解求微分方程的數(shù)值解（一）常微分方程數(shù)值解的定義（一）常微分方程數(shù)值解的定義（二）建立數(shù)值解法的一些途徑（二）建立數(shù)值解法的一些途徑（三）用（三）用Matlab軟件求常微分方程的數(shù)值解軟件求常微分方程的數(shù)值解返 回 1、目標(biāo)跟蹤問題一：導(dǎo)彈追蹤問題、目標(biāo)跟蹤問題一：導(dǎo)彈追蹤問題 2、目標(biāo)跟蹤問題二：慢跑者與狗、目標(biāo)跟蹤問題二：慢跑者與狗返 回?cái)?shù)學(xué)建模實(shí)例數(shù)學(xué)建模實(shí)例 微分方程的解析解微分方程的解析解 求微分方程（組）的解析解命令:dsolve(方程方程1, 方程方程2,方程方程n, 初始條件初始條件, 自變量自變量) 記號: 在表達(dá)微分方程時，用字母 D 表示

3、求微分，D2、D3 等表示求高階微分.任何 D 后所跟的字母為因變量，自變量可以指定或由系統(tǒng)規(guī)則選定為確省.例如，微分方程 022dxyd應(yīng)表達(dá)為：D2y=0.例例 1 求 21 udtdu 的通解.解解 輸入命令：dsolve(Du=1+u2,t)To Matlab（ff1.m） 結(jié) 果：u = tan(t+c) 例例 2 求微分方程的特解. 15)0( , 0)0(029422yyydxdydxyd 解解 輸入命令: y=dsolve(D2y+4*Dy+29*y=0,y(0)=0,Dy(0)=15,x)結(jié) 果 為 : y =3e-2xsin（5x）To Matlab（ff2） 例例 3 求

4、微分方程組的通解. zyxdtdzzyxdtdyzyxdtdx244354332解解 輸入命令 ： x,y,z=dsolve(Dx=2*x-3*y+3*z,Dy=4*x-5*y+3*z,Dz=4*x-4*y+2*z, t)；結(jié) 果 為：x = (c1-c2+c3+c2e -3t-c3e-3t)e2t y = -c1e-4t+c2e-4t+c2e-3t-c3e-3t+c1-c2+c3)e2t z = (-c1e-4t+c2e-4t+c1-c2+c3)e2t To Matlab（ff3）返 回 微分方程的數(shù)值解微分方程的數(shù)值解（一）常微分方程數(shù)值解的定義（一）常微分方程數(shù)值解的定義 在生產(chǎn)和科研中

5、所處理的微分方程往往很復(fù)雜且大多得不出一般解。而在實(shí)際上對初值問題，一般是要求得到解在若干個點(diǎn)上滿足規(guī)定精確度的近似值，或者得到一個滿足精確度要求的便于計(jì)算的表達(dá)式。因此，研究常微分方程的數(shù)值解法是十分必要的因此，研究常微分方程的數(shù)值解法是十分必要的。的相應(yīng)近似值求出準(zhǔn)確值，值處，即對的若干離散的開始其數(shù)值解是指由初始點(diǎn)，：對常微分方程nnnyyxyxyxxxxxy,y )(,),(),y(x x )y(xy)f(x,y 2121210000返 回 （二）建立數(shù)值解法的一些途徑（二）建立數(shù)值解法的一些途徑001i)y(xy)f(x,y , 1, 2 , 1 , 0 , xynihxi解微分方程

6、：可用以下離散化方法求設(shè)1、用差商代替導(dǎo)數(shù)、用差商代替導(dǎo)數(shù) 若步長h較小，則有hxyhxyxy)()()( 故有公式：1-n,0,1,2,i )(),(001xyyyxhfyyiiii此即歐拉法歐拉法。 2、使用數(shù)值積分、使用數(shù)值積分對方程y=f(x,y), 兩邊由xi到xi+1積分，并利用梯形公式，有：)(,()(,(2)(,()()(11111iiiiiixxiixyxfxyxfxxdttytfxyxyii實(shí)際應(yīng)用時，與歐拉公式結(jié)合使用：, 2 , 1 , 0 ),(),(2),()(11)1(1)0(1kyxfyxfhyyyxhfyykiiiiikiiiii的計(jì)算。然后繼續(xù)下一步，取時，

