1、一、 一般性的思考二、（“概率統計”）是什么？三、（開“概率統計”課）為什 么？四、（我們）怎么做？關于大學數學公共基礎課程的思考教學實踐中的幾個常見問題怎么辦？ 必須轉變那種妨礙學生創新精神和創 新能力的教育觀念、教育模式，特別是由教師單向灌輸知識，以考試分數作為衡量教育成功的惟一標準以及劃一呆板的教育教學制度，要下功夫造就一批真正能站在世界科學技術前沿的學術帶頭人和尖子人才。 江澤民教育觀念 大學教育的可能性：有限的知識+良好的素質和能力 大學教育的不可能性：所有的知識+終身教育 自然這本大書，是用數學來寫的。 伽利略 數學是科學的大門和鑰匙。 R. Bacon （幾何原本）此書為益，能令

2、學 理者祛其浮氣，待其精心，學事者資其定法，發其巧思，故舉世無一人不當學。 徐光啟 數學處于人類智能的中心領域。 馮諾依曼 整理出宇宙的秩序數學的作用 （Arthur Jaffe美國Ad報告（1984）數學科學資金來源特別委員會(The Ad Hoc Committee on Resources for the Mathematical Sciences)） 我所知道的每一點數學都以這樣或那樣的方式在實際應用中幫了我的忙。 E. Knuth數學發展的大致特點 由低維到高維； 由線性到非線性； 由自治到時變； 由局部到整體； 由交換到非交換； 由正規到奇異； 由穩定到分叉、混沌； 數學教育作用

3、灌輸數學知識 提高數學素養（如抽象思維、邏輯思維等） 培養應用數學能力（建立數學模型、應用數學分析、進行數值計算、模擬和仿真等）數學教育目標 獲得（數學）基礎知識；學會學習思維（方法）；知道把握（問題）全局；了解（知識）整體構架；掌握（應用）基本思路 。存在的教學問題 注入式 講得過細、過透、過復雜、過神秘（抽象） 忽略數學概念、數學思想 不注重數學應用 缺乏連貫、統一的教學認知我們應該和可以怎么做？幾點認識1）數學是從人類生活中長大、發展的；2）數學是一個整體，“數”“形”是互通的，數學各科間是相互關聯的；3）數學正滲透到現代科技、工程、經濟、社會的各個領域，有極其廣泛的應用。（A）去粗取精

4、，去偽存真（B）返璞歸真，來龍去脈（C）學會簡單，學會問題（D）注重關聯，注重統一（E）無招有招，心領神會 1）關于“精” 主線 主要概念 主要理論 主要思想 主要方法 高等數學：函數、極限； 線性代數：線性空間、矩陣； 常微分方程：全微分（方程）； 復變函數：解析； 數理方程：化PDE為ODE； 實變函數：零測度； 概率與統計：分布、數字特征、統計特征； 2）關于“真” 收斂； 秩； 基； Cauchi-Riemann公式； 微元； 分布； 統計量； 3）如何“去”“存” 方法是： 化未知的為已知的 化復雜的為簡單的 要注意： 局部與整體 條件和結論 線性化； 逼近； 齊次化； 降階； 局部

5、化； 知識的來源（Motivations）（來龍）系統知識系統知識知識的應用（去脈）要求教師 學習數學史（了解來龍） 學習現代科技和開展科學研究（知道去脈） 別把數學想像的艱難晦澀、不可捉摸，它只不過是常識的升華而已。 -Lord Kelvin 對自然界的深刻研究是數學最富饒的源泉。 J. Fourier 物理不僅給我們以解決問題的機會而且還使我們預料到它的解。 H. Poincare 數學的應用： 經濟金融 社會科學 信息科學與計算 現代物理(從Einstein到Yang-Mills到Hawking等） 生物科學與技術(美國國立數學生物學綜合研究所（NIMBioS） 隨著后基因組時代的到來，

