第一拼質段運動學

主要內容：

一、質點運動學的幾個基本概念

二、運動的描述——四個基本量

一、質點運動學的幾個基本概念

質點，質點系，剛體一理想模型

1.質點模型、質點系：當物體的線度（大小和幾

何形狀）對所研究物體運動狀態的影響可以忽略不

計時，用一個集中了物體所有質量的數學點來代

表物體的運動狀態，該點稱為質點。許多相互聯

系的質點組成的系統稱為質點系。

2.剛體模型：當物體的形變對其運動狀態的影響

可以忽略不計時，將物體看作為一個不發生形變

的幾何體。

參考系一運動的絕對性，描述運動的相對性

運動是普遍的、絕對的，但對運動的描述卻

是相對的。選取的參考系不同，對物體運動情況

的描述不同，這就是運動描述的相對性。描述一

個物體的運動，總得選擇另一物體或幾個彼此之

間相對靜止的物體作為參考，這就要求引入參考

系。

參考系：用來確定待描述物體空間位置和方向而

引入的物體或物體系。

參考系的選擇？P16

坐標系：固定在參考系上，用來確定待描述物體

空間位置和方向而引入的數學坐標系。

常用坐標系

直角坐標系（、“，二）球坐標系"九夕）

柱坐標系自然坐標系（s）

質點運動的矢量描述

6、.衛星

x/二■注不（地心）

運動質點

.........廣切線自然坐標系

法線/Vs"-由運動曲線上任

/荔\T一點的法線和切

線組成

矢量基本知識

(vector)

有大小、有方向，且服從平行四邊形運算法則的量。

線段長度（大小）：箭頭（方向）。

A（附有箭頭）

印刷A（用黑體字，不附箭頭）

在W平面上的某矢量該矢量~A的坐標

7|A

_手書

V...........2

A=xz+vj

印刷

A=xi+yj

在課本中慣用印刷形式.

j分別為KY軸的

；、在本演示課件中，為了

單位矢量（大小為1,方向配合同學做了書作業，采

分別沿1；Y軸正向）。用手書形式。

矢量的基本運算（fiindamentaloperationsofvectors）

矢量加法（vectorialaddition）

yA=A^A2服從平行四邊形法則

不、A2為鄰邊A為對角線

A

2/'：若A=（Xi+X2）7+（^1+^2）j

子彳:則不=（無7：2萬+（必寸2）1

彳24=4+（一彳2）

I..J4；反向為一否減法相當于將一矢量反向后再相加。

位置矢量與原點、

二位置矢量運動方程位移

選取有關J

1位置矢量一一

確定質點尸某一時刻在

坐標系里的位置的物理量稱

位置矢量，簡稱位矢尸.

r=xi+yj+二k

式中八J、上分別為x、y＞二

方向的單位矢量.

位矢產的值為；'=|r=Jf+V+z2

位矢r的方向余弦

rcosa=x/r、2c

1.cos-a+cos^p

\cosp-y/r、

"cos/=z/r+cos7=1

2運動產程__

產（。=1叱?+興。1+二（從

「二Xr）

分量式]y=v（0

[z=z（r）

從中消去參數/得軌跡方程

/（MKZ）=0

經過時間間隔△/后，質點位置矢量發生變化，由

始點A指向終點B的有向線段.4B稱為點A到B的

位移矢量△產.位移矢量也簡稱位移.

△產=%—

???rB=rA+\r：.rA

又〃=可+力，7—j

rB=xB7+yBJ/

所以位移下=七D一汽A

Ar=(xB-x4y+05-X4)J

若質點在三維空間中運動，

則在直角坐標系。干二中其位

移為

Ar=(xB-XA)7+(v>-yA)j+(zB-zA)k

位移的大小為|Ar|=WAX2+Ay2+AZ2

4路程(As)：質點實際運動軌跡的長度.

位移的物理意義

A)確切反映物體在空

間位置的變化，與路徑無

關，只決定于質點的始末位

置?B)反映了運動的矢量

性和疊加性.

Ar=+Ajy+Az后

ArI.+A)~+Az-

:;噎意MI△尸IHA八位矢長度的變化

斗八弋「~~2~~Iq——2

△r=收+y；+z2-.1-+*+ZJ

。討論位移與路程

(A)外尸2兩點間的路程

是不唯一的，可以是△或As,

而位移△尸是唯一的.

(B)一般情況，位移

大小不等于路程.

A5

(C)耳么南況M二As?

不改變方向的直線運動；當A/f0時|△川二As.P18

(D)位移是矢量，路程是標量.

