1、考綱要求探關(guān)12.2參數(shù)方程考綱解讀了解參數(shù)方程及善數(shù)的意義.掌握,在跋，陽(yáng)及捕回的卷數(shù)方程.井能利用代級(jí)的參數(shù)方程解決問(wèn)題.本同福則從近7爾嘉號(hào)情況來(lái)看，本講是舟號(hào)中的一個(gè)必考點(diǎn)-加測(cè)州內(nèi)年將全身查：套敵方程有普通力程J°的片化及后戰(zhàn)與國(guó)卷載方程的應(yīng)川，S基礎(chǔ)知識(shí)知識(shí)梳理1 .曲線的參數(shù)方程一般地，在平面直角坐標(biāo)系中，如果曲線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)x,y都是某個(gè)變數(shù)t的函數(shù)f，,并且對(duì)于t的每一個(gè)允許值，由這個(gè)方程組所確定的點(diǎn)Mx,y）都在這條iy=g（t）曲線上，那么這個(gè)方程組就叫做這條曲線的參數(shù)方程，聯(lián)系變數(shù)x,y的變數(shù)t叫做參變數(shù)，簡(jiǎn)稱參數(shù).2 .常見(jiàn)曲線的參數(shù)方程和普通方程點(diǎn)的軌

2、跡普通方程參數(shù)方程直線y-yo=tana(x-xo)為參數(shù)x=xo+tcosa,(ty=y0+tsina)圓x2+y2=r2-參數(shù)）x=rcos0,(0為y=rsin0橢圓22xy02+b2=1(a>b>0)!參數(shù)）x=acos(),(4為y=bsin()提醒：直線的參數(shù)方程中，參數(shù)t的系數(shù)的平方和為1時(shí)，t才有幾何意義且?guī)缀我饬x為：|t|是直線上任一點(diǎn)Mx,y）到M（x0,y0）的距離.診斷自測(cè)1.概念思辨x=2+tcos30°,（1）直線f（t為參數(shù)）的傾斜角“為30°.（）y=1+tsin150X= X0+ t COS a ,(2)過(guò)M(X0,y0)，傾斜

3、角為a的直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)).參y= yo+1 sin a數(shù)t的幾何意義表示：直線數(shù)量.()X = 2cos 0 ,(3)方程t|y = 1 + 2sin 0(4)已知橢圓的參數(shù)方程l上以定點(diǎn)M0為起點(diǎn)，任一點(diǎn)Mx, y)為終點(diǎn)的有向線段 MM勺表示以點(diǎn)(0,1)為圓心，以2為半徑的圓.()X= 2cost .”1 4 . t (t為參數(shù))，點(diǎn)M&橢圓上，又應(yīng)參數(shù) t =點(diǎn)O為原點(diǎn)，則直線OM勺斜率為3.()答案(1)， (2) V (3) V (4)32.教材衍化x=2t-1,(1)(選彳A4- 4P39T1)直線弋iy=t + 1(t為參數(shù))被圓x2+y2=9截得的弦長(zhǎng)等

4、于()A短b.健d.皿5555答案B解析直線的普通方程為x-2y+3=0.圓的圓心為(0,0),半徑r=3.圓心到直線的距離弦長(zhǎng)為2業(yè)?d2='5卮.故選B.x=4+V2cos0,(2)(選彳A44%例2)已知點(diǎn)(x,y)滿足曲線方程(0為參數(shù)),y=6+t2sin0則丫的最小值是()xA.當(dāng)B.3C.也D.1答案Dx=4+-J2COS0,解析曲線方程二(0為參數(shù))化為普通方程得(x-4)2+(y-6)2,y=6+V2sin0=2,.曲線是以C(4,6)為圓心，以42為半徑的圓，.y是原點(diǎn)和圓上的點(diǎn)的連線的斜率,如圖，當(dāng)原點(diǎn)和圓上的點(diǎn)的連線是切線OA時(shí)，y取最小值，設(shè)過(guò)原點(diǎn)的切線方程為

