1、宏觀教師：張學延學院課程2008年5月28日2008-5-28 中宏（30）1中宏講義，張延著。所有9.4儲蓄率變化的影響在索洛模型中，就投入的要素而的言，勞動、知識的增長率外生，增長率取決于 s、Y和。2008-5-28 中宏（30）2中宏講義，張延著。所有 二、對產量y的影響：我們常常不僅關心一個模型的定性含義，還關心其定量。例如，如果儲蓄率的一個不大的增加對增長的影響在幾個世紀之后仍然較大，那么如果得出結論說，該影響是暫時的，就沒有太大意義。對于大多數模型來說(包括本模型)，要得到嚴格的定量結果，就得對函數形式和各參數值予以設定；通常也得用數字例子進行分析。2008-5-28 中宏（30

2、）3中宏講義，張延著。所有yk(t)y cs 變化的直接影響cs2008-5-28 中宏（30）4中宏講義，張延著。所有 1、儲蓄率對產量長期影響的定性分析¶y*¶s= f(k*)( ¶k*¶s )(1.16)其中y* 為處于平衡增長路徑上的每有效勞動的平均產量水平。2008-5-28 中宏（30）5中宏講義，張延著。所有k* 是由k= 0 定義的k*滿足：s f(k*) = ( n + g +)k*(1.17)2008-5-28 中宏（30）6中宏講義，張延著。所有k* 是( s、n、g、)的隱函數，方程(1.17)對于( s、n、g、)都成立。方程(

3、1.17)兩端對s 的導數相等：f(k*) + s f(k*)( ¶k*¶s ) = ( n + g +)( ¶k*¶s )¶k*¶sf(k*)=(1.19)( n + g + ) f(k*)s2008-5-28 中宏（30）7中宏講義，張延著。所有在前邊方程(1.15)中，我們就看到s 的上升提高k*。這也是方程(1.19)的一個推論，注意( n+ g + )是持平投資線的斜率，而s f(k*)是實際 投資線在 k* 處的斜率。開始的時候，曲線 s f(k)先比直線(n+g+)k陡峭，然后隨著k的上升，曲線 s f(k) 逐漸變得比

4、直線 (n+g+)k 平坦 這兩條線最終肯定 會相交 必定存在一個交點。2008-5-28 中宏（30）8中宏講義，張延著。所有在k = k* 處，由于持平投資線(n+g+)k比實際投資線s f(k)陡峭 (見圖1.2)，可知(119)的分母為正：( n + g + ) s f(k*)因而 ¶k* ¶s 0 s與k* 同方向變動。2008-5-28 中宏（30）9中宏講義，張延著。所有把(1.19)代入(1.16)，得到 ：¶y* ¶sf(k*)( ¶k* ¶s )f(k*)(n+g+) s f(k*)= =f(k*)因而 ¶

5、;y* ¶s 02008-5-28中宏（30）s 與 y* 同方向變動。10中宏講義，張延著。所有結論：s 的導致 y*上升上升 。2008-5-28 中宏（30）11中宏講義，張延著。所有yyP24圖1.5儲蓄率增加的影響圖(c)g0ttt10s新s舊02008-5-28t中宏（30）12中宏講義，張延著。所有2、儲蓄率對產量長期影響的定量分析我們常常不僅關心一個模型的定性含義，還關心其定量。兩邊同乘以 sy* ，得到：¶y*ssy*f(k*)f(k*) ·=·¶sy*(n+g+) sf(k*)2008-5-28 中宏（30）13中宏講義，張

6、延著。所有¶y*·¶sf(k*)sy*sy*f(k*)=· (n+g+) sf(k*)s f(k*)=( n + g + )s f(k*)2008-5-28f(k*)=( n + g + )sf(k*)中宏（30）14中宏講義，張延著。所有sf(k*) = ( n + g + ) k*把( n + g + )sf(k*) k*=代入上式，得到：¶y*sf(k*) · =¶sy*f(k*)k*f(k*)f(k*) k*f(k*)=1f(k*) k*f(k*)所有2008-5-28中宏（30）15中宏講義，張延著。f(k*) k