例：一個質點作勻速率圓周運動，圓周半徑為H,角

速度為。，試分別寫出用直角坐標、位矢表示的

質點運動學方程。

三速度描述質點運動方向和位置變化快慢的矢量

1平均速度

在△/時間內，質點從點

A運動到點B,其位移為

Ar=r(f+Ar)-r(r)

△，時間內，質點的平均速度

=ArAx；Av-

v--=—I+—1

_\t\t\t

或V=vj+vvj平均速度胃與△尸同方向.

平均速度大小同?等+(沙

2瞬時速度

當N-?0時平均速度的極限值叫做瞬時速度,

簡稱速度

_..△7dr

P—111X1———

△7Ndr

方向：當質點做曲線運動時，

質點在某一點的速度方向就

是沿該點曲線的切線方向.

大小

當加.0時，|d用二ds

一dA--dy-

v=lim—i+Inn—jV-....Z4-----J

Ar->0A/Ar-?0A/dr-4^-

①=vxi+vyj

若質點在三維空間中運動，

其速度為

_dx-d】'rdz

v=——i+—i+—kr

drdrdr

瞬時速率：速度力的大小稱為速率

dy.J匕、，

v=(/+(%)2+(/

一運動質點在某瞬時位于矢徑r(x,v)的端點

處，其速度大小為

drdr

（A）—（B）—

drdr

（c）普★（d）舊2居）

結論：

i.瞬時速度是描述質點位置變化快慢和運

動方向的矢量。

_(ir

v=—

dr

2.0的方向：

質點在/時刻的速度方向就沿著該時刻

質點所在處運動軌道的切線而指向前方。

3.。的大小：

速率'=~dF注意：*工￥

第三次課

?加速度

?運動學兩類問題

?自然坐標系

四加速度（反映速度變化快慢的物理量）

1）平均加速度

單位時間內的速度增

量即平均加速度

■△力

a

Ar

,與△幣同方向.

2）（瞬時）加速度

_..AJdp

a-

4T）2dr

ddd1產ck'.-dc_

加速度v

AP

加速度大小o-lim一

△iO△，

d2x

質點作三維運動時加速度為

drdr

萬=ai+aj+a_k

AJv”.

加速度大____________

I222

Q二,4；+4；+4]

0討論]卜巾幺Av膽

AP二v(t+Ar)-P(r)

|Ap|=|p(r+Ar)-P(r)|

在Ob上截取OC—oci

有\v-cb

.一,一

A方=oc+cb

△?n=4C一二速度方向變化

APt二C—速度大小變化

例勻速率圓周運動

因為。（，）=。（/+山）

所以■?三0

dr

而忖=a芋0

結論：

瞬時加速度是矢量，精確反映速度變化的大

小及速度的方向。

1.1的方向：

當A/TOAF的極限方向即（1尸的方向。

當質點作曲線運動時，）的方向總是指向軌跡曲

線凹的一面，與同一時刻速度下的方向一般是不

同的。

2.a的大小

同=不樸吟

描述質點運動的物理量的三個共性:

1.矢量性不依賴于坐標系的選擇

2.瞬時性

3.相對性：與參考系的選擇有關。

特別注意:

dr

v工《?

dr

一個矢量的改變包括該矢量大小的

改變和該矢量方向的改變

?描述質點運動的物理量＜1、結

運動學方程尸=尸（力=xs『+gsf+zsf

運位置矢量7=Xi+yj+zk,rx\y2+z2

動

狀速度訕塞嚕升韻.+蝌,________

態

2

=Uxi+uyj+uJ,v=Jvx+^+v/

運位移△/■=另一］=

動

狀加速度萬=游=整暗+靜廣甑

態

的

變

化瓦=及丁+及〃=修王+省方,a=^ar+a?

前一例：一個質點作勻速率圓周運動，圓周半徑為

R,角速度為小試用直角坐標表示質點的速度和

加速度.

解：..

r=A*/+yj=Rcosco"+Rsiu?/j

髀汴W+Mj+z(詞注意：矢量

求導！.

