1、第章矩陣特征值的計算第1頁，共38頁。引言第2頁，共38頁。第8章 矩陣特征問題的計算第3頁，共38頁。定義定義1 設矩陣設矩陣A, B R n n，若有可逆陣若有可逆陣P，使使 則稱則稱A與與B相似相似。APPB1定理定理1 若矩陣若矩陣A, B R n n且相似且相似，則則（1）A與與B的特征值完全相同的特征值完全相同；（2）若若x是是B的特征向量的特征向量，則則Px便為便為A的特征向量的特征向量。8.1特征值與特征向量的基礎知識第4頁，共38頁。定理定理2： 設設A R n n具有完全的特征向量系，即存在具有完全的特征向量系，即存在n個個線性無關線性無關 nDAPP 211其中其中 i為

2、為A的特征值的特征值，P的各列為相應于的各列為相應于 i的特征向量的特征向量。 的特征向量構成的特征向量構成Rn的一組基底的一組基底，則經相似變換可化則經相似變換可化A為為對角陣，即有可逆陣對角陣，即有可逆陣P，使使第5頁，共38頁。定理定理3 ：A R n n， 1, , n為為A的特征值的特征值，則則 niiniiiaAtr11)( （2）A的行列式值等于全體特征值之積，即的行列式值等于全體特征值之積，即nA 21)det( （1）A的跡數等于特征值之和，即的跡數等于特征值之和，即第6頁，共38頁。定理定理4 設設A R n n為對稱矩陣為對稱矩陣，其特征值其特征值 1 2 n，則則 （1

3、）對任意對任意A R n，x0，1),(),( xxxAxn),(),(min0 xxxAxxn（2）),(),(max01xxxAxx（3）第7頁，共38頁。定理定理5 （Gerschgorin圓盤定理圓盤定理） 設設A R n n，則則niaaznijjijii, 2, 1,1 表示以表示以aii為中心為中心，以以 半徑為的復平面上的半徑為的復平面上的n個圓盤個圓盤。 nijjija1（2）如果矩陣如果矩陣A的的m個圓盤組成的并集個圓盤組成的并集S（連通的連通的）與其余與其余（1）A的每一個特征值必屬于下述某個圓盤之中的每一個特征值必屬于下述某個圓盤之中，n m個圓盤不連接個圓盤不連接，則

4、則S內恰包含內恰包含m個個A的特征值的特征值。 第8頁，共38頁。 關于計算矩陣關于計算矩陣A的特征值問題，當的特征值問題，當n2,3時，我們還時，我們還可按行列式展開的辦法求可按行列式展開的辦法求 ()=0的根的根. 但當但當n較大時，如較大時，如果按展開行列式的辦法，首先求出果按展開行列式的辦法，首先求出 ()的系數，再求的系數，再求 ()的的根，工作量就非常大，用這種辦法求矩陣的特征值是不根，工作量就非常大，用這種辦法求矩陣的特征值是不切實際的，由此需要研究切實際的，由此需要研究求求A的特征值及特征向量的數值解的特征值及特征向量的數值解法法. 本章將介紹一些計算機上常用的本章將介紹一些計

5、算機上常用的兩類方法兩類方法，一類是，一類是冪法及反冪法冪法及反冪法（迭代法），另一類是（迭代法），另一類是正交相似變換的方法正交相似變換的方法（變換法）（變換法）.第9頁，共38頁。定理定理6 設設A Rn n有完全特征向量系有完全特征向量系，若若 1, 2, n為為A的的n個特征值且滿足個特征值且滿足n21 對任取初始向量對任取初始向量x(0) Rn，對乘冪公式對乘冪公式)1()( kkAxx確定的迭代序列確定的迭代序列xk，有下述結論有下述結論： 8.2.2乘冪法第10頁，共38頁。（1）當當 時時，對對i = 1, 2, , n211)()1(lim kikikxx收斂速度取決于收斂速

6、度取決于 的程度的程度，r 2 n ，且，且 | 2 | | n |。取取 0（常數），用矩陣（常數），用矩陣B = A - 0I 來代替來代替A進行乘冪迭代。進行乘冪迭代。0 ii (i = 1, 2, , n)iiiiiivvAvvIABv)()(000 設設 i (i = 1, 2, , n)為矩陣為矩陣B B 的特征值，則的特征值，則B與與A特征值之間特征值之間應有關系式：應有關系式：第16頁，共38頁。關于矩陣關于矩陣B的乘冪公式為的乘冪公式為 )0(0)0()()(xIAxBxkkk 為加快收斂速度，適當選擇參數為加快收斂速度，適當選擇參數 0，使使kjnj01020max)( 達

7、到最小值。達到最小值。 jjnjjkvv201021101)( jkjnjjkvv12111 第17頁，共38頁。當當 i (i = 1, 2, , n)為實數，且為實數，且 1 2 n時，取時，取)(212*0n 則為則為 ( 0) 的極小值點。這時的極小值點。這時122122122*01*02221212121 nnnn第18頁，共38頁。若若 A 有有| 1 | | 2 | | n |，則，則 A 1 有有11111 nnA 1 的主特征根的主特征根 A的絕對值最小的特征根的絕對值最小的特征根)()1(kkxAx )(1)1(kkxAx 如何計算如何計算解線性方程組解線性方程組對應同樣一