7、*f(k*)為 k = k* 處的產出的彈性。f(k*)f(k*) k*的邊際產量獲得的收入f(k*) k* f(k*)產出中所占的份額(%)在令 aK (k*) = f(k*) k* f(k*)¶y*saK (k*) · =¶sy*1 aK (k*)所有2008-5-28 中宏（30）16中宏講義，張延著。¶y*sy*y*ss · =lims 0¶sy*y* ·ssy*=lims 0產出變動的百分比儲蓄率變動的百分比=2008-5-28中宏（30）17中宏講義，張延著。所有，aK (k*) = 13 。在大多數可知在長期，

8、產出的儲蓄率彈性為：(¶y*¶s)(sy*) =(13 )(1-13 ) =12儲蓄率增加10%，與儲蓄率不變時相比，將使每工人平均產量在長期內提高大約5%。即使儲 蓄率增加50%，也僅使 y* 增加大約22%。這樣， 儲蓄率的顯著變化對于平衡增長路徑上的產量水平只有較小影響。2008-5-28 中宏（30）18中宏講義，張延著。所有彈性 aK (k*)較小產出的的含義：(1) aK (k*) 較小的幾何意義aK (k*) =f(k*) k* f(k*)其中的 f(k*) 較小表明實際投資曲線 s f(k)彎曲得相當厲害（變得更加平f(k*) k* f(k*) k* 較小。

9、坦）2008-5-28 中宏（30）19中宏講義，張延著。所有f(k)實際投資曲線 s f(k)彎曲得相當厲害0k20（變得更加平中宏講義，張延著。坦）所有2008-5-28中宏（30）(2) aK (k*) 較小的的邊際產量含義f (k*) 較小f(k*) k*的收入較小產出的份額 f(k*) k* f(k*)較小f(k*) k* f(k*)產出變動的百分比變動的百分比占aK (k*)=2008-5-28 中宏（30）21中宏講義，張延著。所有較小的aK(k*)值意味著k* 的變化對y* 的影響較小。例如，(n+g+)一般為每年6(比如， 若人口增長率為12，每工人平均產量增長12，折舊率為

10、34)。若入份額大致為13 。的收n+g+= 6 ，aK(k*) = 132008-5-28若則 = 1- aK (k*)(n+g+) = 4 。中宏（30）22中宏講義，張延著。所有因此，y 每年向 y* 移動剩余距離的4，要走完到其平衡增長路徑值的距離的一半約需18年時間。因此在我們的例子中，如果儲蓄率增加10，那么在1年后產量高于其以前路徑0.04(5)= 0.2；18年后高出0.5(5) = 2.5%，且此 比例漸趨近5。這樣，不僅儲蓄率變化較大時的總體影響較小，而且其作用的出現也不很快2008-5-28 中宏（30）23中宏講義，張延著。所有3、人均產量 y =YL 隨s的變化每工人

11、平均產量YL 的變動是我們特別感的東西。y= YL=Af(k)。 k YL2008-5-28s中宏（30）24中宏講義，張延著。所有¶y*¶s= A f(k*)( ¶k*¶s )因而 ¶y*¶s 0s 與y* 同方向變動。結論：s 的導致 y*上升上升 。2008-5-28中宏（30）25中宏講義，張延著。所有y=Af(k)y y=AA+f(k)f(k)=g+f(k)f(k)f(k)kf(k)=g+2008-5-28中宏（30）26中宏講義，張延著。所有yk(t)y cs 變化的間接影響cs2008-5-28 中宏（30）27中宏講義

12、，張延著。所有在t0 之前的k*(1)上存在：舊0k = dkdt= 0y y=AA= gyy 為一條固定水平g 的、不隨 t 變動的平行于橫軸的直線。2008-5-28 中宏（30）28中宏講義，張延著。所有在t1 之后的k*(2)上存在：新1k= dkdt = 0y y = AA=gyy 為一條固定水平g 的、不隨t變動的平行于橫軸的直線。含義：如果k達到均衡的k 值，就只有A 的 增長對YL的增長有貢獻，則YL的增長率就是A 的增長率g 。2008-5-28 中宏（30）29中宏講義，張延著。所有yyP24圖1.5儲蓄率增加的影響圖(c)g0ttt01k*新k*舊02008-5-28t中

