1、1遠期、期貨和互換遠期、期貨和互換forwards，futures & swaps孟生旺中國人民大學統計學院http:/ forward）套保（hedge）和套利（arbitrage）互換（swap）的基本概念及其定價3衍生產品衍生產品（derivative instrument）：一種金融工具，其價值依賴于其他產品（如證券、商品、利率或指數）的價格。常見的衍生產品：遠期（遠期（forwards）期貨（期貨（futures）互換（互換（swaps）期權（期權（options）4一、遠期一、遠期(forward)遠期合約遠期合約（forward contract）：雙方約定在未來未來某一

2、個確定的時間，按照某一確定的價格買賣買賣一定數量的某種資產資產的協議。例例：小麥，石油標的資產標的資產（underlying asset）：雙方約定買賣的資產。交割價格交割價格（delivery price）：約定的成交價格?？疹^空頭（short forward, short position）：賣出標的資產的一方。多頭多頭（long forward, long position）：買入標的資產的一方。5回收回收（payoff）： 持有人在滿期時實現的現金價值。 多頭的回收 滿期時的即期價格 交割價格 空頭的回收 多頭的回收盈虧（盈虧（net payoff，profit），從回收中扣除初始費用

3、的終值。盈虧 回收初始費用的終值注：遠期合約的初始費用為零，故 盈虧 = 回收。6例：例：假設股票當前的價格是假設股票當前的價格是100元，一年后到期的遠期價格為元，一年后到期的遠期價格為105元，沒有分紅。年實際利率為元，沒有分紅。年實際利率為5。股票多頭：立即購買，當前支付股票多頭：立即購買，當前支付100元。元。遠期多頭：通過遠期合約購買，當前支出為零，一年后支遠期多頭：通過遠期合約購買，當前支出為零，一年后支付付105元。元。解：解：如果一年后股票的即期價格為如果一年后股票的即期價格為115元，則元，則股票多頭：股票多頭：回收回收 = 115， 盈虧盈虧 = 115100 1.05 =

4、 10遠期多頭：遠期多頭：回收回收 = 115105 10， 盈虧盈虧 = 100 = 107例：例：投資100元購買了一種1年期的零息債券，到期的償還值為105元。1年期的實際利率為5。請計算投資者購買這種債券的回收和盈虧。解：解：購買這種債券的回收為105元。購買債券的成本為100元，因此購買債券的盈虧為：105 100（15）0。注：零息債券的盈虧為零，但利息收入大于零！注：零息債券的盈虧為零，但利息收入大于零！問題：如果債券的到期償還值為問題：如果債券的到期償還值為106元，結果如何？元，結果如何？8遠期合約的類型：遠期合約的類型：商品遠期合約金融遠期合約遠期利率協議遠期外匯合約遠期股

5、票合約例：遠期利率協議（中國人民銀行2007年第20號公告）9遠期利率遠期利率（Forward Rate ）：將來某個時點開始的一定期限的利率。 例例：17遠期利率：1個月之后開始的期限為6個月的遠期利率0176個月10遠期利率由一系列即期利率決定，例：一年期的即期利率為8%二年期的即期利率為9%則從第一年末到第二年末的遠期利率為i = 10.01%，即 (1 + 8%) (1 + i) = (1 + 9%)2 i = 10.01%11遠期利率協議遠期利率協議（Forward Rate Agreements，FRA） ：買賣雙方同意從未來某一時點開始，在某一特定時期內按協議利率借貸一筆名義本金

6、的協議。買賣雙方訂立遠期利率協議的目的買方（借入）規避利率上升的風險賣方（貸出）規避利率下降的風險。不必交換本金，只需支付結算金(cash settlement)。若 參照利率 協議利率，買方獲益，由賣方付給買方結算金。12分子分子協議利率與參照利率之差所造成的額外利息支出，發生在貸款到期之時。分母分母用參照利率對分子折現至當前時點。用單利單利計算。協議中的參照利率常常選擇那些不太容易被操縱的有明確定義的利率，譬如 LIBOR、短期國庫券利率等。1貸款天數參照利率協議利率名義本金年天數結算金貸款天數參照利率年天數借借入方獲得的補償：入方獲得的補償：LIBOR倫敦銀行間同業倫敦銀行間同業拆借利率

