1、從本節開始，我們主要討論，如何選擇一組適當從本節開始，我們主要討論，如何選擇一組適當的基，使的基，使V的某個線性變換在這組基下的矩陣就是的某個線性變換在這組基下的矩陣就是 一個對角矩陣一個對角矩陣?有限維線性空間有限維線性空間V中取定一組基后，中取定一組基后，V的任一線性的任一線性希望這個矩陣越簡單越好，如對角矩陣希望這個矩陣越簡單越好，如對角矩陣. 變換都可以用矩陣來表示變換都可以用矩陣來表示. 為了研究線性變換性質，為了研究線性變換性質，設是數域設是數域P上線性空間上線性空間V的一個線性變換，的一個線性變換， 則稱則稱為為 的一個的一個特征值特征值，稱為的屬于特征值，稱為的屬于特征值0 0

2、( ), 若對于若對于P中的一個數存在一個中的一個數存在一個V的非零向量的非零向量, 0, 使得使得的的特征向量特征向量. 0 幾何意義：特征向量經線性變換后方向保持幾何意義：特征向量經線性變換后方向保持由此知，特征向量不是被特征值所唯一確定的，由此知，特征向量不是被特征值所唯一確定的， 00()( )()()kkkk 相同相同 或相反或相反0(0) 0(0). 0( )0,0. 時時 若若 是是 的屬于特征值的特征向量的屬于特征值的特征向量，則，則 0 也是也是 的屬于的特征向量的屬于的特征向量. (,0)kkP k 0 但是特征值卻是被特征向量所唯一確定的，即但是特征值卻是被特征向量所唯一

3、確定的，即若且，則若且，則( )( ) . 設設 是是V的一組基，的一組基，12dim,nVn 線性變換在這組基下的矩陣為線性變換在這組基下的矩陣為A. 12,n 下的坐標記為下的坐標記為 010,nxx 設是的特征值，它的一個特征向量在基設是的特征值，它的一個特征向量在基0 則則 在基下的坐標為在基下的坐標為( ) 010,nxAx 12,n 而而 的坐標是的坐標是0 0100,nxx 0010100,nnxxAxx 于是于是0( ) 又又0010()0.nxEAx 從而從而 0100,0,nxx 又又即即 是線性方程組是線性方程組 的解，的解，010nxx 0()0EA X 有非零解有非零

4、解. 0()0EA X 所以它的系數行列式所以它的系數行列式 00.EA 以上分析說明：以上分析說明：若是的特征值，則若是的特征值，則00.EA 0 反之，若滿足反之，若滿足0P 00,EA 則齊次線性方程組有非零解則齊次線性方程組有非零解. 0()0EA X 若是一個非零解，若是一個非零解，0()0EA X 01020(,)nxxx 特征向量特征向量.則向量就是的屬于的一個則向量就是的屬于的一個0110 nnxx 0 設設 是一個文字，矩陣稱為是一個文字，矩陣稱為,n nAP EA 111212122212.( )nnnnnnAaaaaaaEAaaaf 稱為稱為A的的特征多項式特征多項式.

5、A的的特征矩陣特征矩陣，它的行列式，它的行列式 （是數域（是數域P上的一個上的一個n次多項式）次多項式）( )Af 矩陣矩陣A的特征多項式的根有時也稱的特征多項式的根有時也稱為為A的特征值的特征值, , 若矩陣若矩陣A是線性變換關于是線性變換關于V的一組基的矩陣的一組基的矩陣， 而是的一個特征值，則是特征多項式而是的一個特征值，則是特征多項式0 ( )Af 0 的根，即的根，即0()0.Af 的一個特征值的一個特征值.反之，若是反之，若是A的特征多項式的根，則就是的特征多項式的根，則就是0 0 （所以，特征值也稱（所以，特征值也稱特征根特征根.）而相應的線性方程組而相應的線性方程組 的非零解也

6、就的非零解也就()0EA X 稱為稱為A的屬于這個特征值的特征向量的屬于這個特征值的特征向量. . i) 在在V中任取一組基中任取一組基 寫出寫出 在這組基下在這組基下 12,n 就是的全部特征值就是的全部特征值. ii) 求求A的特征多項式的特征多項式 在在P上的全部根它們上的全部根它們EA 的矩陣的矩陣A .iii) 把所求得的特征值逐個代入方程組把所求得的特征值逐個代入方程組()0EA X 的全部線性無關的特征向量在基的全部線性無關的特征向量在基 下的坐標下的坐標.) 并求出它的一組基礎解系并求出它的一組基礎解系.(它們就是屬于這個特征值它們就是屬于這個特征值12,n 1,1,2,nii

7、jjjcir 則則就是屬于這個特征值就是屬于這個特征值 的全部線性的全部線性無關的特征向量無關的特征向量. 0 而而1122,rrkkk（其中，不全為零（其中，不全為零） 12,rk kkP 就是的屬于就是的屬于 的全部特征向量的全部特征向量.0 111212122212(,),(,),(,)nnrrrnccccccccc如果特征值如果特征值 對應方程組的基礎解系為：對應方程組的基礎解系為：0 對皆有對皆有(0),V ( ).Kk () .nEkEk所以，所以，V中任一非零向量皆為數乘變換中任一非零向量皆為數乘變換K的特征向量的特征向量.例例1.在線性空間在線性空間V中，數乘變換中，數乘變換K