7、當(dāng)滿足，對于已給的精確度）（ y y 2i111i)(1)1(1kikikiyyy此即改進(jìn)的歐拉法改進(jìn)的歐拉法。故有公式：)(),(),(200111xyyyxfyxfhyyiiiiii 3、使用泰勒公式、使用泰勒公式 以此方法為基礎(chǔ)，有龍格龍格-庫塔法庫塔法、線性多步法線性多步法等方法。4、數(shù)值公式的精度、數(shù)值公式的精度 當(dāng)一個數(shù)值公式的截?cái)嗾`差可表示為O（hk+1）時（k為正整數(shù)，h為步長），稱它是一個k階公式階公式。k越大，則數(shù)值公式的精度越高。歐拉法是一階公式，改進(jìn)的歐拉法是二階公式。龍格-庫塔法有二階公式和四階公式。線性多步法有四階阿達(dá)姆斯外插公式和內(nèi)插公式。返 回 （三）用（三）用

8、Matlab軟件求常微分方程的數(shù)值解軟件求常微分方程的數(shù)值解t，x=solver（f,ts,x0,options）ode45 ode23 ode113ode15sode23s由待解方程寫成的m-文件名ts=t0，tf，t0、tf為自變量的初值和終值函數(shù)的初值ode23：組合的2/3階龍格-庫塔-芬爾格算法ode45：運(yùn)用組合的4/5階龍格-庫塔-芬爾格算法自變量值函數(shù)值用于設(shè)定誤差限(缺省時設(shè)定相對誤差10-3, 絕對誤差10-6),命令為：options=odeset（reltol,rt,abstol,at）, rt，at：分別為設(shè)定的相對誤差和絕對誤差. 1、在解n個未知函數(shù)的方程組時，x

9、0和x均為n維向量，m-文件中的待解方程組應(yīng)以x的分量形式寫成. 2、使用Matlab軟件求數(shù)值解時，高階微分方程必須等價地變換成一階微分方程組.注意注意: 例例 4 0)0( ; 2)0(0)1 (1000222xxxdtdxxdtxd解解: 令 y1=x，y2=y1則微分方程變?yōu)橐浑A微分方程組：0)0(, 2)0()1 (1000211221221yyyyyyyy1、建立m-文件vdp1000.m如下： function ay=vdp1000(t,y) ay=zeros(2,1); ay(1)=y(2); ay(2)=1000*(1-y(1)2)*y(2)-y(1); 2、取t0=0，tf

10、=3000，輸入命令： T,Y=ode15s(vdp1000,0 3000,2 0); plot(T,Y(:,1),-)3、結(jié)果如圖050010001500200025003000-2.5-2-1.5-1-0.500.511.52To Matlab（ff4） 解解 1、建立m-文件rigid.m如下： function dy=rigid(t,y) dy=zeros(3,1); dy(1)=y(2)*y(3); dy(2)=-y(1)*y(3); dy(3)=-0.51*y(1)*y(2);2、取t0=0，tf=12，輸入命令： T,Y=ode45(rigid,0 12,0 1 1); plot

11、(T,Y(:,1),-,T,Y(:,2),*,T,Y(:,3),+)3、結(jié)果如圖To Matlab（ff5）024681012-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81圖中，y1的圖形為實(shí)線，y2的圖形為“*”線，y3的圖形為“+”線.返 回 導(dǎo)彈追蹤問題導(dǎo)彈追蹤問題 設(shè)位于坐標(biāo)原點(diǎn)的甲艦向位于x軸上點(diǎn)A(1, 0)處的乙艦發(fā)射導(dǎo)彈，導(dǎo)彈頭始終對準(zhǔn)乙艦.如果乙艦以最大的速度v0(是常數(shù))沿平行于y軸的直線行駛，導(dǎo)彈的速度是5v0，求導(dǎo)彈運(yùn)行的曲線方程.又乙艦行駛多遠(yuǎn)時，導(dǎo)彈將它擊中？解法一解法一（解析法）假設(shè)導(dǎo)彈在 t 時刻的位置為 P(x(t), y(t)，乙艦位于),

12、 1 (0tvQ. 由于導(dǎo)彈頭始終對準(zhǔn)乙艦，故此時直線 PQ就是導(dǎo)彈的軌跡曲線弧 OP 在點(diǎn) P 處的切線，即有 xytvy10即 yyxtv)1 (0 (1)又根據(jù)題意，弧 OP 的長度為AQ的 5 倍，即 tvdxyx00251 (2) 由(1),(2)消去t整理得模型:(3) 151)1 (2yyx初值條件為: 0)0(y 0)0( y解即為導(dǎo)彈的運(yùn)行軌跡: 245)1 (125)1 (855654xxy當(dāng)1x時245y，即當(dāng)乙艦航行到點(diǎn))245 , 1 (處時被導(dǎo)彈擊中.被擊中時間為:00245vvyt. 若 v0=1, 則在 t=0.21 處被擊中.To Matlab(chase1)