7、拆借利率(London InterBank Offered Rate,簡寫簡寫LIBOR)，是大型國際銀行愿意向其他大型國際，是大型國際銀行愿意向其他大型國際銀行借貸時所要求的利率銀行借貸時所要求的利率。它它是在倫敦銀行內部交易市場上的商業銀行對存于非美國是在倫敦銀行內部交易市場上的商業銀行對存于非美國銀行的美元進行交易時所涉及的利率銀行的美元進行交易時所涉及的利率。LIBOR常常作為商業貸款、抵押、發行債務利率的基準。常常作為商業貸款、抵押、發行債務利率的基準。同時，浮動利率長期貸款的利率也會在同時，浮動利率長期貸款的利率也會在LIBOR的基礎上確的基礎上確定定。LIBOR也也是很多合同的參

8、考利率。是很多合同的參考利率。13SHIBOR上海銀行間同業拆放利率（上海銀行間同業拆放利率（Shanghai Interbank Offered Rate，簡稱，簡稱Shibor），從），從2007年年1月月4日開始正式運行，日開始正式運行，是由信用等級較高的銀行組成報價團自主報出的人民幣同是由信用等級較高的銀行組成報價團自主報出的人民幣同業拆出利率計算確定的算術平均利率，是單利、無擔保、業拆出利率計算確定的算術平均利率，是單利、無擔保、批發性利率批發性利率。目前，對社會公布的目前，對社會公布的Shibor品種包括隔夜、品種包括隔夜、1周、周、2周、周、1個月、個月、3個月、個月、6個月、個

9、月、9個月及個月及1年。年。Shibor報價銀行團現由報價銀行團現由18家商業銀行組成家商業銀行組成。1415注：O/N = over night16例：例：假設A公司在6個月末需要一筆1000萬元的資金，為期3個月，為了鎖定資金成本，該公司與某銀行簽訂了一份69的遠期利率協議，協議利率為4%，名義本金為1000萬元。如果3月末市場利率上升為4.5%對A公司有何影響。解：解：在遠期利率協議的結算日，A公司可以從銀行獲得：90(4.5%4%) 10003601.2361()9014.5%360萬元17A公司按照市場利率4.5%借入一筆1000萬元的資金，到期時的利息支出為：扣除結算金的累積值，其

10、實際的資金成本（表示為年利率）為1000 4.5% 90/360=11.25()萬元9011.25 1.2361 (14.5%)3603604100090 18二、二、 期貨（期貨（futures）期貨合約期貨合約（Futures Contract）：雙方同意在將來某個日期按約定的條件（包括價格、交割地點、交割方式等）買賣一定數量標的資產的標準化協議。按標的物的不同，期貨合約可以分為商品期貨商品期貨：標的物為實物商品(pork bellies, live cattle, sugar, wool, lumber, copper, aluminum, gold, tin)金融期貨金融期貨：標的物為

11、金融工具(stock indices, currencies, Treasury bonds)中國期貨品種中國期貨品種（1）上海期貨交易所）上海期貨交易所：銅、鋁、鋅、天然橡膠、燃油、黃金、螺紋鋼、線材（2）大連商品交易所）大連商品交易所：大豆、豆粕、豆油、塑料、棕櫚油、玉米、PVC（3）鄭州商品交易所）鄭州商品交易所：硬麥、強麥、棉花、白糖、pta、菜籽油、秈稻（4）中國金融期貨交易所）中國金融期貨交易所：股指期貨1920期貨的基本概念期貨的基本概念：標準化標準化：合約規模，交割地點，交割日期初始保證金初始保證金（initial margin）: （5% - 20%）維持保證金維持保證金（m

12、aintenance margin）: 盯市盯市（mark to market）：每天交易結束時，根據期貨價格的漲跌調整保證金賬戶。期貨交易示例期貨交易示例l投資者與一家期貨經紀公司簽訂合同后，他以56500元/噸的價格買入20手上海銅 ( 1手為5噸 ) 。合同規定維持保證金為初始保證金的75%，假設這家期貨經紀公司上海銅的保證金比率為10%（通常為5-20%之間）。請回答下列問題：(1) 初始保證金和維持保證金各是多少?(2) 如價格跌至56000元/噸，這時的浮動虧損是多少?需要追加多少保證金?l答： (1) 初始保證金=5650052010%=565000 維持保證金=56500520