=-(oRsiucor/+R8cosstj

—dt*,—,—

a=一。-Rcos(Dfi-Ro'sin(otj

drJ

例：一質點運動軌跡為拋物線

x=一廠,c

,==>y=-x~-2x(Z=0)

7="+2〃*

求：.\=-4m時(F>0)粒子的速度、速率、加速度。

分析：工=-4in時，1=1s

解:

練習力=?4.=-12"+4=-44

4-=-2jj

例人以恒定的速率”運動，船之初速為0,求:

解：’=<!)*'一一I對時間求導口

船靠岸的速率3*二F其中詈…

解：以射為不究對象.還取中為參考系.建立如圖生J系］乂出;金矢為

rxi^hj

速生定乂存

注意到X=J，f?見

質點運動學兩類基本問題I

已知

任一時剜的

速或認力

加速度〃〈力

_____________R運_____________

皿E力■田/右‘皆包存程

箜歹=鱉雙自小dty)

壬加迪慶方程一一八一1血仄才和&

黃石=萬⑺及而)v-%=J°”Lv=va>

—曲馴的疆件定程分常JSn.Vo——一■…

運動學中的第一類問題例題

例1:已多質點運動方程：

尸=2，+(2-〃方(5Z)

求：⑴時間，=0T2s的位移和

路程

⑵心時認萬

解:⑴r=05,r0=2j;t=2s,%=4"2j

布=-2j-2j=4i-4j

=/=5.65(m)

0=-?

路程4=J：.對弧長的曲線積分：

&9=^(Lv):4-(dj)2=+.\，(Lv

2注意:統一積分變量

PQ=J：(1S=5.91(///)(>|zlr|)

(2)v=牛=2/-2(/;v|^=2/-4；;|r|^^O(/n/s)

另解I，=竺=+工氣:

1=25,.v=4///,rY=1mls代入，得：r=^^3(z///s)

a=^=-2j為恒量指向一j方向

運動學的第二類問題例題

設質點在直線運動中，則可用標量(分量)代替矢量:

dr,,

?/a:.dr=adf

dr

vr=0時，r=r0初速度

v-I，。=ja(t)d1

v=dx=rd/

dr

t=0時，.v=.v0初始位移

X7。=

例2：設質點沿.v軸作直線運動，”2/,7=0時.％=0,

1，。=0試求：/=2s時質點的速度和位置。

解：加速度。不是常量，將“2t寫成：(匕，=2/(1/

對兩邊積分：r</r=(2/(1/;r=^=r(1)

JoJo(1/

dLv=tzdt;￡dx=￡rd/;x=-Z3(2)

把t=2s分別代入⑴、(2)得：

v=4m/s;.v=JlT=2.67in

當把(D、(2)式中/消去，晶r得：

v=r(x);v=(3x):3

例：一質點作沿工軸運動，已知：。=2+6.\二

，二時,v0=0;r0=0求”工）

解：由：。喙

dr=(2+6.v')(1/

應用微分變換:被積函數與積

分變量不同！

drdrdvdr

―^—=~^―?―-V“

drdvdrdv

adx=rdr

a(Lv=rdra=2+6x:

J。(2+6x2)dx=rdr

2(x+工、=ir'

v=+x:舍去

總結當已知。=〃(、?)時，可采用方法:

adx=rdr=r=r(x)

當已知4⑴時

,、小，,idv

a(v)=T——：dv=-----o

dv〃(T)

ca加速度為恒矢量時質點的運動方程

已知一質點作平面運動,其加速度萬為恒矢量，有

a-aAj+久.1,J7

Cdv=Cadt

drJaoJ。

積分可得v=vQ+at

寫成分量式vx=vQx+axtvy=vQy+ayt

a=aj+cirjv=vQ+cit

dr=vdt'd尸二+W）山

2

積分可得r-7^=vQt+-at

寫成分量式為J[],

ly-3o=VQyf+

勻加速直線運動

a為常矢量，和外,在一條直線上

41,

只用一維描述X=*0+1"，+?M廣如自由落體

*實際有些自由落體受空氣阻力很大，如雨點最終

勻速運動，此時速率稱收尾速率（~10m/s）

小結

勻加速運動

為常矢量2

ar=rQ^vQt+^at

_dr一

vv+at

dt0n

任）斤o）初始條件給定，質點運動確定

忽略空氣阻力，質點運動由初始條件可預知

ca斜拋運動自學

當子彈從槍口射出時，椰子剛好從樹上由靜止

自由下落.試說明為什么子彈總可以射中椰子？

求斜拋運動的軌跡方程和最大射程

已知a二a二一時飛

x0vg,r=0=y0=0

x=vQcosa-t

消去方程中的參數/得軌跡

v

v=xtana——5

求最大射程2COSF

,2VQ.

aQ=--smacosa

g

2若八

——-=——-cos2cr=0

dag

a

由于空氣阻力，實際射

最大射程4m=碓/g程小于最大射程.

