1、幾何說： 平面上到定點的距離等于定長的所有點組成的圖形叫做圓。定點稱為圓心，定長稱為半徑。軌跡說： 平面上一動點以一定點為中心，一定長為距離運動一周的軌跡稱為圓周，簡稱圓。集合說：到定點的距離等于定長的點的集合叫做圓。圓的相關量圓周率：圓周長度與圓的直徑長度的比叫做圓周率，值是3.14159265358979323846，通常用 兀表示，計算中常取 3.1416為它的近似值。圓弧和弦：圓上任意兩點間的部分叫做圓弧，簡稱弧。 大于半圓的弧稱為優弧，小于半圓的弧稱為劣弧。連接圓上任意兩點的線段叫做弦。經過圓心的弦叫做直徑。圓心角和圓周角：頂點在圓心上的角叫做圓心角。頂點在圓周上，且它的兩邊分別與圓

2、有另一個交點的角叫做圓周角。內心和外心：過三角形的三個頂點的圓叫做三角形的外接圓，其圓心叫做三角其圓心稱為內心。形的外心。和三角形三邊都相切的圓叫做這個三角形的內切圓，扇形： 在圓上， 由兩條半徑和一段弧圍成的圖形叫做扇形。圓錐側面展開圖是一個扇形。這個扇形的半徑成為圓錐的母線。圓和圓的相關量字母表示方法圓一O半徑一r弧一c直徑一d扇形弧長圓錐母線 l 周長 C 面積 S圓和其他圖形的位置關系圓和點的位置關系：以點P 與圓 O 的為例（設P 是一點，則PO 是點到圓心的距離），P 在。外，PO>r； P 在。上，PO = r； P 在。內，PO<r。直線與圓有3 種位置關系：無公共

3、點為相離；有兩個公共點為相交；圓與直線有唯一公共點為相切，這條直線叫做圓的切線，這個唯一的公共點叫做切點。以直線AB與圓O為例（設OP XAB于P,則PO是AB到圓心的距離）：AB與 。相離，PO>r； AB 與。相切，PO = r； AB 與。相交，PO<r。兩圓之間有5 種位置關系：無公共點的，一圓在另一圓之外叫外離，在之內叫內含；有唯一公共點的，一圓在另一圓之外叫外切，在之內叫內切；有兩個公共點的叫相交。兩圓圓心之間的距離叫做圓心距。兩圓的半徑分別為R和r,且R>r, 圓心距為P:外離P>R+r；外切P=R+r；相交 R-r<P<R+r；內切P=R-r

4、;內 含 P<R-r。【圓的平面幾何性質和定理】K有關圓的基本性質與定理R圓的確定：不在同一直線上的三個點確定一個圓。圓的對稱性質：圓是軸對稱圖形，其對稱軸是任意一條過圓心的直線。圓也是中心對稱圖形，其對稱中心是圓心。垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的弧。逆定理：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的弧。有關圓周角和圓心角的性質和定理在同圓或等圓中，如果兩個圓心角，兩個圓周角，兩條弧，兩條弦中有一組量相等，那么他們所對應的其余各組量都分別相等。一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半。直徑所對的圓周角是直角。90 度的圓周角所對的弦是直徑。有關外接圓和內切

5、圓的性質和定理一個三角形有唯一確定的外接圓和內切圓。外接圓圓心是三角形各邊垂直平分線的交點，到三角形三個頂點距離相等；內切圓的圓心是三角形各內角平分線的交點，到三角形三邊距離相等。K有關切線的性質和定理R圓的切線垂直于過切點的直徑；經過直徑的一端，并且垂直于這條直徑的直線，是這個圓的切線。切線判定定理：經過半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。切線的性質：（1）經過切點垂直于這條半徑的直線是圓的切線。（2）經過切點垂直于切線的直線必經過圓心。（3）圓的切線垂直于經過切點的半徑。切線的長定理：從圓外一點到圓的兩條切線的長相等。K有關圓的計算公式11.圓的周長C=2兀r=冗d2.圓的面積S=

6、tt r23.扇形弧長l=n兀r/1804.扇形面積S=n：t360=rl/25.圓錐側面積S=tt rl弦切角定義頂點在圓上，一邊和圓相交，另丁，圖示一邊和圓相切的角叫做弦切角。如右圖所示， 直線PT切圓。于點C,BC、AC為圓O的弦，則有/ PCA=/PBC（/PCA為弦切角）弦切角定理弦切角定理：弦切角的度數等于它所夾的弧的圓心角的度數的一半.（弦切角就是切線與弦所夾的角）弦切角定理證明：證明一：設圓心為O,連接OC, OB,連接BA并延長交直線 T于點P。 / TCB=90- / OCB . / BOC=180-2 Z OCB此圖證明的是弦切角/TCB，/BOC=2 Z TCA （定理