6、生物學研究者的定量研究能力和知識，已不再是可有可無的了。 James Collins 將數學和生物學結合是一種獨特的學科交叉的研究方法，不久的將來，NIMBioS一定會在全球產生深刻的影響。 Louis Gross 學生層面：要學會最簡單、最基本的知識和原理。 教師層面：要抓住主線，化繁為簡。 教學原則：講清楚最簡單、最基本的知識和原理，說明知識擴展、延伸的思想和方法。 注意確當地應用局部化思想 獨立事件、條件概率等； PDE化為ODE：分離變量法、特征線法、積分變換法；而Green函數法是從一般到特殊等。 教師和學生都應學習如何問問題！ 教師的問題應有誘導性、啟發性、發散性。 應提倡學生不拘

7、一格，大膽、創新地提出各種問題和設想。 例如：對于函數，是否有更好的概念來代替連續和可微，而又能很好地研究函數的性質呢？ 又如：期望與均值、方差與波動、統計特征與個別事件分別有什么關系？既然概率只是可能性，研究概率有什么意義呢？ 如果Newton和Leibniz想到過連續函數不 一定有導數而這卻是一般情形，那么微分學就決不會被創造出來。 E. Picard 在這(19)世紀初已認為要斷然從嚴密數學中驅逐出去的那些級數，在這世紀末竟又重敲接納之門，這確實是我們科學的一個奇怪的變遷。 J. Pierpont 這級數是發散的；因此我們有可能用它來做些事件。 O. Heaviside分析幾何代數連續離

8、散確定隨機理論應用定量定性 認識之一： 學科方向之間是相互依賴、相互滲透、相互促進的 . 如在1500年以前人們認為三次以上的方程是不現實的！ 促進幾何與代數的結合先驅是Descartes. 只要代數同幾何分道揚鑣，它們的進展就緩慢，它們的應用就狹窄。 但是，當這兩門科學結合成伴侶時，它們就相互吸取對方的新鮮活力，并迅速地趨于完善。 J. L. Lagrange 認識之二：學科之間的交叉、相融產生了 新的學科 ，達到了更高的統一。 微積分+幾何微分幾何 代數+幾何+分析解析幾何、仿射幾何 數學物理 變分法 復變函數論涉及微積分、幾何 、代數等 認識之三：學科中的一些理論和方法具有穿針引線的作用

9、。 如中值定理（公式）、局部化方法、分布等。 潤物無聲，無招勝有招； 心領神會，寧靜乃致遠。 數學知識、數學思想、數學方法、數學之美的教學之體現 教師教學風格、思維方式、認知悟性會在無形之中感化、影響學生！ 學術上要嚴謹 思想上要自由 人格上要獨立 教師應有開放的學習心態。 獨學而無友，則孤陋寡聞。 背景 內涵 在（人才培養中的）地位2.1 學科背景 學科、專業 課程 數學的二級學科、統計學一級學科、統計專業課程（概率論、統計學、概率與統計、應用統計等） 發展歷史回顧 (一）概率論方面 三個多世紀以前，賭徒的問題：為什么一次扔三個骰子所得和為10要比和為9來得頻繁？ L. Pacioli、N.

10、 Tartaglia、J. Cardano （賭博的游戲）討論過賭金分配問題。 1654年，一個叫德梅累（Chevalier de Mere)的法國賭徒向當時的大數學家帕斯卡(Pascal)提出一個使他苦惱了很久的問題。 de Mere的問題： 為什么再扔兩個骰子24次時把錢下注在至少有一次出現雙六點是沒有好處的。 賭金分配問題：兩個賭徒賭金分配問題：兩個賭徒兩個賭徒相約賭若干局，誰先贏 m局就算贏，全部賭本就歸誰。但是當其中一個人贏了 a (am)局，另一個人贏了 b(bm)局的時候，賭博中止。問：賭本應該如何分法才合理？ 帕斯卡和當時第一流的數學家費爾瑪(Fermat)一起，研究了德梅累提

11、出的關于骰子賭博的問題。于是，一個新的數學分支概率論登上了歷史舞臺。 概率論從賭博的游戲開始，但概率論的成長已遠遠掩蓋了它在賭窟中的不名譽的起源。 三年后，也就是1657年，荷蘭著名的天文、物理學家和數學家惠更斯（Huygens)企圖自己解決這一問題，結果寫成了論機會游戲的計算一書，這就是最早的概率論著作。 J. Bernoulli是概率論作為一門獨立的數學分支的奠基人，在其遺著猜測術（1713）首次提出了被后來稱為Bernoulli極限定理。 A. De Moivre（1733）和Gauss（1809）獨立引進了正態分布。 G. L. L. Buffon提出了投針問題和幾何概率（1777）。