小結拋體運動特點：

上升高度最大處所用時間：r=登電

射程：s=迎"‘

曲線運動的速度不斷變化、加速度不變

五自然坐標系1時刻位置

M

質點的運動學方程S=S<H),速率"=器

注意：兩個單位矢量是時間的函數

自然坐標系產自然坐標中的

速度和加速度

J丁切肉靴矢量

質點的速度

融愉防fis=s(r),速率“需V=VT=^T

質點的加速度

質點的加速度

萬=忻務（厲）

沿切向（丹的,稱法向加速度

蟀變僻（患）

d?Vds=一刀一

37=尸不〃一背〃

移切向加速度成an=v

冊=市■宕S=ar+^=37^r+，萬

毋

大小々47+詢小黔*的2

質點在平面上運動時

?若%恒為零，質點作直線運動，若%不

恒等于零，質點作曲線運動；

?若生恒等于零，質點作勻速率運動，若

%不恒等于零，質點作變速率運動.

circularmotion

半徑不變，位置隨角度變化

角多顯angularparameters

4角坐標e

1?angularcoordinates

G隨時間變化的方程

稱圓周運動的

運動學方程約定：反時針為正

。的單位:弧度(rad)

9角位移

angulardi^lacement

對應于質點在Af時間內走過

的圓傾對的圓心角。

在挪蟠況也質點在“瞬間的

運動方向為切向(泊，一奇JrSt

(U

瞬間對應的微角位移8

的可用右理旋法則,O

表成一空間矢量&.

夜的石豐螺旋法則

3?角速度angularvelocityG)

角速度的大小為。=拈5黑"

觸度的矢量式萬=尋

a矢量方向與夜相同

角速蝴單位為弧度?秒T(rad?sT)

4?角加速度angularacceleration百

表示角速度瞬時變化的快慢.。一。

角加戴的定義為JI

TT-lim_d>_d2^°______

萬■瑞k■疔■市。

其方向為角速度增量O

△方的極限方向'、、一Q

萬的單位為弧度?秒f(rad?s-2)

求解圓周運動問題的一般方法

求a

加速度G)=」？

希拜：與線坦的關系

relationbetweenangularandlinearmeasures

常用的線量大小與角量大小關系式

ds---->ds

/v

。=器?或器二衣0

非=滅翳=及招二區4

賁Md

￡3質點作曲線運動

質點作曲線運動，在求解質點運動兩類問題時經常

采用自然坐標:

“"5ni，=》曲

質點作圓周運動：%——

勻變速直線運動勻變速圓周運動

位置，位移rAr0A6

速度i，=化。=警右手螺旋定則

(It

加速度”=好=匕夕=迎=吧

atdrPdtar

運勻速運動s=r=const8=綜+0a>=const

動s=+，'o,+京/備+七僅：

勻6=aj+

規

變

律—F=2fl(s-s0)0H=2夕(6-6。)

速

的I=%+〃，

運

描

動

述Q)=---------

22

a=constft=const

0討論1

對于作曲線運動的物體，以下幾種說法中哪一種是

正確的：

（A）切向加速度必不為零；

★B）法向加速度必不為零（拐點處除外）；

（C）由于速度沿切線方向，法向分速度必為零，因

此法向加速度必為零；

（D）若物體作勻速率運動，其總加速度必為零；

（E）若物體的加速度萬為恒矢量，它一定作勻變速

率運動.

1)。〃恒等于零的運動是勻速率直線運動。X

2)作曲線運動的質點%不能為零。x

3)%恒等于零的運動是勻速率運動。M

4)作變速率運動的質點%不能為零。x

小結：(1)勻速率運動；*A0變速率運動

(2)a?=0直線運動；%名。曲線運動

例：質點作平面曲線運動，其運動方程為

r—21'i+cosittj(SI)

求(1)t=ls時，切向及法向加速度；

(2)t=ls時，質點所在點的曲率半徑.

（If*__

解：（1）v=——=4ti-nsiuntj

dr

v=|v|=A66廠r+7t'siu'（7tO

a=94-

=°=I同+7t4cos:（7：r）

0_dir_132f+2^3sin7rtcos

’"2Ji6f2+.2sin";z7)

naj「4m/s2

方法二：用另外一個更簡單的方法。

varr^jv同向或反向

r=4Z/-nsiunr/片不

=4|i=司"4*

fl=4/-7t：COSKfj

(2)求曲率：

V*

p=—

16

m

n

六相對運動

O時間與空間

小車以較低的速度V沿水平軌道先后通過點

?4和點6.地面上人測得車通過.4、6兩點間的距

離和時間與車上的人測

在兩個相對作直線運動的參考系中，時間的測

量是絕對的，空間的測量也是絕對的，與參考系無

關，時間和長度的的絕對性是經典力學或牛頓力學

的基礎.