13、宏（30）30中宏講義，張延著。所有(3)在 t0 和 t1之間，由于k 0，所以 y y g，若 k 遞增，則YL同時由于A 和 k 的增長而 增長。這時其增長率超過 g 。這些結果總結于p24圖1.5圖(c)。t0表示儲蓄率增加的時間。按假定，s在t0時跳升并從此保持不變。每工人 平均產量的增長率開始時為g，在t0 時向上跳升，有一個快速上升的突變。隨后逐漸回到其初始水平。2008-5-28 中宏（30）31中宏講義，張延著。所有yy+ f(k)kf(k)=g在t0 和t1之間，由于k 0y y g所以 按假定，s 在 t0 時跳升并從此保持不變。每工人平均產量的增長率開始時為g ，在 t

14、0時向上跳升，有一個快速上升的突變。2008-5-28 中宏（30）32中宏講義，張延著。所有yyP24圖1.5儲蓄率增加的影響圖(c)g0ttt01k*新k*舊02008-5-28t中宏（30）33中宏講義，張延著。所有yy 對時間 t 的一階導。(4)2008-5-28 中宏（30）34中宏講義，張延著。所有d( yy )dtf(k)d f(k) k dt - f(k) k df(k)dtf(k)2=f(k) f(k) kk+ f(k) dk/dt - f(k) k f(k) kf(k)2=f(k) f(k)( k)2 + f(k) dkdt f(k) k 2f(k)2=2008-5-28

15、 中宏（30）35中宏講義，張延著。所有 在 t0 至 t1 之間，dkdt 0 ，并且 f(k) 0 d( y y )dt 0 隨著 t，y y單調，2008-5-28y y 為一條單調下降的直線。中宏（30）36中宏講義，張延著。所有這些結果總結于p24圖1.5 圖(c)。t0表示儲蓄率增加的時間。按假定，s在t0時跳 升并從此保持不變。k從k*的原值逐漸上升至新值。每工人平均產量的增長率開始時為g，在t0時向上跳升，隨后逐漸回到其初始水平。2008-5-28 中宏（30）37中宏講義，張延著。所有yyP24圖1.5儲蓄率增加的影響圖(c)g0ttt10s新s舊02008-5-28t中宏（

16、30）38中宏講義，張延著。所有 結論：儲蓄率的一個性增加產生了每工人平均產量增長率的暫時性增加。因為k在一定時期內上升，但最終將增加到一定水平，在這一水平上增加的儲蓄被全部用于維持k的較高水平。2008-5-28 中宏（30）39中宏講義，張延著。所有4、ln YL的變化(人均產量的對數具有統計學上的意義)P24圖15圖(d)之所以給出了每工人平均產量的對數值而非每工人平均產量水平， 是因為當一個變量以一不變速率增長時，該 變量的對數作為時間的函數在圖形上反映為 一條直線。2008-5-28 中宏（30）40中宏講義，張延著。所有定式：一變量的增長率 = 該變量的對數， 對時間 t 的一階導

17、數d ln(X)dt=( 1X )(d Xdt )d ln ydt=XX，即：=d ln( YL)dtd ln2ydt2d ln2(YL)dt2=yy=d( yy)dt所有2008-5-28 中宏（30）41中宏講義，張延著。y yg + f(k)kf(k)=yy是 ln y對t 的一階導數。一階導數 y y 始終 0ln (YL)始終隨t 的上升而單調上升，只不過上升速率的變化分成三個階段：2008-5-28 中宏（30）42中宏講義，張延著。所有(1) 在 t0 之前，yy=g ln (YL)是一條斜率為固定水平 g 的單調上升的直線。2008-5-28 中宏（30）43中宏講義，張延著。

18、所有(2) 在 t1 之后，yy=g ln (YL) 是一條斜率為固定水平 g的單調上升的直線。t1 之后的 ln (YL)與t0 之前的 ln (YL)是否是同一條直線，取決于to 和t1 之間ln (Y L)上升的形式：線性、遞增的速率還是遞減的速率。2008-5-28 中宏（30）44中宏講義，張延著。所有 (3) 在t0 至t1 之間，yy 單調下降 d(yy )dt 0 d ln2(YL)dt2 0 ln (YL)是一條以遞減的斜率上升的曲線( ln (YL) 凹向原點)。2008-5-28 中宏（30）45中宏講義，張延著。所有yyP24圖1.5儲蓄率增加的影響圖(d)g0ln y

