1、 哈爾濱工程大學理學院哈爾濱工程大學理學院 矩陣論教學團矩陣論教學團隊隊 Department of Mathematics, College of Sciences課前預習、課中提高效率、課后復習課前預習、課中提高效率、課后復習書后要求的習題書后要求的習題, ,主動自覺做主動自覺做, ,抽查和不定時收取抽查和不定時收取 使用教材使用教材 矩陣論教程國防工業出版社矩陣論教程國防工業出版社 2012其他輔導類參考書（自選）其他輔導類參考書（自選）課課 程程 要要 求求作業要求作業要求授課預計授課預計 (8學時學時)1第七章第七章 矩陣函數矩陣函數矩陣序列矩陣序列矩陣級數矩陣級數矩陣多項式矩陣多項

2、式矩陣函數矩陣函數234教教 學學 內內 容容 和和 基基 本本 要要 求求1, 掌握矩陣序列和級數的概念及收斂定理；掌握矩陣序列和級數的概念及收斂定理；2, 掌握矩陣函數的概念和性質，及一些常見矩陣函數冪掌握矩陣函數的概念和性質，及一些常見矩陣函數冪級數展開式；會用多種方法計算簡單的矩陣函數級數展開式；會用多種方法計算簡單的矩陣函數 f(A) ；3, 掌握并會求解矩陣多項式，化零和最小多項式，以及掌握并會求解矩陣多項式，化零和最小多項式，以及Cayley-Hamilton定理。定理。重點重點: : 矩陣序列和級數收斂性定理；常見矩陣冪級數展開矩陣序列和級數收斂性定理；常見矩陣冪級數展開 式；

3、式；Cayley-HamiltonCayley-Hamilton定理；定理； 簡單的矩陣函簡單的矩陣函數的計算。數的計算。難點難點: Cayley-Hamilton: Cayley-Hamilton定理；矩陣函數的計算。定理；矩陣函數的計算。矩陣多項式與矩陣函數均為矩陣理論中非常重矩陣多項式與矩陣函數均為矩陣理論中非常重要的概念，本章將給出矩陣多項式與矩陣函數的相要的概念，本章將給出矩陣多項式與矩陣函數的相關概念和性質，并給出關概念和性質，并給出Cayley-Hamilton定理和矩定理和矩陣函數的陣函數的Jordan表示和多項式表示。表示和多項式表示。 矩陣多項式矩陣多項式7.3矩陣的最小多

4、項式在矩陣相似、若當標準型、矩矩陣的最小多項式在矩陣相似、若當標準型、矩上的上的 n 階方陣。階方陣。n nC 都是復數域都是復數域陣函數和矩陣方程中都有很重要的應用，本節將給出陣函數和矩陣方程中都有很重要的應用，本節將給出Cayley-Hamilton定理。本節約定，以下討論的矩陣定理。本節約定，以下討論的矩陣 A矩陣多項式和最小多項式的概念和一些性質，并給出矩陣多項式和最小多項式的概念和一些性質，并給出7.3.1 矩陣的化零多項式矩陣的化零多項式deg ( )p An 1110( )nnnnp xa xaxa xa 定義定義1 已知已知 和關于變量和關于變量 的多項式的多項式xn nAC

5、0 na多項式多項式 的次數的次數 也稱為也稱為 的次數的次數, 記為記為:n( )p A( )p x那么我們稱那么我們稱 為相應于為相應于 的關于方陣的關于方陣 的矩陣多項式。的矩陣多項式。A( )p x 1110nnnnnpaaaaAAAAE( )p A顯然顯然也為復數域也為復數域上的上的 n n 階方陣。下面階方陣。下面n nC 給出矩陣多項式的幾個性質。給出矩陣多項式的幾個性質。性質性質1 設設 為為C上關于變量上關于變量x多項式多項式, 則則對任意的對任意的 方陣方陣 有有:( ), ( )f xg xn nAC （1） () ()() ()()()f A g Ag A f AfgA

6、 其中其中 。()( ) ( ) fgf x g x （2） ()()()()()()f Ag Ag Af AfgA 其中其中 。()( )( )fgf xg x 性質性質2 設設 為為C上關于變量上關于變量x多項式多項式, 則對任意則對任意給定的可逆陣給定的可逆陣 ( )f x, 有：有：n nnTC 11()()f TATTf A T 其中其中 為較為較 A 更低階方陣，則：更低階方陣，則：12,sA AA性質性質3 設設 為為C上關于變量上關于變量 的多項式的多項式( )f xx1212diag(,)ssAAAA AAA若方陣若方陣A為分塊對角陣，即有為分塊對角陣，即有1212( )()