兩個相對運動的物體之間，

對彼此運動的描述是對稱的

若B相對于A的運動速度為

VBA（這里下標的前一個字母代

表運動物體，后一個字母代表參

考系），則A相對于B的運動

速度v即與VBK小相等，方向與2-26內硬%間的神施動

相反

同一物體的運動，在不同的參考系中觀察結果

不同

伽利略時空坐標變換

f'=f-lit伉=產+"

J逆變換4

t'=tt=f

X*=x-ufX=A/+Ut

或卜:J'逆變換卜I

?-7212

注意：以上結論是在絕對時空觀下得出的：

1.空間絕對性：長度的測量不依賴于參考系.

2.時間絕對性：時間的測量不依賴于參考系.

經典力學的速度變換定理iy〈c

由加速度變換

絕對加速度=相對加速度+牽連加速度

若「尸常量

絕對加速度=相對加速度

表明：質點的加速度對于相對作勻速運動的各個參

考系是一個絕對量.

說明：

1.以上結論是在絕對時空觀下得出的：

只有假定“長度的測量不依賴于參考系'’（空間的絕

對性），才能給出位移關系式：

Ar=△尸’+△/0

只有假定“時間的測量不依賴于參考系''（時間的

絕對性），才能進一步給出關系式：

v=v'+r0絕對速度=相對速度+牽連速度

G=G+Q°絕對加速度=相對加速度庫連加速度

絕對時空觀只在UvvC時才成立。

2.不可將運動的合成與分解和伽利略速度變

換關系相混：

運動的合成是在一個參考系中，總能成立；

伽利略速度變換則應用于兩個參考系之間，

只在〃vvr時才成立。

3.）二1+%只適用于相對運動為平動的情形。

例:一個人騎車以18km/h自東向西行進，他看見雨點垂直

下落.當他的速率增至36km/h時,看見雨點與他前進的

方向成120°角下落，求雨點對地的速度.

解：絕對速度=相對速度+牽連速度（速度變換公式）

由右圖|V雨地|=|V人地?|=36km/b

6=90°-60°=30°即雨點的速度方向為向下偏西30°

動力學研究物體間的相互作用力及由

此產生的物體機械運動狀態變化的規律。

本講內容：

一*、牛頓運動定律

二、常見力和基本自然力

三、牛頓運動定律的應用舉例

四、非慣性系、慣性力

一、牛頓運動定律/力與運動

二二牛頓運動定律Newtoifslawsofmet命iM*夕一

o

牛頓第一定律：任何物體都保持靜止

或勻速直線運動狀態，直到作用在它

上面的力迫使它改變這種狀態為止。

牛頓第二定律：運動的變化與所施加

的力成正比，并且發生在力所沿蟆孑I暹_嬴丁、

方向上。比型多

牛頓第三定律：兩物體間的作用力和反作用力，在

同一條直線上，且大小相等方向相反。

口第一定律引進了

二個重要概念

慣性一質點不受力時保持靜止或勻速直線運

動狀態的性質,其大小用質量量度。

力一使質點改變運動狀態的原因

一個參考系

慣性參考系——在慣性參考系中觀察不受力作用

的物體，它將保持靜止或勻速直線運動狀態不變

口牛頓第二定律力與運動的定量關系

運動的變化與所施加的力成正比，并且發生在

力所沿直線方向上。

“運動，，—動量物體質量與速度的乘積萬=〃六

“變化”對時間的變化率

牛頓第二定律：物體動量對時間的變化率與所施加

的力成正比，并且發生在力所沿直線方向上。

牛頓第二定律微分形式

/=dP=d(mr)=㈣…〃出單位:N

(V(V(V(V

討論：

1.牛頓第二定律只適用于慣性參考系。

2.微分形式普遍適用。

當物體低速運動時代we),物體的質量不隨時

間變化-d(wr)dr

F=--------=m—=ina

d/(V

3.以下兩種情況下，質量不能當常量

物體在運動中質量有所增減，如火箭、雨滴問題。

高速(r>106血大)運動中，質量與運動速度

相關,如相對論效應問題。

4.力的疊加原理

尸=與+月+E+…

a=I1+萬2+萬3+?一

"F=FT+FJ+Ff「公=ma*

Fy

一-一一廠=may

V=axi+ayj+a.k1尸-ma.

v1rdu

牛頓第二定律疊加形式Z5=a37=〃傳

5.牛頓第二定律微分形式的分量式--------

、最為實用!

直角坐標系為

V""*cdKd_v'r-'_.d"二

》'=〃耳）F-〃/一r）耳=〃，一~

乙0ivdr乙叱dz-

自然坐標下

V~1心\2

Z月二〃，6111——=///—（一）一

P0曲

dvcPs

Z4=〃qni—=in--

dzdr-

□牛頓第三定律

兩個物體之間作用力戶和反作

用力戶'，沿同一直線，大小相等，

方向相反，分別作用在兩個物體上.