8、在任意一組基下在任意一組基下的矩陣都是數量矩陣的矩陣都是數量矩陣kE，它的特征多項式是，它的特征多項式是故數乘法變換故數乘法變換K的特征值只有數的特征值只有數k，且，且1 2 22 1 2 ,2 2 1A 解：解：A的特征多項式的特征多項式 122212221EA 2(1) (5)例例2.設線性變換設線性變換在基在基 下的矩陣是下的矩陣是 123, 求特征值與特征向量求特征值與特征向量. 故的特征值為：（二重）故的特征值為：（二重） 121,5 把把 代入齊次方程組代入齊次方程組 得得 1 ()0,EA X 123123123222022202220 xxxxxxxxx 即即 1230 xxx

9、它的一個基礎解系為它的一個基礎解系為： (1,0, 1), (0,1, 1)因此，屬于因此，屬于 的兩個線性無關的特征向量為的兩個線性無關的特征向量為1 113223,而屬于而屬于 的全部特征向量為的全部特征向量為1 1 12212,(,)kkk kP 不全為零不全為零 因此，屬于因此，屬于5的一個線性無關的特征向量為的一個線性無關的特征向量為 把把 代入齊次方程組代入齊次方程組 得得 5 ()0,EA X 解得它的一個基礎解系為：解得它的一個基礎解系為： (1,1,1)3123而屬于而屬于5的全部特征向量為的全部特征向量為3333,(,)kkPk 0 0 123123123422024202

10、240 xxxxxxxxx ： 00V 再添上零向量所成的集合，即再添上零向量所成的集合，即000()( )( )() 設設 為為n維線性空間維線性空間V的線性變換的線性變換，為為0 的一個特征值，令的一個特征值，令 為的屬于的全部特征向量為的屬于的全部特征向量0V 0 則則 是是V的一個子空間的一個子空間, 稱之為的一個稱之為的一個特征子空間特征子空間. 0V 00()( )()()kkkk 00,VkV的解空間的維數，且由方程組的解空間的維數，且由方程組(* *)得到的屬于的得到的屬于的0 若在若在n維線性空間維線性空間V的某組基下的矩陣為的某組基下的矩陣為A，則，則 00dim()VnE

11、A 秩秩即特征子空間即特征子空間 的維數等于齊次線性方程組的維數等于齊次線性方程組0V 0()0EA X (* *)全部線性無關的特征向量就是全部線性無關的特征向量就是 的一組基的一組基.0V 1. 設設 則則A的特征多項式的特征多項式 ,n nijAaP 111212122212.nnnnnnaaaaaaEAaaa 11221()( 1)nnnnnaaaA 由多項式根與系數的關系還可得由多項式根與系數的關系還可得 A的的全體特征值的積全體特征值的積.A A的全體特征值的和的全體特征值的和1122.nnaaa稱之為稱之為A的跡的跡,記作記作trA.證證:設設 則存在可逆矩陣則存在可逆矩陣X，使

12、得使得,AB1BXAX 11XEXXAX 1()XEA X 1XEA X 相似矩陣具有相同的特征多項式相似矩陣具有相同的特征多項式. .1EBEXAX 于是，于是，EA 有相同特征多項式的矩陣未必相似有相同特征多項式的矩陣未必相似. .成是成是矩陣矩陣A的特征值與特征向量的特征值與特征向量.它們的特征多項式都是，但它們的特征多項式都是，但A、B不相似不相似.2(1) 多項式多項式；而線性變換的特征值與特征向量有時也說；而線性變換的特征值與特征向量有時也說 因此因此,矩陣矩陣A的特征多項式也說成是的特征多項式也說成是線性變換的特征線性變換的特征 由由定理定理6線性變換的特征值與基的選擇無關線性變

13、換的特征值與基的選擇無關. 如如 1 01 1,0 10 1AB設設 為為A的特征多項式的特征多項式, , 則則,( )n nAPfEA 11221( )()( 1)0.nnnnnf AAaaaAA E 證證: 設設 是是 的伴隨矩陣，則的伴隨矩陣，則( )BEA ( )()( )BEAEA EfE都是都是的多項式，且其次數不超過的多項式，且其次數不超過n1. 又的元素是的各個代數余子式，它們又的元素是的各個代數余子式，它們( )B EA 因此，可寫成因此，可寫成( )B 零矩陣零矩陣120121( )nnnnBBBBB其中，都是其中，都是 的數字矩陣的數字矩陣.011,nB BB nn 再設

14、再設111( )nnnnfaaa 則，則，111( )nnnnfEEaEaEa E 而而1201021( )()()()nnnBEABBB ABB A121()nnnBBABA 比較比較、兩式，得兩式，得01012121211nnnnnBEBB Aa EBB Aa EBBAaEBAa E 以依次右乘以依次右乘的第一式、第二式、的第一式、第二式、1,nnAAA E 、第、第n式、第式、第n1 1式，得式，得01110121221221211nnnnnnnnnnnnnB AAB AB Aa AB AB Aa ABABAaABAa E 把把的的n1 1個式子加起來，即得個式子加起來，即得121120

15、nnnnnAa Aa AaAa E ( )0.f A4. 設為有限維線性空間設為有限維線性空間V V的線性變換，是的線性變換，是( )f ( )0.f 的特征多項式，則的特征多項式，則零變換零變換例例3. 設求設求10201 1 ,0 10A8542234.AAAAE3( )21fEA解：解：A的特征多項式的特征多項式用去除得用去除得( )f 8542234( ),g532( )( )(245914)gf2(243710)( )0,f A 85422234243710AAAAEAAE3 482609561061 34 ：已知為已知為A的一個特征值，則的一個特征值，則,n nAP （1） 必有一個特征值為必有一個特