19、t02008-5-28t中宏（30）46中宏講義，張延著。所有t0t1 結論：儲蓄率的變化有水平效應，但沒有增長效應：它改變的平衡增長路徑，因而改變任一時點上每工人的平均產量水平，但并不影響處于平衡增長路徑時每工人平均產量 的增長率。的確，在索洛模型中只有技術進 步率的變化有增長效應；所有其他變化都只有水平效應。2008-5-28 中宏（30）47中宏講義，張延著。所有yyP24圖1.5水平效應和增長效應(d)g0ln yt02008-5-28t中宏（30）48中宏講義，張延著。所有t0t1三、對c 的影響1、c函數若將家庭引入模型，其福利將取決于消費，而非產量：投資只是未來生產中的一種投入品

20、。因此，在許多情況下，我們 很可能更關心消費的變動而非產量的變動2008-5-28 中宏（30）49中宏講義，張延著。所有yk(t)y cs 變化的直接影響cs2008-5-28 中宏（30）50中宏講義，張延著。所有當 Y = Yd的條件下，Y = C + SY AL =CAL+SAL+ ( s Y )ALy=cy=c+sy2008-5-28中宏（30）51中宏講義，張延著。所有c= (1 s) y=(1 s) f(k)=f(k) s f(k)幾何意義：對于任何一個k ，f(k)與 s f(k) 之間的垂直距離即為c 。2008-5-28 中宏（30）52中宏講義，張延著。所有f(k)f(k

21、)s f(k)k的幾何圖形0k53c2008-5-28中宏（30）中宏講義，張延著。所有s舊 s新1- s舊 1- s新c新 c舊在t0之前，c為一條較高水平的直線。在t0之后，c為一條陡降（突變）的曲線。c=f(k舊*) s新 f(k舊*)舊舊然后，隨著k 的上升，在s 的更高值不變的情況下，消費將逐漸上升。如P24圖1.5中最后一圖(e)所示。2008-5-28 中宏（30）54中宏講義，張延著。所有每有效勞動的平均消費等于每單位有效勞動的平均產量乘以該產量中用于消費的比例(1-s)。因此，由于s 在t0 時發生非連續性變化，而k 卻不是這樣，所以每有效勞動的平均消費開始時猛烈下降2008

22、-5-28 中宏（30）55中宏講義，張延著。所有c*0ts新s舊02008-5-28t中宏（30）P24圖1中.宏5講儲義，蓄張延率著。加所有的影響圖(e)56t0t12、可以使c 達到最大化的黃金律存量水平k* 。的當 k= dkdt = 0 時，存在一個k* ，滿足：s f(k*) = ( n+g+)k*2008-5-28中宏（30）57中宏講義，張延著。所有令c* 表示處于平衡增長路徑上的每單位有效勞動的平均消費。c*等于每有效勞動的平均產量f(k*)減去每有效勞動的平均投資s f(k*)。在平衡增長路徑上，實際投資等于持平投資(n+g+)k*2008-5-28 中宏（30）58中宏講

23、義，張延著。所有這樣，c*f(k*)-s f(k*)=f(k*) - ( n+g+)k*=實現 c* 最大化的一階條件是：dc*dk* =f(k*) - ( n+g+) =02008-5-28 中宏（30）59中宏講義，張延著。所有即： f(k*) =( n+g+)f(k*)的邊際產量，f(k*)在 k*點切線的斜率 。( n+g+)直線( n+g+)k* 的斜率。2008-5-28 中宏（30）60中宏講義，張延著。所有在 k = k* 上，如果滿足：f(k*)= ( n + g +)則這個使 c* 達到最大化的 k*水平，稱為黃金律 ( golden rule ) 的存量水平kGR 。20

24、08-5-28 中宏（30）61中宏講義，張延著。所有在 k = k* 時，c*=f(k*) -s f(k*) 達到最大化。2008-5-28中宏（30）62中宏講義，張延著。所有f(k)(n+g+)kf(k)s f(k)kGR0k63 使c 達到最大化的黃金律的存量水平k*2008-5-28 中宏（30）中宏講義，張延著。所kGRk*dc*dk* =f(k*) - ( n+g+) = 02008-5-28 中宏（30）中宏講義，張延著。所3、s 變動對c* 的影響（定性分析）消費最終是否會超過s上升前的原來水平并非一目了然的。在平衡增長路徑上，c* 是k* 的函數 。c*= f(k*) -