7、：弦切角的度數等于它所夾的弧的圓心角的度數的一半） 一/ BOC=2 / CAB （圓心角等于圓周角的兩倍）丁./ TCA= Z CAB （定理：弦切角的度數等于它所夾的弧的圓周角）證明已知：AC是。O的弦，AB是。O的切線，A為切點，弧是弦切角/ BAC所 夾的弧.求證：（弦切角定理）證明：分三種情況：(1) 圓心O在/ BAC的一邊AC上AC為直徑，AB切。于A ,弧 CmA=弧 CA為半圓，丁./ CAB=90=弦CA所對的圓周角DB點應在A點左側(2) 圓心O在/ BAC的內部.過A作直徑AD交。于D,若在優弧m所對的劣弧上有一點E那么，連接 EC、ED、EA則有：/ CED= / C

8、AD、/ DEA= / DAB/ CEA= / CAB(弦切角定理)(3) 圓心O在/ BAC的外部，過A作直徑AD交。于D那么 / CDA+ / CAD= / CAB+ / CAD=90/ CDA= / CAB.(弦切角定理)弦切角推論：若兩弦切角所夾的弧相等，則這兩個弦切角也相等CBA=60舉例：例1:如圖，在中，/ C=90 ,以AB為弦的。與AC相切于點 A, AB=a 求 BC 長.在中，/ C=90BAC=30 °. BC=1/2a（ RT中30°角所對邊等于斜邊的一半）例1：如圖，在中，/ C=90 ,以 求BC長.解：連結 OA , OB.在中，/ C=90

9、 ./ BAC=30 °BC=1/2a( RT中 30°AB為弦的。O與AC相切于點,AB=a角所對邊等于斜邊的一半）D,與例2:如圖，AD是 A ABC中/ BAC的平分線，經過點 A的。與BC切于點AB , AC分別相交于 E , F.求證：EF / BC.證明：連 DF.AD 是/ BAC的平分線/ BAD= / DAC/ EFD= / BAD/ EFD= / DAC。切 BC 于 D / FDC= / DAC/ EFD= / FDCEF / BC例3:如圖，A ABQ接于。O, AB是。O直徑，CD，AB于D , MN切。于C, 求證：AC平分/ MCD , BC平

10、分/ NCD.證明：AB是。O直徑 ./ ACB=90CD ± AB ./ ACD= / B, MN 切。O 于 C ./ MCA= / B,/ MCA= / ACD ,即AC平分/ MCD , 同理：BC平分/ NCD.切線長定理從圓外一點引圓的兩條切線，它們的 切線長 相等，圓心和這一點的連線，平分兩條切線的夾角。如圖中，切線長 AC=AB 。 / ABO= / ACO=90°BO=CO=半徑AO=AO公共邊 Rt A AB必 Rt A ACO (H.L )AB=AC/ AOB= / AOC / OAB= / OAC 切線長定理推論：圓的外接四邊形的兩組對邊的和相等切線

11、長的概念.如圖，P是。O外一點，PA , PB是。O的兩條切線，我們把線段PA, PB叫做點 P到。O的切線長.引導學生理解：切線和切線長是兩個不同的概念，切線是直線，不能度量；切線長是線段的長，這條線段的兩個端點分別是圓外 一點和切點，可以度量.切線長定理：從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點 的連線平分兩條切線的夾角.推廣：連接 BC, BCXAO相交弦定理圓內的兩條相交弦，被交點分成的兩條線段長的積相等。（經過圓內一點引兩條線，各弦被這點所分成的兩段的積相等）相交弦說明幾何語言：若弦AB、CD交于點P則PA - PB=PC - PD （相交弦定理）推論：如果弦與直徑垂

12、直相交，那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比例中項幾何語言：若AB是直徑，CD垂直 AB于點P,則PCA2=PA - PB （相交弦定理推論）編輯本段如何證明證明：連結 AC, BD,由圓周角定理 的推論，得/ A = / D , / C = / B。（圓周角 推論2:同（等）弧所對圓周角相等 .）， PACA PDB ,PA ： PD=PC： PB, PA - PB=PC PD注：其 逆定理 可作為證明圓的內接三角形 的方法.P點若選在圓內任意一點更具一般性。強力乳一£» to一n鼠產XIFFf Wl-.Mi'-AhW 1if 1 1 M ： PH -K ：

