1、第三講二次根式和勾股定理【知識網(wǎng)絡(luò)】二次根式二次根式的運(yùn)算與舟【要點(diǎn)梳理】 知識點(diǎn)一二次根式的相關(guān)概念和性煩1 .二次根式形如。(0 2 0)的式子叫做二次根式，如、5,等式子，都叫做二次根式.要點(diǎn)詮郛：二次根式、Q有意義的條件是。之0,即只有被開方數(shù)時(shí)，式子戰(zhàn)才是二次根式，右才 有意義.2 .二次根式的性質(zhì)(1) &20(。20)：(2) (/) = a (a > 0):(3)=|a |= <a (a 2 0)-a (a < 0)要點(diǎn)詮料：(1) 一個(gè)非負(fù)數(shù)。可以寫成它的算術(shù)平方根的平方的形式，即。=(右)2 (。20),如=(、歷尸;；=(,，：;* = (、1)

2、： (xNO).(2) G 中。的取值范圍可以是任意實(shí)數(shù)，即不論。取何值，后一定有意義.(3)化簡、時(shí)，先將它化成同，再根據(jù)絕對值的意義來進(jìn)行化簡.(1)在與(Gy的異同不同點(diǎn)：，牙中。可以取任何實(shí)數(shù).而(石y中的。必須取非負(fù)數(shù)：y/a=a, (yfa)2=a (a NO).相同點(diǎn)：被開方數(shù)都是非負(fù)數(shù)，當(dāng)。取非負(fù)數(shù)時(shí),、*' = (八尸.3 .最簡二次根式1)被開方數(shù)是整數(shù)或整式：2)被開方數(shù)中不含能開方的因數(shù)或因式.滿足上述兩個(gè)條件的二次根式，叫做最簡二次根式.如、5,疝,3五,行萬等都是最南二次根式.要點(diǎn)詮料：最簡二次根式有兩個(gè)要求：(1)被開方數(shù)不含分母：(2)被開方數(shù)中每個(gè)因式

3、的指數(shù)都小于根 指數(shù)2.4 .同類二次根式幾個(gè)二次根式化成最簡二次根式后，被開方數(shù)相同，這幾個(gè)二次根式就叫同類二次根式.要點(diǎn)詮釋：判斷是否是同類二次根式，一定要化簡到最簡二次根式后，看被開方數(shù)是否相同，再判斷.如6 與、由于、&二26，6與、&顯然是同類二次根式.知識點(diǎn)二、二次根式的運(yùn)算1 .乘除法(1)乘除法法則：類型法則逆用法則積的算術(shù)平方根化簡公式：二次根式的乘法y/axy/h=>/b(a>07b>0)ab = ya x b(a > 0, Z> > 0)商的算術(shù)平方根化簡公式：二次根式的除法口=半_(。20,6>0)r ;黃&qu

4、ot;3 =華92>0)要點(diǎn)詮野：(1)當(dāng)二次根式的前面有系數(shù)時(shí)，可類比單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘(或相除)的法則，如 a>b Cyd acyfbd .(2)被開方數(shù)a、b一定是非負(fù)數(shù)(在分母上時(shí)只能為正數(shù)).如(-4)x(-9) /方乂口,2 .加減法將二次根式化為最簡二次根式后，將同類二次根式的系數(shù)相加減,被開方數(shù)和根指數(shù)不變，即合并同類 二次根式.要點(diǎn)詮釋：二次根式相加減時(shí)，要先將各個(gè)二次根式化成最面二次根式，再找出同類二次根式，最后合并同類二次 根式如、5 + 3啦-5應(yīng)=(1 + 3-5)亞=-亞.【鞏固練習(xí)】、選擇題1.x是怎樣的實(shí)數(shù)時(shí)在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有直義？(B. x >

5、-K.v # ±22.若必3 = 3-力，貝！1().A. b>3 B. b<3 C. b23 D. b43那么滿足上述條件的整數(shù)工的個(gè)數(shù)是(£44已知r l < x < J3+J2y/5 % 3A. 4 B. 5 C. 6 D. 7X- 44.若xVO,則 x 的結(jié)果是( ).A. 0 B. -2 C. 0 或-2D. 25,若卜-5卜2際=0,則,的值是()A. -7 B. -5 C. 3 D. 76 .下列計(jì)算正確的是()A.V3+V2=V5B.V12V3=2C. («) 7MD. <V3- 1) 2-27 .小明的作業(yè)本上有以