5、y=xkx,則圓心C(4,6)至ij切線y=kx的距離：|4k-6|廠2d=Lj亍=山，即7k-24k+17=0,鄧+1N,17解得k=1或k=y,.y的最小值是1.故選D.x3.小題熱身(1)(20142安徽高考)以平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，建立極x=t+1,坐標(biāo)系，兩種坐標(biāo)系中取相同的長(zhǎng)度單位.已知直線l的參數(shù)方程是i(t為參ly=t-3數(shù))，圓C的極坐標(biāo)方程是P=4cos0,則直線l被圓C截得的弦長(zhǎng)為()A./B.2/14C.mD.2吸答案Dx=t+1,解析由消去t,得xy4=0,ly=t-3由p=4cos0?p2=4pcos0,C:x2+y2=4x,即(x2)2+

6、y2=4,C(2,0),r=2.點(diǎn)C到直線l的距離d=|2-玄4|=啦，所求弦長(zhǎng)=2獷二1=2啦.故選D.(2)(20152湖北高考)在直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.已知直線l的極坐標(biāo)方程為p(sin0-3cos0)=0,曲線C的參數(shù)方程為1x=t一1，(t為參數(shù))，l與C相交于A,B兩點(diǎn)，則|AB=1iy=t+r答案 2 5解析直線l的直角坐標(biāo)方程為y-3x=0,曲線C的普通方程為y2-x2= 4.y=3x, y2_x2=4,得x2=2,即x= ±則|AB=其1+kAB|xaxb|=、1+3232=2-*J5.E經(jīng)典題型1中關(guān)題型1參數(shù)方程與普通方

7、程的互化典例(20142全國(guó)卷I)已知曲線C:x+y=1,直線I：/2+''(t為參數(shù)).49y=22t(1)寫出曲線C的參數(shù)方程，直線I的普通方程；(2)過(guò)曲線C上任意一點(diǎn)P作與I夾角為30°的直線，交I于點(diǎn)A求|PA的最大值與最小值.【方法點(diǎn)撥】(1)用公式法，代入消參法；(2)過(guò)P作PHLI,垂足為H,當(dāng)|PH最長(zhǎng)時(shí)，|PA取最大值.x=2cos0,解(1)曲線C的參數(shù)方程為i(0為參數(shù)).|y=3sin0直線I的普通方程為2x+y6=0.(2)曲線C上任意一點(diǎn)R2cos0,3sin。)到I的距離為d=號(hào)14cos0+3sin0-6|,255|5Sin(

8、6;+")6|，為銳角，且tana=4.3當(dāng)sin(0+a)=-1時(shí)，|PA取得最大值，最大值為一5當(dāng)sin(。+a)=1時(shí)，|PA取得最小值，最小值為羋.5方法技巧將參數(shù)方程化為普通方程的方法1 .將參數(shù)方程化為普通方程，需要根據(jù)參數(shù)方程的結(jié)構(gòu)特征，選取適當(dāng)?shù)南麉⒎椒?常見(jiàn)的消參方法有：代入消參法、加減消參法、平方消參法等，對(duì)于含三角函數(shù)的參數(shù)方程，常利用同角三角函數(shù)關(guān)系式消參，如sin20+cos20=1等.2 .把參數(shù)方程化為普通方程時(shí)，要注意哪一個(gè)量是參數(shù)，并且要注意參數(shù)的取值對(duì)普通方程中x及y的取值范圍的影響，一定要保持同解變形.沖關(guān)針對(duì)訓(xùn)練x=2cos0,已知直線l的方程