7、( )=diag( ( ), (), ()()ssfffffffAAAAAAA征值征值 的特征向量，即的特征向量，即 ，則，則 也為也為 的的 A ()f A關于關于 的特征向量，即的特征向量，即 。( )f ()( )f Af 定義定義2 設設 , 如果多項式如果多項式 滿足滿足 定義定義2 n nAC ( )p x( ),p AO 則稱則稱 是矩陣是矩陣A的化零多項式。的化零多項式。( )p x容易看出容易看出, 如果如果 , 則對任意的多項式則對任意的多項式 ，()f AO ( )g x性質性質4 設設 為為 x 的多項式的多項式, 若若 為方陣為方陣A關于特關于特 ( )f xnC 令

8、令 , 都滿足都滿足 ( )( ) ( )F xf x g x ( )( ) ( ),F Af A g AO可見化零多項式不唯一。可見化零多項式不唯一。定理定理1任何方陣任何方陣 都存在化零多項式。都存在化零多項式。n nAC 證明：設證明：設 ，由于，由于 的維數為的維數為 ，所以，所以n nAC n nC 2n22,nE A AA這這 個向量必線性相關，個向量必線性相關，21n 一組不全為零的數：一組不全為零的數： , 使得：使得：201,na aa2201nna Ea Aa AO 有有 , 即即 中任意的中任意的A，都存在化零多項式。，都存在化零多項式。()f AO n nC 即存在即存

9、在作多項式作多項式 , 且且 不恒為零不恒為零 , 則則2201( )nnf xaa xa x ( )f x定理定理2證明：略。證明：略。（Cayley-Hamilton定理）定理） 設設 ，n nAC 為為 A 的特征多項式的特征多項式, 即有即有 1110nnnna xaxa xa 1110=det()nnnnna xaxa xaEA則則 1110=nnnnnaaaaAAAAEO解答解答: 的特征多項式的特征多項式 A由由Cayley-Hamilton定理知定理知,( )0f A 例例1 設矩陣設矩陣 ,121020003A試計算試計算 6543261156135hAAAAAAAE 32d

10、et6116fEA即：即： 。因此多項式。因此多項式326116AAAEO 65432332361156135(1)(6116)21(1) ( )21hfAAAAAAE 3() ( ) 22hfAAEAA EA E所以所以例例2 已知已知 利用利用 Cayley-Hamilton定理求定理求 300021012A 1 A解答解答: A的特征多項式為的特征多項式為:由由Cayley-Hamilton定理得定理得所以所以:即即:32300det()( )02171612012fEA3271612AAAEO2(716)12A AAEE121(716)12AAAE7.3.2 矩陣的最小多項式矩陣的最小

11、多項式定理定理3 定義定義3 設設 , 在在 A 的化零多項式中的化零多項式中, 次數最次數最定義定義3 n nAC 低的首一多項式稱為低的首一多項式稱為A的最小多項式的最小多項式, 記為記為 。 ( )m x證明：由多項式帶余除法得證明：由多項式帶余除法得設方陣設方陣 ,則則A 的任一化零多項式的任一化零多項式 都能被其最小多項式都能被其最小多項式 整除。整除。 n nAC p x( )m x( )( ) ( )( )P xq x m xr x其中其中 或或 。( )0r x 2deg ( )deg( )r xm x于是有：于是有： ( )( ) ( )( )PqmrAAAAO定理定理4方陣

12、方陣A的最小多項式是唯一的。的最小多項式是唯一的。所以所以 ，即，即 也是也是A的化零多項式。又因為的化零多項式。又因為 是是A的最小多項式，可知的最小多項式，可知 是是 的所有化零的所有化零多項式中次數最低的多項式中次數最低的( )rAO( )r x m x m x故有故有 ，即，即 。( )( )m x P x( )0r x 證明：設證明：設 都是都是 A 的最小多項式，可知的最小多項式，可知 都是都是A的零多項式，則有定理的零多項式，則有定理3可知可知12( ),( )mx mx12( ),( )mx mx21( )( )m x m x12( )( )m x m x且且所以有所以有12(