25、( n + g + )k*(1.14)而k* 是s 的函數，k* 的位置取決于s 和該模型中的其他參數n、g和。k* =k* ( s、n、g、)2008-5-28 中宏（30）65中宏講義，張延著。所有因此c* 是s 的隱函數 。我們運用隱函數求導法，可寫出：¶c*¶s¶k*¶s¶k* ( n+g+) ¶sdf(k*) ·dk*= f k*( s、n、g、) - ( n + g + )× ¶k*( s、n、g、)¶s 2008-5-28 中宏（30）66中宏講義，張延著。所有¶c*&#

26、182;s f(k*) - ( n+g+)( ¶k* ¶s )=(1.15)我們知道s 的增加提高 k*，即： ¶k*¶s0 對這一結論的證明見前面。2008-5-28 中宏（30）67中宏講義，張延著。所有因此，s 的增加是否在長期提高消f(k*)費，取決于的邊際是大于還是小于n+g+。¶c*¶s和 ¶c*¶k* 的符號取決于 f(k*) - ( n + g + ) 的符號2008-5-28 中宏（30）68中宏講義，張延著。所有(1)當f(k*) - ( n + g + ) 0時，¶c*¶s

27、 0 ，s 的上升導致c*下降。P27 圖1.6(a) 所示。¶c*¶k* 0 ，k* 的上升導致c*下降2008-5-28中宏（30）69中宏講義，張延著。所有(n+g+)kf(k)f(k)s新 f(k)s舊 f(k)k*新k*舊0k702008-5-28P27 圖1.6(a) s 和k* 的上升導致c 下降*7中宏（30）中宏講義，張延著。所有含義：直觀地看，如果k上升，要使k的這種上升得以維持，(每有效勞動的平均)投資必須上升n+g+乘以k的變化量。如果f(k*)小于n+g+，那么從增加的上獲得的增加的產量不足以將存量維持在其較高水平上。此時，消費必須下降以維持較高的

28、2008-5-28 中宏（30）存量。71中宏講義，張延著。所有(2) 當f(k*) - ( n + g + ) 0時，¶c*¶s 0 ，s 的上升導致c*上升。¶c*¶k* 0 ，k* 的上升導致c*上升。2008-5-28 中宏（30）72中宏講義，張延著。所有(n+g+)kf(k)f(k)s新 f(k)s舊 f(k)k*新k*舊0k732008-5-28P27圖1.6(b) s 和k* 的上升導致c 上升*中宏（30）中宏講義，張延著。所有另一方面，如果f(k*)大于n+g+，增加的產量大于將k維持在較高水平上所需的產量增加，因而 消費上升。 如

29、P27圖1.6(b)所示。該圖不僅給出了 (n+g+)k和sf(k)，還給出了f(k)。在平衡增長路徑上、c為f(k)和(n+g+)k之間的距離。在上圖中，f(k* )小于n+g+，因此，即使當已達到新的平衡增長路徑時，儲蓄率的增加也降低消費。在中圖中，相反的情況出現，儲蓄率的增加在長期內提高消費。2008-5-28 中宏（30）74中宏講義，張延著。所有(3)當 f(k*) - ( n + g + ) = 0 時，¶c* ¶s= 0 ，s 的上升導致c* 達到最大值。¶c* ¶k*= 0 ，k* 的上升導致c* 達到最大值。2008-5-28 中宏（3

30、0）75中宏講義，張延著。所有最后，在P27圖1.6(c)中，f(k*)恰好等于 n+g+，也就是說，在k = k* 處 ， f(k)的切線和(n+g+)k平行。此時，s 的一個邊際變化在長期內對消費沒有影響， 且消費在所有可能的平衡增長路徑中達到其可能取的最大水平。這一k* 值就是所謂存量水平 kGR 。的黃金律2008-5-28 中宏（30）76中宏講義，張延著。所有f(k)(n+g+)kf(k)s f(k)kGR中1宏.6（(3c0）)使c 達到中宏最講大義，化張延的著。黃金所有律的0k存量水平77 k*P2P0028-75-圖28yk(t)y cs 變化的間接影響cs2008-5-28 中宏（30）78中宏講義，張延著。所有4、c* 隨t 的變化c*=(1 s) y*=(1 s) f(k*)dc*dt= (1-s) f(k)k(1)在 t0 之前的k*上存在：舊0k=dkdt= 0dc*dt=(1-s) f(k)k=0c* 為一條固定水平的、不隨t 變動的直線。2008-5-28 中宏（30）79中宏講義，張延著。所有(2)、在 t1 之后的k*上存在：新1k= dkdt = 0dc*