13、II!、肅-pb -內 ri>1If相煲弦定理切割線定理：從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項。是圓哥定理的一種。幾何語言： PT切。于點T, PBA是O O的割線PT的平方=PA PB （切割線定理）推論：從圓外一點引圓的兩條割線，這一點到每條割線與圓的交點的兩條線段長的積相等幾何語言： PBA , PDC 是。O的割線PD PC=PA - PB （切割線定理推論） （割線定理）由上可知：PT的平方 =PA PB=PC PD證明切割線定理證明：PB設ABP是。O的一條割線，PT是。O的一條切線，切點為T,則PT&sup2;=PA證明：連接

14、 AT, BTPTB= / PAT（弦切角定理）/ P= / P（公共角）. PBTA PTA（兩角對應相等，兩三角形相似 ）貝U PB: PT=PT : AP即：PT&sup2;=PB PA相交弦定理圓內的兩條相交弦，被交點分成的兩條線段長的積相等。（經過圓內一點引兩條線，各弦被這點所分成的兩段的積相等）相交弦說明幾何語言：若弦AB、CD交于點P則PA - PB=PC - PD （相交弦定理）推論：如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比例中項幾何語言：若AB是直徑，CD垂直 AB于點P,則PCA2=PA - PB （相交弦定理推論）如何證明證明：連結 AC,

15、BD,由圓周角定理 的推論，得/ A = / D , / C = / B。（圓周角 推論2:同（等）弧所對圓周角相等 .）， PACA PDB ,PA ： PD=PC： PB, PA - PB =PC- PD注：其 逆定理 可作為證明圓的 內接三角形 的方法.P點若選在圓內任意一點更具 一般性。,耳工*一丁帆一卜、£一一心v FA : I'D 'K ： I增./m'- i't -r 訓機交弦定理從圓外一點 P引兩條割線與圓分別交于 A.B.C.D 則有 PA- PB=PC - PDoPD證明：如圖直線 ABP和CDP是自點 P引的。O的兩條割線， 則P

16、A - PB=PC - 證明：連接AD、BC.一/A和/C都對弧BD由圓周角定理，得 / A= / C又. / APD= / CPB . ADP s' cbpAP:CP=DP:BP,也就是 AP - BP=CP - DP101圓是定點的距離等于定長的點的集合102圓的內部可以看作是圓心的距離小于半徑的點的集合103圓的外部可以看作是圓心的距離大于半徑的點的集合104同圓或等圓的半徑相等105到定點的距離等于定長的點的軌跡，是以定點為圓心，定長為半徑的圓106和已知線段兩個端點的距離相等的點的軌跡，是著條線段的垂直平分線107到已知角的兩邊距離相等的點的軌跡，是這個角的平分線108到兩條

17、平行線距離相等的點的軌跡，是和這兩條平行線平行且距離相等的一條直線109定理 不在同一直線上的三點確定一個圓。110垂徑定理 垂直于弦的直徑平分這條弦并且平分弦所對的兩條弧111推論1平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧弦的垂直平分線經過圓心，并且平分弦所對的兩條弧平分弦所對的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧112推論2圓的兩條平行弦所夾的弧相等113圓是以圓心為對稱中心的中心對稱圖形114定理 在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等，所對的弦的弦心距相等115推論 在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦或兩弦的弦心距中有一組量相等

18、那么它們所對應的其余各組量都相等116定理一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半117推論1同弧或等弧所對的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧也相等118推論2半圓（或直徑）所對的圓周角是直角；90。的圓周角所對的弦是直徑119推論3如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形120定理 圓的內接四邊形的對角互補，并且任何一個外角都等于它的內對角121直線L和。相交dvr直線L和。相切d=r 直線L和。O相離d>r122切線的判定定理經過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線123切線的性質定理圓的切線垂直于經過切點的半徑124推論1經過圓心且垂直于切線的直線必經過切點125推論2經過切點且垂直于切線的直線必經過圓心126切線長定理 從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點的連線平分兩條切線的夾角127圓的外切四邊形的兩組對邊的和相等128弦切角定理 弦切角等于它所夾的弧對的圓周角129推論如果兩個弦切角所夾的弧相等，那么這兩個弦切角也相等130相交弦定理 圓內的兩條相交弦，被交點分成的兩條線段長的積相等131推論如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比例中項132切割線定理 從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項133