★艮2=-巨21

（物體間相互作用規律）

第三定律揭示了力的兩個性質

成對性：物體之間的作用是相互的

同時性：相互作用之間是相互依

存，同生同滅。

二、常見力和基本自然力

?萬有引力

F-G'”華G=6.67x.kg-i.s-2

_r2

?重力G=mg

?彈性力發生形變的物體有恢復原來形狀的趨

勢，從而產生力施于使它形變的物體上

（1）壓力與支持力（2）拉力與張力（3）彈力

?摩擦力

1最大靜摩擦力￡=4〃$：靜摩擦力系數

2滑動摩擦力：內滑動摩擦系數

注意：摩擦力的方向與物體相對運動方向相反或相

對運動趨勢相反。但不代表摩擦力的作用是阻礙物

體的運動。

四種基本相互作用

力的種類相互作用的物體力的強度力程

萬有引力一切質點]0-38無限遠

弱力大多數粒子10-13小于10"11D

電磁力電荷10-2無限遠

強力核子、介子等1*10-15m

*以距源10-”m處強相互作用的力強度為1

溫伯格

弱相互作用電弱相互

薩拉姆

電磁相互作用作用理論

格拉肖

三人于1979年榮獲諾貝爾物理學獎.

魯比亞，范德米爾實驗證明電弱相互作用，

1984年獲諾貝爾獎.

電弱相互作用、

強相互作用a“大統一”（尚待實現）

萬有引力作用＞

三、應用牛頓定律解題

與質點運動學相似，質點動力學問題大體可分

為兩類問題。

一.微分問題已知運動狀態，求質點受到的合力戶

例已知一物體的質量為///,運動方程為

r=Acosaf+8sincotj求物體受到的力

解a==44"=-Aco2cosco1-Bco2sincoJ

dzdr

=-co2r

F-ma尸

二.積分問題

已知質點受到的合力F,求運動狀態。

解題的基本思路

1）確定研究對象進行受力分析；

（隔離物體，畫受力圖）

2）取坐標系；

3）列方程（一般用分量式）；

4）利用其它的約束條件列補充方程；

5）先用文字符號求解，后帶入數據計算結果.

例1:斜面與水平面夾角8=30°,.4,5的質量為0.2kg,

與斜面的摩擦系數為0.4,求加速度和繩的拉力.

解：受力分析及示力圖，建立坐標

.??繩與滑輪的質量可忽略，工尸^二丁\人

13

列方程：：IHB§-T=fnBa'

A:T-f,-inAgsin0=inAa"**

N-niAgcosQ=0匚力，

摩擦力fr==pmAgcos6

解得：a=B—圖"------------d——g

in4+mB

T_W/J/HBCI+pcos0+siuO)

mA+niB

代入數字得：〃=0.75〃〃S2,T=：1.81N

例2：質量為MM三角形斜面僅8）放在光滑水平桌面C

上，質量為，〃的物體H置于斜面上，所有接觸面均

為光滑。

求：，〃從斜面滑下時，M和/〃相對于桌面的加速度。

解：分別以.4乃物體為研究對象

設5對C%=＜對Ba]=。

由加速度變換

aAC=aAB+aBC

對慣性系應用牛頓第二定律，列分量方程

B:Nsin8=M0]

-ifig-NsinQ=0

A:-2Vsiu0=m(al-a.cos0)

NcosG-mg=m[-azsin0)

未知數為，%N,NMI

解得B對桌面A對斜面的加速度分別為

sillcos

mg66=(^O￡sinO

"+〃,sin*

"M+msill.e

A對桌面的加速度分別為

_J/p$iu0cos0

a=-a.cos6+%-----2---------—

xM+insiu'50

.c{M+///).、c

%=-a.$iu0=-----------------psm*0

」?M+msiirB，

工M+in

aiIgO

a..M

例3：計算一小球在水中豎直沉降的速度：已知小球

的質量為〃/,水對小球的浮力為與（恒力），水

對小球運動的阻力（粘性力）氏=-所；，K是與

水的粘性、小球半徑有關的一個常量。

解：小球受全外力6-5-左為變力

drB

G-B-R=niamg-B-kv=m—

（1/R

，設當1=0時，%=0

［末速率：當1呼上=夫時】,二如衛

分離變量上-二四也G

V

vT-vm

顯然當18時，If

均稱為極限速度

當小球所受合外力為零時,

小球以極限速度勻速下降。

例4：一條質量為長為▲的勻質鏈條放在一光滑水

平桌面上，開始時鏈條靜止。長為片段鉛直下垂。

求：（1）整個鏈條剛離開桌面時的速度。記筆記

（2）由開始運動到完全離開桌面所經歷的時間。

解：以地為參考系建立坐標系如圖-4

（1）設下垂長度為工時7

F=^-gx（變力）||14A

由牛頓第二定律得^-gx=Ma（變加速度）

rEdi，M-dv

又因〃=1,不（變量替換）——

，g.v=Mv分離變量Zrdr=gxd.v

Ld.v。

▲J；rdr=gj；工dxv(x)=^^(x:-/:)