9、為y=x+4,圓C的參數(shù)方程為|y=2+2sin0(0為參數(shù))，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系.(1)求直線l與圓C的交點(diǎn)的極坐標(biāo)；(2)若P為圓C上的動(dòng)點(diǎn)，求點(diǎn)P到直線l的距離d的最大值.解(1)由題知直線l:y=x+4,圓C：x2+(y2)2=4,y=x+4,聯(lián)乂x2+(y_2j=4,x=-2,解得1y=2x=0,或1ly=4,其對(duì)應(yīng)的極坐標(biāo)分別為仲,?!；,，9(2)解法一：設(shè)P(2cos0,2+2sin0),12cos02sin0+2|(兀；廠則d：1gL=2cos1°+7.42,當(dāng)cos1時(shí)，d取得最大值2+卷解法二：圓心Q0,2）到直線l的距離為|2=娘，圓

10、的半徑為2,所以點(diǎn)P到直線l的距離d的最大值為2+#.題型2參數(shù)方程的應(yīng)用x=3cos0,典例（20172全國(guó)卷I）在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為y=sin0x=a+4t,（0為參數(shù)），直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）.y=1t若a=1,求C與l的交點(diǎn)坐標(biāo)；（2）若C上的點(diǎn)到l距離的最大值為g,求a.【方法點(diǎn)撥】（1）方程組法；（2）代入點(diǎn)到直線的距離公式，采用分類討論思想求解.解（1）曲線C的普通方程為X-+y2=1.9當(dāng)a=1時(shí)，直線l的普通方程為x+4y3=0.rx+4y-3=0由ix22l9+y=1解得“x=3x =24y=252125,從而C與l的交點(diǎn)坐標(biāo)為（3,0）（2）直

11、線l的普通方程為x+4ya4=0,故C上的點(diǎn)（3cos0,sin。）到l的距離為d|3cos0+4sin0a4|當(dāng)a>4時(shí)，d的最大值為a+ 917.a + 91由題設(shè)得小彳=木7,所以a= 8；當(dāng)a< 4時(shí)，d的最大值為a+ 1,17由題設(shè)得a+ 1,17所以a=-16.綜上，a=8或a=16.方法技巧直線的參數(shù)方程在交點(diǎn)問(wèn)題中的應(yīng)用1 .若M,M是直線l上的兩個(gè)點(diǎn)，對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為ti,t2,則|M0M|M0M2|=11it2|,|MM|=|t2-ti|=M(t2+ti24t1t2.2 .若線段MM的中點(diǎn)為M,點(diǎn)M,M,M3對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為ti,t2,ts,則t3=12

12、7;l3 .若直線l上的線段MM的中點(diǎn)為M(xo,y。)，則ti+t2=0,tit2<0.提醒：對(duì)于形如fxo+at'(t為參數(shù))，當(dāng)a2+b2wi時(shí)，應(yīng)先化為標(biāo)準(zhǔn)形式后才|y=yo+bt能利用t的幾何意義解題.沖關(guān)針對(duì)訓(xùn)練(20i72湘西模擬)以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，且兩個(gè)坐標(biāo)系iiX=二十tCOSa,取相等的長(zhǎng)度單位.已知直線I的參數(shù)方程為S2(t為參數(shù)，0<“<兀)，y=tsina曲線C的極坐標(biāo)方程為p2sin20=2cos0.(i)求曲線C的直角坐標(biāo)方程；(2)設(shè)直線l與曲線C相交于A,B兩點(diǎn)，當(dāng)“變化時(shí)，求|AB的最小值.解(i)由p

13、2sin20=2cos0,得(psin0)2=2pcos0,即y2=2x.曲線C的直角坐標(biāo)方程為y2=2x.(2)將直線l的參數(shù)方程代入y2=2x,得tsina2tCOSai=0.設(shè)A,B兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為ti,t2,則ti+t2=2COsJL,tit2=-J,sinasina.|AB=|ti-12|=1(ti+t2j4tit22/2cosa42sin2aJsin2asin2a?TT一一當(dāng)a=-時(shí)，|AB的取小值為2.S真題模擬回關(guān)xacost,1.(20162全國(guó)卷I)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線G的參數(shù)方程為(ty=1+asint為參數(shù)，a>0).在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸

14、的極坐標(biāo)系中，曲線C2：p=4cos0.(1)說(shuō)明C是哪一種曲線，并將C的方程化為極坐標(biāo)方程；(2)直線G的極坐標(biāo)方程為0=a0,其中a0滿足tana0=2,若曲線C與G的公共點(diǎn)都在G上，求a.解(1)消去參數(shù)t得到G的普通方程x2+(y-1)2=a2,故C是以(0,1)為圓心，a為半徑的圓.將*=pcos0,y=psin0代入C的普通方程中，得到C1的極坐標(biāo)方程為p22psin0+1-a2=0.(2)曲線C,G的公共點(diǎn)的極坐標(biāo)滿足方程組p2Psin0+1a=0,<p=4cos0.若PW0,由方程組得16cos20-8sin0cos0+1-a2=0,由已知tan。=2,可得16cos20

15、8sin0cos0=0,從而1a2=0,解得a=-1(舍去)或a=1.a=1時(shí)，極點(diǎn)也為G,C2的公共點(diǎn)，在G上，所以a=1.x=2cos(),2.(20172河南洛陽(yáng)一模)在直角坐標(biāo)系xOy中，圓C的參數(shù)方程為(。y=2+2sin()為參數(shù))，以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.(1)求圓C的普通方程；(2)直線l的極坐標(biāo)方程是2Psin+-|=5，3,射線OM0=6與圓C的交點(diǎn)為QP,與直線l的交點(diǎn)為Q,求線段PQ的長(zhǎng).x=2cos(),解(1)因?yàn)閳Ac的參數(shù)方程為i(。為參數(shù))，所以圓心c的坐標(biāo)為|y=2+2sin()(0,2),半徑為2,圓C的普通方程為x2+(y2)2=4.

16、(2)將x=pcos。，y=psin0代入x2+(y2)2=4,得圓C的極坐標(biāo)方程為p=4sin0.p1=4sin01,、一一.一兀設(shè)P(p1,。1),則由19兀斛得p1=2,01=.設(shè)Q(P2,02),則由2 p 2sin兀02=市解得 P 2 = 5, 0 2= 6-.所以|PQ = 3.H課后作業(yè)有關(guān)基礎(chǔ)送分提速狂刷練x=址cos j , y= sin ()1.（20172山西太原一模）在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線G的參數(shù)方程為（其中。為參數(shù)），曲線G:x2+y2-2y=0,以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，射線l:0=a(P>0)與曲線G,G分別交于點(diǎn)A,B(均異于原

17、點(diǎn)O).(1)求曲線G,G的極坐標(biāo)方程；(2)當(dāng)0<“<十時(shí)，求|OA2+|OB2的取值范圍.x222222解(1)G的普通萬(wàn)程為萬(wàn)+y=1,Ci的極坐標(biāo)萬(wàn)程為pcos。+2psin0-2=0,G的極坐標(biāo)方程為p=2sin0.22(2)聯(lián)乂0=a(p>0)與C的極坐標(biāo)方程得|OA=1+sin2-，聯(lián)立O=a(p>0)與Q的極坐標(biāo)方程得|OB?=4sin2a,222222則10A+|OB=1+sin2a+4sina=1+sin2a+4(1+sin")4，令t=1+sin2a,一一2_22兀.2則|OA+|OB=-+4t-4,當(dāng)0<a<2時(shí)，t