6、下四題：7 = "：X曬=蚯。：ay/a :® >/3a - 42a = 4a -做錯(cuò)的題是().A. B. C.D.8 .。之陰丸正丁匕1和-J/相比較，下面四個(gè)選項(xiàng)中上確的是().A. 4 =-()> -4B. y/a > yf(-ay > -4C. yaJa，D. _1&：>'/=4(_*二.填空題9 .計(jì)算a? + J9a -_.10 .若后的整數(shù)部分是a,小數(shù)部分是b,則島-6=.11 .比較大小5-指 一2+抬：幣-巫_a-君.(用或填空)12 .已知最簡根式-avi而豆與z七1后石是同類根式，則/ + /的值為_1

7、3 .若 m<0,則 | 加 | +Vw2 + Vw3 -14 .已知實(shí)數(shù)。滿足|2010-。| +、'。-2011 =a ,則4一2010：=.15 .已知數(shù)a,b,c在數(shù)軸上的位置如圖所示：ra 6b-則后Ta + c| + 1(c-by - |-6| =.16 .已知x=近一，則-x+1=.三綜合題17 .計(jì)算：.、 / f-r ab 、 Nab b(1) (<ab7)-r-a + daba-b(1+0*1+可(1一&邙一可2於值18已知：X = -J=,求彳2-> + 1的值.19已知：y = J" 8x + 8K -1+L求代數(shù)式220.某

8、號臺風(fēng)的中心位于0地，臺風(fēng)中心以25千米/小時(shí)的速度向西北方向移動，在半徑為240千米的范圍內(nèi)將 受影響、城市A在0地正西方向與0地相距320千米處，試問A市是否會遭受此臺風(fēng)的影響？若受影響，將 有多少小時(shí)？【知識網(wǎng)絡(luò)】【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、勾股定理1 .勾股定理：宜角三角形兩五角邊小的平方和等于斜地C的平方.（即：2 .勾股定理的應(yīng)用勾股定理反映了直角三角形三邊之間的關(guān)系，是直角三角形的重要性質(zhì)之一，其主要應(yīng)用是：（1）已知直角三角形的兩邊，求第三邊：（2）利用勾股定理可以證明有關(guān)線段平方關(guān)系的問題：（3）求作長度為正的線段.要點(diǎn)二、勾股定理的逆定理1 .原命題與逆命題如果一個(gè)命題的題設(shè)和結(jié)論

9、分別是另 個(gè)命題的結(jié)論和題設(shè)，這樣的兩個(gè)命題叫做互逆命題.如果把其中一個(gè)叫做 原命題，那么另一個(gè)叫做它的逆命題.2 .勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理：如果二角形的三邊長久& C,滿足T+/=c2,那么這個(gè)三角形是直角三角形.應(yīng)用勾股定理的逆定理判定一個(gè)三角形是不是百角三角形的基本步驟：（1）首先確定最大邊，不妨設(shè)最大邊長為。：（2）驗(yàn)證。2與。2+是否具有相等關(guān)系，若。2+=。2,則是以/C為直角的直角三角形，反之，則 不是直角三角形.3 .勾股數(shù)滿足不定方程Y+p2=z2的三個(gè)正整數(shù)，稱為勾股數(shù)（又稱為高數(shù)或畢達(dá)哥拉斯數(shù)）,顯然，以X、J，、Z為三邊 長的三角形一定是直角二角形.常

10、見的勾股數(shù)：3、4、5；5、12、13：8、15、17；7、24、25；9、40、41.如果（a、b、c）是勾股數(shù)，當(dāng)t為正整數(shù)時(shí)，以。、從、”為三角形的三邊長，此三角形必為直角三角形.觀察上面的、四組勾股數(shù)，它們具有以下特征：1 .較小的苴角邊為連續(xù)奇數(shù)：2 .較長的直角邊與對應(yīng)斜邊相差1.3 .假設(shè)三個(gè)數(shù)分別為。、b、c,旦那么存在。2=3 +。成立（例如中存在7? =24+25、9, =40+41等）要點(diǎn)三、勾股定理與勾股定理逆定理的區(qū)別與聯(lián)系區(qū)別：勾股定理是直角三角形的性質(zhì)定理，而其逆定理是判定定理：聯(lián)系：勾股定理與其逆定理的題設(shè)和結(jié)論正好相反，兩者互為逆定理，部與五角三角形有關(guān).【鞏

11、固練習(xí)】選擇題1 .在N8C 中，若。= /-l,b = 2,c = /+l,則般是(A.銳角三角形 B.鈍角三角形 C.等腰三角形D.直角三角形2 .如圖，每個(gè)小正方形的邊長為1, A、B、C是小正方形的頂點(diǎn)，則/ABC的度數(shù)為（）A. 90° B. 60° C, 45° D. 309C3 .下列滿足條件的三角形中，不是直角三角形的是（）A.三內(nèi)角之比為1： 2： 3B.三邊長的平方之比為h 2： 3C.三邊長之比為3： 4- 5D.三內(nèi)角之比為3： 4： 54 .若等腰三角形兩邊長分別為4和6,則底邊上的高等于（）A. V'7 B”或 v41 C. 4