鏈條剛離開桌面時的速度：r(Z)--)

2.計算由開始運動到完全離開桌面黑歷的時間：

例5：圓錐頂點系一長度為t的輕繩，繩的另一

端系一質量為〃，的物體，物體在光滑圓錐

面上以⑦作勻速圓周運動.

求：(1)繩的張力與物體對圓錐面的壓力、

(2明為何值時物體離開錐面.A

齪，造物優用研交忖兔

1.計算繩的張力與物體對圓錐面的壓力

將才與N沿工軸與y軸分解為分量

Tsiu0-Arcos0=zn—;TcosO+JVsin0-mg=0

其中r=/siu0,r=cor=calsiu0

解出T=ma'lsin0+mgcos6

N=mgsin0-inafIsiii6cos0

2.計算。為何值時物體離開錐面.物體離開錐

面。貝ljN=。co=co0

mgsinff-m(o2lsin6cos6=0:

例5:光滑水平面上固定半徑為R的圓環圍屏，質量為〃/

的滑塊沿內壁運動，摩擦系數為〃。

求：(1)當滑塊速度為】,時,所受摩擦力及切向加速度。

(2)滑塊的速度由】，減至】，/3所需時間。

m

解：應用自然坐標

1.法向方向N=ni—

R

切向方向Fr=)叫=-"V

2.計算滑塊的速度由】，減至1?/3所需時間。

drr:drd/

a,=—=—11—

drR

2R

年=-&叩

還可以求什么？一滑塊沿內壁轉過的角度隨

2R時間的變化於ZR

卬=而一正

d(R8)2R

6=6⑺

drR

四、非慣性系慣性力

一慣性參考系

問題：a\0

車的片0時單擺和小球的狀態符合牛頓定律

時單擺和小球的狀態為什麼不符合牛頓定律?

結論：在有些參照系中牛頓定律成立，這些系稱為

慣性系。相對慣性系作加速運動的參照系是非慣性

系。而相對慣性系作勻速直線運動的參照系也是慣

性系。

慣性參考系：

慣性參考系一牛頓定律嚴格成立的參考系。

根據天文觀察，以太陽系作為參考系研究行星

運動時，發現行星運動遵守牛頓定律，所以太陽系

是一個慣性系。

地球有公轉和自轉，所以地球只能看作一個

近似的慣性系。

相對于慣性系作勻速直線運動的參考系都是

慣性系。

嚴格的慣性系是不存在的。

二、慣性力

質點/〃在慣性系中F=ma環隨參考系變化

兩個平動參考系之間，加速度變換：)=萬'+。連

在非慣性S系戶注ma牛二在非慣性系不成立

在非慣性系引入虛擬力或慣性力A=_*二

在非慣性系S'系戶+戶o=

例：慣性離心力

在S系向心加速度a=Ra)2

質點〃，在S，系靜止r+E=o

耳=-IHR(D'離心方向

科里奧利力來自于物體運動所具有的慣性,如果物體相

解科里奧利力對轉動參考系運動，那么物體除了受到慣性離心力

外，還受到另一種慣性力科里奧利力

在旋轉體系中進行直線運動的質點，由

于慣性的作用，有沿著原有運動方向繼

續運動的趨勢，但是由于體系本身是旋

轉的，在經歷了一段時間的運動之后，

體系中質點的位置會有所變化，而它原

有的運動趨勢的方向，如果以旋轉體系

的視角去觀察，就會發生一定程度的偏

離.

根據牛頓力學的理論，以旋轉體系為參

照系，這種質點的直線運動偏離原有方

向的傾向被歸結為一個外加力的作用，

這就是科里奧利力.