12、 Poisson（1837）給出了Poisson大數定律。 Laplace概率論的定義（1812年）概率論的解析理論（組合分析） 19世紀余下的時間到20世紀頭20年，概率論作為數學的分支幾乎消失。 當初整個理論建立在松散的和不嚴格的基礎之上。 例如，Laplace的概率論定義基于所論的所有的可能結果是等可能的這一假設；但因等可能這個概念本身是一個概率的陳述，此定義看上去是一個循環定義。再者，整個領域都被悖論和其它困難所困擾。（J. Bertrand悖論,1899） 此期間，有極少數數學家繼續研究： P. L. Chebyshev（1866）和A. A. Markov概率論的基礎； A. Ei

13、nstein和M. SmoluchowskiBrown運動； J. C. Maxwell, L. Boltzmann和J. W. Gibbs氣體動力學； H. Poincare和D. Hilbert試圖復活對概率理論的興趣。 雖然貢獻重要，但反應極少！ C. H. Bernstein（1880-1968,俄）和R. von Mises(18830-1953,奧）提出了一些公理作為概率論的前提。 由于上世紀初E. Borel和H. Lebesgue 對測度論的重要貢獻，延拓和推廣了測度論理論，使得在1930年之后逐步澄清了重要概念概率論又恢復了崇高的地位。 A. I. Kolmogorov（俄，

14、1903-1987）從1920年代中期起開始研究用測度論嚴格表述概率論理論，1933年出版了概率論基礎，提出了六條公理，公理化了概率論。 公理化使隨機過程獲得新生。Markov鏈（1907）Markov過程（1931，K）獨立增量過程（1938-48，Levy)平穩過程（1934，辛欽）鞅(論）（1935，Levy；1939，Ville; 1950, Doob)隨機積分和隨機微分方程（1942-，Ito). 現在，概率統計已有了極其廣泛深入地應用： 金融、保險精算、生物、農業、醫學、管理、信息處理、社會科學等 （二）（數理）統計方面 1763年，T. Bayes發表論機會學說問題的求解，提出了

15、“Bayes定理”。Gauss和Laplace基于此建立了以“最小二乘法”為基礎的誤差分析。 K. Pearson和F. Galton（1900左右）提出了“相關”、“回歸”和“總體”等。 現代數理統計學的奠基人是R. A. Fisher（1890-1962）。他建立了系統的相關分析、方差分析與回歸分析，與F. Yates合作（1925）試驗設計，提出了假設檢驗。 假設檢驗的嚴格數學基礎（1928-1938，J. Neyman, E. S. Pearson)多元統計分析（許寶祿，H. Hotelling)測度論總結數理統計（1946，H. Cramer統計學的數學方法）序貫分析和統計決策理論（

16、1947，A. Wald) 統計學的迅速發展與分門別類： 數理統計、醫學統計、社會統計、經濟統計、生物統計等 統計學主要應用領域有： 社會發展與評價、持續發展與環境保護、資源保護與利用、電子商務、保險精算、金融業數據庫建設與風險管理、宏觀經濟監測與預測、政府統計數據收集與質量保證等、分子生物學中的統計方法、高科技農業研究中的統計方法、生物制藥技術中的統計方法、流行病規律研究與探索的統計方法、人類染色體工程研究中的統計方法、質量與可靠性工程等。2.2 內涵 概率（幾率）（probability) 隨機(stochastic) 統計（statistics) 確定性是相對的 隨機是絕對的 在很多很多

17、情況下，當（其它）科學完全不可能回答“這個命題是真實的嗎？”這個問題時，概率論卻給出了一個基礎，來判斷該命題在多大情況下可能是真的。 概率論在科學中幾乎扮演著信仰在人類活動的其它領域中所扮演的角色。 概率乃生命之真實向導。 人生是從不充分的前提中提取充分的結論的那種藝術。 概率論已成為全部科學之基石之一，而它的女兒統計科學，已進入人類全部活動領域之中。 邏輯思維形式：演繹和歸納。 演繹得推理是確定的和絕對的。它的特定的推斷是從其普遍的假設不可避免地導出。 歸納是不確定的推斷。歸納是從具體的經驗和特殊的事實出發的，一般并不肯定能導致無條件的普遍結論。其實，它們是導致關于各式各樣的普遍結論的似真性

