1、廈門大學信息科學與技術學院7.6 法布里-珀羅諧振器廈門大學信息科學與技術學院前述各種諧振器因導體損耗的Qc值隨頻率平方根的倒數而降低，在毫米波和亞毫米波段，其Q值就太小而不能應用。此外，在很高頻率時，工作在低次模上的上述各種模的諧振器的實際尺寸太小也不能應用，而用高次模工作在諧振時會有別的高次模靠得較近，而這些模式的有限帶寬可能很小或者很難加以分開，也就使這種諧振器無法使用。廈門大學信息科學與技術學院解決的辦法之一是將諧振腔的邊壁移開，以減小導體損耗和可能的諧振模數。由此即形成由兩個平行金屬板構成的開式諧振器，亦稱為法布里-珀羅(Fabry-Perot)諧振腔，因為其原理與光學法布里-珀羅干

2、涉儀相似。這種準光諧振器在毫米波和亞毫米波段很有用，類似于在遠紅外和可見光的激光應用中的諧陣器；這種諧振腔在毫米波段頻率介質參數測量中也很有用。廈門大學信息科學與技術學院為使這種開式諧振腔裝置有效使用，兩平板必須平行且要足夠大，以保證波在兩平板之間來回反射時無明顯的輻射。為此，實用的法布里-珀羅諧振腔都是采用聚焦的球面鏡或拋物面鏡來限制能量，以獲得穩定的模式圖。廈門大學信息科學與技術學院1. 法布里-珀羅諧振腔的工作原理如圖所示，圖(a)表示由兩塊平行導體板構成的法布里-珀羅諧振腔，圖(b)為其正視圖。廈門大學信息科學與技術學院假設兩平行板無限大，則在其間可以存在如下TEM駐波場(ar,br;

3、dr,da,db,且忽略邊緣場)，式中，E為任意常數，=377 為自由空間的固有阻抗,上式的場已經滿足邊界條件，還需滿足另一邊界條件，廈門大學信息科學與技術學院因此，故得諧振頻率，為求諧振腔的Q值，先計算截面1 m2的電場儲能,廈門大學信息科學與技術學院截面1 m2的雌場儲能為,可見磁場儲能等于電場儲能。兩個導體平行板1 m2的功率損耗為，因此，由于導體損耗的Q值，廈門大學信息科學與技術學院結果表明，這種開式腔的Q值與模數p成正比，即隨模數增大而增大。其模數p常為幾千或更大。假如在平板之間區域損耗介質材料，則由于介質損耗的Q值為，不過在這種開式腔中極少用介質，以勉降低Q值。廈門大學信息科學與技

4、術學院. 開式諧振腔的穩定性穩定性是開式諧振腔的一個實際問題。我們定性討論曲面鏡開式諧振腔的一些特性。如圖所示，曲面鏡開式腔的一般結構，兩個半徑分別為R1和R2的球面鏡，相距為d。廈門大學信息科學與技術學院根據球面鏡的聚焦特性，諧振腔中的能量可以被限制在鏡面軸線附近的窄小區域內(穩定型)，也有可能擴展出鏡面邊緣以外(穩定型) ，后者將導致很大損耗。應用幾何光學可以證明，當滿足如下條件時，前述開式諧振腔可以形成穩定的模式，這一穩定性判據可用下頁曲線圖來表示，上式左邊不等式的邊界是d/R1=1和d/R2=1的直線，右邊不等式的邊界則是在d/R1=d/R2=1交點處有焦點的雙曲線。據此可以解釋一些結

5、構的穩定性。廈門大學信息科學與技術學院廈門大學信息科學與技術學院(1) 平行板諧振器：曲率半徑R1=R2=，因此，這種結構對應于上頁圖中的原點d/R1=d/R2=0，正好處于穩定和不穩定區的邊界上，因此，任何不規則性，例如鏡面的不平行度，都將使系統處于不穩定狀態，顯然，這種平行板開式腔結構不實用。(2) 共焦諧振器：此種情況下， R1=R2=d，位于上頁圖的(1,1)點。這種諧振器可用穩定或不穩定區之間的某個點來表示，因此對不規則性很敏感。(3) 同心諧振器：在這種情況下， R1=R2=d /2，兩鏡面具有相同的中心對應上頁圖的(2,2)點。這種諧振器結構也位于穩定和不穩定區的邊緣處。廈門大學