13、10%75%=423750 (2) 浮動虧損=(56500-56000)520=50000l保證金賬戶余額為565000-50000=515000。大于維持保證金，故無需追加保證金。2122期貨與遠期的區別期貨與遠期的區別遠期到期結算，大多數現貨。期貨每日反映盈虧狀況，大多數對沖平倉。期貨具有流動性。期貨只適用于特定資產。遠期存在信用風險。23三、遠期和期貨的定價三、遠期和期貨的定價 期貨的定價與遠期的定價相同。遠期的定價：計算資產的遠期價格遠期價格遠期價格（Forward Price）： 標的物在未來某個時點上的理論價格。定價方法：無套利定價法Arbitrage（套利）: 低價買入，高價賣出

14、。套利類型：跨期套利、跨市套利、跨品種套利正向套利，反向套利24正向套利正向套利（cash-and-carry arbitrage）：遠期價格 交割價格：賣空現貨，買入遠期。上式表明現價偏高。25無套利定價法無套利定價法的基本思路：構建兩種投資組合，若其終值相等，則其現值也一定相等，否則就存在套利機會：賣出現值較高的投資組合買入現值較低的投資組合，并持有到期末賺取無風險利潤。 A=1B=2A=3B=326t = 0TSSTKfF交割交割價格價格多頭的價值多頭的價值遠期遠期價格價格股票在當前股票在當前時間時間 的的價格價格股票在到期時股票在到期時間間 T 的價格的價格符號符號注：在合約簽訂之日，

15、注：在合約簽訂之日，f = 0, F = K27遠期合約中遠期合約中標的資產標的資產的的類型：類型：到期前不產生收益的資產到期前不產生收益的資產：零息債券到期前產生已知收益的資產到期前產生已知收益的資產：附息債券到期前連續產生收益的資產到期前連續產生收益的資產：股票指數28到期前不產生收益的資產（到期前不產生收益的資產（r 為無風險利息力）考慮兩種組合：組合組合A：一份遠期合約多頭，加上現金 組合組合B：一單位標的資產。在組合A中，現金累積到時間 T 的金額為 K，剛好可用來交割，以換取一單位標的資產。在時間 T ，兩個組合都等于一單位標的資產。根據無套利原理：無套利原理：erTKerTfKS

16、29根據無套利原理無套利原理：在合約簽訂之日，f = 0 ，且 F = K ，故有： = 現價現價的累積值erTfKSerTFS30例：例：考慮一份股票遠期合約，標的股票不支付紅利。假設合約的期限是3個月，股票現在的價格是50元，連續復利的無風險年利率為10%，請計算遠期價格。 解：解：這份遠期合約的合理價格應該為 0.10 0.2550e51.27F31Example: A stock that pays no dividends has a current price of $50. The annual effective risk free rate of return is 5%.

17、Calculate the forward price for purchasing the stock in one year.Solution: (1)50(1.05)$52.50FSr32例：例：考慮一份遠期合約多頭，其標的證券是剩余期限為6個月的一年期零息債券，交割價格為$960。 6個月期的無風險年利率（連續復利）為10%。 該債券的現價為$940。 請計算遠期合約多頭的價值。解：解：該遠期合約多頭的價值為f = 940 960 e 0.5 0.1 = $26.82 當前的賣價 未來的買價33到期前產生已知收益的資產到期前產生已知收益的資產令已知收益的現值現值為D，并構建如下兩個組合

18、：組合組合A：一份遠期合約多頭 + 現金 。組合組合B：一單位標的資產 + 借款 D。組合A：在時間 T 的價值 = 單位標的資產。組合B：標的資產的收益D剛好可以償還借款D，因此在時間 T ，該組合也等于單位標的資產。erTKerTfKSD34根據無套利原理無套利原理在合約簽訂之日，f = 0 ，且 F = K ，故有： = 現價的累積值 收益的累積值erTfKSD()erTFSD35Example: A stock has a current price of $50 and pay a dividend of $2 one year from now. if the annual eff