18、的評判。 從F. Bacon 到T. Bayes 歸納方法作為科學方法的基礎歸納的數學基礎，Bayes提出了應當如何用抽樣的證據來修改試驗以前所持有的見解。 統計學是討論不確切推理的科學和藝術。 自然界的事件和現象是太多樣了，太大量了，太廣泛了或太不可及了。 我們必須滿足于抽樣！ 樣本的四個主要問題： 1）如何有效并清楚地描述樣本？ 2）由這個樣本的證據如何最好地推斷有關整個總體的結論？ 3）這個結論有多可靠？ 4）如何取樣本方能使它們盡可能地說明問題并且可以依賴？ 統計學處理的是不確切的推斷。期望的回答應是： 1）“我最好的估計是”; 2）“你有根據相信我的估計的可信程度是”. 這就有了“置

19、信系數”、“顯著性水平”、“統計假設檢驗”等。2.3 地位 1）數學學科的重要分支 連續的、離散的 確定的、隨機的 2）客觀、自然現象的重要描述 隨機隨處都有 3）科學、工程、技術研究的重要工具 物理、控制、信號處理、醫學、社會、金融、信息論等 4）偶然中的必然研究 博弈、統計規律等 5）小概率事件的警示 正確看待小概率事件。 指導思想 定位與目標 （后續）作用3.1 指導思想 通過這門課我們能做什么？ 要學什么？ 有什么用？ 確定性現象在一定的條件下必然發生； 不確定性現象（隨機現象）在一定的條件下可能發生也可能不發生，不能預知確切的結果。 問題： （隨機）偶然中是否有必然？或 （隨機）偶然

20、中也有某些規律？ 概率論就是研究相關問題的一門數學分支，它所研究的內容一般包括隨機事件內容一般包括隨機事件的概率、統計獨立性和更深層次上的規律的概率、統計獨立性和更深層次上的規律性。性。 也可以說是討論復雜事件的概率計算的也可以說是討論復雜事件的概率計算的問題的。問題的。 有（至少表面上）兩個類型的問題概率論對它們有用： 1）產生問題的原因太多太復雜，并且（或者）了解太貧乏以至不允許做出完全的決定性的理論，用概率論來處理它們； 機會”僅是關于我們的無知程度的度量” （Poincare） 2）自然界某些最基礎的事物本質上不可避免地是概率的。 （現代量子理論中電子的位置）3.2 定位與目標 “很值

21、得注意的是一門從考慮機會的游戲開始的科學將成為人類知識中最重要的東西。人生的最重要的問題中的大部分實際上只是概率論的問題。” Laplace概率論的解析理論1812年 知識 描述隨機現象及其可能性和統計規率性 工具 解決科技、工程、金融、社會等各種實際問題的工具 思維方式 統計的思考有朝一日將與讀和寫一樣成為具有公民資格者所必備。（H. G. Wells） 方法 歸納推理 例如：效能與毀傷問題 我們不能檢驗制造的每一枚炮彈和炸彈的效能和毀傷，它們一試驗就報銷了。所以我們必須抽樣。 新藥的藥理學問題 我們不能在每一個人身上試驗一種新的藥物。 3.3 （后續）作用 后續課程 隨機過程、統計診斷、隨機微分方程、隨機動力系統、圖像處理、統計物理等 后續學科 保險精算、金融工程、信 號與圖像處理、隨機控制、博 弈論、預測、統計物理和經濟 管理等課程的設置教學內容教學實踐構建立體化課堂 4.1 課程的設置 分專業設置課程 4.5學分、3學分、2.5學分和2學分 電子信息類、控制論、管理類、其它 工科、文科等。4.2 教學內容 知識點的思考 基本知識、思想、方法等 強化知識的來龍去脈 4.3 教學實踐 1）師資隊伍（教學與科研相結合、課程分配機制（