18、3;(1,2),設(shè)f(t)=-+4t-4,易得f(t)在（1,2）上單調(diào)遞增，.|OA2+|OB2C（2,5）.2. （20172遼寧模擬）以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，且兩個(gè)坐x=2+tcosa,標(biāo)系取相等的長(zhǎng)度單位.已知直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)，0<“<兀）,|y=1+tsina曲線C的極坐標(biāo)方程為psin2。=4cos0.（1）求曲線C的直角坐標(biāo)方程;(2)設(shè)點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為P(2,1),直線l與曲線28，一,求tana的值.3C相交于A B兩點(diǎn)，并且|PA2| PB解（1）將方程psin2。=4cos0兩邊同乘以p,得p2sin20=4pcos0,2由

19、x=pcos0,y=psin0,得y=4x.經(jīng)檢驗(yàn)，極點(diǎn)的直角坐標(biāo)（0,0）也滿足此式.所以曲線C的直角坐標(biāo)方程為y2=4x.X=2+tcosa,2（2）將，代入y=4x,y=1+1sina得sin2a212+（2sina4cosa）t7=0,所以 111t2| =一 72-sin 民= 28,所以 sin 2a =3, a34-3或,即 tan a =3或 tan a因?yàn)镕（2,1）在直線l上，=-13.3. （20172湖南長(zhǎng)郡中學(xué)六模）已知曲線G：又=4+cost,x=8cos0,（t為參數(shù)），Q：1|y=3+sint|y=3sin0(1)化G,G的方程為普通方程，并說(shuō)明它們分別表示什么

20、曲線;-TT-.(2)若G上的點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的參數(shù)為1=萬(wàn)，Q為。上的動(dòng)點(diǎn)，求PQ的中點(diǎn)M到直線G:x=3+2t,(t為參數(shù))距離的最小值.N=2十t解(1)G:(x+4)2+(y-3)2=1,G:64+y9=1,649G表不圓心是(一4,3),半徑是1的圓，G表木中心是坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，長(zhǎng)半軸長(zhǎng)是8,短半軸長(zhǎng)是3的橢圓.一兀一,一(2)當(dāng)t=萬(wàn)時(shí)，R4,4),又Q8cos0,3sin0),故M1-2+4cos0,2+3sin0:;2又G3的普通方程為x-2y-7=0,則M到G的距離,55d="5-|4cos03sin013|=J5-|3sin04cos0+13|=$5sin(。一。

21、)+13|了中。滿足tan。=4j所以d的最小值為855.4. (20172宣城二模)已知極點(diǎn)與直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)重合，極軸與x軸的正半軸重合，圓C的極坐標(biāo)方程是P =asin 0 ,直線l的參數(shù)方程是3x=-”2,y=*(1)若a=2,直線l與x軸的交點(diǎn)是MN是圓C上一動(dòng)點(diǎn)，求|MN的最大值;(2)直線l被圓C截得的弦長(zhǎng)等于圓C的半徑的小倍,求a的值.解(1)當(dāng)a=2時(shí)，圓C的直角坐標(biāo)方程為x2+y2=2y,即x2+(y1)2=1. 圓C的圓心坐標(biāo)為C(0,1),半徑r=1.令y=4t=。得t=0,把t=0代入x=3t+2得x=2.,.M(2,0).55 .|MC=22+12=5. .|MN的

22、最大值為|MC+r=J5+1.(2)由p=asin0得p2=apsin。，圓C的直角坐標(biāo)方程是x2+y2=ay,即x2+22a=4. 圓C的圓心為C0,a；半徑為a,7212直線l的普通方程為4x+3y8=0. 直線l被圓C截得的弦長(zhǎng)等于圓C的半徑的43倍， 圓心C到直線l的距離為圓C半徑的一半.3a82一85.(20172錦州二模)已知曲線C的極坐標(biāo)方程是p=4cos0.以極點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，極軸為x軸的正半軸，建立平面直角坐標(biāo)系，直線l的參數(shù)方程是x=1+tCOSa,.(t是參數(shù)).y=tsina(1)將曲線C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；(2)若直線l與曲線C相交于A,B兩點(diǎn)，且|AB=Vu,求直線的傾斜角a的值.解(1)pcos0=x,p