19、ective risk-free rate of return is 5%, then what is the forward price for purchasing the stock in one year (just after the dividend is paid)?Solution: (1)50(1.05)2$50.50TFSiD36Example: consider a 10-month forward contract on a stock with a price of $50. we assume that the risk free interest rate (co

20、ntinuously compounded) is 8% per annum for all maturities. We also assume that the dividends of $0.75 per share are expected after three months, six months, and nine months. Calculate the forward price.Solution: The forward price is :0.08 10/120.08 (10 3)/120.08 (10 6)/120.08 (10 9)/1250e0.75 (eee)5

21、1.13F37例：例：一種債券的現貨價格為950元，該債券一年期遠期合約的交割價格為960元，該債券在6個月末和12個月末都將收到50元的利息，且第二次付息日在遠期合約交割日之前。假設6個月期和12個月期的無風險年利率（連續復利）分別為9%和10%，求該遠期合約多頭的價值。解：解：債券利息的現值為：D = 50e-0.090.5 + 50e-0.101 = 94.79元 該遠期合約多頭多頭的價值為： f = 950 94.79 960e-0.11 = 13.43元 賣價 - 損失利息 - 支付買價38到期前產生連續收益率的資產到期前產生連續收益率的資產假設資產的連續收益率為d，構建如下兩個組合

22、：組合組合A：一份遠期合約多頭 + 現金組合組合B： 單位的資產，且資產的所有收益都再投資于該資產。組合A在時間 T 的價值等于單位標的資產的價值。組合B的資產數量在時刻 T 也等于單位標的資產。erTKeTd39根據無套利原理無套利原理：在合約簽訂之日，f = 0 ，且 F = K ，故有 = 現價按凈利率計算的累積值eerTTfKSd()erTFSd40例：例：股票現在的市場價格是30元，年平均連續紅利率為5，無風險連續復利為10，若該股票6個月期的遠期合約的交割價格為35元，求遠期價格和該遠期合約的價值。解：解：遠期價格為： 多頭的價值 f 為（把T 時的價值折現到 0 時）：()(0.

23、1 0.05) 0.5e30e30.76rTFSd0.10 0.5()e(30.6735)e4.03-=-=-= -rTfFK41例：遠期利率協議例：遠期利率協議的定價：利率均為連續復利。t =0TT *rr* r即期利率即期利率遠期遠期利率利率即期利率即期利率()ee e r TrTr TTr TrTrTT42例：例：假設2年期的即期年利率為10%，3年期的即期年利率為11%，均為連續復利。本金為100萬元的2年3年遠期利率協議的合同利率為12%，請計算該遠期利率協議在理論上的合同利率以及多頭的價值。解：解：理論上的合同利率應為： 該合約的價值為（見下頁）：0.11 30.10213%32F

24、rr 43t =0T=2T *=310%11% r協議遠期利率協議遠期利率即期利率即期利率理論遠期利率理論遠期利率即期利率即期利率12%借入：1000.12100e償還：0.10 20.120.11 3100e100ee8146.51f萬萬元該該合約多頭的合約多頭的價值為：價值為：借入金額的現值償還金額的現值44ExerciseSuppose that the three-month LIBOR rate is 5% and six-month LIBOR rate is 5.5% with continuous compounding. Consider an FRA (forward ra

25、te agreement) where we will receive a rate of 7%, measured with quarterly compounding, on a principal of 1 million between the end of month 3 and the end of month 6. calculate the value of the FRA.Solution: the forward rate is (5.5%6/12-5%3/12)/(6/12-3/12) = 6% with continuous compounding, or 4*(exp

26、(0.06)(1/4)-1) = 6.0452% with quarterly compounding.45The value of FRA is 0.5 5.5%7%6.0452%1000000e232244注： （1）用季度實際利率，FRA的期限為1個季度 （2）括號中表示6個月末的價值，最后一項表示折現到當前時間03/126/12遠期利率：6.0452%/4交割利率：7%/446四、合成遠期四、合成遠期1、合成遠期、合成遠期 注：假設股票到期前不產生收益，與教材使用的假設不同 01 現價：100遠期價格：1001.05=105遠期股票零息債券 假設：假設：無風險年實際利率5%。想在 T