8、組特征向量。對應同樣一組特征向量。設設A Rn n可逆，則無零特征值，由可逆，則無零特征值，由)0( xxAx 有有 xxA 11 8.2.3 反冪法第19頁，共38頁。規范化反冪法公式為規范化反冪法公式為 ), 1, 0()max()()1()()()(kyAxxxykkkkk如果考慮到利用原點移位加速的反冪法，則記如果考慮到利用原點移位加速的反冪法，則記B = A - 0I，對任取初始向量對任取初始向量x(0) Rn， ), 1, 0()max()()1()()()(kyBxxxykkkkk第20頁，共38頁。斯密特斯密特（Schmidt）正交化過程：正交化過程： 設設 1， 2， 3 為

9、為R3上的三個線性無關的向量，上的三個線性無關的向量，令令 ，則，則 1為單位長度的向量，再令為單位長度的向量，再令2111222211222,),( 可以驗證可以驗證（ 1, 2）= 0，即，即 1與與 2正交。若令正交。若令22311333),(),( 則則0),(),(2313 8.2.4 QR方法基礎第21頁，共38頁。2333 即與即與 1, 2正交，將其單位化為正交，將其單位化為于是向量組于是向量組 1, 2, 3構成構成R3上一組標準正交基，且上一組標準正交基，且232322131221321321),(),(),(,QR其中其中Q = 1, 2, 3為正交矩陣，為正交矩陣，R是

10、上三角陣。是上三角陣。第22頁，共38頁。對對n維向量空間，設維向量空間，設 1, , n為為Rn上上n個線性無關的向量，個線性無關的向量，類似有類似有11 2111 11222),( 2222 22311333),(),( 2333 jjnnjnn ),(11 2nnn 第23頁，共38頁。 232322322113122111),(),(),(),(),(),(,nnnnnn 即即QR Q為正交陣為正交陣，R 為上三角陣為上三角陣第24頁，共38頁。將將n個線性無關向量變換為個線性無關向量變換為n個兩兩正交向量的方法稱為個兩兩正交向量的方法稱為 斯密特正交化方法。斯密特正交化方法。斯密特正

11、交化過程將可逆陣斯密特正交化過程將可逆陣A分解為正交陣與上三角陣的乘積。分解為正交陣與上三角陣的乘積。第25頁，共38頁。5.4 對稱矩陣的雅克比對稱矩陣的雅克比 (Jacobi) 旋轉法旋轉法 1預備知識預備知識1）若若B是上（或下）三角陣或對角陣，是上（或下）三角陣或對角陣，則則B的主對角元素即是的主對角元素即是B的特征值的特征值。2）若矩陣若矩陣P滿足滿足PTP = I，則稱則稱P為正交矩陣為正交矩陣。顯然顯然PT = P-1，且且P1, P2, 是正交陣是正交陣時時，其乘積其乘積P = P1P2Pk仍為正交矩陣仍為正交矩陣。第26頁，共38頁。3）稱矩陣稱矩陣jiPij11cossin

12、11sincos11為旋轉矩陣為旋轉矩陣 第27頁，共38頁。2雅克比方法雅克比方法設矩陣設矩陣A Rn n是對稱矩陣是對稱矩陣，記記A0 = A，對對A作一系列旋轉作一系列旋轉相似變換相似變換), 2, 1(1 kPAPATkkkk其中其中Ak (k = 1, 2,)仍是對稱矩陣仍是對稱矩陣，Pk的形式的形式第28頁，共38頁。 jiPk11cossin11sincos11 第29頁，共38頁。)()()()(kijkijkjjkiipppp sin cos)()()()( kqpkpqkqqkppppppqpjippkijkii,01)()( Pk是一個正交陣是一個正交陣，我們稱它是我們稱

13、它是（i, j）平面上的旋轉矩陣平面上的旋轉矩陣 PkAk-1Pk只改變只改變A的第的第i行行、j行行、i列列、j列的元素列的元素；Ak和和Ak-1的元素僅在第的元素僅在第P行（列）和第行（列）和第q行（列）不同行（列）不同，它們之間有如下的關系它們之間有如下的關系：第30頁，共38頁。qpiaaaaaaaakqikiqkipkiqkpikiqkipkip,cossinsincos)()1()1()()()1()1()( )sin(coscossincoscossin2sinsincossin2cos22)1()1()1()(2)1()1(2)1()(2)1()1(2)1()( kpqkqqk

14、ppkpqkqqkpqkppkqqkqqkpqkppkppaaaaaaaaaaaa第31頁，共38頁。我們選取我們選取Pk，使得使得 ，因此需使因此需使 滿足滿足0)(kpqa)1()1()1(22tg kqqkppkpqaaa 將將 限制在下列范圍內限制在下列范圍內44 如果如果 0)1()1( kqqkppaa0)1( kpqa4 0)1( kpqa4 第32頁，共38頁。直接從三角函數關系式計算直接從三角函數關系式計算sin 和和cos ，記，記)1()1()1()1()1(2sinkijkjjkiikjikiiaaaxaay則則yx2tg當當 時，有下面三角恒等式：時，有下面三角恒等式

15、：422222tg112cos1cos2yxy第33頁，共38頁。于是于是 2221cos2yxy采用下面公式計算采用下面公式計算 sin 222cos2tgcossin22sinyxx第34頁，共38頁。特征向量特征向量的的計算計算P0 = ITkkkPPP1qpjPPPPPPPPkijkijkiqkipkiqkiqkipkip,cossinsincos)1()()1()1()()1()1()(記記則則 Pk 的元素為的元素為：第35頁，共38頁。算法：算法： 1從從A(k-1)中找出絕對值最大元素中找出絕對值最大元素qpakqp,)1(,2若若 ，則為對角陣，停則為對角陣，停 )1(kpqa ) 1(kpqa若若 )1()1