科里奧利力的計算公式如下

心稱為科里奧利力。式中〃/為質點的質量，I,為質

點相對于非慣性系的速度，3為非慣性系轉動的角

速度。

從物理學的角度考慮，科里奧利力與離心力一

樣，都不是真實存在的力，而是慣性作用在非慣性

系內的體現，是將牛頓第二定律應用于非慣性系而

引入的修正項，無施力者，但在非慣性參考系中，

這一力也可以感受到，觀察到。

Fc=2///rx6

科里奧利力垂直于質點相對于非慣性系的速

度，因此科氏力不作功。它不斷改變】,的方向，

但不改變］,的大小，使軌跡彎曲呈圓弧形。

在地球上，運動物體會由于地球的自轉而受到

科里奧利力的作用，如落體偏東；氣體受到科里

奧利力影響形成環流；北半球的河流都是右岸比

較陡峭，左岸比較平緩。而傅科擺，則是地球作

為非慣性系的一個生動的證明。

科里奧利力產生的影響

在地球科學領域

由于自轉的存在，地球并非一個慣性系，而是一個轉

動參照系，因而地面上質點的運動會受到科里奧利力

的影響。地球科學領域中的地轉偏向力就是科里奧利

力在沿地球表面方向的一個分力。地轉偏向力有助于

解釋一些地理現象，如河道的一邊往往比另一邊沖刷

得更厲害。

1.傅科擺

擺動可以看作一種往復的直

線運動，在地球上的擺動會受

到地球自轉的影響。只要擺面

方向與地球自轉的角速度方向

存在一定的夾角，擺面就會受

到科里奧利力的影響，而產生

一個與地球自轉方向相反的扭

矩，從而使得擺面發生轉動。

在北半球，此力永遠朝向擺速

的右側，使擺動平面順時針方

向轉動（南半球相反）。

3.相對運動

位矢變換弓產%十七

位移變換M0=A%+A人

速度變換Vpo=Vpo,+v00,

如果的相對運動只有平動，則

加速度變換丐。二七十）”

4.質點運動學的兩類問題

第一類問題：已知質點的運動方程，求質點在任一時刻

的速度和加速度。求解這類問題的基本方法是微分法。

第二類問題：已知質點的加速度（或速度）隨時間的變

化規律和初始條件，求質點在任意時刻的速度和運動方

程，求解這類問題的基本方法是積分法。

5.牛頓運動定律

第一定律可認為是慣性參考系的定義，掌握要點：

慣性、運動狀態改變的原因-力。

第二定律是在慣性參考系中力的瞬時作用規律，掌握

要點:質量是慣性定量表述，力是產生加速度的原因。

F=md=—P=mv

（1/

對于平面運動，在直角坐標系:

r..=

對于平面運動，在自然坐標系丫“明

F?=maH

第三定律指出力是物體間的相互作用，注意作用的對象

在研究質點系的問題中最常用。

6.力學中常見的三種力

重力、萬有引力?=〃電，F=-G^r

彈性力f=-kxi摩擦力,「UN

7.非慣性系與慣性系

非慣性系本不適用牛頓定律，為了應用牛頓第二定律，弓I

入非慣性力一一種不真實(并非來自其他物體)的力：

在有平動加速度。的非慣性系F^-ma

在以角速度。轉動的非慣性系尸0=-〃"。?

8.牛頓定律適用的條件為:宏觀、低速、慣性參考系。

9.質點動力學的兩類基本問題

第一類:已知運動狀態,求物體受力或施與其他物體的力,

第二類:已知受力情況,求物體的運動規律。

由課堂討論題

1.速度矢量和加速度矢量是怎樣定義的?寫出定義式。

若一質點的運動方程為.v=x(O⑴，有人求速度加速度作法如

下：______,

r=yjx2+y2速度加速度

如此作法是否正確?并說明理由.

(1)試就質點的圓周運動這一特例說明.

(2)寫出］，和大；。和d的正確表達式.

(3)試就質點作一般曲線運動情況分別標出&?.&：.|回Av.

講討論去答耳：*多里各式的含義?

解：(1)不正確，以圓周運動為例：

x=Rcosta

r=+y'=R

y=Rsinan

=>=O.nX=o

結果不正確，做圓周運動的物體的速度和加速度顯然

不為零。

/■、.drIdrI.drd:r

(2)"=方，"=舄；〃=瓦=旅

仍以圓周運動為例，戶=Rcos(oti+Rsiu(otj

v==-co2?sincori+a)Rcoscor/,v=|r|=(oR

門

a.=—dr=R—dco=Rcc。.a.=co-'Rc

(Vdr

由圖可見，亙為做曲線運動的質點的速度；

|^1-I"

二1為速度的大小，即速率；

dr

上既不是速度也不是速率，它是速度沿徑向分量

dr的大小。

所以，在圓周運動中，2=0

(1/

所以,巴為加速度在速度方向上的分量，即

“切向加速度。

*為物體的加速度矢量。

|(lv|

5TL是加速度的大小。

2.切向加速度和法向加速度是如何