27、時擁有單位股票，兩種方法：（1）遠期）遠期：在 1 時支付 105 獲得單位股票（2）合成）合成遠期遠期：在 0 時借款 100購買單位股票，在1 時償還105，獲得單位股票472、正向套保、正向套保（cash and carry hedge）：買入標的資產，賣出遠期（對遠期空頭進行套保）。假設投資者假設投資者是是一個股票一個股票遠期空頭遠期空頭，即同意在時間 T 按遠期價格105出售股票。 （面臨的風險：股價上升）為了對此空頭進行套保，可以生成一個合成遠期多頭（出售零息債券（即借錢100）買入股票）：合成遠期股票零息債券一多一空，風險為零（下頁圖示）。48正向套保圖示：正向套保圖示：無論股價

28、如何變化，均無風險 0 1 借款100購買股票擁有單位股票，償還借款：105賣出單位股票，獲得：105遠期空頭遠期空頭合成遠期多頭合成遠期多頭假設：假設：無風險年實際利率5%49 3、反向套保反向套保（reverse cash and carry hedge）：賣出標的資產，買入遠期（對遠期多頭套保）。假設投資者是一個股票假設投資者是一個股票遠期多頭遠期多頭，即同意在時間 T 按遠期價格105買入股票。（面臨的風險：股價下跌）。為了對此多頭進行套保，可以生成一個合成遠期空頭合成遠期空頭（出售股票，并用所得資金購買零息債券）： 遠期 股票 零息債券一空一多，風險為零（下頁圖示） 。50反向套保圖

29、示：反向套保圖示：無論股價如何變化，均無風險賣空股票，并投資于零息債券：100零息債券到期，獲得：105購買股票支付105合成遠期空頭合成遠期空頭遠期多頭遠期多頭 0 1 假設：假設：無風險年實際利率5%514、正向套利、正向套利（假設股票到期前不產生收益） 現價：100遠期價格：105套利套利：在 0 時，借款100，低價購買單位股票（合成遠期多頭）在 1 時，高價賣出股票遠期（遠期空頭），獲得110；償還借款105 在 1 時，利潤 = 110 105 = 5套利機會：交割價格 K = 110 遠期價格 F = 105 01 假設：假設：無風險年實際利率5%525、反向套利、反向套利（假設

30、股票到期前不產生收益）股票現價：100遠期價格：105套利套利：在 0 時，高價賣空股票，獲得 100，并投資于零息債券（合成遠期空頭）。在 1 時，低價買入股票遠期（遠期多頭），支付102，零息債券到期獲得105 在 1 時，利潤 = 105 102 = 3套利機會：交割價格 K =102 遠期價格F = 105 0 1 假設：假設：無風險年實際利率5%53五、互換五、互換（Swap）互換：互換：交易雙方在約定的時間內交換一系列現金流的合約。注：遠期只交換一次現金流。作用作用：為一系列不確定的現金流進行套保。54例：例：假設W公司計劃在未來兩年購買10000桶石油， 石油的遠期價格和即期利率

31、如下：為了鎖定石油價格，W公司可以購買兩份遠期合約：在第一年末每桶支付80美元在第二年末每桶支付82美元。石油價格的現值為此即預付互換的價格預付互換預付互換（prepaid swap） 當前時刻一次性支付石油的價款，在未來交割一系列的石油。年度12遠期價格8082即期利率5%5.6%28082149.72411.051.056+=55為避免信用風險，W公司希望在交割時再支付石油價款。通常采取等額支付等額支付的方式，即每年支付的價款相等。此價款即為互換的價格互換的價格。假設為 X，則這種結算方式為實物結算實物結算。2149.7241 80.971.051.056 XXX+=56現金結算現金結算：