12、V2D. 4& 或75 .若三角形的三邊長分別等于、5、彳、2,則此三角形的面積為（）A.26 .如圖，RtZXABC 中，ZC=900 ， CDL4B 于點(diǎn) D, AB=13, CD=6,則 AC+BC 等于(A.5 B. 5V13 C. 1313I). 9J57 .已知三角形的三邊長為久6、c,由下列條件能構(gòu)成直角三角形的是（）A. a1 =(w -1)* yb: = 4ni29c: = (7w + 1)*B. a1 =(w-1)2yb2 =4/w,。，= (/w +1YC. a2 =(mI)2 9b2 2mc2 = (w +1D. a1 =(/n-1)2方-Znr,c1 =(/w

13、 + 1)'8 .如圖，己知直角梯形ABCD中，ADBC, AB1BC, AD=2, BC=DC=5,點(diǎn)P在BC上移動，則當(dāng)PA+PD取鍛小值時(shí),APD中邊AP上的高為()A. B. yJVJ C. y/7D. 3171717二.埴空題9 .如圖，平面上A、B兩點(diǎn)處有甲、乙兩只螞蟻，它們都發(fā)現(xiàn)C處有食物，已知點(diǎn)C在A的東南方向，在B的西南方 向.甲、乙兩只螞蟻同時(shí)從A、B兩地出發(fā)爬向C處,速度都是30。府/min.結(jié)果甲蛆蟻用了 2 min,乙螞蟻2分40 秒到達(dá)C處分享食物，兩只螞蟻原來所處地點(diǎn)相距 em.10 .如圖，AB=5, AC=3, BC邊上的中線AD=2,則ABC的面積為

14、11 .如圖所示，有一塊直角三角形紙片.兩直角邊AB=6, BC=8,將直角邊AB折疊使它落在斜邊AC上，折痕為AD,貝ij BD=.A12 . ABC 中，4B=AC=13,若 AB 邊上的高 CD=5,則 BC=13 .如圖，長方體的底面邊長分別為1。川和3。加，高為6cm.如果用一根細(xì)線從點(diǎn)A開始經(jīng)過四個(gè)側(cè)面纏繞一圈到 達(dá)點(diǎn)B,那么所用細(xì)線最短需要cm ,如果從點(diǎn)A開始經(jīng)過四個(gè)側(cè)面纏繞圈到達(dá)點(diǎn)B,那么所用細(xì)線最短需要cm.14 .小明把一根70cm長的木棒放到一個(gè)長寬高分別為30cm, 40cm, 50cli的木箱中，他能放進(jìn)去嗎？答：(選 填“能”或“不能”).15 .已知，如圖,在平

15、面直角坐標(biāo)系中,0為坐標(biāo)原點(diǎn)，四邊形0ABe是矩形，點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別為A (10, 0)、C (0, 4),點(diǎn)D是0A的中點(diǎn)，點(diǎn)P在BC邊上運(yùn)動，當(dāng)AODP是接長為5的等腰三角形時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為.y c16 .如圖所示，在ABC中，AB=5, AC=13, BC邊上的中線AD=6, EC-三.解答題17 .如圖所示，已知 D、E、F 分別是ABC 中 BC、AB、AC 邊上的點(diǎn)，且 AE=AF, BE=BD, CF=CD, AB=4, AC=3,=- CD 2求：AABC的面積.18 .有一塊宜角三角形的綠地.量得兩苴角邊長分別為6閉，8m.現(xiàn)在要將綠地?cái)U(kuò)充成等腰三角形，且擴(kuò)充部分是以為口角邊的直角三角形，求擴(kuò)充后等腰三角形綠地的周長.19 .如圖，有兩條公路OM、ON相交成30。角，沿公路31方向離0點(diǎn)8。米處有一所學(xué)校A.當(dāng)重型運(yùn)輸卡車P沿道路0N方向行駛時(shí)，在以P為圓心50米長為半徑的圓形區(qū)域內(nèi)都會受到卡車嚎聲的影響，且卡車P與學(xué)校A的距離越 近噪聲影響越大.若 心重型運(yùn)輸卡車P沿道路ON方向行駛的速度為18千米/時(shí).（1）求對學(xué)校A的噪聲影響最大時(shí)卡車P與學(xué)校A的距離：（2）求卡車P沿道路0N方向行駛一次給學(xué)校A帶來噪聲影響的時(shí)間.20 .如圖1,四根長度一定的木條,其中AB-6”，CD-15CW,將這四根木