1、第四章第四章 數系的擴充與復數的引入數系的擴充與復數的引入4.1.1 4.1.1 數的概念的擴展數的概念的擴展自然數自然數整數整數有理數有理數實數實數負整數負整數分數分數無理數無理數問題問題3 3：有理數能表示：有理數能表示1 1和和2 2的等比中項嗎？的等比中項嗎？問題問題1 1：在自然數集中方程：在自然數集中方程X X+4=2+4=2有解嗎？有解嗎？問題問題2 2：在整數集中方程：在整數集中方程3 3x x-1=0-1=0有解嗎？有解嗎？自然數自然數整數整數有理數有理數實數實數數數 系系 的的 擴擴 充充負整數負整數分數分數無理數無理數數系每次的擴充都是數系每次的擴充都是使得原有的運算性質

2、仍然成立，使得原有的運算性質仍然成立，并且解決了舊數系中出現的矛盾并且解決了舊數系中出現的矛盾. 增加新元素增加新元素加加除除乘乘減減乘方乘方在實數集解在實數集解 ？ xx, 12類類比比擴擴充充對于一元二次方程對于一元二次方程 沒有實數根沒有實數根012 x12 x12 ii瑞士瑞士 歐拉歐拉Leonhard Euler 公元公元1707-1783年年17771777年，歐拉在其論文中首次用年，歐拉在其論文中首次用符號符號“i”表示平方等于表示平方等于-1-1的新數的新數. .復數的由來復數的由來 德國德國 高斯高斯Carl Friedrich Gauss 公元公元17771855年年180

3、11801年年,Gauss,Gauss系統地使用系統地使用“i”這個符號這個符號,使使“i”通行于世通行于世.復復數數的的由由來來一個新數一個新數 i ，并把它叫做，并把它叫做虛數單位虛數單位 （1）i； （2） i 例如例如1.1.實數實數a a與與i相加，記作：相加，記作：a+a+i2.2.實數實數b b與與i相乘，記作：相乘，記作：b bi 特別的特別的b=0時時 ，0i=03.3.實數實數a a與與b bi相加，記作：相加，記作：a+ba+bi這些運算都可以寫成這些運算都可以寫成 a+ba+bi(a,bR)a,bR)的形式的形式. .形如形如a+bi(a,bR)的數叫做的數叫做復數復數

4、復數復數 a+b實數（實數（b = 0） （b 0）虛數虛數純虛數（純虛數（a=0）（a0）非純虛數非純虛數a =Re Zb =lm ZC=a+bi | a,bR 自然數整數有理數實數 ？負整數負整數分數分數無理數無理數復數虛數虛數NZQR0b0a(,)abiaRbR復數虛數特別地特別地，實數0b純虛數純虛數集集集集72618. 0i725 5i -2 -2 31i2i0 0練習練習1.說出下列復數中哪些是實數，說出下列復數中哪些是實數， 哪些是虛數，哪些是純虛數？哪些是虛數，哪些是純虛數？實數實數純虛數純虛數虛數虛數0i1.1.實數實數m m取什么值時，復數取什么值時，復數 是（是（1 1）實數？）實數？ （2 2）虛數？）虛數？ （3 3）純虛數？）純虛數？immz)1(1 解解: :（1 1）當當 m-1=0，（2 2）當當 ，即，即 時，復數時，復數z是虛數是虛數01 m1 m（3 3）當當 0101mm即即 時，復數時，復數z是是純虛數純虛數1 m實部實部 即即m=1時，復數時