13、 )( ),0m xcm xc定理定理5設矩陣設矩陣A為分塊矩陣，且有為分塊矩陣，且有又由于又由于 都是首一多項式，都是首一多項式， 所以所以 即即 12( ),( )mx mx1c 12( )( )m xm x12sAAAA則則A的最小多項的最小多項 多等于多等于 （ ）的）的最小多項式最小多項式 中的最小公倍式。中的最小公倍式。( )mxAiA1,2,is( )imxA12()()( )()sggggAAAOA即即 整除整除 。( )mxA( )g x證明：設證明：設 的最小多項式為的最小多項式為 （ ），）， A的最小多項式為的最小多項式為 ， 的最小公倍式是的最小公倍式是 由由 整除整

14、除 知知 。因此。因此iA( )imxA( )mxA1,2,is( )imxA( )g x( )imxA( )g x()0igA(1,2, )is，又因為又因為12()()( )()smmmmAAAAAAAOA則對于每一個則對于每一個 有有 ,即即 整除整除 。而。而 是是 的最小公倍式，故的最小公倍式，故 整除整除 ，綜上有，綜上有 。i(1,2, )is( )imxA( )mxA( )g x( )( )mxg xA()imAAO( )imxA( )g x( )mxA定理定理6證明：證明：由由cayley-Hamilton定理知定理知 為為 的化的化零多項式，且首系數為零多項式，且首系數為1

15、。則由定理。則由定理3可知最小多項可知最小多項式是必是式是必是 的一個因子，注意到的一個因子，注意到( )maJ( )()ma ( )()ma 0 10( )10maaJEO, ,000( )0000mmaaJEO 而而1010( )00 00mmJ aaEO 證明：因為證明：因為 A 與與Jordan矩陣矩陣 J 相似，所以存在可逆相似，所以存在可逆陣陣 P，使得：，使得： 定理定理7設設 ，則，則 A 的最小多項式的最小多項式 是是 An nrAC ( )m x的最后一個不變因子。的最后一個不變因子。121sJJPAPJ 推論推論1推論推論2相似矩陣具有相同的最小多項式。相似矩陣具有相同的

16、最小多項式。證明證明 設設 ,且且A與與B相似，相似， 分別是分別是 A與與B的最小多項式。由的最小多項式。由A與與B相似，即存在可逆矩陣相似，即存在可逆矩陣 T使得使得 ，則有，則有A與與B具有相同的具有相同的Jordan標準標準型。綜合定理型。綜合定理7可知可知A與與B具有相同的最小多項式。具有相同的最小多項式。n nA B,C( ),( )mx mxAB1BTAT需要指出的是，雖然相似矩陣有相同的最小多項需要指出的是，雖然相似矩陣有相同的最小多項式，但最小多項式相同的矩陣不一定相似。式，但最小多項式相同的矩陣不一定相似。推論推論3 矩陣矩陣A與對角矩陣相似的充分必與對角矩陣相似的充分必要

17、條件是要條件是A的最小多項式沒有重根。的最小多項式沒有重根。例例3設矩陣設矩陣000100aaaA，其中，其中aC求求A 的最小多項式的最小多項式 ( )m xA解解 :顯然，矩陣顯然，矩陣A的的Jordan標準型標準型 ，因此有，因此有A有有兩個初等因子，分別為兩個初等因子，分別為 和和 ，由本節定理，由本節定理7的推論的推論1有有A的最小多項式為的最小多項式為 。J A2() aa2( )()mxxaA解：首先求出矩陣解：首先求出矩陣A A的的SmithSmith標準形標準形例例4 求求 的最小多項式的最小多項式 。110430102 A( )mxA+11010(2)=430034(2)1

18、0201(2)(1)EA210010001(2)(1)010034(2)00(2)(1)由定理由定理7 7知知2( )(2)(1)mA因此，因此，A A的最小多項式有如下六種可能的最小多項式有如下六種可能例例5 求求 的最小多項式的最小多項式 。( )mxA5 00000 50000 00010 02120 0102A23( )(5) (1) EA解：顯然矩陣的最小多項式是其零多項式的因式，解：顯然矩陣的最小多項式是其零多項式的因式，故可利用矩陣的特征多項式來求解。經過簡單運算故可利用矩陣的特征多項式來求解。經過簡單運算可得矩陣可得矩陣A A的特征多項式為的特征多項式為(5)(1)2(5)(1)3(5)(1)2(5) (1)22(5) (1