32、假設現貨價格為 XlW公司從市場購買石油，并獲得石油公司的補償 X 80.97lW公司的實際成本 = X ( X 80.97）= 80.9757如果把互換價格 80.97 美元與兩個遠期價格（80美元和85美元）比較：在第一年末，W公司多支付了0.97美元在第二年末，W公司少支付了1.03美元。故互換等價于兩個遠期多頭，并附加一個遠期利率協議，該協議：第一年末向石油公司支付0.97美元第二年末獲得1.03美元的補償。 58該協議隱含的一年期遠期利率為1.03/0.97 1 = 6.2此利率實際上是兩個即期利率所隱含的遠期利率1年期的即期利率為5，2年期的即期利率為6故1年后的遠期利率 i 應該

33、滿足下述關系式：2(10.05)(1)(10.056)i+=+6.2%i=59結論結論：互換等價于若干個遠期，并附加一個遠期利率協議。遠期合約和遠期利率協議的初始價值為零，故互換的初始價值也為零。 當市場條件發生變化，互換合約的價值將不再等于零。P=c(80,82)i=c(0.05,0.056)t=1:2PV1=P/(1+i)tPV1=sum(PV1); PV1 #預付互換的價格X=PV1/sum(rep(1,length(t)/(1+i)t); X #互換的價格X=round(X,2)PX=X-Pf1=-PX2/PX1-1; #互換中隱含的遠期利率f1=round(f1,3);f1f2=(1

34、+i2)2/(1+i1)-1 #即期利率中隱含的遠期利率f2=round(f2,3);f260利率互換（利率互換（ Interest Rate Swaps:）：雙方同意在未來的 一定期限內根據相同的名義本金交換現金流。一方的現金流根據浮動利率計算。另一方的現金流根據固定利率計算。原因：雙方在固定利率和浮動利率市場上具有比較優勢 (comparative advantage)。61利率互換案例：利率互換案例：62例例：A、B公司都想借入5年期的100萬元的借款，A想借入浮動利率借款，B想借入固定利率借款。由于信用等級不同，故市場向它們提供的利率也不同：固定利率浮動利率A公司10%6個月期LIBO

35、R + 1%B公司12%6個月期LIBOR + 2%不互換：A和B的利息成本為 (LIBOR+1%) +12?；Q：A和B的利息成本為10% + (LIBOR + 2%)。通過互換，雙方的總利息成本可以降低 163假設互換所帶來的利益雙方各分享一半，則雙方都將使籌資成本降低 0. 5%。A的最終利息成本為（LIBOR + 1%） 0.5% = LIBOR + 0.5B的最終利息成本為120.5% = 11.564利率互換的定價：利率互換的定價：在第 i 個利息支付日（即在時間ti）， 公司收取浮動利息 ，支出固定利息 k，該現金流的現值為： （遠期利率協議的價值）互換的價值就是上述現金流的現值

36、之和：合約在生效之時的價值為零，由此得互換利率互換利率：*()ei irtikk*ik*1()ei inrtiikk*11eei ii inrtiinrtikk65例：例：一筆互換合約中，某銀行支出6個月期的LIBOR，同時收取8的年固定利率（每半年支付一次利息），名義本金為100萬元?；Q還有1.25年的時間到期，其中3個月、9個月和15個月期的即期利率（連續復利）分別為10、11和12。上一次利息支付日的6個月LIBOR為9（每半年支付一次利息）。請計算該利率互換對銀行而言，當前的價值是多少。660.250.751.251011120LIBOR，i(2)9支付浮動利息 k1* = 4.5收

37、取固定利息： 10080.5411.513.55.9185？6.9830？連續復利連續復利？67解：解：第一筆交換對銀行的價值第一筆交換對銀行的價值：0.1 0.2544.5 e0.4877 68第二筆交換對銀行的價值第二筆交換對銀行的價值：3個月到9個月的遠期利率為9月后銀行支付的浮動利息為9個月后第二筆交換對銀行的價值為20.11 0.750.10 0.250.1150.750.25R0.11 0.7545.9185 e1.7666 0.115 0.5100(e1)5.918569第三筆交換對銀行的價值第三筆交換對銀行的價值：從9個月末到15個月末的遠期利率為15個月后銀行支付的浮動利息為15個月后第三筆交換的價值為上述三筆現金流的價值之和就是利率互換的價值，即為0.12 1.254 6.9830 e2.5675- 0.4877 1.76662.56754.8218 30.12 1.250.11 0.75