13、軌跡圖見程序chase1 解法二解法二(數(shù)值解)1.建立m-文件eq1.m function dy=eq1(x,y) dy=zeros(2,1); dy(1)=y(2); dy(2)=1/5*sqrt(1+y(1)2)/(1-x); 2. 取x0=0，xf=0.9999，建立主程序ff6.m如下： x0=0，xf=0.9999 x,y=ode15s(eq1,x0 xf,0 0); plot(x,y(:,1),b.) hold on y=0:0.01:2; plot(1,y,b*) 結(jié)論結(jié)論: 導(dǎo)彈大致在（導(dǎo)彈大致在（1，0.2）處擊中乙艦）處擊中乙艦To Matlab(ff6)2151 )1

14、(yyx)1/(15121221xyyyy令y1=y,y2=y1，將方程（3）化為一階微分方程組。 解法三解法三(建立參數(shù)方程求數(shù)值解) 設(shè)時刻t乙艦的坐標(biāo)為(X(t)，Y(t)，導(dǎo)彈的坐標(biāo)為(x(t)，y(t).1設(shè)導(dǎo)彈速度恒為w，則 222)()(wdtdydtdx （1）2. 由于彈頭始終對準(zhǔn)乙艦，故導(dǎo)彈的速度平行于乙艦與導(dǎo)彈頭位置的差向量， 即： yYxXdtdydtdx， 0 （2）消去得：)()()()()()(2222yYyYxXwdtdyxXyYxXwdtdx （3）3因乙艦以速度v0沿直線x=1運(yùn)動，設(shè)v0=1，則w=5，X=1，Y=t 4. 解導(dǎo)彈運(yùn)動軌跡的參數(shù)方程建立m-

15、文件eq2.m如下： function dy=eq2(t,y) dy=zeros(2,1); dy(1)=5*(1-y(1)/sqrt(1-y(1)2+(t-y(2)2); dy(2)=5*(t-y(2)/sqrt(1-y(1)2+(t-y(2)2); 取t0=0，tf=2，建立主程序chase2.m如下： t,y=ode45(eq2,0 2,0 0); Y=0:0.01:2; plot(1,Y,-)， hold on plot(y(:,1),y(:,2),*)To Matlab(chase2) 5. 結(jié)果見圖1導(dǎo)彈大致在（1，0.2）處擊中乙艦，與前面的結(jié)論一致.圖1圖2返 回 在chase

16、2.m中，按二分法逐步修改tf，即分別取tf=1，0.5,0.25,直到tf=0.21時，得圖2.結(jié)論：時刻結(jié)論：時刻t=0.21時，導(dǎo)彈在（時，導(dǎo)彈在（1，0.21）處擊中乙艦。）處擊中乙艦。To Matlab(chase2) 慢跑者與狗慢跑者與狗 一個慢跑者在平面上沿橢圓以恒定的速率v=1跑步,設(shè)橢圓方程為: x=10+20cost, y=20+5sint. 突然有一只狗攻擊他. 這只狗從原點(diǎn)出發(fā),以恒定速率w跑向慢跑者,狗的運(yùn)動方向始終指向慢跑者.分別求出w=20,w=5時狗的運(yùn)動軌跡.1. 模型建立設(shè)時刻t慢跑者的坐標(biāo)為(X(t)，Y(t)，狗的坐標(biāo)為(x(t)，y(t). 則X=10

17、+20cost, Y=20+15sint, 狗從(0,0)出發(fā),與導(dǎo)彈追蹤問題類似，建立狗的運(yùn)動軌跡的參數(shù)方程:0)0( , 0)0()sin1520()sin1520()cos2010()cos2010()sin1520()cos2010(2222yxytytxtwdtdyxtytxtwdtdx 2. 模型求解(1) w=20時時,建立m-文件eq3.m如下: function dy=eq3(t,y) dy=zeros(2,1); dy(1)=20*(10+20*cos(t)-y(1)/sqrt (10+20*cos(t)-y(1)2+(20+15*sin(t)-y(2)2); dy(2)=

18、20*(20+15*sin(t)-y(2)/sqrt (10+20*cos(t)-y(1)2+(20+15*sin(t)-y(2)2);取t0=0，tf=10，建立主程序chase3.m如下： t0=0;tf=10; t,y=ode45(eq3,t0 tf,0 0); T=0:0.1:2*pi; X=10+20*cos(T); Y=20+15*sin(T); plot(X,Y,-) hold on plot(y(:,1),y(:,2),*) 在chase3.m，不斷修改tf的值,分別取tf=5, 2.5, 3.5,至3.15時,狗剛好追上慢跑者.To Matlab(chase3) 建立m-文件eq4.m如下: function dy=eq4(t,y) dy=zeros(2,1); dy(1)=5*(10+20*cos(t)-y(1)/sqrt (10+20*cos(t)-y(1)2+(20+15*sin(t)-y(2)2); dy(2)=5*(20+15*sin(