6、信息科學與技術學院(4) 穩定的諧振器：選擇d/R1=d/R20.6的對稱球形諧振器即可做成穩定的諧振器，這種情況的諧振器處于共焦和平行板諧振器的設計之間；也可以選擇d/R1=d/R21.4，這種情況的諧振器則處于共焦和同心諧振器的設計之間。為了確保諧振器穩定的工作，可以選取R1=R2=2d或R1=R2=2d/3 ，它們分別對應于點(0.5,0.5)和(1.5,1.5)。廈門大學信息科學與技術學院7.6 諧振器的激勵廈門大學信息科學與技術學院前述各節所討論的是孤立諧振器的特性，然而，一個孤立的諧振器是沒有任何實用價值的。實際應用的微波諧振器總是要通過一個或幾個端口和外電路連接，以便進行能量變換

7、。諧振器與外電路相連的端口部分叫做耦合機構或激勵機構。廈門大學信息科學與技術學院1. 激勵方式諧振器與外電路的激勵方式(或稱耦合方式)隨導行系統和諧振器的結構而異，常用的方式有：直接耦合、探針或環、孔耦合。直接耦合常見于微波濾波器中，如下頁圖所示，其中圖(a)是以縫隙耦合的微帶線諧振器，圖(b)是以膜片直接耦合的波導諧振器；圖(c)是與微帶線直接耦合的介質諧振器。在直接耦合機構中，電磁波經導行系統耦合到諧振器的過程中，不會因耦合機構而改變模式，耦合機構僅起變換器的作用，可用一個變換器來等效。廈門大學信息科學與技術學院廈門大學信息科學與技術學院探針耦合和環耦合常用于諧振器與同軸線之間的耦合，如圖

8、所示。由于耦合結構很小，可以認為探針或環處的電場和磁場是均勻的，圖(a)的探針受電場作用成為一個電偶極子，稱為電耦合；圖(b)的環受磁場作用成為一個磁偶極子，稱為磁耦合。廈門大學信息科學與技術學院孔耦合常用于諧振器與波導之間的耦合，如下頁圖所示。圖(a)的耦合為磁耦合，圖(b)的耦合孔很小的話也主要是磁耦合，圖(c)的耦合也是磁耦合。可見諧振器與波導之間的孔耦合主要是磁場耦合，因為在開孔處波導壁附近的磁場比較強，而小孔中的模式主要是TM01模。耦合孔又稱為窗孔應設置在諧振器與輸入波導之間以使諧振器中模式的場分量與輸入波導的場分量方向一致。廈門大學信息科學與技術學院廈門大學信息科學與技術學院2.

9、 耦合的影響微波諧振器與外電路耦合以后，諧振器的特性將與孤立狀態有所不同，外電路要通過耦合機構對諧振器的特性產生影響。其影響有二：一是要在諧振器中引入一個電抗，使諧振器失諧，即使諧振頻率改變；另一個是在諧振器中引入一個電阻，使諧振器的能量損耗增大，從而使其Q值降低。容易理解，與外電路耦合的諧振器，其功率損耗包括諧振器本身的損耗和外電路負載上的損耗兩部分之和。有負載時的Q值稱為有載Q值，廈門大學信息科學與技術學院esLPPWQ0或者，eesesLQQWPWPWPPQ1110000式中Qe稱為外部Q值(external Q)。外部Qe值表示外電路(或負載)對諧振器的影響，是諧陣器與外電路之間耦合的

10、量度，與耦合機構有關。改變耦合， Q0值不變， Qe值卻隨之改變。定義Q0和Qe之比值為耦合系數(coupling coefficient)g，eQQg0廈門大學信息科學與技術學院顯然， Qe越大、g越小，表示耦合越松；反之， Qe越小，g越大，表示耦合越緊。這樣根據所要求Qe值(或g值)就可以設計耦合機構。有載Q值也可用耦合系數表示，gQQQQQQeeL1000如果諧振器有N個匹配的耦合端口，則諧振器的有載Q值為，NiilgQQ101廈門大學信息科學與技術學院根據耦合系數的大小，有三種耦合狀態：(1) g1稱諧振器與饋線是過耦合(over coupling)或緊耦合(tigh couplin

11、g)。臨界耦合狀態下，諧振器在諧振時與饋線實現匹配，諧振器和饋線之間獲得最大的功率傳輸。如下頁圖所示的串聯諧振電路與饋線的耦合，串聯諧振電路在諧振頻率附近的輸入阻抗為，0in22RQjRLjRZ廈門大學信息科學與技術學院其無載Q值為,RLQ0諧振時,RZin0為使諧振器與饋線匹配，須RZ 0廈門大學信息科學與技術學院此時，無載Q值為，00ZLQ外部Q值為，QZLQe00因此有，1eQQg這表明在臨界耦合狀態下，外部Q值與無載Q值相等。廈門大學信息科學與技術學院廈門大學信息科學與技術學院3. 阻尼因子諧振電路的重要參數之一是阻尼因子d，它是當激勵源去掉時振蕩衰減速率的量度。對于高Q諧振電路，儲能

12、衰減速率與平均儲能W0成正比，因此儲能W隨時間的衰減關系，QtteWeWWd0020由此求得，Qd20廈門大學信息科學與技術學院可見阻尼因子與諧振電路的Q值成反比。當諧振器與外電路耦合時，式中Q應用有載QL來代替。這樣，當用復諧振頻率c，Qjjdc2100來處理損耗作用時，諧振頻率附近諧振電路的輸入阻抗可以改寫為，cjQRZ20in廈門大學信息科學與技術學院式中參數R/Q稱為諧振電路的優值，它反映諧振器對增益帶寬積的影響程度，用諧振電路的集總元件可表示成，CLQR廈門大學信息科學與技術學院4. 縫隙耦合微帶線諧振器前述縫隙耦合的/2開路微帶線諧振器，可用如圖所示的等效電路來表示，微帶線縫隙近似

13、等效為一串聯電容，由饋線向諧振器看去的歸一化輸入阻抗為，廈門大學信息科學與技術學院lbbljZlZCjZZzcctgtgctg1000inin式中，CZbc0是耦合電容C的歸一化電納，諧振時0inz即0cbltg此超越方程的解如圖所示。廈門大學信息科學與技術學院實用中bc1，因而第一個諧振頻率1接近但小于l=的頻率，可見耦合的影響使諧振頻率降低。將耦合諧振器的歸一化輸入阻抗用關于1的泰勒級數展開，并假定bc很小，則有 1in11ininddzzz綜合以上三式，zin(1)=0，于是212222in 1tgsec1cpcpcccbjvlbjvlbbjdldlbljddz廈門大學信息科學與技術學院

14、這是因為，1, 1pcvlbvp是傳輸線(假定為TEM線)的相速度。因此歸一化阻抗可以寫成， 211incbjz至此未考慮諧振器的損耗。對于高Q諧振器，損耗可用復頻率1(1+j/2Q)代替1來考慮。這樣就得到縫隙耦合有耗微帶線諧振器的歸一化輸入阻抗為， 2112in2ccbjQbz廈門大學信息科學與技術學院需要注意的是，無耦合的/2開路線諧振器在諧振頻率附近等效為一并聯RLC電路，而現在縫隙耦合的/2開路線諧振器則等效為一串聯RLC電路，這是因為串聯耦合電容相當為一阻抗倒置器。因此諧振時的輸入電阻為，202cQbZR對于臨界耦合，0ZR 因此得到，Qbc2廈門大學信息科學與技術學院耦合系數則為

15、，202cQbZRg若Qbc2則1g為欠耦合。若Qbc2則1g為過耦合。廈門大學信息科學與技術學院5. 孔耦合諧振腔如圖(a)所示的孔耦合波導諧振腔，橫向膜片上的小孔等效為一并聯電感，諧振腔在腔長l=g/2時為第一個諧振模式，耦合諧振腔的等效電路如圖(b)所示。廈門大學信息科學與技術學院由饋線看去的歸一化輸入導納為，lxxljlXjZZYyLLLtgtgtg1100inin式中，0ZLxL是小孔的歸一化電抗。并聯諧振時，0tgLxl此式與縫隙耦合微帶線諧振器類似，解圖也相似。歸一化導納可用關于1的泰勒級數展開，并假設xL1，而y(1)=0，于是得到，廈門大學信息科學與技術學院 1112in11

16、ininddxjlddyyyL對于矩形波導，cckkkdddd0220因此， 2210inLcxkjy廈門大學信息科學與技術學院考慮損耗的影響，可用復頻率1(1+j/2Q)代替上式中的1，得到， 22102210in2LLcxkjcxQkjy諧振時的輸入電阻，100222kZcxQRL臨界耦合要求R=Z0，因此得到所要求的孔的電抗為，cQkZXL21002據此可確定孔的尺寸廈門大學信息科學與技術學院考慮如圖所示窄縫耦合矩形波導諧振腔，橫向窄縫高度為t，其歸一化電納為，btbB2cscln2式中，ckak0220廈門大學信息科學與技術學院等效電路如圖所示，其總的輸入導納為，lBjYYcth0in

17、式中，gj2,波導衰減很小，llth廈門大學信息科學與技術學院于是，ljllBjYYctgtg20in總的輸入電納和電導為，000,ctgYGlYYB于是，02021YBBYBBgg廈門大學信息科學與技術學院外部Q值則為，2220BBGQge無載Q值可求得為，lQg1220因此，耦合系數為，2202cscln411btblBlQQgge廈門大學信息科學與技術學院由此可求得耦合縫高度為，lbbtg14ln1arcsin21這種窄縫耦合機構適于做緊耦合，而橫向模片適于做松耦合和臨界耦合。廈門大學信息科學與技術學院7.7 微波諧振腔的微擾理論廈門大學信息科學與技術學院在諧振腔的實際應用中，經常遇到其

18、形狀發生微小變化，或在腔內引入小片介質或金屬材料等情況，例如利用旋入腔體內的小螺釘(金屬的或介質的)來調整諧振頻率；在諧振腔內放入小介質樣品，通過測量諧振頻率的偏移來測定介質常數。諧振腔的這種擾動或微小改變稱為諧振腔的微擾。諧振腔的微擾理論可用于計算諧振腔的特性參數(諧振頻率、品質因數)因諧振腔的微擾所引起的變化。廈門大學信息科學與技術學院微擾法(perturbational method)通常涉及兩個問題: (1) 未微擾的問題，通常解已知；(2) 微擾問題(perturbational problem)，稍不同于未受微擾的問題，其解是未知的，可借助于前一問題的已知解來求其近似解。廈門大學信

19、息科學與技術學院1. 諧振腔微擾的基本公式如圖(a)所示諧振腔，微擾前體積為V，內壁面積為S，腔內介質常數為0、0，腔內電場、磁場和諧振頻率已知。圖(b)為微擾后，腔體內有一小體積V，介質常數為、，微擾后腔內電場、磁場和諧振頻率未知。廈門大學信息科學與技術學院設電磁場為時諧場，則微擾前：00000000EHHEjj微擾后，)( )( )( )( 00內外內外VjVjVjVjEHEHHEHE廈門大學信息科學與技術學院因此可得，)( )( )( )( 0000000000內外內外VjVjVjVjEEHEEEHEHHEHHHEH另有，00000000EEHEHHEHjj廈門大學信息科學與技術學院計算

20、下述體積分， dvjjdvjjdvVVVVHHEEHHEEEHEHHEHE0000000000000000 dsndvdvSVV 00000000HEHEHEHEEHEHHEHE應用矢量恒等式，BAABBA廈門大學信息科學與技術學院考慮到在腔體內壁附近，0E n 上式右端面積分必然等于零，因此0 0000000000dvjjdvjjVVVHHEEHHEE00由于V很小，則對(V- V)的體積分可近似以V代替，且00000000廈門大學信息科學與技術學院可得,VVdvdvHHEEHHEE0000000000此即微波諧振腔微擾的基本公式。廈門大學信息科學與技術學院2. 介質微擾如V為一小塊介質，由

21、于V很小，則可近似地認為V以外，00,HHEE于是諧振腔微擾基本公式的分母變為，VVWdvdv420200000HEHHEE0式中，dvWV20020041HE廈門大學信息科學與技術學院為腔體內全部電磁場儲能。因此得到，WdvWdvVV4 40000000HHEEHHEE0當1,則00,HHEE廈門大學信息科學與技術學院于是，WdvV4 2200HE1,當且V很小時，其內E和H可視為恒定，則可得，WVVme4 0000HHEE式中Ve是產生的小體積， Vm是產生的小體積。廈門大學信息科學與技術學院例如圖所示腔底放置薄介質板的TE101模矩形腔，試用微擾法求諧振頻率變化表達式。解 TE101模矩形腔未微擾時的電場為，lzaxEEysinsin101考慮到，tyr0 ,10廈門大學信息科學與技術學院于是，41 121010000202020altEdxdydzEdvraxtylzyrV HE電場儲能為，210100164EabldvEEWyVye則210102244EablWWe廈門大學信息科學與技術學院因此諧振頻率變化(降低)的百分數為，btr2100廈門大學信息科學與技術學院3. 腔壁形狀微擾設腔壁向內推進一小體積V ，其0,rr則，WWWWdvemV44 20020000HE式中W